高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十七讲 广义积分脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数的积分第五节 广义积分一、无穷区间上的积分二、瑕积分函数四,?
值三、广义积分的柯西主我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分,在科学技术和工程中，往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分,这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广,
我们将运用极限的方法来完成这个工作,
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
,),[ )( 上有定义在设函数axf
,) ],[ ()(,,记且 AaRxfaARA
,d)(l i md)( AaAa xxfxxf
,),[ )( 上的无穷积分在称之为axf
限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式
,分发散
1,无穷积分的概念类似地可定义：
,)( d)(l i md)( )1( bBxxfxxf bBBb
d)(d)(d)( )2( cc xxfxxfxxf
,d)(l i md)(l i m AcAcBB xxfxxf
,d)( d)( d)( 收敛则称同时收敛，与若 xxfxxfxxf cc
,d)(,d)( d)( 发散则至少有一个发散与若 xxfxxfxxf cc
d)( 的可加性，而言，由定积分对区间对 xxf
,0,?cc 为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性例 1
解
,d 0 2 xex x计算
A xAx xexxex 0 0 d l i md 22
2xu?令
2
0 d2
1lim A u
A ue
2
0 )(2
1l i m Au
A e
) 2121 (lim 2 AA e
,21?
能否将这里的书写方式简化？
)( )( 的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若 xfxF
,)()(lim )(d)( 0 aFxFxFxxf xa
,)(l i m)( )(d)( xFbFxFxxf xbb
,)(lim)(lim )(d)( xFxFxFxxf xx
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了,
例 2
解
,1 d 0 2 xx计算
0
0 2 a r c t a n1
d x
x
x
0a r c ta na r c ta nli m xx
,2
例 3
解
,1 d 2 xx计算
a rc t a n1
d
2 xx
x
a r c ta nlima r c ta nlim xx xx
) 2 ( 2
,
O x
y 21 1xy1
例 4
解
,d1 0 2 xxx计算
0
2
0 2 )1 l n (2
1d
1 xxx
x
0)1 l n (21lim 2 xx
,
,d1 0 2 发散故积分 xxx
例 5
解
,dc o s 0 xx计算
0
0 s i ndc o s xxx
,0s ins inlim xx
,dc o s s i nl i m 0 发散不存在，故原积分由于 xxxx
例 5
解
)0( d 的敛散性，－积分讨论 ax xP a p
,为任意常数其中 P
,1 时当?P
||lnd aa xx x ax
x ln ||lnlim,
,1 积分发散时，故 Pp
,1 时当?P
a
p
a p
x
x
x
1
d 1
,1,
1
,1,
1
p
p
a
p
p 发散收敛综上所述，
,1 1 时发散时收敛；当积分当 ppP
)0( d ax xP a p－积分
2,无穷积分的基本运算性质均存在，则设以下所有出现的积分
,d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxf ccaa
,d)( d)( d)]()([ )3( aaa xxgxxfxxgxf
,d)()( )()(d)()( )4( aaa xxvxuxvxuxxvxu
,)5( 分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积
,d)(d)( )1( aa xxfxxf
,d)(d)(,)()( ),[ )6( aa xxgxxfxgxfa 则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此,
例 6
解
,dln 1 2 xx x计算运用分部积分法
xln 21x
x
1
x
1?
1 21 1 2 d1 lndln xxx xxx x
01lim lnlim xx x xx
罗 1 2dx x
1
1
x
,1?
例 7
解
,)0( )( d 2 2/322 aax xa计算
,23,,2,,s e c 故时则令 taxtax
ta n dta ns e c )( d 2/ 3/ 33 2 2/322 ta tttaax xa
2/ 3/ 22 s i n dc o s t 1 t ta
s i n 11
/2
/32
ta
,3 32 2a )(原积分收敛例 8
解
,1 d 0 4 xx计算
dd 1 2,，则令 t txtx
，故时，且 0,0,tx
0 42 0 42 0 4 1 d) 11 (1 d1 d t ttt ttxx
0 4 0 42 d1 1d11 ttttt
,d
1
1
d
1
1
1
0 4
0
2
2
2
x
x
t
t
t
t
0
2
2
2
0 4
,d
1
1
1
2
1
1
d
t
t
t
t
x
x
故
,d) 11 (d,1 2 ttuttu 则令
,,,0,从而，时且 ut
2 0 4 2d 211 d u uxx
2a rc t a n2121 u
,22222121
3,无穷积分敛散性的判别法
,,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上; d)(l i md)( xaxa ttfxxf
,d)(limd)( bxxb ttfxxf
,函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理
,0)(,) ),[ ()( xfaCxf 且设函数
),[ d)()( attfxF xa 在若积分上限函数
,d)(,收敛则无穷积分上有上界a xxf
证,,0)(,) ),[ ()( 所以且因为 xfaCxf
,),[ )( 上单调增加在积分上限函数axF
,),[ )( 从而上有上界在又已知函数axF
d)()( xa ttfxF
,),[ 由极限存在准则上单调增加且有上界在a
,d)(l i m)(l i m x 存在可知极限 xax ttfxF
,d)( 收敛即无穷积分a xxf
定理 （ 比较判别法 ）
,,,),[ )(,)( aARAaxgxf 上有界在设函数
0)()(, xfxg
,d)( d)( )1( 也收敛收敛时，积分当则 aa xxfxxg
,d)( d)( )2( 也发散发散时，积分当 aa xxgxxf
,) ],[ ()( ),( 且满足AaRxgxf?
证
)()(0,得时由 xgxfxa
d)( )1(,则下列极限存在收敛若积分a xxg
,d)(d)(0 xaxa ttgttf
,积分上限函数从而
,),[ d)( )( 上有上界在 attgxG xa
,),[ d)()( 上有上界在 attfxF xa
,d)( 收敛故积分a xxf
,d)(lim Ittfxax
,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极
,)2( 运用反证法
,d)(,d)( 收敛积分发散时如果 aa xxgxxf
,d)(,)1( 收敛立即可得出矛盾则由a xxf
,,
,
之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似
P
定理 （比较判别法的极限形式法）
,),[,),[ )(,)( aAaxgxf 上的非负函数为定义在设
,) ]A,[ ()(,)( aRxgxf?
d)( d)(,0 )1( 同时与无穷积分时当 aa xxgxxf?
,,或同时发散收敛
,,)( )(lim 那么若有极限 xxfx
,d)(,d)(,0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当 aa xxfxxg?
,d)(,d)(,)3( 发散则发散无穷积分时当 aa xxfxxg?
例 9
解
,1 d 1 3 4 的敛散性判别无穷积分x x
由于
1 1 1 10 3/43 43 4 xxx
,d1 134 1 3/4 故收敛积分的而 xxPp
,1 d 1 3 4 收敛无穷积分x x
读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别,
定理 （柯西极限判别法）
积分综合而成由比较判别法与?P
,0)(,)0( ) ),[ ()( xfaaCxf 且设
,)(lim,1 则存在使得若存在常数 xfxp px; d)( 收敛无穷积分a xxf
则或者若,)(lim 0)(lim xfxIxfx xx
,d)( 发散无穷积分a xxf
证,,)(lim,1 则由极限的定义存在时设 bxfxp p
x
,,11 有时当 xxax
,1 |)(| bxfx p
,1)(0 Mbxfx p故
).( )(0 1 xxxMxf p即有
,d 1
1
故收敛积分的由于 x p xxMPp
,d)(
1
收敛无穷积分x xxf
,d)( d)(d)(d)(
1
1 收敛可知由
ax
x
aa xxfxxfxxfxxf
则或者若,)(lim 0)(lim xfxIxfx xx
,2 |)(|,,11 故有时当 IIxfxxxax
,2 )( 1MIxfx
),,)(lim ( Ixfxx 可取任意正数作为时
).( )( 11 xxxMxf即有
,d 1 1
1
故发散积分的由于 x xxMPp
,d)(
1
发散无穷积分x xxf
,d)( d)(d)(d)(
1
1 发散可知由
ax
x
aa xxfxxfxxfxxf
例 10
解
,d a r c t a n 1 的敛散性判别无穷积分 xx x
因为
,2a r c ta nlima r c ta nlim xx xx xx
,d a r c t a n 1 是发散的故无穷积分 xx x
例 11
解
1 23,1 d 的敛散性判别无穷积分 x xx
因为
,1lim1lim 2
2
2
3
x xxxxx xx
,1 d 1 2
3
是发散的故无穷积分 x xx
例 12
解
1 2,1 d 的敛散性判别无穷积分 xx x
因为
) 12 (,11 lim1 1lim 222 pxxxxx xx
,1 d 1 2 收敛故无穷积分 xx x
下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法定理 （阿贝尔判别法）
,),[ )(,)( 上有定义在设axgxf
),[ )(,d)( 上在函数收敛若积分 axgxxfa
,d)()(,,收敛则积分有界单调a xxgxf
有关证明请参看
,微积分学教程,第二卷第三分册
Г.M,菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社 1954,
定理 （狄利克雷判别法）
,),[ )(,)( 上有定义在设axgxf
，存在有界的原函数上若在 d)( )( )( ),[ xa ttfxFxfa
,d)()(,0)(lim )( x 收敛则积分单调减少且 a xxgxfxgxg
有关证明请参看
,微积分学教程,第二卷第三分册
Г.M,菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社 1954,
例 13
解
d)( 时，收敛，则当如果积分 xxxfa
0)( 吗？一定有?xf
,不一定
,ds i n 1 2 xxI例如，考虑积分,2 dd,ttxtx 则令
1 1 2 ds i n21ds i n t ttxxI
，且显然,0 1li m)(li m,1)( ) [ 1, ttgttg tt
,)t(1,2 |c o s1c o s| | c o s| |ds i n| |)(| 1 1 tuuutF tt
,s inlim 2 不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知 xx
4,无穷积分的绝对收敛性
,d |)(| 则称无穷积分收敛若积分a xxf
,d)( 为绝对收敛的a xxf
,d)(,为条件收敛的则称积分收敛a xxf
d)(,d |)(| aa xxfxxf 而积分发散若积分
,),[ )(,d)( 上绝对可积在也称为绝对收敛时 axfxxfa
定理
,d |)(|,) ),[ ()( 收敛若设函数 a xxfaCxf
,d)( 必收敛则a xxf
,定收敛绝对收敛的无穷积分一证 由于
,|)(| 2 |)(| )(0 xfxfxf
,d|)(| 故无穷积分收敛又a xxf
,d) |)(|)( ( 收敛a xxfxf
,,|)(| ) |)(| )(()( 从而但 xfxfxfxf
,d |)(|d) |)(| )((d)( aaa xxfxxfxfxxf
,d)( 收敛故无穷积分a xxf
定理 （柯西判别法）
,|)(|lim,),[ )( 则且上有定义在设 Ixfxaxf px
,d |)(|,0 1 )1( 收敛积分时且当 a xxfIp
,d |)(|,0 1 )2( 发散积分时且当 a xxfIp
该定理的证明请读者自己完成,
例 14
解
,ds i n 0 的敛散性判别无穷积分 xxbe xa
),0,,,(?aba 且为常数其中
,|s in| 0 且因为 xaxa exbe
,11d 0 0 aeaxe xaxa
,d 故无穷积分收敛即无穷积分a xa xe
,d |s i n| 0 收敛 xxbe xa
,) ( ds i n,0 当然收敛绝对收敛无穷积分从而 xxbe xa
二、瑕积分
1,瑕积分的概念
—— 无界函数的广义积分
(1) 瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数 ),(U? )( 0 00 xxxf
,)( 的一个瑕点函数 xf
1)( 的一个瑕点；是例如,axxfax
,)1ln ()( 1 2 的瑕点是 xxgx
,1)( 22 的瑕点是 axxhax
(2) 瑕积分的概念
,,],( )( 为其瑕点上有定义在设 axbaxf?
,) ],[ ()(,0 记若 baRxf
,d)(limd)( 0 baba xxfxxf
,],[ )( 上的瑕积分在称之为函数 baxf
,,极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在
,,; 则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值
,d)(limd)( 0 baba xxfxxf
类似地，可定义
,)1( 为瑕点时当 bx?
,)( )2( 为瑕点时当 bcacx
bccaba xxfxxfxxf d)(d)( d)(
,)(li md)(li m 0 0 b cca dxxfxxf
,d)(,d)( d)( 才收敛同时收敛时与仅当 babcca xxfxxfxxf
,d)(,d)( d)( 发散至少有一个发散时与 babcca xxfxxfxxf
与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：
,) (,)(lim)( )(d)( 为瑕点axxFbFxFxxf axbaba
,) (,)()(lim )(d)( 为瑕点bxaFxFxFxxf bxbaba
这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了,
2,瑕积分基本运算性质
,叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限 ax?
,形仍成立其结论对其它瑕点的情均存在，则设以下所有出现的积分
,d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxf bccaba
,d)( d)( d)]()([ )3( bababa xxgxxfxxgxf
,d)()( )()(d)()( )4( bababa xxvxuxvxuxxvxu
,)5( 的换元法进行计算瑕积分也可按照定积分
,d)(d)( )1( abba xxfxxf
,d)(d)(,)()( ],( )6( baba xxgxxfxgxfba 则上若在例 15
解
1 0 2,1 d xx计算
,,1 1lim 2
1
所以因为
xx
,1 1)( 1 2 的瑕点为函数 xxfx
1 0 1 0 2 a r c s in1 d xxx
0a r c s i n1a r c s i n
,2
例 16
解
,d 1 1 2 x x计算
,21d 1 1 1 1 2 xx x
! 0 为瑕点?x
例 16
解
,d 1 1 2 x x计算
,1)( 0,,1lim 220 的瑕点为所以因为 xxfxxx
1 0 20 1 21 1 2 d d d x xx xx x
,1lim11 d
0
1
0
1
0 2 xxx
x
x
而
,d 1 1 2 是发散的故积分 x x
例 17
解
2 1 2,1d x x计算
,1 为瑕点?x
,dt a ns e cd,s e c tttxtx 则令
,,30,,21,于是时且 tx
3 0 2 1 t a n dt a n s e c1d? t tttx x
3 0 ds e c? tt
,)32 (ln |ta ns e c|ln 3 0tt
例 18
解
,)2( d 0xx x计算
,
,
应设分开混合在一起的广义积分这是无穷积分与瑕积分
,2,0,故为被积函数的瑕点易知 xx
)2( d) ()2( d 0 3 3 2 2 1 1 0 xx xxx x
d 12121) ( 3 3 2 2 1 1 0 xxx
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln21
3
3
2
2
1
1
0?
x
x
x
x
x
x
x
x
不存在
,d 121 21 d 121 21 3 2 2 1 不存在与由于 xxxxxx
,)2( d 0 发散故原积分xx x
例 19
解
) (,)( d )( 为任意常数的敛散性瑕积分讨论 pax xP ba p
,,,0 )1( 故是收敛的积分为通常的定积分时当 Pp
,,,0 )2( 此时为瑕点时当 axp
,,||ln d,1 积分发散则若 Paxax xp baba
,1 则若?p
,1
,10
1
)(
)(
1
1
)(
d
1
1
发收
p
p
p
ab
ax
pax
x
p
b
a
pb
a p
综上所述，得; )( d )(,1 收敛瑕积分时当 ba pax xPp; )( d )(,1 发散瑕积分时当 ba pax xPp
2,瑕积分敛散性的判别法瑕积分敛散性的判别法与无穷积分的情形类似，
我们仅介绍常用的方法,
定理 （瑕积分的比较判别法）
,)( )(,) ],( ()( ),( 的唯一瑕点与为设 xgxfaxbaCxgxf
,) ],((,)()(0 baxxgxf且满足; d)(,d)( 收敛则收敛若积分 baba xxfxxg
,d)(,d)( 发散则发散若积分 baba xxgxxf
定理 （比较判别法的极限形式法）
d)( d)(,0 )1( 同时与无穷积分时当 baba xxgxxf?
,,或同时发散收敛
,,)( )(lim 那么若有极限
x
xf
ax
,d)(,d)(,0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当 baba xxfxxg?
,d)(,d)(,)3( 发散则发散无穷积分时当 baba xxfxxg?
,) ],((,)()(0 baxxgxf且满足
,)( )(,) ],( ()( ),( 的唯一瑕点与为设 xgxfaxbaCxgxf
定理 （瑕积分的柯西极限判别法）
积分综合而成由比较判别法与?P
,,0)(,) ],( ()( 为其唯一的瑕点且设 axxfbaCxf
,)()(li m,10 则存在使得若存在常数 xfaxp pax; d)( 收敛瑕积分a xxf
,d)(,)()(lim 发散则瑕积分 apax xxfxfax
,0)()(lim,1 或者使得若存在常数 Ixfaxp pax
例 19
解
,s in d 1 0 的敛散性判别积分? xx
,0,s in1li m
0
为瑕点故点因为
xx
x
,1s inlim s in 1lim
0
2
1
0
x
x
xx xx又
,01 1,21,的情形即柯西判别法中 Ip
,s i nd 1 0 收敛故由柯西判别法知? xx
例 20
解
,ln d 10 1 的敛散性判别积分? xx
,1,,ln 1l im
1
是瑕点所以因为
xx
x
,1
1
1lim
ln
1)1(lim
11
x
x
x
xx
又 罗
,01,1,的情形即柯西判别法中 Ip
,lnd 10 1 发散故由柯西判别法知积分? xx
例 21
解
,
d1s in
1
0
2
的敛散性判别积分?
x
x
x
,1
1s i n
0
2
xx
x
,11li m,1li m 2
1
00
x
xx
xx
又
,0,因为为瑕点这是瑕积分?x
,) 21 ( d 1 0 pxx 收敛故瑕积分
,
d1s in
,1
0
2
收敛原积分从而?
x
x
x
柯西判别法比较判别法例 22
解
,,,d)1( 1 0 11 为正常数其中的敛散性判别 xxx
,,1,1 该积分是通常的定积分时当
,1,0,1,0 是被积函数的两个瑕点时当 xx
,d)1( d)1( d)1( 1
2
1
112
1
0
111
0
11 xxxxxxxxx故令
,1)1(li m 1110 及柯西判别法可知由 xxxx
,d)1( 21 0 11 收敛 xxx
,1)1()1(li m 1111 及柯西判别法可知由 xxxx
,d)1( 1
2
1 11 收敛 xxx
,d)1(,1 0 11 收敛积分综上所述 xxx
11p
11p
三、广义积分的柯西主值
)1( 无穷积分的柯西主值按无穷积分的定义：
d)(d)(d)( cc xxfxxfxxf
,d)(l i md)(l i m AcAcBB xxfxxf
的变化与即过程是相互独立的等号右边的两项的极限,BA
,不要求一致
,变化一致的情与经常遇到要求在数学物理问题中 BA
,,的特殊情形即需要考虑形 AB
,),( )( 上有定义在设函数xf
,) ],[ ()(,0,记AARxfARA
,d)(l i md)(,, A AA xxfxxfPV
,),( )( 值上的无穷积分的柯西主在称之为xf
值意义下称此无穷积分在柯西主若式中的极限存在，则
,散分在柯西主值意义下发不存在，则称该无穷积;,若式中极限义下的无穷积分值极限值即为柯西主值意收敛无穷积分的柯西主值例 23
解
ds i n 的敛散性讨论无穷积分 xx
,散性和柯西主值意义下的敛
,c o slim1 c o sds i n 0 0 xxxx x因为
,ds i n,c o sl i m 0 发散故积分不存在而 xxxx
,ds i n,发散无穷积分从而 xx
,0ds inlimds in,, A AA xxxxPV又 奇函数
,ds i n 在柯西主值意义下收敛故无穷积分 xx
由此例想到一点什么没有?
,该例说明
,,它本身不一定收敛义下收敛时无穷积分在柯西主值意
,d)(,,d)( 的定义可知与由 xxfPVxxf
,d)(,.,d)( 必收敛则收敛若 xxfPVxxf
,)(,],[ )( 为其瑕点上有定义在设函数 bcacxbaxf
记
,] d)(d)( [limd)(,,0 bccaba xxfxxfxxfPV
,) ( ],[ )( 的柯西主值瑕点为上的瑕积分在称之为 cbaxf
,,值意义下收敛则称此瑕积分在柯西主若式中的极限存在
,值意义下发散则称该瑕积分在柯西主
,; 若式中极限不存在义下的瑕积分值极限值即为柯西主值意
)2( 瑕积分的柯西主值例 24
解
d 2 1 的敛散性讨论积分 x x
,散性和柯西主值意义下的敛
,0 是被积函数的瑕点?x
,lnlim2ln lnd
0
2
0
2
0 xxx
x
x
因为
,d,2 1 是发散的瑕积分所以 x x
] d d [limd,,2 1
0
2
1
x
x
x
x
x
xPV而
00
,l n 2] ||ln ||ln [ l i m 2 1 0 xx
,d,,2 1 收敛故积分 x xPV
函数函数与四,
,它们非初等函数函数是两个非常重要的函数与
,拉积分中的第二型和第一型欧实际上是含参变量积分及工程中的许多部函数在数学、物理学以函数与
,函数的产生也离不开工函数与门里得到广泛的应用
,,出的微分方程时产生的它们是在解决工程中提程实际
,1 函数?
,积分的敛散性首先研究一个含参变量
),0 (,d 0 1 sxex xs
0,为瑕点的又是一个以积分这个积分既是一个无穷?x
,瑕积分
,,将积分表示为为此
,ddd 1 11 0 1 0 1 xesxesxes xsxsxs
,无穷积分的和这是一个瑕积分与一个瑕积分 无穷积分
,d,0 1 0 1 且的唯一的瑕点是因为 xexx xs
,1lim 1 1
0
s
xs
x x
ex
,1 1d 1 0 1 0 1 sxsxx ss而
,,d,0 1 0 1 从而收敛积分时故当 xxs s
,d,0 1 0 1 收敛瑕积分时当 xexs xs
比较判别法的极限形式
,0limlim 12 1 xsxxsx exx ex又
,,d 1 2 故由比较判别法可知是收敛的而积分 xx
,d,0 1 1 收敛无穷积分时当 xexs xs
,,0,敛下列含参变量的积分收时当综上所述?s
),0 (,d 0 1 sxex xs
,积分该积分称为欧拉第二型
)1( 函数的概念?
定的函数由含参变量的积分所确
),0 (,d)( 0 1 sxexs xs
,) G a m m a ( 函数称为?
,积分函数又称为第二型欧拉?
)2( 函数的简单性质?
,)(,0s ) 1 Cs时当
,)( )1(,0 ) 2 ssss 时当特别有
,)( ! )1()(; )( ! )1(; 1)1(
Znnn
Znnn
,s in )1( )(,10 ) 3 ssss 时当下面证明这个递推关系式
,)( )1(,0,ssss 时当证明时当运用分部积分法得 0,?s
d d)1( 0 1 0 0 xexsexxexs xsxsxs
)( )()(lim 0 ssexex xxsxsx
,)( ss
例 25
解
,d,21 0 2 xe x并由此计算求
,
2
s in
s in2
11
2
1
2
1
ss
因为
,21故
,0,,0,,2 dd, txttxtx 时则令
d 21d 0 2
1
0
2 tetxe tx
0 121 d 21 tet t,2 21 21
例 26
解
,)( d 0 2 2 Znxex xn计算
,0,,0,,2 dd, txttxtx 时则令
d 21d 0 2
1
0
2 2 tetxex tnxn
d 21 0 1 2
1
tet tn
21 21 n
1) 21 ( 21 n,2 !! )12( 1 nn?
2
1 ns
,2 函数?
)1( 函数的概念?
定的函数由含参变量的积分所确
),0,0 (,d)1(),( 1 0 11 baxxxba ba
,) B e t a ( 函数称为?
,积分函数又称为第一型欧拉?
)2( 函数的简单性质?
,),( ),(,,) 1 abbaba 对称函数关于
,)1,(
1
)1,1(; ),1(
1
)1,1( ) 2
ba
ba
a
ba
ba
ba
b
ba
,)0,0(,)( )( )( ),( ) 3 baba baba
,,,1,1,时当特别 Znmmbna
,! 1)( ! ! )1,1( nm mnmn
运用分部积分法证明
,d 1 0 2 xxx计算例 27
解 d)1(d 1 0 21211 0 2 xxxxxx
d)1(1 0 1 231 23 xxx 23,23
2
3
2
3
2
3
2
3
)3(
2
11
2
11
,8 ! 2
2121
例 28
解
,d)1(),(,0
1
并由此计算证明
xx
xba
ba
a
,d)1( 0 24 的值积分 xxx
,)1 ( dd,1 2 于是则令 ttxttx
d)1(),( 1 0 1 1 xxxba ba
d)1( 1)1( 1)1( 0 21 1
1
tttt
t
ba
a
d)1( 0
1
tt
t
ba
a
d)1( 0
1
xx
x
ba
a
43,45 d)1( 0 24 xxx
45 411 aa
43 2 bba
4
3
4
5
4
3
4
5
43 45
411 411 411 41 41
,
22
4
s in
4
1?
d)1(),( 0
1
xx
xba
ba
a
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十七讲 广义积分脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数的积分第五节 广义积分一、无穷区间上的积分二、瑕积分函数四,?
值三、广义积分的柯西主我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分,在科学技术和工程中，往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分,这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广,
我们将运用极限的方法来完成这个工作,
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
,),[ )( 上有定义在设函数axf
,) ],[ ()(,,记且 AaRxfaARA
,d)(l i md)( AaAa xxfxxf
,),[ )( 上的无穷积分在称之为axf
限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式
,分发散
1,无穷积分的概念类似地可定义：
,)( d)(l i md)( )1( bBxxfxxf bBBb
d)(d)(d)( )2( cc xxfxxfxxf
,d)(l i md)(l i m AcAcBB xxfxxf
,d)( d)( d)( 收敛则称同时收敛，与若 xxfxxfxxf cc
,d)(,d)( d)( 发散则至少有一个发散与若 xxfxxfxxf cc
d)( 的可加性，而言，由定积分对区间对 xxf
,0,?cc 为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性例 1
解
,d 0 2 xex x计算
A xAx xexxex 0 0 d l i md 22
2xu?令
2
0 d2
1lim A u
A ue
2
0 )(2
1l i m Au
A e
) 2121 (lim 2 AA e
,21?
能否将这里的书写方式简化？
)( )( 的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若 xfxF
,)()(lim )(d)( 0 aFxFxFxxf xa
,)(l i m)( )(d)( xFbFxFxxf xbb
,)(lim)(lim )(d)( xFxFxFxxf xx
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了,
例 2
解
,1 d 0 2 xx计算
0
0 2 a r c t a n1
d x
x
x
0a r c ta na r c ta nli m xx
,2
例 3
解
,1 d 2 xx计算
a rc t a n1
d
2 xx
x
a r c ta nlima r c ta nlim xx xx
) 2 ( 2
,
O x
y 21 1xy1
例 4
解
,d1 0 2 xxx计算
0
2
0 2 )1 l n (2
1d
1 xxx
x
0)1 l n (21lim 2 xx
,
,d1 0 2 发散故积分 xxx
例 5
解
,dc o s 0 xx计算
0
0 s i ndc o s xxx
,0s ins inlim xx
,dc o s s i nl i m 0 发散不存在，故原积分由于 xxxx
例 5
解
)0( d 的敛散性，－积分讨论 ax xP a p
,为任意常数其中 P
,1 时当?P
||lnd aa xx x ax
x ln ||lnlim,
,1 积分发散时，故 Pp
,1 时当?P
a
p
a p
x
x
x
1
d 1
,1,
1
,1,
1
p
p
a
p
p 发散收敛综上所述，
,1 1 时发散时收敛；当积分当 ppP
)0( d ax xP a p－积分
2,无穷积分的基本运算性质均存在，则设以下所有出现的积分
,d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxf ccaa
,d)( d)( d)]()([ )3( aaa xxgxxfxxgxf
,d)()( )()(d)()( )4( aaa xxvxuxvxuxxvxu
,)5( 分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积
,d)(d)( )1( aa xxfxxf
,d)(d)(,)()( ),[ )6( aa xxgxxfxgxfa 则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此,
例 6
解
,dln 1 2 xx x计算运用分部积分法
xln 21x
x
1
x
1?
1 21 1 2 d1 lndln xxx xxx x
01lim lnlim xx x xx
罗 1 2dx x
1
1
x
,1?
例 7
解
,)0( )( d 2 2/322 aax xa计算
,23,,2,,s e c 故时则令 taxtax
ta n dta ns e c )( d 2/ 3/ 33 2 2/322 ta tttaax xa
2/ 3/ 22 s i n dc o s t 1 t ta
s i n 11
/2
/32
ta
,3 32 2a )(原积分收敛例 8
解
,1 d 0 4 xx计算
dd 1 2,，则令 t txtx
，故时，且 0,0,tx
0 42 0 42 0 4 1 d) 11 (1 d1 d t ttt ttxx
0 4 0 42 d1 1d11 ttttt
,d
1
1
d
1
1
1
0 4
0
2
2
2
x
x
t
t
t
t
0
2
2
2
0 4
,d
1
1
1
2
1
1
d
t
t
t
t
x
x
故
,d) 11 (d,1 2 ttuttu 则令
,,,0,从而，时且 ut
2 0 4 2d 211 d u uxx
2a rc t a n2121 u
,22222121
3,无穷积分敛散性的判别法
,,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上; d)(l i md)( xaxa ttfxxf
,d)(limd)( bxxb ttfxxf
,函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理
,0)(,) ),[ ()( xfaCxf 且设函数
),[ d)()( attfxF xa 在若积分上限函数
,d)(,收敛则无穷积分上有上界a xxf
证,,0)(,) ),[ ()( 所以且因为 xfaCxf
,),[ )( 上单调增加在积分上限函数axF
,),[ )( 从而上有上界在又已知函数axF
d)()( xa ttfxF
,),[ 由极限存在准则上单调增加且有上界在a
,d)(l i m)(l i m x 存在可知极限 xax ttfxF
,d)( 收敛即无穷积分a xxf
定理 （ 比较判别法 ）
,,,),[ )(,)( aARAaxgxf 上有界在设函数
0)()(, xfxg
,d)( d)( )1( 也收敛收敛时，积分当则 aa xxfxxg
,d)( d)( )2( 也发散发散时，积分当 aa xxgxxf
,) ],[ ()( ),( 且满足AaRxgxf?
证
)()(0,得时由 xgxfxa
d)( )1(,则下列极限存在收敛若积分a xxg
,d)(d)(0 xaxa ttgttf
,积分上限函数从而
,),[ d)( )( 上有上界在 attgxG xa
,),[ d)()( 上有上界在 attfxF xa
,d)( 收敛故积分a xxf
,d)(lim Ittfxax
,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极
,)2( 运用反证法
,d)(,d)( 收敛积分发散时如果 aa xxgxxf
,d)(,)1( 收敛立即可得出矛盾则由a xxf
,,
,
之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似
P
定理 （比较判别法的极限形式法）
,),[,),[ )(,)( aAaxgxf 上的非负函数为定义在设
,) ]A,[ ()(,)( aRxgxf?
d)( d)(,0 )1( 同时与无穷积分时当 aa xxgxxf?
,,或同时发散收敛
,,)( )(lim 那么若有极限 xxfx
,d)(,d)(,0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当 aa xxfxxg?
,d)(,d)(,)3( 发散则发散无穷积分时当 aa xxfxxg?
例 9
解
,1 d 1 3 4 的敛散性判别无穷积分x x
由于
1 1 1 10 3/43 43 4 xxx
,d1 134 1 3/4 故收敛积分的而 xxPp
,1 d 1 3 4 收敛无穷积分x x
读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别,
定理 （柯西极限判别法）
积分综合而成由比较判别法与?P
,0)(,)0( ) ),[ ()( xfaaCxf 且设
,)(lim,1 则存在使得若存在常数 xfxp px; d)( 收敛无穷积分a xxf
则或者若,)(lim 0)(lim xfxIxfx xx
,d)( 发散无穷积分a xxf
证,,)(lim,1 则由极限的定义存在时设 bxfxp p
x
,,11 有时当 xxax
,1 |)(| bxfx p
,1)(0 Mbxfx p故
).( )(0 1 xxxMxf p即有
,d 1
1
故收敛积分的由于 x p xxMPp
,d)(
1
收敛无穷积分x xxf
,d)( d)(d)(d)(
1
1 收敛可知由
ax
x
aa xxfxxfxxfxxf
则或者若,)(lim 0)(lim xfxIxfx xx
,2 |)(|,,11 故有时当 IIxfxxxax
,2 )( 1MIxfx
),,)(lim ( Ixfxx 可取任意正数作为时
).( )( 11 xxxMxf即有
,d 1 1
1
故发散积分的由于 x xxMPp
,d)(
1
发散无穷积分x xxf
,d)( d)(d)(d)(
1
1 发散可知由
ax
x
aa xxfxxfxxfxxf
例 10
解
,d a r c t a n 1 的敛散性判别无穷积分 xx x
因为
,2a r c ta nlima r c ta nlim xx xx xx
,d a r c t a n 1 是发散的故无穷积分 xx x
例 11
解
1 23,1 d 的敛散性判别无穷积分 x xx
因为
,1lim1lim 2
2
2
3
x xxxxx xx
,1 d 1 2
3
是发散的故无穷积分 x xx
例 12
解
1 2,1 d 的敛散性判别无穷积分 xx x
因为
) 12 (,11 lim1 1lim 222 pxxxxx xx
,1 d 1 2 收敛故无穷积分 xx x
下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法定理 （阿贝尔判别法）
,),[ )(,)( 上有定义在设axgxf
),[ )(,d)( 上在函数收敛若积分 axgxxfa
,d)()(,,收敛则积分有界单调a xxgxf
有关证明请参看
,微积分学教程,第二卷第三分册
Г.M,菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社 1954,
定理 （狄利克雷判别法）
,),[ )(,)( 上有定义在设axgxf
，存在有界的原函数上若在 d)( )( )( ),[ xa ttfxFxfa
,d)()(,0)(lim )( x 收敛则积分单调减少且 a xxgxfxgxg
有关证明请参看
,微积分学教程,第二卷第三分册
Г.M,菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社 1954,
例 13
解
d)( 时，收敛，则当如果积分 xxxfa
0)( 吗？一定有?xf
,不一定
,ds i n 1 2 xxI例如，考虑积分,2 dd,ttxtx 则令
1 1 2 ds i n21ds i n t ttxxI
，且显然,0 1li m)(li m,1)( ) [ 1, ttgttg tt
,)t(1,2 |c o s1c o s| | c o s| |ds i n| |)(| 1 1 tuuutF tt
,s inlim 2 不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知 xx
4,无穷积分的绝对收敛性
,d |)(| 则称无穷积分收敛若积分a xxf
,d)( 为绝对收敛的a xxf
,d)(,为条件收敛的则称积分收敛a xxf
d)(,d |)(| aa xxfxxf 而积分发散若积分
,),[ )(,d)( 上绝对可积在也称为绝对收敛时 axfxxfa
定理
,d |)(|,) ),[ ()( 收敛若设函数 a xxfaCxf
,d)( 必收敛则a xxf
,定收敛绝对收敛的无穷积分一证 由于
,|)(| 2 |)(| )(0 xfxfxf
,d|)(| 故无穷积分收敛又a xxf
,d) |)(|)( ( 收敛a xxfxf
,,|)(| ) |)(| )(()( 从而但 xfxfxfxf
,d |)(|d) |)(| )((d)( aaa xxfxxfxfxxf
,d)( 收敛故无穷积分a xxf
定理 （柯西判别法）
,|)(|lim,),[ )( 则且上有定义在设 Ixfxaxf px
,d |)(|,0 1 )1( 收敛积分时且当 a xxfIp
,d |)(|,0 1 )2( 发散积分时且当 a xxfIp
该定理的证明请读者自己完成,
例 14
解
,ds i n 0 的敛散性判别无穷积分 xxbe xa
),0,,,(?aba 且为常数其中
,|s in| 0 且因为 xaxa exbe
,11d 0 0 aeaxe xaxa
,d 故无穷积分收敛即无穷积分a xa xe
,d |s i n| 0 收敛 xxbe xa
,) ( ds i n,0 当然收敛绝对收敛无穷积分从而 xxbe xa
二、瑕积分
1,瑕积分的概念
—— 无界函数的广义积分
(1) 瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数 ),(U? )( 0 00 xxxf
,)( 的一个瑕点函数 xf
1)( 的一个瑕点；是例如,axxfax
,)1ln ()( 1 2 的瑕点是 xxgx
,1)( 22 的瑕点是 axxhax
(2) 瑕积分的概念
,,],( )( 为其瑕点上有定义在设 axbaxf?
,) ],[ ()(,0 记若 baRxf
,d)(limd)( 0 baba xxfxxf
,],[ )( 上的瑕积分在称之为函数 baxf
,,极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在
,,; 则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值
,d)(limd)( 0 baba xxfxxf
类似地，可定义
,)1( 为瑕点时当 bx?
,)( )2( 为瑕点时当 bcacx
bccaba xxfxxfxxf d)(d)( d)(
,)(li md)(li m 0 0 b cca dxxfxxf
,d)(,d)( d)( 才收敛同时收敛时与仅当 babcca xxfxxfxxf
,d)(,d)( d)( 发散至少有一个发散时与 babcca xxfxxfxxf
与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：
,) (,)(lim)( )(d)( 为瑕点axxFbFxFxxf axbaba
,) (,)()(lim )(d)( 为瑕点bxaFxFxFxxf bxbaba
这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了,
2,瑕积分基本运算性质
,叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限 ax?
,形仍成立其结论对其它瑕点的情均存在，则设以下所有出现的积分
,d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxf bccaba
,d)( d)( d)]()([ )3( bababa xxgxxfxxgxf
,d)()( )()(d)()( )4( bababa xxvxuxvxuxxvxu
,)5( 的换元法进行计算瑕积分也可按照定积分
,d)(d)( )1( abba xxfxxf
,d)(d)(,)()( ],( )6( baba xxgxxfxgxfba 则上若在例 15
解
1 0 2,1 d xx计算
,,1 1lim 2
1
所以因为
xx
,1 1)( 1 2 的瑕点为函数 xxfx
1 0 1 0 2 a r c s in1 d xxx
0a r c s i n1a r c s i n
,2
例 16
解
,d 1 1 2 x x计算
,21d 1 1 1 1 2 xx x
! 0 为瑕点?x
例 16
解
,d 1 1 2 x x计算
,1)( 0,,1lim 220 的瑕点为所以因为 xxfxxx
1 0 20 1 21 1 2 d d d x xx xx x
,1lim11 d
0
1
0
1
0 2 xxx
x
x
而
,d 1 1 2 是发散的故积分 x x
例 17
解
2 1 2,1d x x计算
,1 为瑕点?x
,dt a ns e cd,s e c tttxtx 则令
,,30,,21,于是时且 tx
3 0 2 1 t a n dt a n s e c1d? t tttx x
3 0 ds e c? tt
,)32 (ln |ta ns e c|ln 3 0tt
例 18
解
,)2( d 0xx x计算
,
,
应设分开混合在一起的广义积分这是无穷积分与瑕积分
,2,0,故为被积函数的瑕点易知 xx
)2( d) ()2( d 0 3 3 2 2 1 1 0 xx xxx x
d 12121) ( 3 3 2 2 1 1 0 xxx
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln21
3
3
2
2
1
1
0?
x
x
x
x
x
x
x
x
不存在
,d 121 21 d 121 21 3 2 2 1 不存在与由于 xxxxxx
,)2( d 0 发散故原积分xx x
例 19
解
) (,)( d )( 为任意常数的敛散性瑕积分讨论 pax xP ba p
,,,0 )1( 故是收敛的积分为通常的定积分时当 Pp
,,,0 )2( 此时为瑕点时当 axp
,,||ln d,1 积分发散则若 Paxax xp baba
,1 则若?p
,1
,10
1
)(
)(
1
1
)(
d
1
1
发收
p
p
p
ab
ax
pax
x
p
b
a
pb
a p
综上所述，得; )( d )(,1 收敛瑕积分时当 ba pax xPp; )( d )(,1 发散瑕积分时当 ba pax xPp
2,瑕积分敛散性的判别法瑕积分敛散性的判别法与无穷积分的情形类似，
我们仅介绍常用的方法,
定理 （瑕积分的比较判别法）
,)( )(,) ],( ()( ),( 的唯一瑕点与为设 xgxfaxbaCxgxf
,) ],((,)()(0 baxxgxf且满足; d)(,d)( 收敛则收敛若积分 baba xxfxxg
,d)(,d)( 发散则发散若积分 baba xxgxxf
定理 （比较判别法的极限形式法）
d)( d)(,0 )1( 同时与无穷积分时当 baba xxgxxf?
,,或同时发散收敛
,,)( )(lim 那么若有极限
x
xf
ax
,d)(,d)(,0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当 baba xxfxxg?
,d)(,d)(,)3( 发散则发散无穷积分时当 baba xxfxxg?
,) ],((,)()(0 baxxgxf且满足
,)( )(,) ],( ()( ),( 的唯一瑕点与为设 xgxfaxbaCxgxf
定理 （瑕积分的柯西极限判别法）
积分综合而成由比较判别法与?P
,,0)(,) ],( ()( 为其唯一的瑕点且设 axxfbaCxf
,)()(li m,10 则存在使得若存在常数 xfaxp pax; d)( 收敛瑕积分a xxf
,d)(,)()(lim 发散则瑕积分 apax xxfxfax
,0)()(lim,1 或者使得若存在常数 Ixfaxp pax
例 19
解
,s in d 1 0 的敛散性判别积分? xx
,0,s in1li m
0
为瑕点故点因为
xx
x
,1s inlim s in 1lim
0
2
1
0
x
x
xx xx又
,01 1,21,的情形即柯西判别法中 Ip
,s i nd 1 0 收敛故由柯西判别法知? xx
例 20
解
,ln d 10 1 的敛散性判别积分? xx
,1,,ln 1l im
1
是瑕点所以因为
xx
x
,1
1
1lim
ln
1)1(lim
11
x
x
x
xx
又 罗
,01,1,的情形即柯西判别法中 Ip
,lnd 10 1 发散故由柯西判别法知积分? xx
例 21
解
,
d1s in
1
0
2
的敛散性判别积分?
x
x
x
,1
1s i n
0
2
xx
x
,11li m,1li m 2
1
00
x
xx
xx
又
,0,因为为瑕点这是瑕积分?x
,) 21 ( d 1 0 pxx 收敛故瑕积分
,
d1s in
,1
0
2
收敛原积分从而?
x
x
x
柯西判别法比较判别法例 22
解
,,,d)1( 1 0 11 为正常数其中的敛散性判别 xxx
,,1,1 该积分是通常的定积分时当
,1,0,1,0 是被积函数的两个瑕点时当 xx
,d)1( d)1( d)1( 1
2
1
112
1
0
111
0
11 xxxxxxxxx故令
,1)1(li m 1110 及柯西判别法可知由 xxxx
,d)1( 21 0 11 收敛 xxx
,1)1()1(li m 1111 及柯西判别法可知由 xxxx
,d)1( 1
2
1 11 收敛 xxx
,d)1(,1 0 11 收敛积分综上所述 xxx
11p
11p
三、广义积分的柯西主值
)1( 无穷积分的柯西主值按无穷积分的定义：
d)(d)(d)( cc xxfxxfxxf
,d)(l i md)(l i m AcAcBB xxfxxf
的变化与即过程是相互独立的等号右边的两项的极限,BA
,不要求一致
,变化一致的情与经常遇到要求在数学物理问题中 BA
,,的特殊情形即需要考虑形 AB
,),( )( 上有定义在设函数xf
,) ],[ ()(,0,记AARxfARA
,d)(l i md)(,, A AA xxfxxfPV
,),( )( 值上的无穷积分的柯西主在称之为xf
值意义下称此无穷积分在柯西主若式中的极限存在，则
,散分在柯西主值意义下发不存在，则称该无穷积;,若式中极限义下的无穷积分值极限值即为柯西主值意收敛无穷积分的柯西主值例 23
解
ds i n 的敛散性讨论无穷积分 xx
,散性和柯西主值意义下的敛
,c o slim1 c o sds i n 0 0 xxxx x因为
,ds i n,c o sl i m 0 发散故积分不存在而 xxxx
,ds i n,发散无穷积分从而 xx
,0ds inlimds in,, A AA xxxxPV又 奇函数
,ds i n 在柯西主值意义下收敛故无穷积分 xx
由此例想到一点什么没有?
,该例说明
,,它本身不一定收敛义下收敛时无穷积分在柯西主值意
,d)(,,d)( 的定义可知与由 xxfPVxxf
,d)(,.,d)( 必收敛则收敛若 xxfPVxxf
,)(,],[ )( 为其瑕点上有定义在设函数 bcacxbaxf
记
,] d)(d)( [limd)(,,0 bccaba xxfxxfxxfPV
,) ( ],[ )( 的柯西主值瑕点为上的瑕积分在称之为 cbaxf
,,值意义下收敛则称此瑕积分在柯西主若式中的极限存在
,值意义下发散则称该瑕积分在柯西主
,; 若式中极限不存在义下的瑕积分值极限值即为柯西主值意
)2( 瑕积分的柯西主值例 24
解
d 2 1 的敛散性讨论积分 x x
,散性和柯西主值意义下的敛
,0 是被积函数的瑕点?x
,lnlim2ln lnd
0
2
0
2
0 xxx
x
x
因为
,d,2 1 是发散的瑕积分所以 x x
] d d [limd,,2 1
0
2
1
x
x
x
x
x
xPV而
00
,l n 2] ||ln ||ln [ l i m 2 1 0 xx
,d,,2 1 收敛故积分 x xPV
函数函数与四,
,它们非初等函数函数是两个非常重要的函数与
,拉积分中的第二型和第一型欧实际上是含参变量积分及工程中的许多部函数在数学、物理学以函数与
,函数的产生也离不开工函数与门里得到广泛的应用
,,出的微分方程时产生的它们是在解决工程中提程实际
,1 函数?
,积分的敛散性首先研究一个含参变量
),0 (,d 0 1 sxex xs
0,为瑕点的又是一个以积分这个积分既是一个无穷?x
,瑕积分
,,将积分表示为为此
,ddd 1 11 0 1 0 1 xesxesxes xsxsxs
,无穷积分的和这是一个瑕积分与一个瑕积分 无穷积分
,d,0 1 0 1 且的唯一的瑕点是因为 xexx xs
,1lim 1 1
0
s
xs
x x
ex
,1 1d 1 0 1 0 1 sxsxx ss而
,,d,0 1 0 1 从而收敛积分时故当 xxs s
,d,0 1 0 1 收敛瑕积分时当 xexs xs
比较判别法的极限形式
,0limlim 12 1 xsxxsx exx ex又
,,d 1 2 故由比较判别法可知是收敛的而积分 xx
,d,0 1 1 收敛无穷积分时当 xexs xs
,,0,敛下列含参变量的积分收时当综上所述?s
),0 (,d 0 1 sxex xs
,积分该积分称为欧拉第二型
)1( 函数的概念?
定的函数由含参变量的积分所确
),0 (,d)( 0 1 sxexs xs
,) G a m m a ( 函数称为?
,积分函数又称为第二型欧拉?
)2( 函数的简单性质?
,)(,0s ) 1 Cs时当
,)( )1(,0 ) 2 ssss 时当特别有
,)( ! )1()(; )( ! )1(; 1)1(
Znnn
Znnn
,s in )1( )(,10 ) 3 ssss 时当下面证明这个递推关系式
,)( )1(,0,ssss 时当证明时当运用分部积分法得 0,?s
d d)1( 0 1 0 0 xexsexxexs xsxsxs
)( )()(lim 0 ssexex xxsxsx
,)( ss
例 25
解
,d,21 0 2 xe x并由此计算求
,
2
s in
s in2
11
2
1
2
1
ss
因为
,21故
,0,,0,,2 dd, txttxtx 时则令
d 21d 0 2
1
0
2 tetxe tx
0 121 d 21 tet t,2 21 21
例 26
解
,)( d 0 2 2 Znxex xn计算
,0,,0,,2 dd, txttxtx 时则令
d 21d 0 2
1
0
2 2 tetxex tnxn
d 21 0 1 2
1
tet tn
21 21 n
1) 21 ( 21 n,2 !! )12( 1 nn?
2
1 ns
,2 函数?
)1( 函数的概念?
定的函数由含参变量的积分所确
),0,0 (,d)1(),( 1 0 11 baxxxba ba
,) B e t a ( 函数称为?
,积分函数又称为第一型欧拉?
)2( 函数的简单性质?
,),( ),(,,) 1 abbaba 对称函数关于
,)1,(
1
)1,1(; ),1(
1
)1,1( ) 2
ba
ba
a
ba
ba
ba
b
ba
,)0,0(,)( )( )( ),( ) 3 baba baba
,,,1,1,时当特别 Znmmbna
,! 1)( ! ! )1,1( nm mnmn
运用分部积分法证明
,d 1 0 2 xxx计算例 27
解 d)1(d 1 0 21211 0 2 xxxxxx
d)1(1 0 1 231 23 xxx 23,23
2
3
2
3
2
3
2
3
)3(
2
11
2
11
,8 ! 2
2121
例 28
解
,d)1(),(,0
1
并由此计算证明
xx
xba
ba
a
,d)1( 0 24 的值积分 xxx
,)1 ( dd,1 2 于是则令 ttxttx
d)1(),( 1 0 1 1 xxxba ba
d)1( 1)1( 1)1( 0 21 1
1
tttt
t
ba
a
d)1( 0
1
tt
t
ba
a
d)1( 0
1
xx
x
ba
a
43,45 d)1( 0 24 xxx
45 411 aa
43 2 bba
4
3
4
5
4
3
4
5
43 45
411 411 411 41 41
,
22
4
s in
4
1?
d)1(),( 0
1
xx
xba
ba
a
