高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十六讲 定积分的计算脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
由牛顿 —— 莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分,一般是将定积分的计算截然分成两步：
先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿 —— 莱布尼兹公式代值计算出定积分,这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿 —— 莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法 —— 定积分的换元法和定积分的分部积分法,
例 1
解
,d1 1 0 2 xx计算数的一个原函数：先用不定积分求被积函
ttxx dc o sd1 22
sin tx?令
tt d)2c o s1(21
Ctt 4 2s i n2 Cxxx 21 21a r c s in21
得，—莱布尼兹公式—由牛顿
,4 1 21a r c s i n21d1
1
0
21
0
2
xxxxx
例 1
解
,d1 1 0 2 xx计算数的一个原函数：先用不定积分求被积函
ttxx dc o sd1 22
sin tx?令
tt d)2c o s1(21
Ctt 4 2s i n2 Cxxx 21 21a r c s in21
得，—莱布尼兹公式—由牛顿
,4 1 21a r c s i n21d1
1
0
21
0
2
xxxxx
10 x
20
t
2 0 21 0 2 dc o sd? ttxx tt d)2c o s1(2 2 0
2
0
4 2s in2
tt,4
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法,换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿 —— 莱布尼兹公式便可得到定积分的结果,
一、定积分的换元法定理 ; ) ],[ ()( )1( baCxf?设且单调； ) ],[ ()( )2( 1 Ctx
，,ba )( )( )3(
,d)())((d)( tttfxxfba则证,)( 3 )2( btat 时，有可知：当）（和由条件
,],[ )() ],[ ()( 上有原函数存在在，所以，因为 baxfbaCxf?
,],[ )( )( 上的一个原函数在为不妨设 baxfxF
2,得）（及条件由复合函数的求导法则
,],[ )())(()())(()))((( tttfttFtF
,)())(( ))(( 的一个原函数为即 ttftF
莱布尼兹公式，得—由牛顿
))(())(( ))((d)())(( FFtFtttf
)()( aFbF,d)( ba xxf 证毕例 2
解
,1 d 5
3
2
1 2 xx
x计算
dd 1 2,，则令 t txtx
35 2,53 21,,故时，且 tx
3
5
2 2
5
3
2
1 2 1
d
1
d
t
t
xx
x?
2
3
5 2 1
d
t
t
2
3
5
2 |1|ln tt,3ln)32l n (
例 3
解
,d 0 22a xxa计算
dc o sd s i n,，则令 ttaxtax
2 0,0,,故时，且 tax
,] 2,0 [ s in 上单调、连续可导在?tax?
2 0 22 0 22 dc o sd? ttaxxaa
d) 2c o s1( 2 2 0
2?
tta
2
0
2
) 2 2s in (2
t
ta
,4 2a
例 4
解
,d)1(a r c s in 4
3
4
1 xxx
x计算
dc o ss i n2d s i n a r c s i n 2,，，则令 tttxtxtx
的单调性保证 )( tx
3 6,43 41,,故时，且 tx
)s in1(s in dc o ss in2 d)1(a r c s in 3
6
22
4
3
4
1
tt
ttttx
xx
x
3
6
d 2
tt
3
6
2
t? 12
2
例 5
解
,1d 2 2 2x x计算
dt a ns e cd s e c,，则令 tttxtx
,2 s e c 0 ttx 中，故因为
43 32,2 2,,故时，且 tx
ta n ds e cta n 1d 4
3
3
2
2
2 2
t
ttt
x
x
ds e c 4
3
3
2
tt
4
3
3
2 |ta ns e c|ln
tt
,21 32ln
例 6,dc o sds i n 2 0 2 0
xxxx nn证明：
证 dd 2,，则令 txtx
0 2,2 0,,故时，且 tx
)d())12 ( ( s i nds in 0
2
2
0
txx nn
dc o s 0
2?
ttn
dc o s2 0 ttn,dc o s2 0 xxn
例 7
证
) ],[ ()(,证明：设 aaCxf
,d)( 2d)( )( )1( 0 aa a xxfxxfxf 为偶函数，则
,0d)( )( )2(a a xxfxf 为奇函数，则
,d)(d)(d)( 0 0 aaa a xxfxxfxxf因为
0,0,dd,从而时，，且，则故令 ataxtxtx
0 0 )d)((d)( aa ttfxxf a ttf 0 d)(,d)( 0 a xxf
,d)]()([ d)(d)(d)( 0 0 0 aaaa a xxfxfxxfxxfxxf
于是
，故有为偶函数，则若 )()( )( )1( xfxfxf
,d)( 2d)( 0 aa a xxfxxf
，故有－为奇函数，则若 )()( )( )2( xfxfxf
,0d)(aa xxf
,d)]()([ d)(d)(d)( 0 0 0 aaaa a xxfxfxxfxxfxxf
例 8
证
,)),(()( 证明：，且以为周期设 Rxf
,d)(d)( 0 TTaa xxfxxfRa,有
,d)(d)(d)(d)( 0 0 TaTTaTaa xxfxxfxxfxxf因为
0:,dd,从而时，，且，则故令 atTaTxtxTtx
d)(d)( 0 aTaT tTtfxxf d)(d)( 0 0 aa xxfttf
d)(d)(d)(d)( 0 0 0 aTaTaa xxfxxfxxfxxf于是
d)(d)(d)( 0 0 0 aTa xxfxxfxxf
,d)( 0 T xxf
例 9
解
,c o s1 ds i n 0 2 xxxx计算
0,0,dd,故时，，，则令 txtxtx
c o s1 )d( s i n)( c o s1 ds i n 0 2 0 2 t tttxxxx
c o s1 ds i n c o s1 ds i n 0 2 0 2 ttttttt
c o s1 ds in c o s1 ds in 0 2 0 2 xxxxxxx
0 2 0 2 c o s1 ds in 2c o s1 ds in xxxxxxx从而,4 ))a r c ta n ( c o s(2 20 x
xu cos?
二、定积分的分部积分法定理 ],[ )( )( 上可导，在，设函数 baxvxu
]),([)( )(,则，且 baRxvxu
,d)()( )()(d)()( bababa xxvxuxvxuxxvxu
,部积分公式该公式称为定积分的分证明与不定积分的情形类似,
例 10
解
,dc o s 0 xxe x计算
xcos xe
xexsin?
ds i n c o sdc o s 2 0 20 2 0 xxexexxe xxx
ds i n1 2 0 xxe xxsin
xe
xexcos
dc o s s i n1 2 0 20 xxexe xx
dc o s1 2 0 2 xxee x
,)1 ( 21dc o s 22 0
exxe x故什么情况下运用分部积分法呢？
定积分与不定积分的情形相同！
例 11
解
,d |ln| 1? e
e
xx计算
eeee xxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d |ln|
xln 1
x
1 x
eeee xxxxxx 1 1 1 1 11 dlnd ln
,) 11 ( 2 e
例 12
证
2 0 2 0 dc o sds i n xxxxI nnn证明：
,,
!!
!)!1(
,
2!!
!)!1(
为正奇数为正偶数，
n
n
n
n
n
n
ds i n 2 0,则令 xxI nn
xn 1sin? xsin
xxn n c o ss in)1( 2 xcos?
2
0
12
0 s i nc o sds i n
xxxxI nn
n
2
0
22 dc o ss i n)1(? xxxn n
2 0 2 0 2 ds i n)1(ds i n)1( xxnxxn nn
,)1()1( 2 nn InIn
,1 2 nn InnI故
,1 c o sds i n,2d 2 0 2 0 12 0 0
xxxIxI由于
,所以;
2!!
!)!1(
2
1
4
3
2
31
0
n
nI
n
n
n
nI
n
n?
为正偶数时，当
,
!!
!)!1(
3
2
5
4
2
31
1 n
nI
n
n
n
nI
n
n
为正奇数时，当
,dc o sds i n 6 2 0 2 0 xxxx nn中已证明：在例 证毕例 13
解
,ds i n 2 0 6 xx计算
2!! 6 !)!1(6ds in2 0 6?
xx
,3252246 135
例 14
解
,,d)1( 1 0 2 Znxx n计算
,dco sd,s i n ttxtx 则令故时且,20,,10, tx
2 0 21 0 2 dc o sc o sd1? tttxx nn）－（
2 0 12 dc o s? ttn
,!)!12( !)!2( n n
例 15
解
,d4 2 0 22 xxx计算
,dco s2d,s i n2 ttxtx 则令故时且,20,,20, tx
dc o s2c o s2s i n4d4 2 0 22 0 22 ttttxxx
d)s i n1( s i n 16 2 0 22 ttt
ds i n 16ds i n 16 2 0 42 0 2 tttt
,2!! 4 !)!14(162!! 2 !)!12(16
三、定积分的近似计算由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对这样的函数作定积分运算时就十分难办了,于是我们需要寻找定积分的近似计算方法,
定积分的近似计算方法大多数是依据定积分的定义
,)(limd)(
10||||
n
i
iix
b
a xfxxf?因为
,) 0,0||(| | d)()(
1
时xxxfxf ba
n
i
ii
所以
,|||| 有精度确定）很小时（根据所要求的故当 x?
,)(d)(
1
n
i
ii
b
a xfxxf?
和定积分的几何意义得到：
的选择无关，和点由于定积分的值与分法 iT?
],[ 进行等法时，常将区间所以在构造近似计算方 ba
也选的小区间；点个长度均为分，得到 in abn
0 |||| 的极点，这样就将择为小区间的左或右端 x
,的极限过程限过程转换为n
,
的“数值方法”方法均属于数学分析中常用的定积分近似计算下面介绍的工程技术中
0x
O x
y
)(xfy?
a b
1x
,)(d)(,1 0 abyxxfn ba
矩形法示意
0y
1y
O x
y
)(xfy?
a b
,)(2d)(,2 10 yyabxxfn ba
)(0 afy?
)2(1 bafy
0x
1x
2x
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x 3x
4x
0y 1
y
2y
3y
4y
)(4d)(,4 3210 yyyyabxxfn ba
继续分下去会有什么结果？
每次分割后，
取小区间的右端点进行计算行不行？
1,矩形法
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x? 1?nx
nx
取左端点等分：分成将 ],[ nba
,120 bxxxxa nn
,),,2,1( niin abax i
,),,2,1( nin abxx i
,),,2,1( )()(,11 则记若取 nixffyx iiiii
xxfxfxxf
n
i
i
n
i
ii
b
a 1 11
)()(d)(?
,)( 110 nyyyn ab?
取左端点
,),,2,1( )()(,则记若取 nixffyx iiiii
xxfxfxxf
n
i
i
n
i
ii
b
a 11
)()(d)(?
,)( 21 nyyyn ab
取右端点以上两个公式称为“矩形公式”,
,)( )(d)( 21 取右端点nba yyyn abxxf
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
矩形法的误差估计：
],[ )( 时，上单调增加或单调减少在当 baxf
O x
y
O x
y)(xfy?
a b
nab?
a b
nab?
|| 0 为高为底，以以矩形公式的误差不超过 yyn ab n
,|)()(| afbfn ab的矩形面积值，即误差
)(xfy?
非单调函数可以按单调性分区间来估计误差,
,) 1 ( nO误差总的说来，矩形公式的
2,梯形法
)( 的下，用曲线法在与矩形公式同样的方 xfyT?
要求的曲用内接梯形的面积代替内折线来替代曲线，即的梯形公式：就得到定积分近似计算边梯形的面积，
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
,) 1 ( 2nO梯形公式的误差：
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x? 1?nx
nx
y
xa bO
矩形法与梯形法的比较进一步提高精度方法？还有没有其它的可以更
3,抛物线法 —— Simpson 公式抛物线段代替已知曲线抛物线法是用一串二次的小曲边梯形的然后计算抛物线段构成,)( xfy?
,d)( 的近似值为积分面积，这些面积的和即? ba xxf
O x
y
A
B
C
0x 1x 2x
0y 1y 2y
cbxaxy 2)(xfy?
d)(
,
),( ),,(
),,(
1
0
2
0
2
2211
00
x
x
xcxbxaS
cbxaxy
yxCyxB
yxA
＝
则相应的面积值为线方程为的抛物设过三点
1
0
)23( 23 xxxcxbxa
]6)( 3)( 2[6 2020202212 cxxbxxxxaxx
)()[(6 02022202 cxbxacxbxaxx
]4)(2)( 20220 cxxbxxa
,2 120201 从而中点，故与是由于 xxxxxx
有所以均在抛物线上又由于点,,,,CBA
,2222 ycxbxa
,0020 ycxbxa
,1121 ycxbxa
)4(6 012020 yyyxxS于是
,)](4)()[(6 121020222020 cxbxacxbxacxbxaxxS
,)4(231 21002 yyyxx
,2 02 的长度表示等分区间后小区间xx?
O x
y
A
B)(xfy?
a b
C
0x
1x 2x 3x
4x
0y 1y 2y 3y 4y
iiii cxbxay 2
,4 ],[ 等分分为将区间 ba
1C 2C
,根据前面的分析
,,,1 有而言对点 CCA; )4(431 2100 yyyabS
,,,2 有而言对点 BCC
,)4(431 4322 yyyabS
20
d)( SSxxf
b
a于是,)424(43
1
43210 yyyyy
ab
继续往下将推出什么样的结果？
O x
y
A
B)(xfy?
a b
],[ 分成将区间 ba
)( 每个等分，正偶数n
,n ab?小区间长度为
0x
1x 2x? 1?nx
nx
0y 1y 2y? 1?ny
ny ; )4(
3 2100 yyyn
abS; )4( 3 4322 yyyn abS;
,)4( 3 122 nnnn yyyn abS
d)( 220 nba SSSxxf?故
,])(2)4([ 3 2421310 nnn yyyyyyyyn ab
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
,S i m p s o n 公式称为抛物线公式或公式
,) 1 ( O S im p s o n 4n公式的计算误差为：
例 16
解
,d 1 0 2 xe x计算用不是初等函数，故不能因为被积函数的原函数精确值，而只能用近似莱布尼兹公式计算出其—牛顿
,值方法计算该积分的近似
,算形法和抛物线法进行计我们分别用矩形法，梯
10 ]1,0[ 等分，设分点为分成将区间
,1,,,,,0 109210 xxxxx?
,1.010 01 x每个小区间的长度均为相应的函数值为; 1000 2 eey xx ; 99005.022 )1.0( 1.01 eey xx; 96 07 9.02)2.0( 2ey 0,9 13 9 3 ; 2)3.0( 3ey; 85 21 4.02)4.0( 4ey 0,7 78 8 0 ; 2)5.0( 5ey; 6 9 7 6 8.02)6.0( 6ey 0,6 12 6 3; 2)7.0( 7ey; 52729.02)8.0( 8ey ; 4 4 4 8 6.02)9.0( 9ey; 3 67 8 8.021 10ey
用矩形公式：
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
) 4 4 4 8 6.05 2 7 2 9.06 1 2 6 3.0
6 9 7 6 8.07 7 8 8 0.08 5 2 1 4.0
9 1 3 9 3.09 6 0 7 9.09 9 0 0 5.01 (1.0d
1
0
2
xe x
,777817.077817.71.0
用梯形公式：
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
] ) 3 6 7 8 8.01 (
2
1
4 4 4 8 6.0
5 2 7 2 9.06 1 2 6 3.06 9 7 6 8.07 7 8 8 0.0
8 5 2 1 4.09 1 3 9 3.09 6 0 7 9.00,9 9 0 0 5 [1.0d
1
0
2
xe
x
,7 4 6 2 1 1.04 6 2 1 1.71.0
S i m p s o n 公式：用
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
] 0,3 6 7 8 8) 0,5 2 7 2 9
6 9 7 6 8.08 5 2 1 4.09 6 0 7 9.0 (2
) 4 4 4 8 6.06 1 2 6 3.0
7 7 8 8 0.09 1 3 9 3.09 9 0 0 5.0 (41 [
3
1.0
d
1
0
2
xe
x
,7 4 6 6 2 5.0?
例 17
解
,1 d 1 0 2 xx抛物线法计算运用矩形法，梯形法，
原问题的精确解为,4 a r c t a n1 d 101 0 2 xxx
],[ 等分：十分成将区间 ba
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x
0.86207
0.91743
0.96154
0.99010
10y
1y
2y
3y
4y 0.55249
0.60976
0.67114
0.73529
0.800005y
6y
7y
8y
9y
0.5000010y
矩形法
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
) 5 5 2 4 9.06 0 9 7 6.06 7 1 1 4.0
7 3 5 2 9.08 0 0 0 0.08 6 2 0 7.0
9 1 7 4 3.09 6 1 5 4.09 9 0 1 0.01 (
10
01
1
d1
0 2
x
x
,8 0 9 9 8 2.0?
239928.30,8 0 9 9 8 24
值为：由矩形法的结果算出的梯形法
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
]
) 0,5 0 0 0 01 (
2
1
5 5 2 4 9.06 0 9 7 6.06 7 1 1 4.0
7 3 5 2 9.08 0 0 0 0.08 6 2 0 7.0
9 1 7 4 3.09 6 1 5 4.09 9 0 1 0.0 [
10
01
1
d1
0
2
x
x
7 8 4 9 8 2.0?
1 3 9 9 2 8.30,7 8 4 9 8 24
值为：由梯形法的结果算出的抛物线法
1 4 1 5 9 5.30,7 8 5 3 9 94
值为：的由抛物线法的结果算出
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
] 5 0 0 0 0.0) 6 0 9 7 6.07 3 5 2 9.0
8 6 2 0 7.09 6 1 5 4.0(2) 5 5 2 4 9.06 7 1 1 4.0
8 0 0 0 0.09 1 7 4 3.09 9 0 1 0.0(41 [
103
01
1
d1
0 2
x
x
7 8 5 3 9 9.0?
比较三种方法计算的结果：
1 4 1 5 9 5.30,7 8 5 3 9 94
值为：的由抛物线法的结果算出
1 3 9 9 2 8.30,7 8 4 9 8 24
值为：由梯形法的结果算出的
239928.30,8 0 9 9 8 24
值为：由矩形法的结果算出的可知在相同的区间分法下，
抛物线法的计算精度最高，梯形法次之,
4,利用泰勒公式作定积分的近似计算例 18
解
,ds in 1 0? xx x计算
,能表示为初等函数形式由于该函数的原函数不
,,我们作近似计算所以由泰勒公式
,
! 1)(2 m
)
2
)12(( s i n
! )12(
)1(
!5!3
s i n 12
12153
mmm xm
m
xxxxx
,! )12( )1(!5!31s i n
)1(2142
m
xxx
x
x mm?
于是得到
d) ! )12( )1(!5!31 ( ds i n 1 0
)1(21421
0
x
m
xxxx
x
x mm?
,! )12()12( )1(! 55 1! 33 11
1
mm
m
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十六讲 定积分的计算脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
由牛顿 —— 莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分,一般是将定积分的计算截然分成两步：
先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿 —— 莱布尼兹公式代值计算出定积分,这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿 —— 莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法 —— 定积分的换元法和定积分的分部积分法,
例 1
解
,d1 1 0 2 xx计算数的一个原函数：先用不定积分求被积函
ttxx dc o sd1 22
sin tx?令
tt d)2c o s1(21
Ctt 4 2s i n2 Cxxx 21 21a r c s in21
得，—莱布尼兹公式—由牛顿
,4 1 21a r c s i n21d1
1
0
21
0
2
xxxxx
例 1
解
,d1 1 0 2 xx计算数的一个原函数：先用不定积分求被积函
ttxx dc o sd1 22
sin tx?令
tt d)2c o s1(21
Ctt 4 2s i n2 Cxxx 21 21a r c s in21
得，—莱布尼兹公式—由牛顿
,4 1 21a r c s i n21d1
1
0
21
0
2
xxxxx
10 x
20
t
2 0 21 0 2 dc o sd? ttxx tt d)2c o s1(2 2 0
2
0
4 2s in2
tt,4
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法,换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿 —— 莱布尼兹公式便可得到定积分的结果,
一、定积分的换元法定理 ; ) ],[ ()( )1( baCxf?设且单调； ) ],[ ()( )2( 1 Ctx
，,ba )( )( )3(
,d)())((d)( tttfxxfba则证,)( 3 )2( btat 时，有可知：当）（和由条件
,],[ )() ],[ ()( 上有原函数存在在，所以，因为 baxfbaCxf?
,],[ )( )( 上的一个原函数在为不妨设 baxfxF
2,得）（及条件由复合函数的求导法则
,],[ )())(()())(()))((( tttfttFtF
,)())(( ))(( 的一个原函数为即 ttftF
莱布尼兹公式，得—由牛顿
))(())(( ))((d)())(( FFtFtttf
)()( aFbF,d)( ba xxf 证毕例 2
解
,1 d 5
3
2
1 2 xx
x计算
dd 1 2,，则令 t txtx
35 2,53 21,,故时，且 tx
3
5
2 2
5
3
2
1 2 1
d
1
d
t
t
xx
x?
2
3
5 2 1
d
t
t
2
3
5
2 |1|ln tt,3ln)32l n (
例 3
解
,d 0 22a xxa计算
dc o sd s i n,，则令 ttaxtax
2 0,0,,故时，且 tax
,] 2,0 [ s in 上单调、连续可导在?tax?
2 0 22 0 22 dc o sd? ttaxxaa
d) 2c o s1( 2 2 0
2?
tta
2
0
2
) 2 2s in (2
t
ta
,4 2a
例 4
解
,d)1(a r c s in 4
3
4
1 xxx
x计算
dc o ss i n2d s i n a r c s i n 2,，，则令 tttxtxtx
的单调性保证 )( tx
3 6,43 41,,故时，且 tx
)s in1(s in dc o ss in2 d)1(a r c s in 3
6
22
4
3
4
1
tt
ttttx
xx
x
3
6
d 2
tt
3
6
2
t? 12
2
例 5
解
,1d 2 2 2x x计算
dt a ns e cd s e c,，则令 tttxtx
,2 s e c 0 ttx 中，故因为
43 32,2 2,,故时，且 tx
ta n ds e cta n 1d 4
3
3
2
2
2 2
t
ttt
x
x
ds e c 4
3
3
2
tt
4
3
3
2 |ta ns e c|ln
tt
,21 32ln
例 6,dc o sds i n 2 0 2 0
xxxx nn证明：
证 dd 2,，则令 txtx
0 2,2 0,,故时，且 tx
)d())12 ( ( s i nds in 0
2
2
0
txx nn
dc o s 0
2?
ttn
dc o s2 0 ttn,dc o s2 0 xxn
例 7
证
) ],[ ()(,证明：设 aaCxf
,d)( 2d)( )( )1( 0 aa a xxfxxfxf 为偶函数，则
,0d)( )( )2(a a xxfxf 为奇函数，则
,d)(d)(d)( 0 0 aaa a xxfxxfxxf因为
0,0,dd,从而时，，且，则故令 ataxtxtx
0 0 )d)((d)( aa ttfxxf a ttf 0 d)(,d)( 0 a xxf
,d)]()([ d)(d)(d)( 0 0 0 aaaa a xxfxfxxfxxfxxf
于是
，故有为偶函数，则若 )()( )( )1( xfxfxf
,d)( 2d)( 0 aa a xxfxxf
，故有－为奇函数，则若 )()( )( )2( xfxfxf
,0d)(aa xxf
,d)]()([ d)(d)(d)( 0 0 0 aaaa a xxfxfxxfxxfxxf
例 8
证
,)),(()( 证明：，且以为周期设 Rxf
,d)(d)( 0 TTaa xxfxxfRa,有
,d)(d)(d)(d)( 0 0 TaTTaTaa xxfxxfxxfxxf因为
0:,dd,从而时，，且，则故令 atTaTxtxTtx
d)(d)( 0 aTaT tTtfxxf d)(d)( 0 0 aa xxfttf
d)(d)(d)(d)( 0 0 0 aTaTaa xxfxxfxxfxxf于是
d)(d)(d)( 0 0 0 aTa xxfxxfxxf
,d)( 0 T xxf
例 9
解
,c o s1 ds i n 0 2 xxxx计算
0,0,dd,故时，，，则令 txtxtx
c o s1 )d( s i n)( c o s1 ds i n 0 2 0 2 t tttxxxx
c o s1 ds i n c o s1 ds i n 0 2 0 2 ttttttt
c o s1 ds in c o s1 ds in 0 2 0 2 xxxxxxx
0 2 0 2 c o s1 ds in 2c o s1 ds in xxxxxxx从而,4 ))a r c ta n ( c o s(2 20 x
xu cos?
二、定积分的分部积分法定理 ],[ )( )( 上可导，在，设函数 baxvxu
]),([)( )(,则，且 baRxvxu
,d)()( )()(d)()( bababa xxvxuxvxuxxvxu
,部积分公式该公式称为定积分的分证明与不定积分的情形类似,
例 10
解
,dc o s 0 xxe x计算
xcos xe
xexsin?
ds i n c o sdc o s 2 0 20 2 0 xxexexxe xxx
ds i n1 2 0 xxe xxsin
xe
xexcos
dc o s s i n1 2 0 20 xxexe xx
dc o s1 2 0 2 xxee x
,)1 ( 21dc o s 22 0
exxe x故什么情况下运用分部积分法呢？
定积分与不定积分的情形相同！
例 11
解
,d |ln| 1? e
e
xx计算
eeee xxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d |ln|
xln 1
x
1 x
eeee xxxxxx 1 1 1 1 11 dlnd ln
,) 11 ( 2 e
例 12
证
2 0 2 0 dc o sds i n xxxxI nnn证明：
,,
!!
!)!1(
,
2!!
!)!1(
为正奇数为正偶数，
n
n
n
n
n
n
ds i n 2 0,则令 xxI nn
xn 1sin? xsin
xxn n c o ss in)1( 2 xcos?
2
0
12
0 s i nc o sds i n
xxxxI nn
n
2
0
22 dc o ss i n)1(? xxxn n
2 0 2 0 2 ds i n)1(ds i n)1( xxnxxn nn
,)1()1( 2 nn InIn
,1 2 nn InnI故
,1 c o sds i n,2d 2 0 2 0 12 0 0
xxxIxI由于
,所以;
2!!
!)!1(
2
1
4
3
2
31
0
n
nI
n
n
n
nI
n
n?
为正偶数时，当
,
!!
!)!1(
3
2
5
4
2
31
1 n
nI
n
n
n
nI
n
n
为正奇数时，当
,dc o sds i n 6 2 0 2 0 xxxx nn中已证明：在例 证毕例 13
解
,ds i n 2 0 6 xx计算
2!! 6 !)!1(6ds in2 0 6?
xx
,3252246 135
例 14
解
,,d)1( 1 0 2 Znxx n计算
,dco sd,s i n ttxtx 则令故时且,20,,10, tx
2 0 21 0 2 dc o sc o sd1? tttxx nn）－（
2 0 12 dc o s? ttn
,!)!12( !)!2( n n
例 15
解
,d4 2 0 22 xxx计算
,dco s2d,s i n2 ttxtx 则令故时且,20,,20, tx
dc o s2c o s2s i n4d4 2 0 22 0 22 ttttxxx
d)s i n1( s i n 16 2 0 22 ttt
ds i n 16ds i n 16 2 0 42 0 2 tttt
,2!! 4 !)!14(162!! 2 !)!12(16
三、定积分的近似计算由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对这样的函数作定积分运算时就十分难办了,于是我们需要寻找定积分的近似计算方法,
定积分的近似计算方法大多数是依据定积分的定义
,)(limd)(
10||||
n
i
iix
b
a xfxxf?因为
,) 0,0||(| | d)()(
1
时xxxfxf ba
n
i
ii
所以
,|||| 有精度确定）很小时（根据所要求的故当 x?
,)(d)(
1
n
i
ii
b
a xfxxf?
和定积分的几何意义得到：
的选择无关，和点由于定积分的值与分法 iT?
],[ 进行等法时，常将区间所以在构造近似计算方 ba
也选的小区间；点个长度均为分，得到 in abn
0 |||| 的极点，这样就将择为小区间的左或右端 x
,的极限过程限过程转换为n
,
的“数值方法”方法均属于数学分析中常用的定积分近似计算下面介绍的工程技术中
0x
O x
y
)(xfy?
a b
1x
,)(d)(,1 0 abyxxfn ba
矩形法示意
0y
1y
O x
y
)(xfy?
a b
,)(2d)(,2 10 yyabxxfn ba
)(0 afy?
)2(1 bafy
0x
1x
2x
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x 3x
4x
0y 1
y
2y
3y
4y
)(4d)(,4 3210 yyyyabxxfn ba
继续分下去会有什么结果？
每次分割后，
取小区间的右端点进行计算行不行？
1,矩形法
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x? 1?nx
nx
取左端点等分：分成将 ],[ nba
,120 bxxxxa nn
,),,2,1( niin abax i
,),,2,1( nin abxx i
,),,2,1( )()(,11 则记若取 nixffyx iiiii
xxfxfxxf
n
i
i
n
i
ii
b
a 1 11
)()(d)(?
,)( 110 nyyyn ab?
取左端点
,),,2,1( )()(,则记若取 nixffyx iiiii
xxfxfxxf
n
i
i
n
i
ii
b
a 11
)()(d)(?
,)( 21 nyyyn ab
取右端点以上两个公式称为“矩形公式”,
,)( )(d)( 21 取右端点nba yyyn abxxf
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
矩形法的误差估计：
],[ )( 时，上单调增加或单调减少在当 baxf
O x
y
O x
y)(xfy?
a b
nab?
a b
nab?
|| 0 为高为底，以以矩形公式的误差不超过 yyn ab n
,|)()(| afbfn ab的矩形面积值，即误差
)(xfy?
非单调函数可以按单调性分区间来估计误差,
,) 1 ( nO误差总的说来，矩形公式的
2,梯形法
)( 的下，用曲线法在与矩形公式同样的方 xfyT?
要求的曲用内接梯形的面积代替内折线来替代曲线，即的梯形公式：就得到定积分近似计算边梯形的面积，
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
,) 1 ( 2nO梯形公式的误差：
O x
y
)(xfy?
a b
0x
1x 2x? 1?nx
nx
y
xa bO
矩形法与梯形法的比较进一步提高精度方法？还有没有其它的可以更
3,抛物线法 —— Simpson 公式抛物线段代替已知曲线抛物线法是用一串二次的小曲边梯形的然后计算抛物线段构成,)( xfy?
,d)( 的近似值为积分面积，这些面积的和即? ba xxf
O x
y
A
B
C
0x 1x 2x
0y 1y 2y
cbxaxy 2)(xfy?
d)(
,
),( ),,(
),,(
1
0
2
0
2
2211
00
x
x
xcxbxaS
cbxaxy
yxCyxB
yxA
＝
则相应的面积值为线方程为的抛物设过三点
1
0
)23( 23 xxxcxbxa
]6)( 3)( 2[6 2020202212 cxxbxxxxaxx
)()[(6 02022202 cxbxacxbxaxx
]4)(2)( 20220 cxxbxxa
,2 120201 从而中点，故与是由于 xxxxxx
有所以均在抛物线上又由于点,,,,CBA
,2222 ycxbxa
,0020 ycxbxa
,1121 ycxbxa
)4(6 012020 yyyxxS于是
,)](4)()[(6 121020222020 cxbxacxbxacxbxaxxS
,)4(231 21002 yyyxx
,2 02 的长度表示等分区间后小区间xx?
O x
y
A
B)(xfy?
a b
C
0x
1x 2x 3x
4x
0y 1y 2y 3y 4y
iiii cxbxay 2
,4 ],[ 等分分为将区间 ba
1C 2C
,根据前面的分析
,,,1 有而言对点 CCA; )4(431 2100 yyyabS
,,,2 有而言对点 BCC
,)4(431 4322 yyyabS
20
d)( SSxxf
b
a于是,)424(43
1
43210 yyyyy
ab
继续往下将推出什么样的结果？
O x
y
A
B)(xfy?
a b
],[ 分成将区间 ba
)( 每个等分，正偶数n
,n ab?小区间长度为
0x
1x 2x? 1?nx
nx
0y 1y 2y? 1?ny
ny ; )4(
3 2100 yyyn
abS; )4( 3 4322 yyyn abS;
,)4( 3 122 nnnn yyyn abS
d)( 220 nba SSSxxf?故
,])(2)4([ 3 2421310 nnn yyyyyyyyn ab
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
,S i m p s o n 公式称为抛物线公式或公式
,) 1 ( O S im p s o n 4n公式的计算误差为：
例 16
解
,d 1 0 2 xe x计算用不是初等函数，故不能因为被积函数的原函数精确值，而只能用近似莱布尼兹公式计算出其—牛顿
,值方法计算该积分的近似
,算形法和抛物线法进行计我们分别用矩形法，梯
10 ]1,0[ 等分，设分点为分成将区间
,1,,,,,0 109210 xxxxx?
,1.010 01 x每个小区间的长度均为相应的函数值为; 1000 2 eey xx ; 99005.022 )1.0( 1.01 eey xx; 96 07 9.02)2.0( 2ey 0,9 13 9 3 ; 2)3.0( 3ey; 85 21 4.02)4.0( 4ey 0,7 78 8 0 ; 2)5.0( 5ey; 6 9 7 6 8.02)6.0( 6ey 0,6 12 6 3; 2)7.0( 7ey; 52729.02)8.0( 8ey ; 4 4 4 8 6.02)9.0( 9ey; 3 67 8 8.021 10ey
用矩形公式：
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
) 4 4 4 8 6.05 2 7 2 9.06 1 2 6 3.0
6 9 7 6 8.07 7 8 8 0.08 5 2 1 4.0
9 1 3 9 3.09 6 0 7 9.09 9 0 0 5.01 (1.0d
1
0
2
xe x
,777817.077817.71.0
用梯形公式：
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
] ) 3 6 7 8 8.01 (
2
1
4 4 4 8 6.0
5 2 7 2 9.06 1 2 6 3.06 9 7 6 8.07 7 8 8 0.0
8 5 2 1 4.09 1 3 9 3.09 6 0 7 9.00,9 9 0 0 5 [1.0d
1
0
2
xe
x
,7 4 6 2 1 1.04 6 2 1 1.71.0
S i m p s o n 公式：用
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
] 0,3 6 7 8 8) 0,5 2 7 2 9
6 9 7 6 8.08 5 2 1 4.09 6 0 7 9.0 (2
) 4 4 4 8 6.06 1 2 6 3.0
7 7 8 8 0.09 1 3 9 3.09 9 0 0 5.0 (41 [
3
1.0
d
1
0
2
xe
x
,7 4 6 6 2 5.0?
例 17
解
,1 d 1 0 2 xx抛物线法计算运用矩形法，梯形法，
原问题的精确解为,4 a r c t a n1 d 101 0 2 xxx
],[ 等分：十分成将区间 ba
10.90.80.70.60.50.40.30.20.10
0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x
0.86207
0.91743
0.96154
0.99010
10y
1y
2y
3y
4y 0.55249
0.60976
0.67114
0.73529
0.800005y
6y
7y
8y
9y
0.5000010y
矩形法
,)( )(d)( 110 取左端点 nba yyyn abxxf?
) 5 5 2 4 9.06 0 9 7 6.06 7 1 1 4.0
7 3 5 2 9.08 0 0 0 0.08 6 2 0 7.0
9 1 7 4 3.09 6 1 5 4.09 9 0 1 0.01 (
10
01
1
d1
0 2
x
x
,8 0 9 9 8 2.0?
239928.30,8 0 9 9 8 24
值为：由矩形法的结果算出的梯形法
,)](21[d)( 0121 nnba yyyyyn abxxf
]
) 0,5 0 0 0 01 (
2
1
5 5 2 4 9.06 0 9 7 6.06 7 1 1 4.0
7 3 5 2 9.08 0 0 0 0.08 6 2 0 7.0
9 1 7 4 3.09 6 1 5 4.09 9 0 1 0.0 [
10
01
1
d1
0
2
x
x
7 8 4 9 8 2.0?
1 3 9 9 2 8.30,7 8 4 9 8 24
值为：由梯形法的结果算出的抛物线法
1 4 1 5 9 5.30,7 8 5 3 9 94
值为：的由抛物线法的结果算出
,])(2
)4([
3
d)(
242
1310
nn
n
b
a
yyyy
yyyy
n
ab
xxf
] 5 0 0 0 0.0) 6 0 9 7 6.07 3 5 2 9.0
8 6 2 0 7.09 6 1 5 4.0(2) 5 5 2 4 9.06 7 1 1 4.0
8 0 0 0 0.09 1 7 4 3.09 9 0 1 0.0(41 [
103
01
1
d1
0 2
x
x
7 8 5 3 9 9.0?
比较三种方法计算的结果：
1 4 1 5 9 5.30,7 8 5 3 9 94
值为：的由抛物线法的结果算出
1 3 9 9 2 8.30,7 8 4 9 8 24
值为：由梯形法的结果算出的
239928.30,8 0 9 9 8 24
值为：由矩形法的结果算出的可知在相同的区间分法下，
抛物线法的计算精度最高，梯形法次之,
4,利用泰勒公式作定积分的近似计算例 18
解
,ds in 1 0? xx x计算
,能表示为初等函数形式由于该函数的原函数不
,,我们作近似计算所以由泰勒公式
,
! 1)(2 m
)
2
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