高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十三讲 微积分的基本公式脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数积分学第二节 微积分的基本公式一,积分上限函数二,微积分基本公式一,积分上限函数 (变上限的定积分 )
,,,)( 就有值每给定一对而言对可积函数 baxf
,d)(I 与之对应确定的定积分值 ba xxf
与它的上下限的定积分这意味着 d)( )(? ba xxfxf
,之间存在一种函数关系
,,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变
:分上限函数
,],[ d)(d)()( baxttfxxfxF xaxa
O x
y
a bx x
)( xfy?
积分上限函数的几何意义
O x
y
a bx x
)( xfy?
积分上限函数的几何意义
xa xxf d)(
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
,d)(d)( 有由积分的性质, abba xxfxxf
,d)(d)( xbbx ttfttf
所以，我们只需讨论积分上限函数,
,d)( 称为积分下限函数? bx ttf
定理 1
证
,]),([d)()( ] ),,([)( baCttfxFbaRxf xa则若
,],[,],[ 则且 baxxbax
)()()( xFxxFxF
xxxxaxxa ttfttfttf d)(d)(d)(
,|)(| ],[ )( ] ),,([)( MxfbaxfbaRxf 上有界：在故又
xMttfttfxF xxxxxx d|)(| |d)(| |)(|0 于是
,]),([)(,baCxFx?即可得的任意性由夹逼定理及点
,
],[,1
积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理 ba
积分上限函数是否可导
,d)()()( xxx ttfxFxxF由
,] ),,([)( 得则由积分中值定理如果 baCxf?
,)(d)()()( xfttfxFxxF xxx
) ( 之间与在 xxx
x
xf
x
xFxxF
xx?
)(lim)()(lim
00
故
)()(lim 0 xffx这说明了什么？
条件定理 2 ],[ d)()( ]),,([)( battfxFbaCxf xa 在则若
,且上可导
,)( )(d)(d d)( bxaxfttfxxF xa
,)( 0 处连续在点如果会不会有这样的结论,xxf
)()(,d)()( 000 xfxFxttfxF xa 且处可导在点则
,)( 0 即有处连续在点 xxf
,|)()(|,),U( 0,,0 00 xfxfxx 时当
),()( 00 即要要 xfxF
).(
d)(
lim)()(lim 0
00
0 0
00
xf
xx
ttf
xx
xFxF
x
x
xxxx
d)(d)(
)(
d)(
0
0
0
0
000
xx
txfttf
xf
xx
ttf
x
x
x
x
x
x
d|)()(| || 1
0
0
0
txftfxx x
x
就是说，我们猜想的结论成立,
ba xab d
定理 3,],[ ] ),,([)( 0 处连续且在点若 baxbaRxf
,)()(,d)()( 000 xfxFxttfxF xa 且处可导在点则
(在端点处是指的 左右导数 )
例 1 ) dc o s ( xa tt dc o sdd? xa ttx,cos x?
) dc o s ( xa xx
定积分与积分变量的记号无关,
)(xF
,c o s) dc o s ( xxxxa
例 2,)(,d)1s i n ()(
2
0
2 xFttxF x 求设解,)()(,d)1si n ()(,2
0
22 xgxFttugxu u 则令
x
uugxF
d
d)()(故 )()d)1s i n (( 2
0
2 xttu
,)1s i n(22)1s i n( 42 xxxu
这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?
,一般地
,)(,)( 则可导若 Cxfx
,)())(() d)( ()( )( xxfttfxF xa
例 3
解
,
d
lim 2
1
c o s
0
2
x
te
x
t
x
计算
2
c o s
1
02
1
c o s
0
d
lim
d
lim
22
x
te
x
te x t
x
x
t
x
x
xe x
x 2
)s i n(lim 2c o s
0
,21e?
罗必达法则
)())(() d)( ( )( xxfttfxa
下面再看定理 2,
)()( d)()( 你会想到什么？及由 xfxFttfxF xa
定理 2 ],[ d)()( ]),,([)( battfxFbaCxf xa 在则若
,且上可导,)( )(d)(d d)( bxaxfttfxxF xa
,)()())((,)( xfxFCxFxF则存在若
,,)( 则必有无穷多个若存在这样的 xF
,)()( ),()( ),()( 2121 CxFxFxfxFxfxF 则若
,d)(,)(? ba xxfxF 就可以计算定积分若能找到这样的
CxxfxF xa d)()(
)()(d)( aFbFxxfba
定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题,
二,微积分基本公式
1,原函数的定义
)(,)()( I 为则称上有若在某区间 xFxfxF
,I )( 上的一个原函数在区间xf
,,则一个函数要有原函数由前面的讨论可知
,,他们构成一个函数族必有无穷多个原函数
,)( CxF?
)( )( 的所有原函数？是否包含了我们要问,xfCxF?
定义
I )( )( ),( 上的任意两个在区间是设 xfxGxF
,则有原函数
,I,)()( ),()( xxfxGxfxF
,) ( I )()( 为常数即 CxCxFxG
,I,)()( xCxFxG故
,,差一个常数任意两个原函数之间相就是说
,)( )( 的所有原函数包含了 xfCxF?
,I,0)()())()(( xxGxFxGxF于是例 4,2s i nc oss i n2)( s i n 2 xxxx
,2s i n)s i n(c os2)c os( 2 xxxx
c os)(,s i n)( 22 xxGxxF故
,2si n)( 的原函数都是 xxf?
,)()( CxGxF验证
1c oss i n)c os(s i n 2222 xxxx
,1?C即定理
,I )( 则它上的原函数存在在区间若 xf
则它的所的一个原函数为若,)( )( xfxF
,)( 的形式有原函数可表示为 CxF?
),,( 为任意常数其中 C
定积分的计算归结为求相应的原函数的计算,
,仅相差一个常数的任意两个原函数之间问 题什么样的函数的原函数一定存在？
定理 ],[,d)()( ] ),,([)(
baxttfxFbaCxf
x
a则若
,],[ )( 上的一个原函数在为 baxf
,I )(,) I ()( 上原函数存在在则若 xfCxf?推论 1
推论 2,域内原函数存在基本初等函数在其定义推论 3,区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内
,
,1co s)(,
,
成它的定义域由孤立点构例如不一定
xxf
,
,I
存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间
,] 1,1[ sg n,上在区间符号函数例如 xy
下面来推证该结论,
I
,
,I )(
上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果 xf
,)( ),(,],[ )( 0 的第一类间断点为上有定义在设 xfbaxbaxf?
,)( ],[ )( 则有上有一个原函数在如果 xFbaxf
,)(,)(li m,)1( 00
0
xfIIxfx xx 但存在为可去间断点时当
,得由拉格朗日中值定理
,)(lim)(lim)()(lim)(
000 0
0
0 IfFxx
xFxFxF
xxxxxx
,)()(,)( 000 xfxFxfI 故由于
,],[ )(,0 上的原函数不存在在为可去间断点时即当 baxfx
)(xF
,)( 0 bxxxf
00 )( xxxf?
,)( 0xxaxf
,)2( 0 为跳跃间断点时当 x
,得由拉格朗日中值定理
,)(li m)(li m)()(li m)( 000
0
0
0
000
IfFxx xFxFxF
xxxxxx
,)(li m)(li m)()(li m)( 111
0
0
0
000
IfFxx xFxFxF
xxxxxx
,;,0100 xxxx其中
,,)(lim,)(lim 1010
00
IIIxfIxf xxxx 但存在
,)( )(,10 的原函数不是故由于 xfxFII?
,数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间 I
,综上所述上可积是否等价于函数在 ],[ ba
],[ 上有原函数存在？函数在 ba
不一定！
,在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如,]1,1[,10 0 01 1 )( xxxf
,]1,1[ 上原函数不存在但在?
从微积分基本定理来看,
d)()(,],[ )( xa ttfxFbaxf 函数上可积时在当
,],[ 上连续在 ba
,,可导的必要条件函数的连续性只是函数但是
,,连续函数不一定可导就是说
,],[,) ],[ ()( 上不一定存在原函数它在时 babaRxf?
,函数的可积充分条件函数存在原函数不是该
0 0
0 1s in
)( 2
2
x
x
x
x
xF
0 0
0 ]1,1[ 1c o s
21s i n 2
)( 22
x
xx
xxx
x
xf
且函数是函数
,]1,1[ )(,]1,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间 xf
,)0U( )(,)( 0 内无界在的奇点是因为 xfxfx?
,条件有原函数又可积的充分函数的连续性是函数既仍为初等函数初等函数的原函数是否
,),0(
s i n
)(
! )12)(12(
)1(
)(,
,
0
12
上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定
x
xf
nn
x
xF
n
nn
,)(
.
含有无穷多项这里想想初等函数的定义
xF
不是初等的上在为则如果 ],[ )( d)( ] ),,([)( baxfttfbaCxf xa
,的一个原函数
,)( )( 则有的原函数为若已知 xfxF
,)(d)( 0 CxFttfxa
,)(,)(d)(0,00 aFCCaFttfax aa 故则令
,则得到取 bx?
,)()(d)(d)( aFbFxxfttf baba
2,微积分基本公式基本公式定理 ) ( 莱布尼茨公式—牛顿
],[ )( )( ] ),,([)( 上的在为若 baxfxFbaCxf?
,则一个原函数
).()( )(d)( aFbFxFxxf baba
,函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例 5,c o s)( s i n xx
,10s i n2s i n s i ndc o s 202 0
xxx
问题的关键是如何求一个函数的原函数,
例 6
,2)1ar ct an (1ar ct an ar ct and1 1 1 11 1 2 xxx
,21)0s i n42( s i n21 2s i n21d2c o s 40 4 0
xxx
例 7,d2c o s1 0 xx计算解
0
2
0 dc o s2 d2c o s1 xxxx
0 d|c o s| 2 xx
2
2
0
d)c o s( 2dc o s 2 xxxx
,22 s i n2 s i n2
2
2
0
xx
去绝对值符号 (如果是分段函数，
则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式,)
莱布尼茨公式—牛顿
).()( )(d)( aFbFxFxxf baba
))(()()( abfaFbF
拉格朗日中值定理函数的可微性
d)()( xa xxfxF
不定积分、定积分微积分基本公式
d)( ))(( ba xfCxf?
积分中值定理
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十三讲 微积分的基本公式脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数积分学第二节 微积分的基本公式一,积分上限函数二,微积分基本公式一,积分上限函数 (变上限的定积分 )
,,,)( 就有值每给定一对而言对可积函数 baxf
,d)(I 与之对应确定的定积分值 ba xxf
与它的上下限的定积分这意味着 d)( )(? ba xxfxf
,之间存在一种函数关系
,,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变
:分上限函数
,],[ d)(d)()( baxttfxxfxF xaxa
O x
y
a bx x
)( xfy?
积分上限函数的几何意义
O x
y
a bx x
)( xfy?
积分上限函数的几何意义
xa xxf d)(
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
,d)(d)( 有由积分的性质, abba xxfxxf
,d)(d)( xbbx ttfttf
所以，我们只需讨论积分上限函数,
,d)( 称为积分下限函数? bx ttf
定理 1
证
,]),([d)()( ] ),,([)( baCttfxFbaRxf xa则若
,],[,],[ 则且 baxxbax
)()()( xFxxFxF
xxxxaxxa ttfttfttf d)(d)(d)(
,|)(| ],[ )( ] ),,([)( MxfbaxfbaRxf 上有界：在故又
xMttfttfxF xxxxxx d|)(| |d)(| |)(|0 于是
,]),([)(,baCxFx?即可得的任意性由夹逼定理及点
,
],[,1
积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理 ba
积分上限函数是否可导
,d)()()( xxx ttfxFxxF由
,] ),,([)( 得则由积分中值定理如果 baCxf?
,)(d)()()( xfttfxFxxF xxx
) ( 之间与在 xxx
x
xf
x
xFxxF
xx?
)(lim)()(lim
00
故
)()(lim 0 xffx这说明了什么？
条件定理 2 ],[ d)()( ]),,([)( battfxFbaCxf xa 在则若
,且上可导
,)( )(d)(d d)( bxaxfttfxxF xa
,)( 0 处连续在点如果会不会有这样的结论,xxf
)()(,d)()( 000 xfxFxttfxF xa 且处可导在点则
,)( 0 即有处连续在点 xxf
,|)()(|,),U( 0,,0 00 xfxfxx 时当
),()( 00 即要要 xfxF
).(
d)(
lim)()(lim 0
00
0 0
00
xf
xx
ttf
xx
xFxF
x
x
xxxx
d)(d)(
)(
d)(
0
0
0
0
000
xx
txfttf
xf
xx
ttf
x
x
x
x
x
x
d|)()(| || 1
0
0
0
txftfxx x
x
就是说，我们猜想的结论成立,
ba xab d
定理 3,],[ ] ),,([)( 0 处连续且在点若 baxbaRxf
,)()(,d)()( 000 xfxFxttfxF xa 且处可导在点则
(在端点处是指的 左右导数 )
例 1 ) dc o s ( xa tt dc o sdd? xa ttx,cos x?
) dc o s ( xa xx
定积分与积分变量的记号无关,
)(xF
,c o s) dc o s ( xxxxa
例 2,)(,d)1s i n ()(
2
0
2 xFttxF x 求设解,)()(,d)1si n ()(,2
0
22 xgxFttugxu u 则令
x
uugxF
d
d)()(故 )()d)1s i n (( 2
0
2 xttu
,)1s i n(22)1s i n( 42 xxxu
这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?
,一般地
,)(,)( 则可导若 Cxfx
,)())(() d)( ()( )( xxfttfxF xa
例 3
解
,
d
lim 2
1
c o s
0
2
x
te
x
t
x
计算
2
c o s
1
02
1
c o s
0
d
lim
d
lim
22
x
te
x
te x t
x
x
t
x
x
xe x
x 2
)s i n(lim 2c o s
0
,21e?
罗必达法则
)())(() d)( ( )( xxfttfxa
下面再看定理 2,
)()( d)()( 你会想到什么？及由 xfxFttfxF xa
定理 2 ],[ d)()( ]),,([)( battfxFbaCxf xa 在则若
,且上可导,)( )(d)(d d)( bxaxfttfxxF xa
,)()())((,)( xfxFCxFxF则存在若
,,)( 则必有无穷多个若存在这样的 xF
,)()( ),()( ),()( 2121 CxFxFxfxFxfxF 则若
,d)(,)(? ba xxfxF 就可以计算定积分若能找到这样的
CxxfxF xa d)()(
)()(d)( aFbFxxfba
定积分的计算问题转化为已知函数的导函数,求原来函数的问题,
二,微积分基本公式
1,原函数的定义
)(,)()( I 为则称上有若在某区间 xFxfxF
,I )( 上的一个原函数在区间xf
,,则一个函数要有原函数由前面的讨论可知
,,他们构成一个函数族必有无穷多个原函数
,)( CxF?
)( )( 的所有原函数？是否包含了我们要问,xfCxF?
定义
I )( )( ),( 上的任意两个在区间是设 xfxGxF
,则有原函数
,I,)()( ),()( xxfxGxfxF
,) ( I )()( 为常数即 CxCxFxG
,I,)()( xCxFxG故
,,差一个常数任意两个原函数之间相就是说
,)( )( 的所有原函数包含了 xfCxF?
,I,0)()())()(( xxGxFxGxF于是例 4,2s i nc oss i n2)( s i n 2 xxxx
,2s i n)s i n(c os2)c os( 2 xxxx
c os)(,s i n)( 22 xxGxxF故
,2si n)( 的原函数都是 xxf?
,)()( CxGxF验证
1c oss i n)c os(s i n 2222 xxxx
,1?C即定理
,I )( 则它上的原函数存在在区间若 xf
则它的所的一个原函数为若,)( )( xfxF
,)( 的形式有原函数可表示为 CxF?
),,( 为任意常数其中 C
定积分的计算归结为求相应的原函数的计算,
,仅相差一个常数的任意两个原函数之间问 题什么样的函数的原函数一定存在？
定理 ],[,d)()( ] ),,([)(
baxttfxFbaCxf
x
a则若
,],[ )( 上的一个原函数在为 baxf
,I )(,) I ()( 上原函数存在在则若 xfCxf?推论 1
推论 2,域内原函数存在基本初等函数在其定义推论 3,区间内原函数存在初等函数在其有定义的几个问题是否一定有原函数存在初等函数在其定义域内
,
,1co s)(,
,
成它的定义域由孤立点构例如不一定
xxf
,
,I
存在的函数的原函数一定不每个具有第一类间断点上在区间
,] 1,1[ sg n,上在区间符号函数例如 xy
下面来推证该结论,
I
,
,I )(
上是否有原函数存在区间则函数在且只有一类间断点上有界在区间如果 xf
,)( ),(,],[ )( 0 的第一类间断点为上有定义在设 xfbaxbaxf?
,)( ],[ )( 则有上有一个原函数在如果 xFbaxf
,)(,)(li m,)1( 00
0
xfIIxfx xx 但存在为可去间断点时当
,得由拉格朗日中值定理
,)(lim)(lim)()(lim)(
000 0
0
0 IfFxx
xFxFxF
xxxxxx
,)()(,)( 000 xfxFxfI 故由于
,],[ )(,0 上的原函数不存在在为可去间断点时即当 baxfx
)(xF
,)( 0 bxxxf
00 )( xxxf?
,)( 0xxaxf
,)2( 0 为跳跃间断点时当 x
,得由拉格朗日中值定理
,)(li m)(li m)()(li m)( 000
0
0
0
000
IfFxx xFxFxF
xxxxxx
,)(li m)(li m)()(li m)( 111
0
0
0
000
IfFxx xFxFxF
xxxxxx
,;,0100 xxxx其中
,,)(lim,)(lim 1010
00
IIIxfIxf xxxx 但存在
,)( )(,10 的原函数不是故由于 xfxFII?
,数的原函数一定不存在上具有一类间断点的函在区间 I
,综上所述上可积是否等价于函数在 ],[ ba
],[ 上有原函数存在？函数在 ba
不一定！
,在原函数的充分条件函数可积不是该函数存上可积，在例如,]1,1[,10 0 01 1 )( xxxf
,]1,1[ 上原函数不存在但在?
从微积分基本定理来看,
d)()(,],[ )( xa ttfxFbaxf 函数上可积时在当
,],[ 上连续在 ba
,,可导的必要条件函数的连续性只是函数但是
,,连续函数不一定可导就是说
,],[,) ],[ ()( 上不一定存在原函数它在时 babaRxf?
,函数的可积充分条件函数存在原函数不是该
0 0
0 1s in
)( 2
2
x
x
x
x
xF
0 0
0 ]1,1[ 1c o s
21s i n 2
)( 22
x
xx
xxx
x
xf
且函数是函数
,]1,1[ )(,]1,1[ 上不可积在但上的一个原函数在区间 xf
,)0U( )(,)( 0 内无界在的奇点是因为 xfxfx?
,条件有原函数又可积的充分函数的连续性是函数既仍为初等函数初等函数的原函数是否
,),0(
s i n
)(
! )12)(12(
)1(
)(,
,
0
12
上的一个原函数在区间是初等函数例如不一定
x
xf
nn
x
xF
n
nn
,)(
.
含有无穷多项这里想想初等函数的定义
xF
不是初等的上在为则如果 ],[ )( d)( ] ),,([)( baxfttfbaCxf xa
,的一个原函数
,)( )( 则有的原函数为若已知 xfxF
,)(d)( 0 CxFttfxa
,)(,)(d)(0,00 aFCCaFttfax aa 故则令
,则得到取 bx?
,)()(d)(d)( aFbFxxfttf baba
2,微积分基本公式基本公式定理 ) ( 莱布尼茨公式—牛顿
],[ )( )( ] ),,([)( 上的在为若 baxfxFbaCxf?
,则一个原函数
).()( )(d)( aFbFxFxxf baba
,函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例 5,c o s)( s i n xx
,10s i n2s i n s i ndc o s 202 0
xxx
问题的关键是如何求一个函数的原函数,
例 6
,2)1ar ct an (1ar ct an ar ct and1 1 1 11 1 2 xxx
,21)0s i n42( s i n21 2s i n21d2c o s 40 4 0
xxx
例 7,d2c o s1 0 xx计算解
0
2
0 dc o s2 d2c o s1 xxxx
0 d|c o s| 2 xx
2
2
0
d)c o s( 2dc o s 2 xxxx
,22 s i n2 s i n2
2
2
0
xx
去绝对值符号 (如果是分段函数，
则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式,)
莱布尼茨公式—牛顿
).()( )(d)( aFbFxFxxf baba
))(()()( abfaFbF
拉格朗日中值定理函数的可微性
d)()( xa xxfxF
不定积分、定积分微积分基本公式
d)( ))(( ba xfCxf?
积分中值定理
