高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十七讲 高阶导数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第三节 高阶导数第四章 一元函数的导数与微分一,高阶导数的概念二,高阶导数的运算法则三,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数一,高阶导数的概念
,c o s)( s in xx例,s i n)( c o s x
,si n 连续求两次导数的结果是 x
,s i n 记为的二阶导数称为函数 x
xxxx s i n)( c o s))( ( s i n)( s i n
)( )(,仍然的导函数如果函数一般说来 xfxf?
的二的导数为原来函数则称可导 )( )(,xfxf?
,))(()(, xfxf记为阶导数推而广之,
,,1 )( 的函数它仍是阶导数存在的设 xnxf?
,,阶导数数的则称它的导数为原来函若它可导 n
,阶导数的记号为n
,dd,d )(d,),( )()( n
n
n
n
nn
x
y
x
xfyxf
,))(()( )1()( xfxf nn
,d )(dd dd )(d 1
1
n
n
n
n
x
xf
xx
xf,
d
d
d
d
d
d
1
1
n
n
n
n
x
y
xx
y
,)( )1()(nn yy
按照一阶导数的极限形式,有
x
xfxxfxfy nn
x
nn
)()(lim)( )1()1(
0
)()(
0
0
)1()1(
0
)()( )()(l i m)(
00 xx
xfxfxfy nn
xx
n
xx
n
和一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续,如果函数 f ( x) 在区间 I 上 有直到 n 阶的导数
f (n)(x),且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导数均连续 ),则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
记为,)( )I()( nn CxfCxf 或如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的,记为
.)( )I()( CxfCxf 或
1)( nn xnxy
21 )1()()( nn xnnxnyy
3)2()1()( nxnnnyy
…………………………
knkk xknnnnyy )1()2()1()( )1()(?
.,的高阶导数求幂函数 Znxy n
)1( nk
解例 1
注意,当 k = n 时
!123)2()1()( )( nnnnx nn
综上所述：
,0)(,1,)( knxnk 时当从而
knkn xknnnx )1()1()( )(? )1( nk
0)( )(?knx )1( nk
)()( ))(( knk baxy
,)( 的高阶导数求 nbaxy
,1 时当 nk
kkn abaxknnn))(1()1(?
,1 时当 nk
0 )(?ky
解例 2
多项式的高阶导数,
nnnnn axaxaxaxP 1110)(?
23120 2)2)(1()1('' nnn axnnaxnnay?
………………
!0)( nay n
0)2()1(nn yy
解
12110 )1(' nnn axnanxay?
例 3
对 多项式而言,
每求一次导数,多项式的次数降低一次 ;
n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ;
大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0,
求 y = ex 的各阶导数,
解
xey
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
xnx ee?)()( )( Nn?
xx eeyy )()(
xn ey?)(
例 4
求 y = ax 的各阶导数,
解 aay x ln'?
运用数学归纳法可得
)( )( l n)( )( Znaaa nxnx
2)( l n)ln()('' aaaayy xx
kxk aay )( l n)(?
例 5
求 y = lnx 的各阶导数,
解
11 x
xy
2122 )1()1( xxy
3)2)(1( xy
111 !)11()1( x
212 !)12()1( x
313 !)13()1( x
设 kkk xky !)1()1( 1)(
例 6
11)1( )()!1()1( kkk xkky
)1(1)1( !]1)1[()1( kk xk
)( )!1()1()( l n 1)( Nnxnxy nnnn
类似地,有
)(
)()!1()1())( ln ( 1)(
Nn
baxanbax nnnn
则故由数学归纳法得
,1 的高阶导数求 xy?
解
)( ln1 x
x
y?
)1()()( )( l n))( ( l n nnn xxy
)1(1)1( !]1)1[()1( nn xn
)1(!)1( nn xn
注意这里的方法
)( )!1()1()( l n 1)()( Nnxnxy nnnn
例 7
即 )( !)1(1 )1(
)(
Nnxn
x
nn
n
类似地,有
)1(
)(
)(!)1(1
nnn
n
baxan
bax
解
xy c o s
xy s in
xy c o s
xy s in)4(?
,c o s,s i n 的各阶导数求 xyxy
xy sin?
看出结论没有
？
)24s i n ( x
)23s i n ( x
)22s i n ( x
)21s i n ( x
例 8
运用数学归纳法可以证得
)( )2s i n ()( s i n )( Znnxx n?
类似地,可求得
)( )2co s ()co s( )( Znnxx n?
解
x
x
sin
co s?
)( c o tdd
d
d
2
2
xx
x
y?
x2c s c
.
d
d,s inln
2
2
x
yxy 求?
)s i n( l n
d
d
d
d x
xx
y?
xcot?
例 9
)s i n(co s s i n2s i n xexey xx
)s i n( co s 2s i n xxe x
.,s i n yey x 求解
xey x c o ss i n
二阶导数经常遇到,一定要掌握,
例 10
2)(
d
)(d
y
y
y
.)0,( dd,1dd 32
2
yyyyy xyyx 导出试从解由复合函数及反函数的求导法则,得
)()( 1
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
yyy
x
yy
x
2)(
d
d
d
)(d
y
y
x
x
y
3)( y
y
y?
1
例 11
,dd,2
2
的导数对是的导数对是与 yxy xxyyy
解例 12
).(
),()(,)(
)(
2
xf
xfxfxf
n求且满足有任意阶导数设
,)()( 2 得求导两边关于对等式 xxfxf
),(2)()(2)( 3 xfxfxfxf
),(32)()(32)( 42 xfxfxfxf
),(! )( 1)( 则有设 xfkxf kk
)()()1( ! )()1( xfxfkkxf kk
,))((! )1()(! )1( 1)1(2 kk xfkxfk
由数学归纳法得
)(! )( 1)( xfnxf nn
二,高阶导数的运算法则设 f (x),g(x) 有直到 n 阶的导数,则
(1)
(2) 莱布尼兹公式
)()())()(( )()()( xgxfxgxf nnn
)()())()(( )()(
0
)( xgxfCxgxf kkn
n
k
k
n
n?
,!)(! !,knk nC kn其中两个基本公式
,
65
1
d
d
2100
100
xxx
求由于 )3)(2( 1
65
1
2 xxxx,3
1
2
1
xx
故
3
1
d
d
2
1
d
d
65
1
d
d
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
21 0 0
1 0 0
xxxxxxx
101101
)3(
1
)2(
1!100
xx
101100101100 )3(!1 0 0)1()2(!1 0 0)1( xx
解例 13
)1( )(1 ! )1()( nnn xnx
解
.,s i n )80(2 yxxy 求设?
由莱布尼兹公式
)80(2)80( )s i n( xxy?
)( 280s i n2080 xxC
xxxxx s i n6320c o s160s i n2
)( 278s in2280 xC
)2s i n ()( s i n )( nxx n )3( 0)(,2)(,2)( )(2
22
nx
xxx
n
)( 279s i n)2(180 xxC
例 14
.0)()()12()( )1( )(2)1()2(2 xfnxfxnxfx nnn
证
2
1
1)(
x
xf
0)()()1( 2 xfxxfx
)(
11)1(
)( 2
22
xf
x
x
xx
xxf?
满足下式证明 a r c s i n)( xxf?
看出一点什么没有？
你打算怎么处理此式？
例 15
对上式关于 x 求导 n 次：
)1(21)(20 ))(()1())()(1( nnnn xfxCxfxC
故
)()2(!2 )1()()2()()1( )()1()2(2 xfnnxfxnxfx nnn
即
0)()()12()1( )(2)1()2(2 xfnxfxnfx nnn
)2(22 ))(()1( nn xfxC
0))(()( )1(1nn xfxC
0)(1)( )()1( xfnxfx nn
)(0 ))(( nn xfxC
三,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数原则是,
按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导,
.
d
d,4
2
2
22
x
yyyxx 求设
对方程两边关于 x 求导,
022 yyyxyx
yx
yxy
2
2
故解想想如何求二阶导数？
例 16
yx
yx
x
y
2
2
d
d
2
2
从而
33
22
)2(
24
)2(
)(6
yxyx
yyxx
2)2(
)(3
yx
yxy
2)2(
)21)(2()2)(2(
yx
yyxyxy
2)2(
2
2
3
yx
yx
yx
xy
.,yexy yx 求对方程两边关于 x 求导,得,
对该方程两边关于 x 求导,
yeyeyxyy yxyx 2)1(
yx
yx
ex
yyey
2)1( 2
.yx
yx
ex
yey
解
)1( yeyxy yx
从而其中,
例 17
.dd,)(t a n 2
2
x
yyxy 求设
方程两边对 x 求导
)1()(s e c 2 yyxy
)(s e c1
)(s e c
d
d
2
2
yx
yx
x
y
得
)(s in
1
2 yx
)(cs c 2 yx
解例 18
x
y
xx
y
d
d
d
d
d
d
2
2
)(co t)(cs c2 32 yxyx
)1()(co t)cs c()cs c(2 yyxyxyx
)c s c ()c s c (2 yxyx
)(cs cdd 2 yxx故
)(c s c 2 yxy
.
d
d
,
a r c t a n
)1ln (
3
3
2
x
y
tty
tx
求设
解
)1ln (
)a r c t a n(
d
d
2t
tt
x
y
)1l n (
2
d
d
2
2
2
t
t
x
y
2
1
2
1
1
1
2
2 t
t
t
t?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
例 19
)1l n (
4
1
d
d
2
2
3
3
t
t
t
x
y
3
4
2
2
22
8
1
1
2
4
12
t
t
t
t
t
tt
参数方程求导并不难啊 ！
.
d
d,
)s in1(
)s in(
2
2
x
y
tay
ttax
求设
解
))s in((
))c o s1((
d
d
tta
ta
x
y
2cot
t? t
t
co s1
sin
))s i n((
2
c o t
d
d )(
2
2
tta
t
x
y )c o s1(
1
2s i n2
1
2 tat?
),2 ( Zkkt2
)c o s1(
1
ta
例 20
.
d
d,)(,)(,
)(
)(
2
2
x
ytytx
tyy
txx
求均有二阶导数已知
解
)(
)(
d
d
tx
ty
x
y
t
x
x
y
t
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2?
)(
)(
)(
tx
tx
ty
)(
))((
)()()()(
2
tx
tx
txtytxty
3))((
)()()()(
tx
txtytxty
例 21
例 22 )( 是由方程组设 xyy?
01s i n
03 2 3 2
yte
xtt
y
,0 dd,2
2
tx
y求所确定的隐函数解 3,,03 3 3 0 2 及得由txxtt
,2 6 dd ttx
1,01s i n 0 及得由ty yyte
,2 co s s i n1 co s dd y tete tety
y
y
y
,)2 6)(2( co s dd dd dd ty tetx tyxy
y
故
2 6
c o s
2d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
t
t
y
e
xx
y
xx
y y从而
2 6
c o s
d
d
22d
d
2 6
c o s
t
t
xy
e
y
e
xt
t yy
32 )2 6)(2(
]co s6s i n)2 6[(
d
d
)2)(2 (6
co s)3(
ty
ttte
x
y
yt
tey yy
.4 )32( 0 dd,1,3,0 2
2?
eetx yyxt 得代入
2 是
,2 6 c o sd dt tx计算
x
t
t
t
tt
t
x d
d
2 6
c o s
d
d
2 6
c o s
d
d
1
d
d
2 6
co s
d
d
t
x
t
t
t
2 6
1
)2 6(
c o s6s i n)2 6(
2
tt
ttt
,)2 6( c o s6s i n)2 6( 3 t ttt
2 6 dd ttx
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十七讲 高阶导数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第三节 高阶导数第四章 一元函数的导数与微分一,高阶导数的概念二,高阶导数的运算法则三,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数一,高阶导数的概念
,c o s)( s in xx例,s i n)( c o s x
,si n 连续求两次导数的结果是 x
,s i n 记为的二阶导数称为函数 x
xxxx s i n)( c o s))( ( s i n)( s i n
)( )(,仍然的导函数如果函数一般说来 xfxf?
的二的导数为原来函数则称可导 )( )(,xfxf?
,))(()(, xfxf记为阶导数推而广之,
,,1 )( 的函数它仍是阶导数存在的设 xnxf?
,,阶导数数的则称它的导数为原来函若它可导 n
,阶导数的记号为n
,dd,d )(d,),( )()( n
n
n
n
nn
x
y
x
xfyxf
,))(()( )1()( xfxf nn
,d )(dd dd )(d 1
1
n
n
n
n
x
xf
xx
xf,
d
d
d
d
d
d
1
1
n
n
n
n
x
y
xx
y
,)( )1()(nn yy
按照一阶导数的极限形式,有
x
xfxxfxfy nn
x
nn
)()(lim)( )1()1(
0
)()(
0
0
)1()1(
0
)()( )()(l i m)(
00 xx
xfxfxfy nn
xx
n
xx
n
和一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续,如果函数 f ( x) 在区间 I 上 有直到 n 阶的导数
f (n)(x),且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导数均连续 ),则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
记为,)( )I()( nn CxfCxf 或如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的,记为
.)( )I()( CxfCxf 或
1)( nn xnxy
21 )1()()( nn xnnxnyy
3)2()1()( nxnnnyy
…………………………
knkk xknnnnyy )1()2()1()( )1()(?
.,的高阶导数求幂函数 Znxy n
)1( nk
解例 1
注意,当 k = n 时
!123)2()1()( )( nnnnx nn
综上所述：
,0)(,1,)( knxnk 时当从而
knkn xknnnx )1()1()( )(? )1( nk
0)( )(?knx )1( nk
)()( ))(( knk baxy
,)( 的高阶导数求 nbaxy
,1 时当 nk
kkn abaxknnn))(1()1(?
,1 时当 nk
0 )(?ky
解例 2
多项式的高阶导数,
nnnnn axaxaxaxP 1110)(?
23120 2)2)(1()1('' nnn axnnaxnnay?
………………
!0)( nay n
0)2()1(nn yy
解
12110 )1(' nnn axnanxay?
例 3
对 多项式而言,
每求一次导数,多项式的次数降低一次 ;
n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ;
大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0,
求 y = ex 的各阶导数,
解
xey
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
xnx ee?)()( )( Nn?
xx eeyy )()(
xn ey?)(
例 4
求 y = ax 的各阶导数,
解 aay x ln'?
运用数学归纳法可得
)( )( l n)( )( Znaaa nxnx
2)( l n)ln()('' aaaayy xx
kxk aay )( l n)(?
例 5
求 y = lnx 的各阶导数,
解
11 x
xy
2122 )1()1( xxy
3)2)(1( xy
111 !)11()1( x
212 !)12()1( x
313 !)13()1( x
设 kkk xky !)1()1( 1)(
例 6
11)1( )()!1()1( kkk xkky
)1(1)1( !]1)1[()1( kk xk
)( )!1()1()( l n 1)( Nnxnxy nnnn
类似地,有
)(
)()!1()1())( ln ( 1)(
Nn
baxanbax nnnn
则故由数学归纳法得
,1 的高阶导数求 xy?
解
)( ln1 x
x
y?
)1()()( )( l n))( ( l n nnn xxy
)1(1)1( !]1)1[()1( nn xn
)1(!)1( nn xn
注意这里的方法
)( )!1()1()( l n 1)()( Nnxnxy nnnn
例 7
即 )( !)1(1 )1(
)(
Nnxn
x
nn
n
类似地,有
)1(
)(
)(!)1(1
nnn
n
baxan
bax
解
xy c o s
xy s in
xy c o s
xy s in)4(?
,c o s,s i n 的各阶导数求 xyxy
xy sin?
看出结论没有
？
)24s i n ( x
)23s i n ( x
)22s i n ( x
)21s i n ( x
例 8
运用数学归纳法可以证得
)( )2s i n ()( s i n )( Znnxx n?
类似地,可求得
)( )2co s ()co s( )( Znnxx n?
解
x
x
sin
co s?
)( c o tdd
d
d
2
2
xx
x
y?
x2c s c
.
d
d,s inln
2
2
x
yxy 求?
)s i n( l n
d
d
d
d x
xx
y?
xcot?
例 9
)s i n(co s s i n2s i n xexey xx
)s i n( co s 2s i n xxe x
.,s i n yey x 求解
xey x c o ss i n
二阶导数经常遇到,一定要掌握,
例 10
2)(
d
)(d
y
y
y
.)0,( dd,1dd 32
2
yyyyy xyyx 导出试从解由复合函数及反函数的求导法则,得
)()( 1
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
yyy
x
yy
x
2)(
d
d
d
)(d
y
y
x
x
y
3)( y
y
y?
1
例 11
,dd,2
2
的导数对是的导数对是与 yxy xxyyy
解例 12
).(
),()(,)(
)(
2
xf
xfxfxf
n求且满足有任意阶导数设
,)()( 2 得求导两边关于对等式 xxfxf
),(2)()(2)( 3 xfxfxfxf
),(32)()(32)( 42 xfxfxfxf
),(! )( 1)( 则有设 xfkxf kk
)()()1( ! )()1( xfxfkkxf kk
,))((! )1()(! )1( 1)1(2 kk xfkxfk
由数学归纳法得
)(! )( 1)( xfnxf nn
二,高阶导数的运算法则设 f (x),g(x) 有直到 n 阶的导数,则
(1)
(2) 莱布尼兹公式
)()())()(( )()()( xgxfxgxf nnn
)()())()(( )()(
0
)( xgxfCxgxf kkn
n
k
k
n
n?
,!)(! !,knk nC kn其中两个基本公式
,
65
1
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2100
100
xxx
求由于 )3)(2( 1
65
1
2 xxxx,3
1
2
1
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故
3
1
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d
2
1
d
d
65
1
d
d
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
21 0 0
1 0 0
xxxxxxx
101101
)3(
1
)2(
1!100
xx
101100101100 )3(!1 0 0)1()2(!1 0 0)1( xx
解例 13
)1( )(1 ! )1()( nnn xnx
解
.,s i n )80(2 yxxy 求设?
由莱布尼兹公式
)80(2)80( )s i n( xxy?
)( 280s i n2080 xxC
xxxxx s i n6320c o s160s i n2
)( 278s in2280 xC
)2s i n ()( s i n )( nxx n )3( 0)(,2)(,2)( )(2
22
nx
xxx
n
)( 279s i n)2(180 xxC
例 14
.0)()()12()( )1( )(2)1()2(2 xfnxfxnxfx nnn
证
2
1
1)(
x
xf
0)()()1( 2 xfxxfx
)(
11)1(
)( 2
22
xf
x
x
xx
xxf?
满足下式证明 a r c s i n)( xxf?
看出一点什么没有？
你打算怎么处理此式？
例 15
对上式关于 x 求导 n 次：
)1(21)(20 ))(()1())()(1( nnnn xfxCxfxC
故
)()2(!2 )1()()2()()1( )()1()2(2 xfnnxfxnxfx nnn
即
0)()()12()1( )(2)1()2(2 xfnxfxnfx nnn
)2(22 ))(()1( nn xfxC
0))(()( )1(1nn xfxC
0)(1)( )()1( xfnxfx nn
)(0 ))(( nn xfxC
三,隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数原则是,
按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导,
.
d
d,4
2
2
22
x
yyyxx 求设
对方程两边关于 x 求导,
022 yyyxyx
yx
yxy
2
2
故解想想如何求二阶导数？
例 16
yx
yx
x
y
2
2
d
d
2
2
从而
33
22
)2(
24
)2(
)(6
yxyx
yyxx
2)2(
)(3
yx
yxy
2)2(
)21)(2()2)(2(
yx
yyxyxy
2)2(
2
2
3
yx
yx
yx
xy
.,yexy yx 求对方程两边关于 x 求导,得,
对该方程两边关于 x 求导,
yeyeyxyy yxyx 2)1(
yx
yx
ex
yyey
2)1( 2
.yx
yx
ex
yey
解
)1( yeyxy yx
从而其中,
例 17
.dd,)(t a n 2
2
x
yyxy 求设
方程两边对 x 求导
)1()(s e c 2 yyxy
)(s e c1
)(s e c
d
d
2
2
yx
yx
x
y
得
)(s in
1
2 yx
)(cs c 2 yx
解例 18
x
y
xx
y
d
d
d
d
d
d
2
2
)(co t)(cs c2 32 yxyx
)1()(co t)cs c()cs c(2 yyxyxyx
)c s c ()c s c (2 yxyx
)(cs cdd 2 yxx故
)(c s c 2 yxy
.
d
d
,
a r c t a n
)1ln (
3
3
2
x
y
tty
tx
求设
解
)1ln (
)a r c t a n(
d
d
2t
tt
x
y
)1l n (
2
d
d
2
2
2
t
t
x
y
2
1
2
1
1
1
2
2 t
t
t
t?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
例 19
)1l n (
4
1
d
d
2
2
3
3
t
t
t
x
y
3
4
2
2
22
8
1
1
2
4
12
t
t
t
t
t
tt
参数方程求导并不难啊 ！
.
d
d,
)s in1(
)s in(
2
2
x
y
tay
ttax
求设
解
))s in((
))c o s1((
d
d
tta
ta
x
y
2cot
t? t
t
co s1
sin
))s i n((
2
c o t
d
d )(
2
2
tta
t
x
y )c o s1(
1
2s i n2
1
2 tat?
),2 ( Zkkt2
)c o s1(
1
ta
例 20
.
d
d,)(,)(,
)(
)(
2
2
x
ytytx
tyy
txx
求均有二阶导数已知
解
)(
)(
d
d
tx
ty
x
y
t
x
x
y
t
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2?
)(
)(
)(
tx
tx
ty
)(
))((
)()()()(
2
tx
tx
txtytxty
3))((
)()()()(
tx
txtytxty
例 21
例 22 )( 是由方程组设 xyy?
01s i n
03 2 3 2
yte
xtt
y
,0 dd,2
2
tx
y求所确定的隐函数解 3,,03 3 3 0 2 及得由txxtt
,2 6 dd ttx
1,01s i n 0 及得由ty yyte
,2 co s s i n1 co s dd y tete tety
y
y
y
,)2 6)(2( co s dd dd dd ty tetx tyxy
y
故
2 6
c o s
2d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
t
t
y
e
xx
y
xx
y y从而
2 6
c o s
d
d
22d
d
2 6
c o s
t
t
xy
e
y
e
xt
t yy
32 )2 6)(2(
]co s6s i n)2 6[(
d
d
)2)(2 (6
co s)3(
ty
ttte
x
y
yt
tey yy
.4 )32( 0 dd,1,3,0 2
2?
eetx yyxt 得代入
2 是
,2 6 c o sd dt tx计算
x
t
t
t
tt
t
x d
d
2 6
c o s
d
d
2 6
c o s
d
d
1
d
d
2 6
co s
d
d
t
x
t
t
t
2 6
1
)2 6(
c o s6s i n)2 6(
2
tt
ttt
,)2 6( c o s6s i n)2 6( 3 t ttt
2 6 dd ttx
