高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十二讲 函数的连续性脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第七,八节 函数的连续性及其性质一,连续函数的概念二,函数的间断点三,连续函数的运算及其基本性质四,初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f (x) 在 U(x0) 内 有定义,若
)()(lim 0
0
xfxfxx
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
1.函数连续性的 定义 (极限形式 )
可减弱,x0为聚点函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的,
定义是整个邻域函数 f (x ) 在点 x0 处连续,应该满足 以下 三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义； (包括在点 x0 处有定义 )
,)( )3( 0xfa?(极限值等于函数在点 x0 处的函数值 )
)(lim )2(
0；存在axfxx
) )(,( 0 有极限时 xfxx?
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续?
0lim 2
0
x
x
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续,
又且 0
0
2
0 xx xy
y = x 2 在 U(0) 内有定义,
例 1
解函数的连续性是通过极限定义的,当然可以运用,,语言描述它,
2.连续性的,?－? 语言,形式设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义,
,若,当 | x? x0 | <? 时,有则 称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
| f (x)?f (x0) | <?
成立,
0xxx
)()( 0xfxfy
定义
3.连续性概念的增量形式在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2? u1,称为变量 u 在 u1处的增量,记为?u = u2－ u1.
定义
u 是一个整体记号,它可以取正值、负值或零,
有时我们也称?u 为变量 u 在 u1 处的差分,
设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义,x?U(x0),则称
x = x? x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量,
= f (x0 +? x)? f (x0 )?y = f (x)? f (x0 )
x
y
O x0 x x
y
y = f (x)
此时,x = x0 +?x,
相应地,函数在点 x0 点处有增量? y
连续性概念的增量形式
0l i m 0 yx )( 0xxx
则称 f (x) 在点 x0 处连续,
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义,若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零,
4.函数的左、右连续性设函数 f (x) 在 [x0,x0+? ) 内有定义,若
)()(lim 0
0
xfxf
xx
则称 f (x) 在 x0 点处右连续,
设函数 f (x) 在 (x0–?,x0 ] 内有定义,若则称 f (x) 在 x0 点处左连续,
其中, 为任意常数,
)()(lim 0
0
xfxf
xx
定义
)()(l im 0
0
xfxfxx
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
函数在点 x0 连续,等价于它在点 x0 既左连续又右连续,
定理讨论 y = | x |,x?() 在点 x = 0 处
0||lim 0 xx?
0|| 00 xx xy
y = | x | 在点 x = 0 处连续,
x
y y = | x |
O
的连续性,
例 2
解讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性,
sgn x＝
1,x > 0,
11lims g nlim
00
xx
x
1)1(l i ms g nl i m 00 xx x
sgn x|x=0=sgn 0 = 0
故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续,
0,x = 0,
1,x < 0.
例 3
解讨论函数 f (x) =
x2,x?1,
在 x = 1 处的连续性,
1li m)(li m 211 xxf xx 2)1(lim)(lim 11 xxf xx
,1)1( 12xxf?
函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续,
故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的,
x + 1,x >1,
但由于
)1(1)(l i m1 fxfx
例 4
解
5.函数在区间 上的连续性设函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内有定义,
若? x0?(a,b),f (x) 在点 x0 处连续,
则称 f (x) 在开区间 (a,b) 内连续,记 为
f (x)?C( (a,b) ).
定义若 f (x)?C( (a,b) ),且 f (x) 在 x = a 处右连续,在端点 x = b 处左连续,则称函数
f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续,记为
f (x)?C( [a,b] ).
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,如果函数 f (x) 在区间 I
上连续,则记为 f (x)?C( I ),
例 5 介绍李普希茨 (Lipschitz)连续性、赫尔德 (h?lder)连续性,
,],[ )(,
|| |)()(|
],,[,
2121
21
上是李普希茨连续的在则称成立有使得如果存在常数
baxf
xxLxfxf
baxxL
,|| |)()(|,2121 称为李普希茨条件其中 xxLxfxf
,] ),,([)(
,],[ )(
反之不真则上是李普希茨连续的在如果
baCxf
baxf
,],[ )( 上满足赫尔德条件在区间如果函数 baxf
],[,|| |)()(| 212121 baxxxxLxfxf
],[ )(,10,,上在区间则称为常数其中 baxfL
,是赫尔德连续的
,,1,即为李普希茨连续时称为赫尔德指数
,]).,([)(
,],[ )(
反之不真则上是赫尔德连续的在如果
baCxf
baxf
,,赫尔德条件是非线性的李普希茨条件是线性的
,,;
请自己完成的证明连续性赫尔德连续性连续性由李普希茨连续性
例 ).0( )( 03
1
xxxf
二,函数的间断点通常将函数的不连续点叫做函数的间断点,
函数 f (x ) 在点 x0 处连续,应该满足 以下 三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义 ; (包括在点 x0 处有定义 )
,)( )3( 0xfa?(极限值等于函数在点 x
0 处的函数值 ); )(lim )2(
0
存在axfxx ) )(,( 0 有极限时 xfxx?
(1) f (x) 在 x0 处无定义,
,)(lim ( 2 )
0
不存在axfxx
1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f (x)
若函数 f (x) 在 )(U
0x
内有定义,且 在点 x0 处
,)(,)( lim ( 3 ) 00 xfaaxfxx 但在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：
定义求函数间断点的途径,
(1) f (x)在 x0 处无定义,但 f (x) 在 )(U
0x
内有定义,
(2) 中至少有一个不存在,)(lim )(lim
00
xfxf xxxx 与
(3) 存在,但不相等,)(lim )(lim
00
xfxf xxxx 与
(4) 但 a? f (x0 ).
,)(lim)(lim
00
axfxf xxxx
2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃 可去无穷 振荡 其它
(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点,且
f (x) 的第一类间断点,
,)(l i m )(l i m
00
存在与 xfxf xxxx 则称 x0 为函数定义讨论函数 f (x)=
x +1 x > 0
sinx x < 0
0 21?x
在 x = 0 处的连续性,
y
xO
1
2
1
)( xfy?
y = sinx
y＝ x+1由图可知,函数在点 x0 处间断,
例 6
21)0(?f
)(lim 0 xfx?
)(l i m0 xfx
)(lim)(lim 00 xfxf xx
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点,
将左、右极限存在但不相等的间断点,
称为函数的跳跃型间断点,
) 0 )(( 处有定义在?xxf
1)1(lim 0 xx
0s i nl i m0 xx
解讨论,1 1 1)(
2
处的连续性在 xxxxf
函数在 x =1 无定义,
2)1(lim1 1lim
1
2
1
xxx
xx
而故 x =1 为函数的第一类间断点,
x =1 为函数的间断点,
y
xO
1
1
P(1,2)
进一步分析该间断点的特点,
例 7
解补充定义
211lim|
2
11
x
xy
xx
则函数 f *(x) 在 x =1 连续,
f * (x) = 1 1
12
xx
x
2 x = 1
即定义分析 211lim
2
1
x
x
x
由于这种间断点称为可去间断点,
处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左,右极限存补充定义
f * (x) =
)(lim
0
xfxx?,x = x0
,)( 0xxxf?
跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等,补充定义
(2) 第二类间断点凡不属于第一类的间断点,
称为函数的第二类间断点,
这算定义吗？
定义即左右极限至少有一个不存在的点,
讨论函数,0 1)( 处的连续性在 xxxf
x
y
O
xy
1?在 x = 0 无定义,xxf 1)(
x = 0为函数的间断点,?
,1lim)(lim
00
x
xf
xx
又故 x = 0为函数 的第二类间断点,xxf 1)(?
)(l i m 0 xfx
所以称它为无穷间断点,由于例 8
解
,0 1si n)( 处的连续性在讨论函数 xxxf
在 x = 0 处 无定义,xxf 1s i n)(
,0 为函数的间断点?x
又
x
xf
xx
1s inli m)(li m
00
不存在,
故 x = 0 为函数的第二类间断点,
看看该函数的图形,
例 9
解
O
1
1
x
y
1s in xy?
,1s in)( 0 的振荡型间断点为称 xxfx
无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡三,连续函数的运算及其基本性质回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当 )( )(,0 xgxfxx?
,)(l i m
0
axfxx,)(lim
0
bxgxx则
baxgxfxgxf xxxxxx )(l i m)(l i m)]()([l i m
000
baxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim
000
)0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
b
b
a
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当 )( )(,0 xgxfxx?
,)(l i m
0
axfxx,)(lim
0
bxgxx则
baxgxfxgxf xxxxxx )(l i m)(l i m)]()([l i m
000
baxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim
000
)0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
b
b
a
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
,)( )( 0 处连续在点、设函数 xxgxf
)( 0xf )( 0xg
0)]()([)()( 00 xxxgxfxgxf
0
)]()([)()( 00 xxxgxfxgxf
) 0)( (
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
xg
xg
xf
xg
xf
xx
现在怎么说?
1.连续函数的四则运算设函数 f (x),g(x),fi (x) 在点 x0 处连续,
,)()(lim 0
0
xfxfxx
则
),,2,1( )()(lim 0
0
nxfxf iixx
即
,)()(l im 0
0
xgxgxx
)()()]()([l im 00
0
xgxfxgxfxx
(1) 有限个在点 x0 处 连续函数的和仍是一个在点 x0 处连续的函数,即
)()()(
)]()()([lim
00201
21
0
xfxfxf
xfxfxf
n
nxx
)()()]()([lim 00
0
xgxfxgxfxx
(2) 有限个在点 x0 处 连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的 连续函数,即
)()()()]()()([lim 0020121
0
xfxfxfxfxfxf nnxx
0)(
)(
)(
)(l i m
)(l i m
)(
)(
l i m 0
0
0
0
0
0
xg
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
(3) 两个在点 x0 处连续 函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点 x0 处连续函数,即
2.几个重要定理这些定理与极限中的定理类似
x
y
y = f (x)
y = | f (x) |
O
若 f (x) 在区间 I 上连续,则 | f (x) | 仍在 I 上连续,
定理 1
x0?I,由 f (x) 在 x0 的连续性,
,当 | x? x0 | <? 时,有
| f ( x)? f (x0) | <?
此时,由绝对值不等式得
| | f (x) |? | f (x0)| |? | f (x)? f (x0) | <?
由 x0 的任意性,| f (x) | 在区间 I 上连续,
(若 I 为闭区间,则对区间端点时指的 左,右极限,)
证该定理的逆命题不成立,
例如,f (x) =
1,x 为有理数,
1,x 为无理数,
注意：
例 10 ),()()( 则函数、设 ICxgxf?
) },( ),({m i n)(1 xgxfx Ix
)}( ),({m a x)(2 xgxfx Ix
,内连续在区间 I
证,
2
|)()(|)()()(
1
xgxfxgxfx由
,2 |)()(|)()()(2 xgxfxgxfx
.,立即可证法则运用连续函数四则运算若函数 f (x) 在点 x0 连续,且 f (x0) > 0,
(或 f (x0) < 0),则必 > 0,使当 x?U(x0,?)
时,有 f (x) > 0 (或 f (x) < 0 ).
定理 2 (保号性定理 )
能看出一点什么问题来吗?
0x
x
y
O
.
保号性的几何示意图
)( xfy?
)( 0xf
2
)( 0xf
)(21)( 0xfxf?
设函数 f (x) 在点 x0 处连续,
则必 > 0,使当 x?U(x0,? ) 时,有若 f (x0) > 0,
推论反函数的连续性
O x
y
y = f － 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x
翻转 180o而成,故 单调性、连续性仍保持,
从几何上看,
x = f － 1(y) 与 y = f (x)
的图形相同,
连续性保持,
从而,
单调性、
)(1 yfx
)( xfy?
)(1 xfy
设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加
(减少 ) 且连续,则其反函数 )(1 yfx 在相应的区间 I* = { y | y = f (x),x?I } 上严格单调增加
(减少 ) 且连续,
定理 3 (反函数连续性定理 )
x
y
2
2
1?1 O
增加单调
) ]1,1[ (a r c s in Cxy
2
2
x
y
1
1
O
增加单调
) ]
2
,
2
[ (s in
Cxy
例 11
讨论复合函数的连续性如果 y = f (u) 在 u0 处连续,
则,当 | u? u0| <? 时,
有 | f (u)? f (u0) | <?
再假设 u =? (x),且 在 x0 处连续,即
.lim 0
0
uuxx
,)()(l im 0
0
xxxx
亦即
| u? u0 | = |? (x) (x0) | <?
故 对上面的,,
当 | x? x0| <? 时,有则,当 | x? x0| <? 时,
| u? u0 | = |? (x) (x0) | <?
且有 （假设可以构成复合函数）
| f (u)? f (u0) |＝ | f (? (x))? f (? (x0) ) | <?
有上面的推导,你想到了什么？
是关于复合函数的连续性定理？
怎么写出以上推导的结论?
自己想一想,动手写一下,
设函数 u =? (x) 在点 x0 处连续,且
u0 =? (x0),函数 y = f (u) 在 u0 处连续,
若复合函数 y = f (? (x)) 在 U(x0) 内则 y = f (? (x)) 在 x0 点处连续,有定义,
这个条件有必要吗？
定理 4 (复合函数连续性定理 )
,uy?尽管 u = cos x?1 是 在定义域内的定义域是一个孤立点集
D = { x | x = 2k?,k?Z }
1c o s xy
1co s xy从而,函数 在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,
每一点均不连续,
例 12
在定理 4 的条件下,
))(lim())((lim
00
xfxf
xxxx
在定理 4 的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序,
推论
xx
x
xee
2
0
2 s i nl i ms i n
0
lim
10 e
求
x
x
e 2s i n
0
l im
例 13
解设函数 u =? (x) 的极限存在：
函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续,
复合函数 f (? (x)) 当 x? x0 时的极限存在,且
，axxx )(lim
0
0U x?
)())(lim())((lim
00
afxfxf xxxx
若复合函数 f (? (x)) 在 内有定义,则定理 5
求
x
x
xx
s i nlnlim
0?
y = ln u 在其定义域内连续,
,0 si n 处无定义在点 xx xu
,1si nl i m
0
x
x
x
但故
x
x
x
s i nlnlim
0
01ln] s i nl i m [ ln
0
x
x
x
（ y = ln u 在 u = 1 处 连续 ）
例 14
解由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：
则设,)(l i m,0)(l i m
00
xhxg xxxx
))()((l i m)(
0
0
))(1(l i m xgxhxhxx xxexg
则为有限数设,),0( )(l i m,)(l i m
00
babxhaxg xxxx
.)(l i m )(
0
bxh
xx axg
则设,)(l i m,1)(l i m
00
xhxg xxxx
]1)([)(lim)(
0
0
)(l i m xgxhxhxx xxexg
函数 g(x)h(x) 称为幂指函数,它的定义域一般应要求 g(x) > 0.
时,幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数,
当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数,且 g(x) > 0
eeex xxx
x
x
1
]1[
1
1l i m
1
1
1
1lim
(3) )1 (?
eeex
x
xx
x
x
1s i n
1lim1
0
0)s in1(lim
)1 (?(2)
(1) 1),5( 5)52(l i m 2c o s2
0 baxx
x
x
例 15
四,初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的,
初等函数在其有定义的区间内连续,
注意两者的区别 ！
求
x
xx
x a r c t a n
)2ln (li m 2
1
x
xx
x a r c t a n
)2l n (l im 2
1?
4
1a r c t a n
)12ln (1 2
连续性给极限运算带来很大方便,
例 16
解
,)2(2lim)( 2 的连续性讨论函数 n nnn xxxf
.0,?x其中有时当,210 x
.4)2(22 2 nn nnn xx
有时当,221 x
.3221)2(22)2(22 2 nn nnnn nn xxxxxxx
注意夹逼定理例 17
解有时当,2 x
.3122)2(2 22222 nn nnnn nn xxxxxxx
,14lim,13lim,12lim nnnnnn由于
xx
xx
x
xf
2,
21 / 2,2
2/10,1
)(
2
故由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,
夹逼定理
,),2( ),2,21 ( ),21,0 [ )(,内是连续的在所以xf
,1)(l i m
2
1
xf
x
又,1)lim
2
1
xf
x
,4)(lim 2 xfx,4)(lim 2 xfx
,1) 21 (?f,4)2(?f
,) ),0 [ ()(, Cxf从而
,1lim)( 2
212
n
n
n x
bxaxxxf设
,),( )(,,上连续在取何值时问xfba
1,
2
1
1,
2
1
1 ||,
1 ||,
1
l i m)(
2
2
212
x
ba
x
ba
xx
xbxax
x
bxaxx
xf
n
n
n
,),1( ),1,1( ),1,( )( 上为初等函数在由于xf
所以在其上是连续的,
例 18
解
1 )(,),( )( xxfxf 在只需上连续在要处连续即可,即应有
,)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx
,)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx
1
1
ba
ba
解此方程组得所求,,1,0 ba
得到方程组的表达式由,)( xf
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十二讲 函数的连续性脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第七,八节 函数的连续性及其性质一,连续函数的概念二,函数的间断点三,连续函数的运算及其基本性质四,初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f (x) 在 U(x0) 内 有定义,若
)()(lim 0
0
xfxfxx
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
1.函数连续性的 定义 (极限形式 )
可减弱,x0为聚点函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的,
定义是整个邻域函数 f (x ) 在点 x0 处连续,应该满足 以下 三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义； (包括在点 x0 处有定义 )
,)( )3( 0xfa?(极限值等于函数在点 x0 处的函数值 )
)(lim )2(
0；存在axfxx
) )(,( 0 有极限时 xfxx?
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续?
0lim 2
0
x
x
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续,
又且 0
0
2
0 xx xy
y = x 2 在 U(0) 内有定义,
例 1
解函数的连续性是通过极限定义的,当然可以运用,,语言描述它,
2.连续性的,?－? 语言,形式设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义,
,若,当 | x? x0 | <? 时,有则 称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
| f (x)?f (x0) | <?
成立,
0xxx
)()( 0xfxfy
定义
3.连续性概念的增量形式在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2? u1,称为变量 u 在 u1处的增量,记为?u = u2－ u1.
定义
u 是一个整体记号,它可以取正值、负值或零,
有时我们也称?u 为变量 u 在 u1 处的差分,
设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义,x?U(x0),则称
x = x? x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量,
= f (x0 +? x)? f (x0 )?y = f (x)? f (x0 )
x
y
O x0 x x
y
y = f (x)
此时,x = x0 +?x,
相应地,函数在点 x0 点处有增量? y
连续性概念的增量形式
0l i m 0 yx )( 0xxx
则称 f (x) 在点 x0 处连续,
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义,若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零,
4.函数的左、右连续性设函数 f (x) 在 [x0,x0+? ) 内有定义,若
)()(lim 0
0
xfxf
xx
则称 f (x) 在 x0 点处右连续,
设函数 f (x) 在 (x0–?,x0 ] 内有定义,若则称 f (x) 在 x0 点处左连续,
其中, 为任意常数,
)()(lim 0
0
xfxf
xx
定义
)()(l im 0
0
xfxfxx
)()(lim)(lim 0
00
xfxfxf
xxxx
函数在点 x0 连续,等价于它在点 x0 既左连续又右连续,
定理讨论 y = | x |,x?() 在点 x = 0 处
0||lim 0 xx?
0|| 00 xx xy
y = | x | 在点 x = 0 处连续,
x
y y = | x |
O
的连续性,
例 2
解讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性,
sgn x＝
1,x > 0,
11lims g nlim
00
xx
x
1)1(l i ms g nl i m 00 xx x
sgn x|x=0=sgn 0 = 0
故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续,
0,x = 0,
1,x < 0.
例 3
解讨论函数 f (x) =
x2,x?1,
在 x = 1 处的连续性,
1li m)(li m 211 xxf xx 2)1(lim)(lim 11 xxf xx
,1)1( 12xxf?
函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续,
故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的,
x + 1,x >1,
但由于
)1(1)(l i m1 fxfx
例 4
解
5.函数在区间 上的连续性设函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内有定义,
若? x0?(a,b),f (x) 在点 x0 处连续,
则称 f (x) 在开区间 (a,b) 内连续,记 为
f (x)?C( (a,b) ).
定义若 f (x)?C( (a,b) ),且 f (x) 在 x = a 处右连续,在端点 x = b 处左连续,则称函数
f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续,记为
f (x)?C( [a,b] ).
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义一般地,如果函数 f (x) 在区间 I
上连续,则记为 f (x)?C( I ),
例 5 介绍李普希茨 (Lipschitz)连续性、赫尔德 (h?lder)连续性,
,],[ )(,
|| |)()(|
],,[,
2121
21
上是李普希茨连续的在则称成立有使得如果存在常数
baxf
xxLxfxf
baxxL
,|| |)()(|,2121 称为李普希茨条件其中 xxLxfxf
,] ),,([)(
,],[ )(
反之不真则上是李普希茨连续的在如果
baCxf
baxf
,],[ )( 上满足赫尔德条件在区间如果函数 baxf
],[,|| |)()(| 212121 baxxxxLxfxf
],[ )(,10,,上在区间则称为常数其中 baxfL
,是赫尔德连续的
,,1,即为李普希茨连续时称为赫尔德指数
,]).,([)(
,],[ )(
反之不真则上是赫尔德连续的在如果
baCxf
baxf
,,赫尔德条件是非线性的李普希茨条件是线性的
,,;
请自己完成的证明连续性赫尔德连续性连续性由李普希茨连续性
例 ).0( )( 03
1
xxxf
二,函数的间断点通常将函数的不连续点叫做函数的间断点,
函数 f (x ) 在点 x0 处连续,应该满足 以下 三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义 ; (包括在点 x0 处有定义 )
,)( )3( 0xfa?(极限值等于函数在点 x
0 处的函数值 ); )(lim )2(
0
存在axfxx ) )(,( 0 有极限时 xfxx?
(1) f (x) 在 x0 处无定义,
,)(lim ( 2 )
0
不存在axfxx
1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f (x)
若函数 f (x) 在 )(U
0x
内有定义,且 在点 x0 处
,)(,)( lim ( 3 ) 00 xfaaxfxx 但在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：
定义求函数间断点的途径,
(1) f (x)在 x0 处无定义,但 f (x) 在 )(U
0x
内有定义,
(2) 中至少有一个不存在,)(lim )(lim
00
xfxf xxxx 与
(3) 存在,但不相等,)(lim )(lim
00
xfxf xxxx 与
(4) 但 a? f (x0 ).
,)(lim)(lim
00
axfxf xxxx
2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃 可去无穷 振荡 其它
(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点,且
f (x) 的第一类间断点,
,)(l i m )(l i m
00
存在与 xfxf xxxx 则称 x0 为函数定义讨论函数 f (x)=
x +1 x > 0
sinx x < 0
0 21?x
在 x = 0 处的连续性,
y
xO
1
2
1
)( xfy?
y = sinx
y＝ x+1由图可知,函数在点 x0 处间断,
例 6
21)0(?f
)(lim 0 xfx?
)(l i m0 xfx
)(lim)(lim 00 xfxf xx
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点,
将左、右极限存在但不相等的间断点,
称为函数的跳跃型间断点,
) 0 )(( 处有定义在?xxf
1)1(lim 0 xx
0s i nl i m0 xx
解讨论,1 1 1)(
2
处的连续性在 xxxxf
函数在 x =1 无定义,
2)1(lim1 1lim
1
2
1
xxx
xx
而故 x =1 为函数的第一类间断点,
x =1 为函数的间断点,
y
xO
1
1
P(1,2)
进一步分析该间断点的特点,
例 7
解补充定义
211lim|
2
11
x
xy
xx
则函数 f *(x) 在 x =1 连续,
f * (x) = 1 1
12
xx
x
2 x = 1
即定义分析 211lim
2
1
x
x
x
由于这种间断点称为可去间断点,
处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左,右极限存补充定义
f * (x) =
)(lim
0
xfxx?,x = x0
,)( 0xxxf?
跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等,补充定义
(2) 第二类间断点凡不属于第一类的间断点,
称为函数的第二类间断点,
这算定义吗？
定义即左右极限至少有一个不存在的点,
讨论函数,0 1)( 处的连续性在 xxxf
x
y
O
xy
1?在 x = 0 无定义,xxf 1)(
x = 0为函数的间断点,?
,1lim)(lim
00
x
xf
xx
又故 x = 0为函数 的第二类间断点,xxf 1)(?
)(l i m 0 xfx
所以称它为无穷间断点,由于例 8
解
,0 1si n)( 处的连续性在讨论函数 xxxf
在 x = 0 处 无定义,xxf 1s i n)(
,0 为函数的间断点?x
又
x
xf
xx
1s inli m)(li m
00
不存在,
故 x = 0 为函数的第二类间断点,
看看该函数的图形,
例 9
解
O
1
1
x
y
1s in xy?
,1s in)( 0 的振荡型间断点为称 xxfx
无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡三,连续函数的运算及其基本性质回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当 )( )(,0 xgxfxx?
,)(l i m
0
axfxx,)(lim
0
bxgxx则
baxgxfxgxf xxxxxx )(l i m)(l i m)]()([l i m
000
baxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim
000
)0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
b
b
a
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
回忆函数极限的四则运算的极限存在、函数时设当 )( )(,0 xgxfxx?
,)(l i m
0
axfxx,)(lim
0
bxgxx则
baxgxfxgxf xxxxxx )(l i m)(l i m)]()([l i m
000
baxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim
000
)0(
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
b
b
a
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
,)( )( 0 处连续在点、设函数 xxgxf
)( 0xf )( 0xg
0)]()([)()( 00 xxxgxfxgxf
0
)]()([)()( 00 xxxgxfxgxf
) 0)( (
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
xg
xg
xf
xg
xf
xx
现在怎么说?
1.连续函数的四则运算设函数 f (x),g(x),fi (x) 在点 x0 处连续,
,)()(lim 0
0
xfxfxx
则
),,2,1( )()(lim 0
0
nxfxf iixx
即
,)()(l im 0
0
xgxgxx
)()()]()([l im 00
0
xgxfxgxfxx
(1) 有限个在点 x0 处 连续函数的和仍是一个在点 x0 处连续的函数,即
)()()(
)]()()([lim
00201
21
0
xfxfxf
xfxfxf
n
nxx
)()()]()([lim 00
0
xgxfxgxfxx
(2) 有限个在点 x0 处 连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的 连续函数,即
)()()()]()()([lim 0020121
0
xfxfxfxfxfxf nnxx
0)(
)(
)(
)(l i m
)(l i m
)(
)(
l i m 0
0
0
0
0
0
xg
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
(3) 两个在点 x0 处连续 函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点 x0 处连续函数,即
2.几个重要定理这些定理与极限中的定理类似
x
y
y = f (x)
y = | f (x) |
O
若 f (x) 在区间 I 上连续,则 | f (x) | 仍在 I 上连续,
定理 1
x0?I,由 f (x) 在 x0 的连续性,
,当 | x? x0 | <? 时,有
| f ( x)? f (x0) | <?
此时,由绝对值不等式得
| | f (x) |? | f (x0)| |? | f (x)? f (x0) | <?
由 x0 的任意性,| f (x) | 在区间 I 上连续,
(若 I 为闭区间,则对区间端点时指的 左,右极限,)
证该定理的逆命题不成立,
例如,f (x) =
1,x 为有理数,
1,x 为无理数,
注意：
例 10 ),()()( 则函数、设 ICxgxf?
) },( ),({m i n)(1 xgxfx Ix
)}( ),({m a x)(2 xgxfx Ix
,内连续在区间 I
证,
2
|)()(|)()()(
1
xgxfxgxfx由
,2 |)()(|)()()(2 xgxfxgxfx
.,立即可证法则运用连续函数四则运算若函数 f (x) 在点 x0 连续,且 f (x0) > 0,
(或 f (x0) < 0),则必 > 0,使当 x?U(x0,?)
时,有 f (x) > 0 (或 f (x) < 0 ).
定理 2 (保号性定理 )
能看出一点什么问题来吗?
0x
x
y
O
.
保号性的几何示意图
)( xfy?
)( 0xf
2
)( 0xf
)(21)( 0xfxf?
设函数 f (x) 在点 x0 处连续,
则必 > 0,使当 x?U(x0,? ) 时,有若 f (x0) > 0,
推论反函数的连续性
O x
y
y = f － 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x
翻转 180o而成,故 单调性、连续性仍保持,
从几何上看,
x = f － 1(y) 与 y = f (x)
的图形相同,
连续性保持,
从而,
单调性、
)(1 yfx
)( xfy?
)(1 xfy
设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加
(减少 ) 且连续,则其反函数 )(1 yfx 在相应的区间 I* = { y | y = f (x),x?I } 上严格单调增加
(减少 ) 且连续,
定理 3 (反函数连续性定理 )
x
y
2
2
1?1 O
增加单调
) ]1,1[ (a r c s in Cxy
2
2
x
y
1
1
O
增加单调
) ]
2
,
2
[ (s in
Cxy
例 11
讨论复合函数的连续性如果 y = f (u) 在 u0 处连续,
则,当 | u? u0| <? 时,
有 | f (u)? f (u0) | <?
再假设 u =? (x),且 在 x0 处连续,即
.lim 0
0
uuxx
,)()(l im 0
0
xxxx
亦即
| u? u0 | = |? (x) (x0) | <?
故 对上面的,,
当 | x? x0| <? 时,有则,当 | x? x0| <? 时,
| u? u0 | = |? (x) (x0) | <?
且有 （假设可以构成复合函数）
| f (u)? f (u0) |＝ | f (? (x))? f (? (x0) ) | <?
有上面的推导,你想到了什么？
是关于复合函数的连续性定理？
怎么写出以上推导的结论?
自己想一想,动手写一下,
设函数 u =? (x) 在点 x0 处连续,且
u0 =? (x0),函数 y = f (u) 在 u0 处连续,
若复合函数 y = f (? (x)) 在 U(x0) 内则 y = f (? (x)) 在 x0 点处连续,有定义,
这个条件有必要吗？
定理 4 (复合函数连续性定理 )
,uy?尽管 u = cos x?1 是 在定义域内的定义域是一个孤立点集
D = { x | x = 2k?,k?Z }
1c o s xy
1co s xy从而,函数 在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,
每一点均不连续,
例 12
在定理 4 的条件下,
))(lim())((lim
00
xfxf
xxxx
在定理 4 的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序,
推论
xx
x
xee
2
0
2 s i nl i ms i n
0
lim
10 e
求
x
x
e 2s i n
0
l im
例 13
解设函数 u =? (x) 的极限存在：
函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续,
复合函数 f (? (x)) 当 x? x0 时的极限存在,且
，axxx )(lim
0
0U x?
)())(lim())((lim
00
afxfxf xxxx
若复合函数 f (? (x)) 在 内有定义,则定理 5
求
x
x
xx
s i nlnlim
0?
y = ln u 在其定义域内连续,
,0 si n 处无定义在点 xx xu
,1si nl i m
0
x
x
x
但故
x
x
x
s i nlnlim
0
01ln] s i nl i m [ ln
0
x
x
x
（ y = ln u 在 u = 1 处 连续 ）
例 14
解由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：
则设,)(l i m,0)(l i m
00
xhxg xxxx
))()((l i m)(
0
0
))(1(l i m xgxhxhxx xxexg
则为有限数设,),0( )(l i m,)(l i m
00
babxhaxg xxxx
.)(l i m )(
0
bxh
xx axg
则设,)(l i m,1)(l i m
00
xhxg xxxx
]1)([)(lim)(
0
0
)(l i m xgxhxhxx xxexg
函数 g(x)h(x) 称为幂指函数,它的定义域一般应要求 g(x) > 0.
时,幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数,
当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数,且 g(x) > 0
eeex xxx
x
x
1
]1[
1
1l i m
1
1
1
1lim
(3) )1 (?
eeex
x
xx
x
x
1s i n
1lim1
0
0)s in1(lim
)1 (?(2)
(1) 1),5( 5)52(l i m 2c o s2
0 baxx
x
x
例 15
四,初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的,
初等函数在其有定义的区间内连续,
注意两者的区别 ！
求
x
xx
x a r c t a n
)2ln (li m 2
1
x
xx
x a r c t a n
)2l n (l im 2
1?
4
1a r c t a n
)12ln (1 2
连续性给极限运算带来很大方便,
例 16
解
,)2(2lim)( 2 的连续性讨论函数 n nnn xxxf
.0,?x其中有时当,210 x
.4)2(22 2 nn nnn xx
有时当,221 x
.3221)2(22)2(22 2 nn nnnn nn xxxxxxx
注意夹逼定理例 17
解有时当,2 x
.3122)2(2 22222 nn nnnn nn xxxxxxx
,14lim,13lim,12lim nnnnnn由于
xx
xx
x
xf
2,
21 / 2,2
2/10,1
)(
2
故由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,
夹逼定理
,),2( ),2,21 ( ),21,0 [ )(,内是连续的在所以xf
,1)(l i m
2
1
xf
x
又,1)lim
2
1
xf
x
,4)(lim 2 xfx,4)(lim 2 xfx
,1) 21 (?f,4)2(?f
,) ),0 [ ()(, Cxf从而
,1lim)( 2
212
n
n
n x
bxaxxxf设
,),( )(,,上连续在取何值时问xfba
1,
2
1
1,
2
1
1 ||,
1 ||,
1
l i m)(
2
2
212
x
ba
x
ba
xx
xbxax
x
bxaxx
xf
n
n
n
,),1( ),1,1( ),1,( )( 上为初等函数在由于xf
所以在其上是连续的,
例 18
解
1 )(,),( )( xxfxf 在只需上连续在要处连续即可,即应有
,)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx
,)1()(l i m)(l i m 11 fxfxf xx
1
1
ba
ba
解此方程组得所求,,1,0 ba
得到方程组的表达式由,)( xf
