高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十九讲 微分中值定理脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一,费马定理二,罗尔中值定理三,拉格朗日中值定理四,柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)(
0
函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于 0x 时,函数
x
xfxxf
)()( 的极限值,在点 x 处的差商导数与差商我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或,小范围,性质,推出其整体的或,大范围,性质,为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,
这些关系式称为,微分学中值定理,,
这些中值定理的创建要归功于费马,
拉格朗日,柯西等数学家,
首先,从直观上来看看
“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”
是怎么一回事,
O x
y
1x 2x
可微 )( xfy?
A
BP
0x
12
12 )()(
xx
xfxfk
AB
的斜率：割线
)(
0xfk
P
处切线的斜率：点导数与差商相等！
12
12 )()()(
xx
xfxff
将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点 P 处成为切线,即在点 P 处与曲线的切线重合,
,),( 21 xx也就是说,至少存在一点 使得该命题就是微分中值定理,
极值的定义若内有定义在设,)(U )( 0xxf
,)(U? )()( 00 xxxfxf
,)( )( 0 的极大值为则称 xfxf
,)(U? )()( 00 xxxfxf
,)( )( 0 的极小值为则称 xfxf
,0 为函数的极大点x
,0 为函数的极小点x
I,I )( 内某点且在内有定义在区间设 xf
则必有存在若处取极大（小）值,)(, f?
,0)(f
一,费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零,
定理
O x
y
)( xfy?
a b?
P
费马定理的几何解释如何证明
？
,I )( 内有定义在区间设 xf 处且在x
),(?f取极大值 则有
)(U? )()( xfxf
则存在若,)(?f?
,0)()(lim)(
0
x
fxff
x
,0)()(lim)(
0
x
fxff
x
于是,0)(f （极小值类似可证）
)( 是特殊情况Cxf?
证如何保证函数在区间内部取极值？
)( ])b,([)( xfaCxf 可保证?
,]b,[ 内取到它的最大最小值在 a
O x
y
a b
)( xfy? 但是 ……
O x
y
)( xfy?
P
a b
)()( bfaf?
])b,([)( aCxf? 存在在 ),( )( baxf?
0)(f
水平的可保证在内部一点取到极值二,罗尔中值定理设 ; ]),([)( )1( baCxf?; ),( )( )2( 内可导在 baxf
,)()( )3( bfaf?
则至少存在一点,0)(,),( fba 使得定理
O x
y
)( xfy?
a b
A B
实际上,切线与弦线 AB 平行,
]),([)( baCxf
上取到它的最大值、必在 ],[ )( baxf?
最小值至少各一次,
)(m i n,)(m ax ],[],[ xfmxfM baxbax令
mM? )1( 若
],[ )( baxMxfm
],[ )( baxmxf
,0)(,),( fba 均有故证
) ( )2( mMMm 即若
]),([)( baCxf
上取到它的最大值、必在 ],[ )( baxf?
最小值至少各一次,
,)()( bfaf?又
,)( mMbxaxxf 和处分别取到和不能同时在故
使得即至少存在一点,),( ba
.)( )( mfMf 或由费马定理可知,,),( 0)( baf
,,,,,dcbadcba皆为实数设
,))()()(()( dxcxbxaxxf
,,0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程 xf
,) ],[],,[],,[()( dccbbaCxf?
,0)()()()( dfcfbfaf又
,),(,)( 内可微在是四次多项式xf
得上运用罗尔中值定理在,],[,],[,],[ dccbba
,0)()()( 321 fff
例 1
证其中,,),(,),(,),( 321 dccbba
,0)( 至少有三个实根即 xf
,)( 是四次多项式xf?
,)( 是三次多项式xf
,0)( 至多有三个实根 xf
综上所述,
,0)( 仅有三个实根 xf
,),( ),,( ),,( 中分别在 dccbba
证明内可导在设,),(,]),([)( babaCxf
)()())()(( 2 22 xfabafbfx
,),( 内至少有一根在 ba
0)()())()(( 2 22 xfabafbfx
0) )()())()(( ( 222 xfabafbfx
)()())()(( 222 afabafbfa
)()())()(( 222 bfabafbfb
)()( 22 afbbfa?
例 2
分析证明内可导在设,),(,]),([)( babaCxf
)()())()(( 2 22 xfabafbfx
,),( 内至少有一根在 ba
例 2
证 )()())()(()( 222 xfabafbfxxF令
,)( 得的连续性和可导性则由 xf
,),( )(,]),([)( 内可导在 baxFbaCxF?
)()()()( 22 afbbfabFaF又由罗尔定理,至少存在一点 使得 ),( ba
0)()())()(( 2)( 22 fabafbfF
,),( 内至少有一根方程在即 ba
分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键,
满足其中实数,,1 naa?
012)1(3 121 naaa nn?
证明方程
0)12c o s (3c o sc o s 21 xnaxaxa n?
,2,0 内至少有一根在 ）（?
xnnaxaxaxF n )12s i n (123s i n3s i n)( 21令
,)( 02)0(FF则 且满足罗尔定理其它条件,
使故 2,0 )(
0)12c o s (3c o sc o s)( 21 naaaF n?
例 3
证
,2,0 内至少有一根即方程在 ）（?
,),(,]),([)( )( 内可导在、设 babaCxgxf?
,0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有 xgxf
2))((
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
则的两个根是如果,0)(,21?xfxx
0)( )()( )(
2
2
1
1
xg
xf
xg
xf,) 0)( (?xg这时必须例 4
分析证明方程且,0)()()()( ),,( xgxfxgxfbax
,),(,]),([)( )( 内可导在、设 babaCxgxf?
证明方程且,0)()()()( ),,( xgxfxgxfbax
,0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有 xgxf
例 4
证,0)( ),(,21 的两个根是设 xfbaxx
,0)( 21 及其之间没有根与在并设方程 xxxg?
,)( )()( xg xfxF?令
,21 xx?不妨假设
,0)( ）（此时?xg
,],[ )( 21 上满足罗尔定理条件在 xxxF
则由已知条件可知,
使得故至少存在一点,),( 21 xx
0)( )()()()()( 2 g gfgfF
.,0)()()()( 与已知矛盾从而 gfgf
该矛盾说明命题为真,
,)( 仍满足罗尔定理条件xf?
如果使用一次罗尔定理后,
能否再一次使用罗尔定理?
如果需要,当然可以使用,
例 5
证
,),( ]),,([)(),( 内二阶可导在设 babaCxgxf?
),,( ),()( ),()( ),()( bacbgbfcgcfagaf且
).()( ),,(, gfba 使得至少存在一点证明
,)()( ),()()( caxgxfx 则令
,0)( ),,(,11 使得至少存在一点由罗尔中值定理 ca
0.)( ),,(,22 使得至少存在一点同理 bc
,)( ],[ 21 则再运用罗尔中值定理上对函数在 x
),,(),( 21 使得至少存在一点 ba
,0)())((
).()( gf即例 6
证
,0)(,)( ),(?afIxgxf 且有上可微在区间设
0)()()(,,,0)( xgxfxfIbabf 证明方程
).,( 0 bax?至少存在一根
,),,( 0,)( 令所以由于 xeee xxx
,)()( )( xfexF xg?
,0)()()())(()( 0)(0)(0)(0 000 xgexfexfxfexF xgxgxxxg
,0)()(,),( ] ),,([)( bFaFbabaCxF 且内可导在
,则由已知条件可知
),(,0 使得至少存在一点故由罗尔中值定理 bax?
,,0)()()(,0 000)( 0 即得所证故有因为 xgxfxfe xg
引理 1
达布中值定理
,0)()(,],[ )( bfafbaxf 且上处处可导在设
,0)( ),,( fba 使得则至少存在一点达布中值定理
),()(,],[ )( bfafbaxf且上处处可导在设
,)( )(?之间的任何一个数值和则对介于 bfaf
,)( ),,( fba 使得都至少存在一点费马定理的一种推广
,)( 1 连续中不要求引理 xf?
证明引理 1,0)(,0)( bfaf不妨设
,0)()()(l i m 根据极限的保号性得由
afax afxf
ax
),(,0)()( aUxax afxf
).()( ),,()(?,11 afxfbaaUx 使得从而可推出?
,],[ )( )( 上的最小值在不是由此断定 baxfaf
,],[ )( )(,上的最小值在不是可以断定类似地 baxfbf
),( )(,使得内点可知至少存在一点综上所述 ba
,0)( ),(m i n)( ],[ fxff bax 故由费马定理得证明达布中值定理
,1
,)()(
即可利用推论作辅助函数
xxfxF
).(),(
)(),( 2 1
bfaf
bfaf
可以换成中的导数和推论推论请自己完成 !
O x
y
)( xfy?
a b
A B
A
B
P
ab
afbff
)()()(?如何描述 这一现象三,拉格朗日中值定理设 ; ]),([)( )1( baCxf?
,),( )( )2( 内可导在 baxf
则至少存在一点,),( 使得ba
ab
afbff
)()()(?
))(()()( abfafbf即定理
O x
y
)( xfy?
a b
A
B
切线与弦线 AB 平行
)()()()(
ax
ab
afbfafy
AB
的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？
)()()()()()( axab afbfafxfx令则由已知条件可得：
,]),([)( baCx,),( )( 内可导在 bax?
,0)()( ba且故由罗尔定理,至少存在一点 使得,),( ba
0)()()()( ab afbff
))(()()( abfafbf即证定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数
)()())()(()( xfabxafbfxF
定理中的公式均可写成还是不论 baba
),( ))(()()( 之间在 baabfafbf
拉格朗日有限增量公式
1)(0 )()()( xxxfxfxxf
) ( )( 之间与在 xxxxfy
式可写成拉格朗日中值定理的公
),( |||)(| |)()(| 之间在 baabfafbf
某一时刻达到它的平均速度,
拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到
t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在
？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可
)( )()()( abfafbf
)( )()()( 1212 xxfxfxf
).,( 0)( )1( baxxf,)( 常数?xf
,|)(| )2( Mxf,|| |)()(| 00 xxMxfxf
).0( 0)( )3( xf )( )(xf
还有什么？
)(?f?
))(()()( abfafbf
,I,,I,0)( 21 有则若 xxxxf
,0))(()()( 2121 xxfxfxf?
推论 1
,I,)(,I,0)( xCxfxxf 则若
,)()( 21 xfxf?
推论 2
)()())()(( xgxfxgxf
,I )()( xxgxf若
,I,0))()(()( xxgxfxF则
,I )()(,I )()( xCxgxfxxgxf 则若
( C 为常数 )
,I,)()()( xCxgxfxF
))(()()( abfafbf
推论 3
))(()()( abfafbf
,) )( ( |)(| 有界即若 xfMxf
,|| |||)(| |)()(| abMabfafbf则则且条件 ),,(,|)(|,baxMxf
|||)()(| abMafbf
理上满足拉格朗日中值定在若 ],[ )( baxf
用来证明一些重要的不等式推论 4
))(()()( abfafbf
,,I,1221 xxxx 不妨设
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf
,)()(,I 0)( 12 xfxfxxf 则若
,)()(,I 0)( 12 xfxfxxf 则若
,)0)(( 0)(,I )( xfxfxf 且可导在区间若
．减少上单调增加在区间则 )( I )( xf
用来判断函数的单调性在推论 4 中,
,),(,],[ )( 内可导在上连续在如果 babaxf
)(,)0)(( 0)( ],[ baxfxfxf 则可推出且
,))(( ],[ baxf?
,)0)(( 0)( 但仅在孤立点处出如果 xfxf
)(,0)( 上严格单调增仍在区间则现 Ixfxf
)(,)0)(( 0)( xfxfxfI 则上如果在区间
).( 严格单调减少上严格单调增加在区间 I
).( 严格单调减少加推论 5
)()(,I )(,)( agafxgxf?且内可导在区间设
,) I (?a,I),( )()( baxxgxf若 则
,),(,)()( baxxgxf
,0)(,0)(,)()()( axxgxfx 则令再由推论 4,即得命题成立,
该推论可以用来证明不等式,
证
,),(,3 的单调性讨论 xxy
O x
y 3xy?
,03)( 23 xxy
,0 时且仅当?x,0y
,),(3x故
,),( 时x解例 7
,0 时当证明,ba,ln a ababb ab
)(1lnln)(1 abaababb即要证
,]b,[,ln)( axxxf令
,],[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则 baxf
故,)(1lnln baabab
从而,ln a ababb ab
例 8
证
.,1 xeex x 时当证明：
)1( ln1 xxx即要证
))(()()( abfafbf比较有上运用在,01ln ],1[?x,1lnln1 xx
],,1[ ln)( 则由拉格朗日中值定理令 xtttf
).1(,1)1(11lnln xxxx得
,,1 exex x 时故当例 9
证
,]1,1[,2ar cco sar cs i n xxx?证明：
,0)1 1(1 1)a r c c o s( a r c s i n 22 xxxx
,]1,1[ 时当x
)1,1( a r c co sa r c s i n xCxx故从而计算得取,2 0 Cx
,)1,1( 2ar cco sar cs i n xxx?
例 10
证
,) ]1,1[ ()ar cc o s( ar cs i n 可得由 Cxx
,]1,1[ 2ar cco sar cs i n xxx?
延拓 !
内满足关系式在若证明,),( )(xf
.)(,)()(,1)0( xexfxfxff 则
,),(,1)( xe xf x即要证
),,(,)()( xe xfx x?令 Cx?)(?证问题转化为
x
xx
e
exfexfx
2
)()()( ),,(,0 x
例 11
证
).,(,)( xCx?,1)0( f又
)()( Ce xfx x 1)0()0( 0 ef?故,1?C
从而,),(,)( xexf x
],[ )(,523)( 2 baxfxxxf 在求设
,值理的上满足拉格朗日中值定?
],[ )( 满足拉格朗日中值在易验证 baxf
,定理的条件
,)2 ) ((6)52(35)2(3 22 abaabb由
,6)(3 ab得
,2 ab从而所求为
))(()()( abfafbf
例 12
解
,]2,0[ s i n 上的单调性在讨论?xxy
,) ]2,0[ (s i n?Cxxy
,)2,0(,0c o s1 xxy
,s i n ]2,0[ xxy
例 13
解
,)1l n (,0 xxx 时：证明
,),0[,)1l n ()( xxxxf令
,) ),0[ ()( Cxf则,0)0(?f
又,) 0(,01 11)( 时 xxxf
故,)( ),0[xf
从而,)0(,0)0()( xfxf
即,)1l n (,0 xxx 时例 14
证
,1)1l n (,0 xxxx 时：证明
,)1l n ()( xxf令,),0[,1)( xxxxg
则,0)0()0( gf
又,1 1)( xxf,)1( 1)( 2xxg
且,),0(,)()( xxgxf
故,),0(,)()( xxgxf
即,1)1l n (,0 xxxx 时
,) ( 0,)( ),( 内可导在xgxf
例 15
证的参数方程为设弧 AB
],[
)(
)(
bat
tgx
tfy
斜率为上任意一点处的切线的则弧 AB
)(
)(
d
d
tg
tf
x
y
的斜率为而弦 AB
)()(
)()(
agbg
afbfk
O x
y
A
B
)( xfy?
在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？
,,P至少存在一点由拉格朗日中值定理使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等,
则有点设对应于,,tP
)0)((
)(
)(
)()(
)(
tg
g
f
agbg
afbf
注意,
并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定,
,)( )( 真正具有任意性时与当 tgtf
.上述结论就是柯西定理
)( )( 之间与中曲线的参数方程表示式 tgtf
四,柯西中值定理设 ; ]),([)(,)( )1( baCxgxf?
,),( )(,)( )2( 内可导在 baxgxf
则至少存在一点,),( 使得ba
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
,0)( xg且有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,
就可证明柯西中值定理了,
,]),([)(,)( baCxgxf?
,),( )(,)( 内可导在 baxgxf
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
故
,0)( xg且条件满足拉格朗日中值定理上在,],[ )(,)( baxgxf
相同吗？两个?
)())()(()())()(()( xfagbgxgafbfxF令
],[ bax?
,),( )(,]),([)( 内可导在则 baxFbaCxF?
)()()()()()( afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点,),( ba
使得
0)())()(()())()(( fagbggafbf
即,0)(F
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
亦即,),( ba
证
:,21 证明同号与设 xx
)()1( 2121 12 xxeexex xx
.,21 之间与在其中 xx?
,0,2121 之间与不在故同号与 xxxxx?
e
xx
exex xx )1(
21
21
12
即要证
12
12
21
21
11
12
12
xx
x
e
x
e
xx
exex
xx
xx
而例 16
:,21 证明同号与设 xx
)()1( 2121 12 xxeexex xx
.,21 之间与在其中 xx?
例 16
证,1)(,)( xxgxexf
x
令为端点的区间内和在以易验证 )( ),( 21 xxxgxf
,)1(
111
2
2
12
12
12
e
ee
xx
x
e
x
e
xx
,,)()1( 212121 12 之间与在即 xxxxeexex xx
,,0 从而有件且满足柯西中值定理条?x
,)(
1
xexxf?此题也可令构成的区间上与然后在 1 1
21 xx
,明用拉格朗日中值定理证三个中值定理的关系
Rolle Lagrange Cauchy
图形旋转 参数方程
xxg?)()()( bfaf?
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十九讲 微分中值定理脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一,费马定理二,罗尔中值定理三,拉格朗日中值定理四,柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)(
0
函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于 0x 时,函数
x
xfxxf
)()( 的极限值,在点 x 处的差商导数与差商我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或,小范围,性质,推出其整体的或,大范围,性质,为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,
这些关系式称为,微分学中值定理,,
这些中值定理的创建要归功于费马,
拉格朗日,柯西等数学家,
首先,从直观上来看看
“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”
是怎么一回事,
O x
y
1x 2x
可微 )( xfy?
A
BP
0x
12
12 )()(
xx
xfxfk
AB
的斜率：割线
)(
0xfk
P
处切线的斜率：点导数与差商相等！
12
12 )()()(
xx
xfxff
将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点 P 处成为切线,即在点 P 处与曲线的切线重合,
,),( 21 xx也就是说,至少存在一点 使得该命题就是微分中值定理,
极值的定义若内有定义在设,)(U )( 0xxf
,)(U? )()( 00 xxxfxf
,)( )( 0 的极大值为则称 xfxf
,)(U? )()( 00 xxxfxf
,)( )( 0 的极小值为则称 xfxf
,0 为函数的极大点x
,0 为函数的极小点x
I,I )( 内某点且在内有定义在区间设 xf
则必有存在若处取极大（小）值,)(, f?
,0)(f
一,费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零,
定理
O x
y
)( xfy?
a b?
P
费马定理的几何解释如何证明
？
,I )( 内有定义在区间设 xf 处且在x
),(?f取极大值 则有
)(U? )()( xfxf
则存在若,)(?f?
,0)()(lim)(
0
x
fxff
x
,0)()(lim)(
0
x
fxff
x
于是,0)(f （极小值类似可证）
)( 是特殊情况Cxf?
证如何保证函数在区间内部取极值？
)( ])b,([)( xfaCxf 可保证?
,]b,[ 内取到它的最大最小值在 a
O x
y
a b
)( xfy? 但是 ……
O x
y
)( xfy?
P
a b
)()( bfaf?
])b,([)( aCxf? 存在在 ),( )( baxf?
0)(f
水平的可保证在内部一点取到极值二,罗尔中值定理设 ; ]),([)( )1( baCxf?; ),( )( )2( 内可导在 baxf
,)()( )3( bfaf?
则至少存在一点,0)(,),( fba 使得定理
O x
y
)( xfy?
a b
A B
实际上,切线与弦线 AB 平行,
]),([)( baCxf
上取到它的最大值、必在 ],[ )( baxf?
最小值至少各一次,
)(m i n,)(m ax ],[],[ xfmxfM baxbax令
mM? )1( 若
],[ )( baxMxfm
],[ )( baxmxf
,0)(,),( fba 均有故证
) ( )2( mMMm 即若
]),([)( baCxf
上取到它的最大值、必在 ],[ )( baxf?
最小值至少各一次,
,)()( bfaf?又
,)( mMbxaxxf 和处分别取到和不能同时在故
使得即至少存在一点,),( ba
.)( )( mfMf 或由费马定理可知,,),( 0)( baf
,,,,,dcbadcba皆为实数设
,))()()(()( dxcxbxaxxf
,,0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程 xf
,) ],[],,[],,[()( dccbbaCxf?
,0)()()()( dfcfbfaf又
,),(,)( 内可微在是四次多项式xf
得上运用罗尔中值定理在,],[,],[,],[ dccbba
,0)()()( 321 fff
例 1
证其中,,),(,),(,),( 321 dccbba
,0)( 至少有三个实根即 xf
,)( 是四次多项式xf?
,)( 是三次多项式xf
,0)( 至多有三个实根 xf
综上所述,
,0)( 仅有三个实根 xf
,),( ),,( ),,( 中分别在 dccbba
证明内可导在设,),(,]),([)( babaCxf
)()())()(( 2 22 xfabafbfx
,),( 内至少有一根在 ba
0)()())()(( 2 22 xfabafbfx
0) )()())()(( ( 222 xfabafbfx
)()())()(( 222 afabafbfa
)()())()(( 222 bfabafbfb
)()( 22 afbbfa?
例 2
分析证明内可导在设,),(,]),([)( babaCxf
)()())()(( 2 22 xfabafbfx
,),( 内至少有一根在 ba
例 2
证 )()())()(()( 222 xfabafbfxxF令
,)( 得的连续性和可导性则由 xf
,),( )(,]),([)( 内可导在 baxFbaCxF?
)()()()( 22 afbbfabFaF又由罗尔定理,至少存在一点 使得 ),( ba
0)()())()(( 2)( 22 fabafbfF
,),( 内至少有一根方程在即 ba
分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键,
满足其中实数,,1 naa?
012)1(3 121 naaa nn?
证明方程
0)12c o s (3c o sc o s 21 xnaxaxa n?
,2,0 内至少有一根在 ）（?
xnnaxaxaxF n )12s i n (123s i n3s i n)( 21令
,)( 02)0(FF则 且满足罗尔定理其它条件,
使故 2,0 )(
0)12c o s (3c o sc o s)( 21 naaaF n?
例 3
证
,2,0 内至少有一根即方程在 ）（?
,),(,]),([)( )( 内可导在、设 babaCxgxf?
,0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有 xgxf
2))((
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
则的两个根是如果,0)(,21?xfxx
0)( )()( )(
2
2
1
1
xg
xf
xg
xf,) 0)( (?xg这时必须例 4
分析证明方程且,0)()()()( ),,( xgxfxgxfbax
,),(,]),([)( )( 内可导在、设 babaCxgxf?
证明方程且,0)()()()( ),,( xgxfxgxfbax
,0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有 xgxf
例 4
证,0)( ),(,21 的两个根是设 xfbaxx
,0)( 21 及其之间没有根与在并设方程 xxxg?
,)( )()( xg xfxF?令
,21 xx?不妨假设
,0)( ）（此时?xg
,],[ )( 21 上满足罗尔定理条件在 xxxF
则由已知条件可知,
使得故至少存在一点,),( 21 xx
0)( )()()()()( 2 g gfgfF
.,0)()()()( 与已知矛盾从而 gfgf
该矛盾说明命题为真,
,)( 仍满足罗尔定理条件xf?
如果使用一次罗尔定理后,
能否再一次使用罗尔定理?
如果需要,当然可以使用,
例 5
证
,),( ]),,([)(),( 内二阶可导在设 babaCxgxf?
),,( ),()( ),()( ),()( bacbgbfcgcfagaf且
).()( ),,(, gfba 使得至少存在一点证明
,)()( ),()()( caxgxfx 则令
,0)( ),,(,11 使得至少存在一点由罗尔中值定理 ca
0.)( ),,(,22 使得至少存在一点同理 bc
,)( ],[ 21 则再运用罗尔中值定理上对函数在 x
),,(),( 21 使得至少存在一点 ba
,0)())((
).()( gf即例 6
证
,0)(,)( ),(?afIxgxf 且有上可微在区间设
0)()()(,,,0)( xgxfxfIbabf 证明方程
).,( 0 bax?至少存在一根
,),,( 0,)( 令所以由于 xeee xxx
,)()( )( xfexF xg?
,0)()()())(()( 0)(0)(0)(0 000 xgexfexfxfexF xgxgxxxg
,0)()(,),( ] ),,([)( bFaFbabaCxF 且内可导在
,则由已知条件可知
),(,0 使得至少存在一点故由罗尔中值定理 bax?
,,0)()()(,0 000)( 0 即得所证故有因为 xgxfxfe xg
引理 1
达布中值定理
,0)()(,],[ )( bfafbaxf 且上处处可导在设
,0)( ),,( fba 使得则至少存在一点达布中值定理
),()(,],[ )( bfafbaxf且上处处可导在设
,)( )(?之间的任何一个数值和则对介于 bfaf
,)( ),,( fba 使得都至少存在一点费马定理的一种推广
,)( 1 连续中不要求引理 xf?
证明引理 1,0)(,0)( bfaf不妨设
,0)()()(l i m 根据极限的保号性得由
afax afxf
ax
),(,0)()( aUxax afxf
).()( ),,()(?,11 afxfbaaUx 使得从而可推出?
,],[ )( )( 上的最小值在不是由此断定 baxfaf
,],[ )( )(,上的最小值在不是可以断定类似地 baxfbf
),( )(,使得内点可知至少存在一点综上所述 ba
,0)( ),(m i n)( ],[ fxff bax 故由费马定理得证明达布中值定理
,1
,)()(
即可利用推论作辅助函数
xxfxF
).(),(
)(),( 2 1
bfaf
bfaf
可以换成中的导数和推论推论请自己完成 !
O x
y
)( xfy?
a b
A B
A
B
P
ab
afbff
)()()(?如何描述 这一现象三,拉格朗日中值定理设 ; ]),([)( )1( baCxf?
,),( )( )2( 内可导在 baxf
则至少存在一点,),( 使得ba
ab
afbff
)()()(?
))(()()( abfafbf即定理
O x
y
)( xfy?
a b
A
B
切线与弦线 AB 平行
)()()()(
ax
ab
afbfafy
AB
的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？
)()()()()()( axab afbfafxfx令则由已知条件可得：
,]),([)( baCx,),( )( 内可导在 bax?
,0)()( ba且故由罗尔定理,至少存在一点 使得,),( ba
0)()()()( ab afbff
))(()()( abfafbf即证定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数
)()())()(()( xfabxafbfxF
定理中的公式均可写成还是不论 baba
),( ))(()()( 之间在 baabfafbf
拉格朗日有限增量公式
1)(0 )()()( xxxfxfxxf
) ( )( 之间与在 xxxxfy
式可写成拉格朗日中值定理的公
),( |||)(| |)()(| 之间在 baabfafbf
某一时刻达到它的平均速度,
拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到
t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在
？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可
)( )()()( abfafbf
)( )()()( 1212 xxfxfxf
).,( 0)( )1( baxxf,)( 常数?xf
,|)(| )2( Mxf,|| |)()(| 00 xxMxfxf
).0( 0)( )3( xf )( )(xf
还有什么？
)(?f?
))(()()( abfafbf
,I,,I,0)( 21 有则若 xxxxf
,0))(()()( 2121 xxfxfxf?
推论 1
,I,)(,I,0)( xCxfxxf 则若
,)()( 21 xfxf?
推论 2
)()())()(( xgxfxgxf
,I )()( xxgxf若
,I,0))()(()( xxgxfxF则
,I )()(,I )()( xCxgxfxxgxf 则若
( C 为常数 )
,I,)()()( xCxgxfxF
))(()()( abfafbf
推论 3
))(()()( abfafbf
,) )( ( |)(| 有界即若 xfMxf
,|| |||)(| |)()(| abMabfafbf则则且条件 ),,(,|)(|,baxMxf
|||)()(| abMafbf
理上满足拉格朗日中值定在若 ],[ )( baxf
用来证明一些重要的不等式推论 4
))(()()( abfafbf
,,I,1221 xxxx 不妨设
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf
,)()(,I 0)( 12 xfxfxxf 则若
,)()(,I 0)( 12 xfxfxxf 则若
,)0)(( 0)(,I )( xfxfxf 且可导在区间若
．减少上单调增加在区间则 )( I )( xf
用来判断函数的单调性在推论 4 中,
,),(,],[ )( 内可导在上连续在如果 babaxf
)(,)0)(( 0)( ],[ baxfxfxf 则可推出且
,))(( ],[ baxf?
,)0)(( 0)( 但仅在孤立点处出如果 xfxf
)(,0)( 上严格单调增仍在区间则现 Ixfxf
)(,)0)(( 0)( xfxfxfI 则上如果在区间
).( 严格单调减少上严格单调增加在区间 I
).( 严格单调减少加推论 5
)()(,I )(,)( agafxgxf?且内可导在区间设
,) I (?a,I),( )()( baxxgxf若 则
,),(,)()( baxxgxf
,0)(,0)(,)()()( axxgxfx 则令再由推论 4,即得命题成立,
该推论可以用来证明不等式,
证
,),(,3 的单调性讨论 xxy
O x
y 3xy?
,03)( 23 xxy
,0 时且仅当?x,0y
,),(3x故
,),( 时x解例 7
,0 时当证明,ba,ln a ababb ab
)(1lnln)(1 abaababb即要证
,]b,[,ln)( axxxf令
,],[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则 baxf
故,)(1lnln baabab
从而,ln a ababb ab
例 8
证
.,1 xeex x 时当证明：
)1( ln1 xxx即要证
))(()()( abfafbf比较有上运用在,01ln ],1[?x,1lnln1 xx
],,1[ ln)( 则由拉格朗日中值定理令 xtttf
).1(,1)1(11lnln xxxx得
,,1 exex x 时故当例 9
证
,]1,1[,2ar cco sar cs i n xxx?证明：
,0)1 1(1 1)a r c c o s( a r c s i n 22 xxxx
,]1,1[ 时当x
)1,1( a r c co sa r c s i n xCxx故从而计算得取,2 0 Cx
,)1,1( 2ar cco sar cs i n xxx?
例 10
证
,) ]1,1[ ()ar cc o s( ar cs i n 可得由 Cxx
,]1,1[ 2ar cco sar cs i n xxx?
延拓 !
内满足关系式在若证明,),( )(xf
.)(,)()(,1)0( xexfxfxff 则
,),(,1)( xe xf x即要证
),,(,)()( xe xfx x?令 Cx?)(?证问题转化为
x
xx
e
exfexfx
2
)()()( ),,(,0 x
例 11
证
).,(,)( xCx?,1)0( f又
)()( Ce xfx x 1)0()0( 0 ef?故,1?C
从而,),(,)( xexf x
],[ )(,523)( 2 baxfxxxf 在求设
,值理的上满足拉格朗日中值定?
],[ )( 满足拉格朗日中值在易验证 baxf
,定理的条件
,)2 ) ((6)52(35)2(3 22 abaabb由
,6)(3 ab得
,2 ab从而所求为
))(()()( abfafbf
例 12
解
,]2,0[ s i n 上的单调性在讨论?xxy
,) ]2,0[ (s i n?Cxxy
,)2,0(,0c o s1 xxy
,s i n ]2,0[ xxy
例 13
解
,)1l n (,0 xxx 时：证明
,),0[,)1l n ()( xxxxf令
,) ),0[ ()( Cxf则,0)0(?f
又,) 0(,01 11)( 时 xxxf
故,)( ),0[xf
从而,)0(,0)0()( xfxf
即,)1l n (,0 xxx 时例 14
证
,1)1l n (,0 xxxx 时：证明
,)1l n ()( xxf令,),0[,1)( xxxxg
则,0)0()0( gf
又,1 1)( xxf,)1( 1)( 2xxg
且,),0(,)()( xxgxf
故,),0(,)()( xxgxf
即,1)1l n (,0 xxxx 时
,) ( 0,)( ),( 内可导在xgxf
例 15
证的参数方程为设弧 AB
],[
)(
)(
bat
tgx
tfy
斜率为上任意一点处的切线的则弧 AB
)(
)(
d
d
tg
tf
x
y
的斜率为而弦 AB
)()(
)()(
agbg
afbfk
O x
y
A
B
)( xfy?
在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？
,,P至少存在一点由拉格朗日中值定理使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等,
则有点设对应于,,tP
)0)((
)(
)(
)()(
)(
tg
g
f
agbg
afbf
注意,
并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定,
,)( )( 真正具有任意性时与当 tgtf
.上述结论就是柯西定理
)( )( 之间与中曲线的参数方程表示式 tgtf
四,柯西中值定理设 ; ]),([)(,)( )1( baCxgxf?
,),( )(,)( )2( 内可导在 baxgxf
则至少存在一点,),( 使得ba
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
,0)( xg且有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,
就可证明柯西中值定理了,
,]),([)(,)( baCxgxf?
,),( )(,)( 内可导在 baxgxf
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
故
,0)( xg且条件满足拉格朗日中值定理上在,],[ )(,)( baxgxf
相同吗？两个?
)())()(()())()(()( xfagbgxgafbfxF令
],[ bax?
,),( )(,]),([)( 内可导在则 baxFbaCxF?
)()()()()()( afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点,),( ba
使得
0)())()(()())()(( fagbggafbf
即,0)(F
)(
)(
)()(
)()(
g
f
agbg
afbf
亦即,),( ba
证
:,21 证明同号与设 xx
)()1( 2121 12 xxeexex xx
.,21 之间与在其中 xx?
,0,2121 之间与不在故同号与 xxxxx?
e
xx
exex xx )1(
21
21
12
即要证
12
12
21
21
11
12
12
xx
x
e
x
e
xx
exex
xx
xx
而例 16
:,21 证明同号与设 xx
)()1( 2121 12 xxeexex xx
.,21 之间与在其中 xx?
例 16
证,1)(,)( xxgxexf
x
令为端点的区间内和在以易验证 )( ),( 21 xxxgxf
,)1(
111
2
2
12
12
12
e
ee
xx
x
e
x
e
xx
,,)()1( 212121 12 之间与在即 xxxxeexex xx
,,0 从而有件且满足柯西中值定理条?x
,)(
1
xexxf?此题也可令构成的区间上与然后在 1 1
21 xx
,明用拉格朗日中值定理证三个中值定理的关系
Rolle Lagrange Cauchy
图形旋转 参数方程
xxg?)()()( bfaf?
