高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十四讲 不定积分及其计算脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数的积分学第三节 不定积分及其计算一,不定积分的概念二,不定积分的计算定义 上的全体原函数的集合在区间 I )( xf
} I,)()( | )({ xxfxFxF
记为上的不定积分在称为,I )( xf
) ( )(d)( 为任意常数CCxFxxf
的一个原函数；为其中 )( )(,xfxF
称为被积表达式；称为被积函数 d)(,)( xxfxf
称为不定积分号；?,称为积分常数C
一,不定积分的概念
,)(,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上 xf
,)( 的不定积分为求函数 xf
,运算求不定积分是求导的逆例如：;d2,2)( 22 Cxxxxx;s in dc o s,c o s)( s in Cxxxxx
.||lnd1,1)||( l n Cxxxxx
每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数 C
就成为一个求不定积分的公式,
不定积分与定积分是两个不同的概念,
,)(limd)(,
10||||
n
i
iix
b
a xfxxf?限定积分是一种和式的极
),()(,则算不定积分是求导的逆运 xfxF
,)(d)( CxFxxf
请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述,
二,不定积分的计算利用不定积分的性质换元法 ( 第一、第二 )
分部积分法部分分式法
1,利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质,
性质 1 ),()d)(( xfxxf
,d)(d)(d xxfxxf
,)(d)( Cxfxxf
,)()(d Cxfxf
逆运算性质 2 则设 ( I ),)( ),(
21 Rxfxf?
,d)(d)(d)]()([ 2121 xxfbxxfaxxbfxaf
,,,为常数其中 ba
,函数的和的形式该性质可推广至有限个线性性质例 1,d)12( 33 xx求解 d1)6128(d)12( 24633 xxxxxx
xxxxxxx dd6d12d8 246
,251278 357 Cxxxx
例 2,d1 132
2?
x
x
xx求解 ) ( 16521 132 2 除法 xxx xx
xxxxx xx d)1652(d1 132 2
xxxxx d116d5d2
,|1|ln652 Cxxx
绝对值例 3,d13 2
2?
xx
x求解 xxxxxxxx x d1 13d3d1 333d13 2222 2
,a r c t a n33 Cxx
利用加一项、减一项的方法,
例 4,1 d xex求解 xeexxe eeex xxx xxx d1dd111 d
,)1ln ( Cex x
利用加一项、减一项的方法,
例 5,)( ))(( d babxax x求解
xbxaxbabxax
x d111
))((
d
xbxxaxba d1d11
,ln1 Cbx axba
部分分式法例 6,ds i nc o s 2c o s 22? xxx x求解 ds inc o s s inc o sds inc o s 2c o s 22 2222 xxx xxxxx x
xxxx dc o s1ds i n1 22
,t a nc o t Cxx
,下面看另一种解法例 6,ds i nc o s 2c o s 22? xxx x求解 xxx xxxx x ds i nc o s4 2c o s 4ds i nc o s 2c o s 2222
xx x d)2( s in 2c o s2 2 22
1
v
v
v
,2s i n2 Cx
有何想法？两个解法答案不同，你例 7,s i n1 d xx求解 d )s in1)(s in1( s in1 s in1 d xxx xxx
xxx dc o ss i n1 2
xxxxx dc o ss i ndc o s1 22
,s e ct a n Cxx
想想它是谁的导数？
怎么做？
利用平方差公式例 8,d2? xe xx求解 Ceexexe xxxx )2l n ( )(2 d)2(d2
,2ln1 2 Ce xx aaa xx ln)(
例 9,d | | xe x求解,0 时当?x,dd 1| | Cexexe xxx
,0 时当?x,dd 2| | Cexexe xxx
,故必是连续函数由于一个函数的原函数
,)(l im)(l im 2010 CeCe xxxx
,2 21 从而即有 CC
,0,
,0,2d| |
xCe
xCexe
x
x
x,) ( 为积分常数C
2,不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的,
现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 —— 不定积分换元法,它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的,
(1) 不定积分的第一换元法
,公式首先看复合函数的导数
)( ),( 上的可构成区间设可微函数 IxuuFy
),())(()))((( xxFxF
) ),(( 则可微的复合函数 xFy
它的微分形式为
xxxFxF d)())(() ) )((d(
),()( 则记 ufuF
,d)(d)())(()))((d( uufxxxfxF
看出点什么东西没有?
原函数? 被积表达式?
也是被积表达式?
定理
,)( )( 上的一个原函数在区间是设 IufuF
,)( ),()( 且上可微在区间又 JxuICuf
,)( 上有则在区间 JIJ
,))((
)(
d)(d)())((
CxF
CuF
uufxxxf
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
证明过程请看书 !
例 10
解
,dc o ss i n 3 xxx?求
,dco sd,s i n 故则令 xxuxu
uuxxx ddc o ss in 33
Cu 441
C 4s in41
例 11
解
,ds i n 3? xx求
,s in)c o s1(s ins ins in 223 xxxxx由于
,ds i nd,co s 得从而，则故令 xxuxu
)d)(1(ds in)c o s1(ds in 223 uuxxxxx
ddd)1( 22 uuuuu
,c o sc o s3131 33 CxCuu
常用的公式有：; )s in( d)(dc o s)( s in )1( xuuufxxxf; )c o s( d)(ds in)( c o s )2( xuuufxxxf
; )t a n( d)(c o sd)( t a n )3( 2 xuuufxxxf; )s in( d)1(dc o ss in )4( 1212 xuuuuxxx nmnm; )c o s( d)1(dc o ss in )5( 1212 xuuuuxxx nmmn; )t a n( )1( ddc o ss i n )6( 12
2
22 xu
u
uuxxx
nm
m
nm?
; )c o s( )1( dus in d )7( 222 xuuxx nn; )s in( )1( dc o s d )8( 222 xuuuxx nn; )ta n( d)1(s in d )9( 2 122 xuuu uxx n nn; )t a n( d)1(c o sd )10( 122 xuuuxx nn
., Znm其中例 12
解
,dc o ss in 310? xxx计算
,dco sd,s i n 于是则令 xxuxu
uuuxxx d)1(dc o ss in 210310
uuu d)( 1210
Cuu 1311 131111
,s i n131s i n111 1311 Cxx
例 13
解
,c o s d 4? xx计算
,c o s dd t a n 2 于是，则令 xxuxu
xxxxxxxx dc o s1s e cdc o s1c o s1c o sd 22224
xxx 22 c o sd)t a n1(
,t a n31t a n31 33 CxxCuu
uu d)1( 2
例 14
解
,ds e c? xx求
xx xxxxx ds e c s e c)s e c( ta n ds e c
xxx xx ds e ct a n )s e c( t a n
,|s e ct a n|ln Cxx
C
x
x
C
u
u
u
u
x
xx
x
xx
xx
1s i n
1s i n
ln
2
1
1
1
ln
2
1
1
d
s i n1
dc o s
c o s
dc o s
ds e c
222
则有此题若按下面方式做，
Cxfxxf xf |)(|lnd)( )(,一般有例 15
解
,ds e cta n 35? xxx计算
xxxxxxxx ds e cta ns e cta nds e cta n 2435
xxxx ds e cta ns e c)1( s e c 22
xu s e c?令 uuu d)1( 222
uuuu d)2( 246
Cuuu 357 315271
Cxxx 357 s e c31s e c52s e c71
例 16
解
,ln d? xx x求于是则令,1d,ln xuxu
Cuuuxx x ||lndlnd
,|ln|ln Cx
,)ln( d)(d)( ln
:
xuuufx xxf
一般公式例 17
解
,d1 4 xxx求
,d2d,2 故则令 xxuxu
24 1 d21d1 uuxxx
,a r c ta n21a r c ta n21 2 CxCu
,)( d)(1d)(
:
1 nnn xuuuf
n
xxxf
一般公式为例 18
解
,d1 2 xe ex x求
,dd,故则令 xeueu xx
1dd1 22 u uxe ex x
,a r c t a na r c t a n CeCu x
,)( d)(d)(
:
xkxkx euuufxeef
一般公式为例 19
解
,1 d 4xxx计算
，故，则令 xxuxu d2d 2
24 1 d211 d uuxxx
Cuu |1 |ln21 2
,)1 l n (21 42 Cxx
例 20
解
,
)1 ln ()1(
d
22 xxx
x计算
，故，则令 1 dd )1 ln ( 2xxuxxu
d
)1 ln ()1(
d
22 u
u
xxx
x
2 Cu
,) 1 ln ( 2 2 Cxx
例 21
解
,d)ln( ln1 2 xxx x计算
x
x
xx
x
xxx
x d
)ln1(
ln1
d)ln(
ln1
22
2
dln1d ln1 2,故，则令 xx xux xu
dd)ln( ln1 22 u uxxx x
1 Cu
,ln Cxx x
例 22
解
,)0( d axxa xa计算
xxa xaxxa xa dd 22
2222 dd xa xxxa xa
22 222 )d(21)/(1 )/d( xa xaax axa
,a r c s i n 22 Cxaaxa
例 23
解
,d)1( a rc t a n xxx x计算
，故，则令 xxuxu 2 dd
uu uxxx x d1a rc t a n2d)1( a rc t a n 2
，从而，则令 21 dd a r c t a n uuvuv
d2d)1( a rc t a n vvxxx x
Cv 2
,) ( a r c ta n)( a r c ta n 22 CxCu
换元法可以连续使用
(2) 不定积分的第二换元法
d)(d)())(( 是被积表达式第一换元法, uufxxxf
常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子 )( x
。，而不能分出因子式的积分,)( d)( xxxf
将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数
ttgtttf d)(d)())(( xxf d)(
)( tx令
CtF?)( 容易积出,应满足什么条件？想想函数 )( t?
定理上在区间，函数设函数 * )( )()( ItxICxf
。，且严格单调增加，可微,IIt )( 0)( *
)( )())(( *,则上有原函数在区间若 tFIttf
上有在区间 I
,))((d)( 1 CxFxxf
是积分常数。的反函数；是其中,)( )( 1 Ctx
分第二换元法。该定理描述的是不定积证 存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数 )(1 xt
上单调增加、可微。且在 I
导法则，有由复合函数及反函数求
))(())(()))((( 111 xxFxF
)(
1)(
ttF
)(
1)())((
tttf.
)())((
)(
的原函数是
ttf
tF
))(( tf,)(xf?
)( ))(( 1 上的一个原函数，故在是即 IxfxF
,))((d)( 1 CxFxxf
0)( t?
例 24
解
).0( d 22 aax x计算计算。
第一换元法此题可以用算。现在采用第二换元法计
22 ds e cd t a n 2,故－，，则令 tttaxtax
ta ttaax x s e c ds e cd 222
tt dse c
1|t ans ec|ln Ctt
)ln (,||ln 122 aCCCaxx
22 ax? x
a
t
的表达式的积分，、一般说来，含有 2222 axxa
。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量 xt
例 25
解
,)0( d 22 aax x计算
,),(),( 1)( 22 aaaxxf?的连续区间为时 ),( )1( ax
dta ns e cd 20 s e c,故，则，令 tttaxttax
ta tttaax x ta n dta ns e cd 22
tt dse c
1 |t ans ec|ln Ctt
) ln (,||ln 122 aCCCaxx ＝
x
a
t
22 ax?
时 ),( )2( ax
dta ns e cd 2 s e c,故，则，令 tttaxttax
ta tttaax x ta n dta ns e cd 22
tt ds e c
1 |t ans ec|ln Ctt
||ln 222 Caxx
0?x
222
2222 ))((
ln Caxx axxaxx
)ln(,||ln 122 aCCCaxx
),( ),( 均有或综上所述，不论 axax
).0(,||lnd 2222 aCaxxax x
。而只是作“形式”计算
，，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时例 26
解
,)0( d 22 axxa计算故则令,dc o sd,22,s i n ttaxttax
dc o sdc o sc o sd 2222 ttattataxxa
tta d2 2c o s12
Ctta ) 2s in21 (2 2
,2a r c s in2
222
Cxaxaxa
xa
t
22 xa?
例 27
解
,)0( )( d 322 axa x计算
,dc o sd,22,s i n 故则令 ttaxttax
ttaxa x 22322 c o sd1)( d
Cta t a n12
,222 Cxaa x
xa
t
22 xa?
例 28
解
,d 3 xx x计算
,6
,,3
1
32
1
为分母的最小公倍数的指数部分的它们
xxxx
,0,61 txt令
,d 6d,56 故则 ttxtx
tt txx x d1 6d 33 ttt d1 116 3
tttt d) 111 (6 2
Ctttt |1|ln6 6 3 2 23
,)1l n (6632 663 Cxxxx
,,,,,
.,
,,,,
21
1
1
的最小公倍数为分母其中可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来
n
k
q
p
q
p
qqqk
xt
xxx n
n
例 29
解
,)1( d 24xx x计算
),0,0 (,dd,1 2 故则令 txt txtx
1d)1( d 2424 t ttxx x
ttt d1 1)1( 24
d)111( 22 ttt
Cttt a r c ta n33
,1a r c t a n13 1 3 Cxxx
此法称为“倒代换”法积分经常有效：“倒代换”法对于下列
)( d 2 cbxaxnmx x ) 1 ( tnmx令的好方法。倒代换法是一个去分母例 30
解
,)1( 123 d 2 xxxx x计算
,dd,1 2 故则令 x xtxt
22 23 d 123 d tttxxx x 2)1(4 d tt
,)10( dc o s2d,s i n21 从而则令 tt
22 c o s 2 dc o s2 123 d xxx xd
C,21a r c s i n Cxx
掉根式。积分，原则上是设法去对于含有根式的函数的分。的不含根式的函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的例 31
解
,1 d xx计算
d 2d,故，则令 ttxxt
tttxx 1 d 21 d
ttt d1 11 2
tt d) 111 ( 2
Ctt ) |1|ln ( 2
,)1l n (22 Cxx
例 32
解
,1 d 2
5?
x
xx计算
dd 1 1 222,故，，则令 ttxxtxxt
ttxxx d)1( 1 d 2225
ttt d)1 2( 24
Cttt 35 3251
,1 )1 (32)1 (51 23252 Cxxx
例 33
解
,d111 xxxx计算
121 )1( d 4d 11 222,故，，则令 txt ttxxxt
)1)(1( d 4d1121 22 2 tt ttxxx
ttt tt d)1)(1( )1()1( 2 22 22 1d21d2 22 t tt t
Cttt a r c ta n2|1| |1|ln
Cxxxx xx 11a r c t a n2|11| |11|ln
例 34
解
,522 d 2 xx x计算
4)1(2 d522 d 22 x xxx x
,ds e c2d,t a n21 2 故则令 ttxtx
tttxx x s e c1 ds e c522 d 22 ttt c o s)c o s1( d
tttt c o s1 dc o sd tttt d2s e c 21ds e c 2
12t a n |t a ns e c|ln C
ttt
,1 252 |152|ln
2
2 C
x
xxxxx?
t
tt
s i n
c o s1
2t a n
配方例 35
解
).0( d
22
axx xa计算
dc o sd 20 s in,故，则，令 ttaxttax
ta ttaxx xa s in dc o s d 222 tt tta ds in s inc o s 22
221 )d( u uuatu c os?令 uua d)111 ( 2
Cuuaua |1| |1|ln2
,||ln
22
22 C
x
xaaaxa混合使用。
第二换元法可该例说明第一、
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十四讲 不定积分及其计算脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第五章 一元函数的积分学第三节 不定积分及其计算一,不定积分的概念二,不定积分的计算定义 上的全体原函数的集合在区间 I )( xf
} I,)()( | )({ xxfxFxF
记为上的不定积分在称为,I )( xf
) ( )(d)( 为任意常数CCxFxxf
的一个原函数；为其中 )( )(,xfxF
称为被积表达式；称为被积函数 d)(,)( xxfxf
称为不定积分号；?,称为积分常数C
一,不定积分的概念
,)(,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上 xf
,)( 的不定积分为求函数 xf
,运算求不定积分是求导的逆例如：;d2,2)( 22 Cxxxxx;s in dc o s,c o s)( s in Cxxxxx
.||lnd1,1)||( l n Cxxxxx
每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数 C
就成为一个求不定积分的公式,
不定积分与定积分是两个不同的概念,
,)(limd)(,
10||||
n
i
iix
b
a xfxxf?限定积分是一种和式的极
),()(,则算不定积分是求导的逆运 xfxF
,)(d)( CxFxxf
请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述,
二,不定积分的计算利用不定积分的性质换元法 ( 第一、第二 )
分部积分法部分分式法
1,利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质,
性质 1 ),()d)(( xfxxf
,d)(d)(d xxfxxf
,)(d)( Cxfxxf
,)()(d Cxfxf
逆运算性质 2 则设 ( I ),)( ),(
21 Rxfxf?
,d)(d)(d)]()([ 2121 xxfbxxfaxxbfxaf
,,,为常数其中 ba
,函数的和的形式该性质可推广至有限个线性性质例 1,d)12( 33 xx求解 d1)6128(d)12( 24633 xxxxxx
xxxxxxx dd6d12d8 246
,251278 357 Cxxxx
例 2,d1 132
2?
x
x
xx求解 ) ( 16521 132 2 除法 xxx xx
xxxxx xx d)1652(d1 132 2
xxxxx d116d5d2
,|1|ln652 Cxxx
绝对值例 3,d13 2
2?
xx
x求解 xxxxxxxx x d1 13d3d1 333d13 2222 2
,a r c t a n33 Cxx
利用加一项、减一项的方法,
例 4,1 d xex求解 xeexxe eeex xxx xxx d1dd111 d
,)1ln ( Cex x
利用加一项、减一项的方法,
例 5,)( ))(( d babxax x求解
xbxaxbabxax
x d111
))((
d
xbxxaxba d1d11
,ln1 Cbx axba
部分分式法例 6,ds i nc o s 2c o s 22? xxx x求解 ds inc o s s inc o sds inc o s 2c o s 22 2222 xxx xxxxx x
xxxx dc o s1ds i n1 22
,t a nc o t Cxx
,下面看另一种解法例 6,ds i nc o s 2c o s 22? xxx x求解 xxx xxxx x ds i nc o s4 2c o s 4ds i nc o s 2c o s 2222
xx x d)2( s in 2c o s2 2 22
1
v
v
v
,2s i n2 Cx
有何想法？两个解法答案不同，你例 7,s i n1 d xx求解 d )s in1)(s in1( s in1 s in1 d xxx xxx
xxx dc o ss i n1 2
xxxxx dc o ss i ndc o s1 22
,s e ct a n Cxx
想想它是谁的导数？
怎么做？
利用平方差公式例 8,d2? xe xx求解 Ceexexe xxxx )2l n ( )(2 d)2(d2
,2ln1 2 Ce xx aaa xx ln)(
例 9,d | | xe x求解,0 时当?x,dd 1| | Cexexe xxx
,0 时当?x,dd 2| | Cexexe xxx
,故必是连续函数由于一个函数的原函数
,)(l im)(l im 2010 CeCe xxxx
,2 21 从而即有 CC
,0,
,0,2d| |
xCe
xCexe
x
x
x,) ( 为积分常数C
2,不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的,
现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 —— 不定积分换元法,它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的,
(1) 不定积分的第一换元法
,公式首先看复合函数的导数
)( ),( 上的可构成区间设可微函数 IxuuFy
),())(()))((( xxFxF
) ),(( 则可微的复合函数 xFy
它的微分形式为
xxxFxF d)())(() ) )((d(
),()( 则记 ufuF
,d)(d)())(()))((d( uufxxxfxF
看出点什么东西没有?
原函数? 被积表达式?
也是被积表达式?
定理
,)( )( 上的一个原函数在区间是设 IufuF
,)( ),()( 且上可微在区间又 JxuICuf
,)( 上有则在区间 JIJ
,))((
)(
d)(d)())((
CxF
CuF
uufxxxf
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
证明过程请看书 !
例 10
解
,dc o ss i n 3 xxx?求
,dco sd,s i n 故则令 xxuxu
uuxxx ddc o ss in 33
Cu 441
C 4s in41
例 11
解
,ds i n 3? xx求
,s in)c o s1(s ins ins in 223 xxxxx由于
,ds i nd,co s 得从而，则故令 xxuxu
)d)(1(ds in)c o s1(ds in 223 uuxxxxx
ddd)1( 22 uuuuu
,c o sc o s3131 33 CxCuu
常用的公式有：; )s in( d)(dc o s)( s in )1( xuuufxxxf; )c o s( d)(ds in)( c o s )2( xuuufxxxf
; )t a n( d)(c o sd)( t a n )3( 2 xuuufxxxf; )s in( d)1(dc o ss in )4( 1212 xuuuuxxx nmnm; )c o s( d)1(dc o ss in )5( 1212 xuuuuxxx nmmn; )t a n( )1( ddc o ss i n )6( 12
2
22 xu
u
uuxxx
nm
m
nm?
; )c o s( )1( dus in d )7( 222 xuuxx nn; )s in( )1( dc o s d )8( 222 xuuuxx nn; )ta n( d)1(s in d )9( 2 122 xuuu uxx n nn; )t a n( d)1(c o sd )10( 122 xuuuxx nn
., Znm其中例 12
解
,dc o ss in 310? xxx计算
,dco sd,s i n 于是则令 xxuxu
uuuxxx d)1(dc o ss in 210310
uuu d)( 1210
Cuu 1311 131111
,s i n131s i n111 1311 Cxx
例 13
解
,c o s d 4? xx计算
,c o s dd t a n 2 于是，则令 xxuxu
xxxxxxxx dc o s1s e cdc o s1c o s1c o sd 22224
xxx 22 c o sd)t a n1(
,t a n31t a n31 33 CxxCuu
uu d)1( 2
例 14
解
,ds e c? xx求
xx xxxxx ds e c s e c)s e c( ta n ds e c
xxx xx ds e ct a n )s e c( t a n
,|s e ct a n|ln Cxx
C
x
x
C
u
u
u
u
x
xx
x
xx
xx
1s i n
1s i n
ln
2
1
1
1
ln
2
1
1
d
s i n1
dc o s
c o s
dc o s
ds e c
222
则有此题若按下面方式做，
Cxfxxf xf |)(|lnd)( )(,一般有例 15
解
,ds e cta n 35? xxx计算
xxxxxxxx ds e cta ns e cta nds e cta n 2435
xxxx ds e cta ns e c)1( s e c 22
xu s e c?令 uuu d)1( 222
uuuu d)2( 246
Cuuu 357 315271
Cxxx 357 s e c31s e c52s e c71
例 16
解
,ln d? xx x求于是则令,1d,ln xuxu
Cuuuxx x ||lndlnd
,|ln|ln Cx
,)ln( d)(d)( ln
:
xuuufx xxf
一般公式例 17
解
,d1 4 xxx求
,d2d,2 故则令 xxuxu
24 1 d21d1 uuxxx
,a r c ta n21a r c ta n21 2 CxCu
,)( d)(1d)(
:
1 nnn xuuuf
n
xxxf
一般公式为例 18
解
,d1 2 xe ex x求
,dd,故则令 xeueu xx
1dd1 22 u uxe ex x
,a r c t a na r c t a n CeCu x
,)( d)(d)(
:
xkxkx euuufxeef
一般公式为例 19
解
,1 d 4xxx计算
，故，则令 xxuxu d2d 2
24 1 d211 d uuxxx
Cuu |1 |ln21 2
,)1 l n (21 42 Cxx
例 20
解
,
)1 ln ()1(
d
22 xxx
x计算
，故，则令 1 dd )1 ln ( 2xxuxxu
d
)1 ln ()1(
d
22 u
u
xxx
x
2 Cu
,) 1 ln ( 2 2 Cxx
例 21
解
,d)ln( ln1 2 xxx x计算
x
x
xx
x
xxx
x d
)ln1(
ln1
d)ln(
ln1
22
2
dln1d ln1 2,故，则令 xx xux xu
dd)ln( ln1 22 u uxxx x
1 Cu
,ln Cxx x
例 22
解
,)0( d axxa xa计算
xxa xaxxa xa dd 22
2222 dd xa xxxa xa
22 222 )d(21)/(1 )/d( xa xaax axa
,a r c s i n 22 Cxaaxa
例 23
解
,d)1( a rc t a n xxx x计算
，故，则令 xxuxu 2 dd
uu uxxx x d1a rc t a n2d)1( a rc t a n 2
，从而，则令 21 dd a r c t a n uuvuv
d2d)1( a rc t a n vvxxx x
Cv 2
,) ( a r c ta n)( a r c ta n 22 CxCu
换元法可以连续使用
(2) 不定积分的第二换元法
d)(d)())(( 是被积表达式第一换元法, uufxxxf
常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子 )( x
。，而不能分出因子式的积分,)( d)( xxxf
将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数
ttgtttf d)(d)())(( xxf d)(
)( tx令
CtF?)( 容易积出,应满足什么条件？想想函数 )( t?
定理上在区间，函数设函数 * )( )()( ItxICxf
。，且严格单调增加，可微,IIt )( 0)( *
)( )())(( *,则上有原函数在区间若 tFIttf
上有在区间 I
,))((d)( 1 CxFxxf
是积分常数。的反函数；是其中,)( )( 1 Ctx
分第二换元法。该定理描述的是不定积证 存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数 )(1 xt
上单调增加、可微。且在 I
导法则，有由复合函数及反函数求
))(())(()))((( 111 xxFxF
)(
1)(
ttF
)(
1)())((
tttf.
)())((
)(
的原函数是
ttf
tF
))(( tf,)(xf?
)( ))(( 1 上的一个原函数，故在是即 IxfxF
,))((d)( 1 CxFxxf
0)( t?
例 24
解
).0( d 22 aax x计算计算。
第一换元法此题可以用算。现在采用第二换元法计
22 ds e cd t a n 2,故－，，则令 tttaxtax
ta ttaax x s e c ds e cd 222
tt dse c
1|t ans ec|ln Ctt
)ln (,||ln 122 aCCCaxx
22 ax? x
a
t
的表达式的积分，、一般说来，含有 2222 axxa
。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量 xt
例 25
解
,)0( d 22 aax x计算
,),(),( 1)( 22 aaaxxf?的连续区间为时 ),( )1( ax
dta ns e cd 20 s e c,故，则，令 tttaxttax
ta tttaax x ta n dta ns e cd 22
tt dse c
1 |t ans ec|ln Ctt
) ln (,||ln 122 aCCCaxx ＝
x
a
t
22 ax?
时 ),( )2( ax
dta ns e cd 2 s e c,故，则，令 tttaxttax
ta tttaax x ta n dta ns e cd 22
tt ds e c
1 |t ans ec|ln Ctt
||ln 222 Caxx
0?x
222
2222 ))((
ln Caxx axxaxx
)ln(,||ln 122 aCCCaxx
),( ),( 均有或综上所述，不论 axax
).0(,||lnd 2222 aCaxxax x
。而只是作“形式”计算
，，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时例 26
解
,)0( d 22 axxa计算故则令,dc o sd,22,s i n ttaxttax
dc o sdc o sc o sd 2222 ttattataxxa
tta d2 2c o s12
Ctta ) 2s in21 (2 2
,2a r c s in2
222
Cxaxaxa
xa
t
22 xa?
例 27
解
,)0( )( d 322 axa x计算
,dc o sd,22,s i n 故则令 ttaxttax
ttaxa x 22322 c o sd1)( d
Cta t a n12
,222 Cxaa x
xa
t
22 xa?
例 28
解
,d 3 xx x计算
,6
,,3
1
32
1
为分母的最小公倍数的指数部分的它们
xxxx
,0,61 txt令
,d 6d,56 故则 ttxtx
tt txx x d1 6d 33 ttt d1 116 3
tttt d) 111 (6 2
Ctttt |1|ln6 6 3 2 23
,)1l n (6632 663 Cxxxx
,,,,,
.,
,,,,
21
1
1
的最小公倍数为分母其中可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来
n
k
q
p
q
p
qqqk
xt
xxx n
n
例 29
解
,)1( d 24xx x计算
),0,0 (,dd,1 2 故则令 txt txtx
1d)1( d 2424 t ttxx x
ttt d1 1)1( 24
d)111( 22 ttt
Cttt a r c ta n33
,1a r c t a n13 1 3 Cxxx
此法称为“倒代换”法积分经常有效：“倒代换”法对于下列
)( d 2 cbxaxnmx x ) 1 ( tnmx令的好方法。倒代换法是一个去分母例 30
解
,)1( 123 d 2 xxxx x计算
,dd,1 2 故则令 x xtxt
22 23 d 123 d tttxxx x 2)1(4 d tt
,)10( dc o s2d,s i n21 从而则令 tt
22 c o s 2 dc o s2 123 d xxx xd
C,21a r c s i n Cxx
掉根式。积分，原则上是设法去对于含有根式的函数的分。的不含根式的函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的例 31
解
,1 d xx计算
d 2d,故，则令 ttxxt
tttxx 1 d 21 d
ttt d1 11 2
tt d) 111 ( 2
Ctt ) |1|ln ( 2
,)1l n (22 Cxx
例 32
解
,1 d 2
5?
x
xx计算
dd 1 1 222,故，，则令 ttxxtxxt
ttxxx d)1( 1 d 2225
ttt d)1 2( 24
Cttt 35 3251
,1 )1 (32)1 (51 23252 Cxxx
例 33
解
,d111 xxxx计算
121 )1( d 4d 11 222,故，，则令 txt ttxxxt
)1)(1( d 4d1121 22 2 tt ttxxx
ttt tt d)1)(1( )1()1( 2 22 22 1d21d2 22 t tt t
Cttt a r c ta n2|1| |1|ln
Cxxxx xx 11a r c t a n2|11| |11|ln
例 34
解
,522 d 2 xx x计算
4)1(2 d522 d 22 x xxx x
,ds e c2d,t a n21 2 故则令 ttxtx
tttxx x s e c1 ds e c522 d 22 ttt c o s)c o s1( d
tttt c o s1 dc o sd tttt d2s e c 21ds e c 2
12t a n |t a ns e c|ln C
ttt
,1 252 |152|ln
2
2 C
x
xxxxx?
t
tt
s i n
c o s1
2t a n
配方例 35
解
).0( d
22
axx xa计算
dc o sd 20 s in,故，则，令 ttaxttax
ta ttaxx xa s in dc o s d 222 tt tta ds in s inc o s 22
221 )d( u uuatu c os?令 uua d)111 ( 2
Cuuaua |1| |1|ln2
,||ln
22
22 C
x
xaaaxa混合使用。
第二换元法可该例说明第一、
