高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十讲 泰勒中值定理脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第七节 泰勒中值定理第四章 一元函数的导数与微分一,带皮亚诺余项的泰勒公式二,带拉格朗日余项的泰勒公式三,泰勒公式的几何应用泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：
微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式拉格朗日中值定理 泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
,)( 0)( 则在该邻域内有存在xf n
))((o)(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxxxk xfxf
))(()( 000 xxxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
))o ( ( 0 nxx
,公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为 n
一,带皮亚诺余项的泰勒公式
) (o ! )0()(
0
)(
nk
n
k
k
xxkfxf
xff )0()0( 2 ! 2 )0( xf
n
n
xnf ! )0(
)(
) (o nx?
带皮亚诺余项的马克劳林公式
,0 0 时的泰勒公式就是?x
))(()()( 000 xxxfxfxf
))((o)(2 )( 20200 xxxxxf
))o ( ()( 30303 xxxxa
3?a
3
0
3
03
2
0
0
000
)(
)()(
2
)())(()()(
lim
0 xx
xxaxxxfxxxfxfxf
xx?
0? 运用罗必达法则计算极限,
2
0
2
03000
)(3
)(3))(()()(lim0
0 xx
xxaxxxfxfxf
xx?
)(23
)(23)()(l i m
0
030
0 xx
xxaxfxf
xx
30
0
)(23
)()(l i m
0
axx xfxf
xx
,! 3 )(,)( 030 xfaxf 则存在若
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
))((o)(! 3 )( 30300 xxxxxf
该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式,
仿照以上的做法,继续进行下去,
即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式,
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,阶拉格朗日余项称为 n
二,带拉格朗日余项的泰勒公式
,勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为 n
则通常可记,1)(0 )( 00 xxx
))(()()( 000 xxxfxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
1
0
00
)1(
)(! )1( ))((?
n
n
xxn xxxf?
)10(
0x x?
)( ! )0()(
0
)(
xRxkfxf nk
n
k
k
xff )0()0( 2 ! 2 )0( xf
n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf?
带拉格朗日余项的马克劳林公式
)10(
,0 0 时的泰勒公式就是?x
设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为
)()(! 2 )())(()()( 2200000 xRxxxfxxxfxfxf
) ))o ( ()( ( 0)( )(lim 2022
0
2
0
xxxRxx xR
xx
,)()()( 1302 xxxxR
,)( 1 从而是待定函数其中 x?
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
不妨设与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较,此时应有
)()( 130 xxx
,
)(
)(
! 2
)())(()()(
)( 3
0
2
0
0
000
1 xx
xxxfxxxfxfxf
x
,令如果
,)()( 301 xxxG; 0)(,0)( 0101 xGxF则 ;0)(,0)( 0101 xGxF
,0)(,0)( 0101 xGxF
满足柯西假设 )(),( ),(,)(,)(,)( 111111 xGxFxGxFxGxF
由于
,)(! 2 )())(()()()( 2000001 xxxfxxxfxfxfxF
,中值定理条件
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
11
11
011
011
1
1
1?
G
F
xGxG
xFxF
xG
xFx
则
)(
)(
)()(
)()(
1
1
0111
0111
G
F
xGG
xFF
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf故
),( 0 之间在 xx?
,)(! 3 )()( 302 为二阶拉格朗日余项xxfxR
,! 3 )()( )()()( )()(
1
1
0111
0111?
f
G
F
xGG
xFF
3
0 )(! 3
)( xxf
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
,)( 0)( 则在该邻域内有存在xf n
))((o)(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxxxk xfxf
))(()( 000 xxxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
))o ( ( 0 nxx
,公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为 n
带皮亚诺余项的泰勒公式
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,阶拉格朗日余项称为 n
带拉格朗日余项的泰勒公式
,勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为 n
,)( 阶泰勒公式的带皮亚诺余项的求 nexf x?
xn exfxfxf )( )( )( )(
1)0()0()0( ）（ nfff?
)(o! ! 3! 21
32
n
n
x x
n
xxxxe故
,1,得时当特别地?x
)1(o! 1! 31! 2111 ne?
e 的近似计算公式
! 1)( 1 nx xne?
估计误差解例 1
,s i n)( 阶马克劳林公式的求 nxxf?
)( )( 2s i n)( )( Nnnxxf n
)(
12,)1(
2,0
)0( 1)( Nm
mn
mn
f mn?
xffxf )0()0()( 2 ! 2 )0( xf n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf? )10(
解例 2
泰勒公式
1
! )1(
2
)1( s i n
)(?
nn x
n
nx
xR
）（
xx?si n 故 ! 3
3x
! 5
5x
! 7
7x
! )12( )1(
121
m
x mm?
nx
n
n
!
2
s i n?
其中,
展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关,
)( xRn?
)10(
,) 12 ( 2 时或 mnmn
xx?sin ! 3
3x
! 5
5x
! 7
7x
! )12( )1(
121
m
x mm? )(
2 xR m?
)( 12 xR m?为什么不是
12
2 ! )12(
2
)12( s i n
)(?
mm x
m
mx
xR
）（
其中,)10(
处在由于 0 s i n 0?xx的偶数阶导数为零,
故一般将 展至偶数项,以提高精度,xsin
,co s)( 阶马克劳林公式的求 nxxf?
)( )( 2co s)( )( Nnnxxf n
)(
2,)1(
12,0
)0( )( Nm
mn
mn
f mn?
xffxf )0()0()( 2 ! 2 )0( xf n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf? )10(泰勒公式解例 3
1
! )1(
2
)1( c o s
)(?
nn x
n
nx
xR
）（
1c o s?x故 ! 2
2x
! 4
4x
! 6
6x
! )2( )1(
2
m
x mm
nx
n
n
!
2
c o s?
其中,
展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关,
)( xRn?
)10(
,) 12 ( 2 时或 mnmn
1co s?x ! 2
2x
! 4
4x
! 6
6x
! )2( )1(
2
m
x mm )(
12 xR m
)( 2 xR m为什么不是
22
12 ! )22(
2
)22( c o s
)(
mm x
m
mx
xR
）（
其中,)10(
处在由于 0 c o s 0?xx的奇数阶导数为零,
故一般将 xcos 展至奇数项,以提高精度,
实际应用中,计算 xx c o s,s in 的近似值时,
均展开到 2m 阶马克劳林公式,即有
!)12(
)1(
!5!3s i n
12153
m
xxxxx mm?
!)2(
)1(
!4!21co s
242
m
xxxx mm
)( Nm?
它们的误差估计式均为
!)12(
|||)(| 12
2
m
xxR m
m
,)1l n ()( 阶马克劳林公式的求 nxxf
)( )(1 ! )1()1()( 1)( Nnxnxf nnn
0)0(,! )1()1()0( 1)( fnf nn
)()1(32)1l n ( 1
32
xRnxxxxx n
n
n故
1)(0,)1( 11)1()(,1
1
n
nn
n xn
xxR式中
)1(x
请自己算一下解例 4
近似上用一个三次多项式来在 ]41,0[
.,1)( 3 并估计误差 x xxf
的二阶马克劳林公式为 113 xy
3
10
3
3
2
2
3
1
)1(
3 ! 3
741
3 ! 2
41
3
1)1(
xxxx
),0( x
为什么只要二阶？
)(2 xR
yxxf)(
解例 5
]41,0[,9231
32
3 x
xxx
x
x故误差为
)1(
3 ! 3
741
3
10
3
3 x
x
3
3 100 0 0 6 8.0
4
4
1
3 ! 3
74 )(
|)(| 2 xRx
,),(,621
32
xxxxe x证明：
,0 时?x 该式中等号成立,
,0 时?x 由泰勒 (马克劳林 ) 公式
)(! 3! 21 3
32
xRxxxe x
0 ! 4)(
4
3
exxR ) 0 ( 之间与在 x?
,621,
32 xx
xe x此时综上所述,即得所证,
例 6
证例 7
,)1( 的幂的多项式为?x
表示将多项式 2531)( 32 xxxxp
解,1 0 则令x
,22)1(,13)1(,5)1( ppp
),4( 0)1(,12)1( )( kpp k
得由泰勒公式,
32 )1(
! 3
12)1(
! 2
22)1(135)( xxxxp
,)1(2)1(11)1(135 32 xxx
三次多项式例 8
解
,
3 ln)( 0
阶泰勒公式余项的处展开为带拉格朗日在点将
n
xxxf
) 3 31 l n (3ln)]3(3l n [ln)( xxxxf
,3 3 则由记 xu
)1( )()1()1l n (
1
1
xxR
k
xu
n
n
k
k
k
n
k
n
k
k uR
k
uuxf
1
1 )()1(3ln)1l n (3ln)( 得
)1( )3()1()3( 31)1(3ln 1
1
1
1
n
n
nk
n
k
k
k
n
xx
k?
) 3 ( 之间和介于其中 x?
4 参看例例 9
解
,4
0 c o s)( 0
阶泰勒公式亚诺余项的处的带皮在点求函数 xxxf
,)]1( co s1[co s)( 2
1
及由 xxxf
)o(81211)1( 222
1
得uuuu
2
1
)]1( co s1[co s)( xxxf
))1o ( ( co s)1( co s81)1( co s211 22 xx
例 10
证
,|)()(|
)(
4
|)(|
),,(:,0)()(
,),( ] ),,([)(
2
afbf
ab
f
babfaf
babaCxf
使得证明且满足内可导在设
,2 0 由泰勒公式记 bax
,)(! 2 )())(()()( 201000 xafxaxfxfaf
,)(! 2 )())(()()( 202000 xbfxbxfxfbf
,),( );,(,0201 bxxa其中
4 )()()(,
2
2
0
2
0 得由两式相减
abxbxa
,)) ] (()([81)()( 221 abffafbf
).()())()(()( 8 212 ffafbfab即
|)(| |)(| |)()(| 2121 ffff由
},|)(|,|)(| m a x {2 21 ff
},|)(|,|)(| m a x {|)(| 21 则有记 fff
).,( ))()(()( 4 |)(| 2 baafbfabf
例 11
证,2 0 由泰勒公式记 bax
,)(! 2 )())(()()( 201000 xafxaxfxfaf
,)(! 2 )())(()()( 202000 xbfxbxfxfbf
两式相加得
,2 )()(4 )(22)()( 21
2
ffabbafafbf
,),( ] ),,([)( 内二阶可导在设 babaCxf?
),,( 使得证明至少存在一点 ba
).(4 )(22)()(
2
fabbafafbf
),()( 21 则由达布中值定理得若 ff
),(4 )(22)()(
2
fabbafafbf
).,(),( );,( );,(,210201 babxxa其中
,),()( 2121 即得所证或则取若 ff
达布中值定理
),()(,],[ )( bfafbaxf且上处处可导在设
,)( )(?之间的任何一个数值和则对介于 bfaf
,)( ),,( fba 使得都至少存在一点三,泰勒公式的几何应用
,)( )( 00 内的性状的某邻域在点函数 xUxxxf?
,)( 0 可以借附近的性状在点或者说曲线 xxxfy
,地加以刻划助于泰勒中值定理详细
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
曲线接触的概念
,)(
,
)( )(,
00
或相互接触处具有一阶接触则称它们在点处相交且有公共切线在点与如果两条光滑曲线几何上看
xxxx
xgyxfy
).()( ),()(,
)( )(,
0000
0
xgxfxgxf
xxxgxf
满足处在点与此时函数从分析上看
,)(
)(,)()( ),()(
)( )(,
0
0000
0
处具有一阶接触在点线与曲则称曲线处满足在点与如果函数就是说
xxxgy
xfyxgxfxgxf
xxxgxf
,,)( )( 2 得则由泰勒公式、如果函数 Cxgxf?
21
000 ! 2
)()()()( xfxxfxfxxf
22
000 ! 2
)()()()( xgxxgxgxxg
,得两式相减
2
1100 )]()([ ! 2
1)()( xgfxxgxxf
,,0011 之间与位于与其中 xxx
0)( )O()()(
,)()(,
)( )(,
2
00
2
0
xxxxgxxf
Cxgxf
xxxgyxfy
则、且处具有一阶接触在点与如果曲线就是说
,
)( )(
),()(,)()( ),()(
)( )(
0
000000
0
处具有二阶接触在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数
xxxgyxfy
xgxfxgxfxgxf
xxxgxf
0)( )O()()(
))()((
! 3
1
)()(
,)()(,
)( )(
3
00
3
2100
3
0
xxxxgxxf
xgfxxgxxf
Cxgxf
xxxgyxfy
即有则、且处具有二阶接触在点与如果曲线
一般地,
,
)( )(
),,,2,1( )()( ),()(
)( )(
0
0
)(
0
)(
00
0
阶接触处具有在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数
n
xxxgyxfy
nkxgxfxgxf
xxxgxf
kk
0)( )O()()(
))()((
! )1(
1
)()(
,)()(,
)( )(
1
00
1
2
)1(
1
)1(
00
1
0
xxxxgxxf
xgf
n
xxgxxf
Cxgxfn
xxxgyxfy
n
nnn
n
即有则、且阶接触处具有在点与如果曲线
,)()(,
)( )(
1
0
则有、且阶接触处具有在点与如果曲线
nCxgxfn
xxxgyxfy
),()()()( 10010 xRxxaxxaaxf nn
),()()()( 20010 xRxxaxxaaxg nn
,
,)()( 0010
次“抛物线”称之为令
n
xxaxxaay nn
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
)()(
!
)(
)(
)(
0
0
0
)(
xRxx
k
xf
xf
xf
n
k
n
k
k
的泰勒公式为则函数
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,.,密切抛物线次的为曲线称此时
)(
)(
!
)(
,
0
0
0
)(
nxfy
xx
k
xf
y
n
k
k
k
O x
y
! 21
2xxy
xy1
! 3! 21
32 xxxy
xey?
12
! )1(! ! 21
nnx x
n
e
n
xxxe
3 次密切抛物线的曲线 xey?
00?x
偶阶接触、奇阶接触
)o( ))()((
! )1(
1
))()((
! )1(
1
)()(
,
,)()(,
)( )(
11
0
)1(
0
)1(
1
2
)1(
1
)1(
00
1
0
nnnn
nnn
n
xxxgxf
n
xgf
n
xxgxxf
Cxgxfn
xxxgyxfy
有泰勒公式则由、且阶接触处具有在点与如果曲线正负
,)(,
,,
0 内是交叉的两曲线在此时触称两条曲线具有偶阶接为偶数时当
xU
n
,)(,
,,
0 内是不会交叉的两曲线在此时触称两条曲线具有奇阶接为奇数时当
xU
n
可以用来讨论切线是否穿过曲线,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十讲 泰勒中值定理脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第七节 泰勒中值定理第四章 一元函数的导数与微分一,带皮亚诺余项的泰勒公式二,带拉格朗日余项的泰勒公式三,泰勒公式的几何应用泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：
微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式拉格朗日中值定理 泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
,)( 0)( 则在该邻域内有存在xf n
))((o)(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxxxk xfxf
))(()( 000 xxxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
))o ( ( 0 nxx
,公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为 n
一,带皮亚诺余项的泰勒公式
) (o ! )0()(
0
)(
nk
n
k
k
xxkfxf
xff )0()0( 2 ! 2 )0( xf
n
n
xnf ! )0(
)(
) (o nx?
带皮亚诺余项的马克劳林公式
,0 0 时的泰勒公式就是?x
))(()()( 000 xxxfxfxf
))((o)(2 )( 20200 xxxxxf
))o ( ()( 30303 xxxxa
3?a
3
0
3
03
2
0
0
000
)(
)()(
2
)())(()()(
lim
0 xx
xxaxxxfxxxfxfxf
xx?
0? 运用罗必达法则计算极限,
2
0
2
03000
)(3
)(3))(()()(lim0
0 xx
xxaxxxfxfxf
xx?
)(23
)(23)()(l i m
0
030
0 xx
xxaxfxf
xx
30
0
)(23
)()(l i m
0
axx xfxf
xx
,! 3 )(,)( 030 xfaxf 则存在若
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
))((o)(! 3 )( 30300 xxxxxf
该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式,
仿照以上的做法,继续进行下去,
即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式,
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,阶拉格朗日余项称为 n
二,带拉格朗日余项的泰勒公式
,勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为 n
则通常可记,1)(0 )( 00 xxx
))(()()( 000 xxxfxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
1
0
00
)1(
)(! )1( ))((?
n
n
xxn xxxf?
)10(
0x x?
)( ! )0()(
0
)(
xRxkfxf nk
n
k
k
xff )0()0( 2 ! 2 )0( xf
n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf?
带拉格朗日余项的马克劳林公式
)10(
,0 0 时的泰勒公式就是?x
设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为
)()(! 2 )())(()()( 2200000 xRxxxfxxxfxfxf
) ))o ( ()( ( 0)( )(lim 2022
0
2
0
xxxRxx xR
xx
,)()()( 1302 xxxxR
,)( 1 从而是待定函数其中 x?
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
不妨设与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较,此时应有
)()( 130 xxx
,
)(
)(
! 2
)())(()()(
)( 3
0
2
0
0
000
1 xx
xxxfxxxfxfxf
x
,令如果
,)()( 301 xxxG; 0)(,0)( 0101 xGxF则 ;0)(,0)( 0101 xGxF
,0)(,0)( 0101 xGxF
满足柯西假设 )(),( ),(,)(,)(,)( 111111 xGxFxGxFxGxF
由于
,)(! 2 )())(()()()( 2000001 xxxfxxxfxfxfxF
,中值定理条件
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
11
11
011
011
1
1
1?
G
F
xGxG
xFxF
xG
xFx
则
)(
)(
)()(
)()(
1
1
0111
0111
G
F
xGG
xFF
2
0
0
000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf故
),( 0 之间在 xx?
,)(! 3 )()( 302 为二阶拉格朗日余项xxfxR
,! 3 )()( )()()( )()(
1
1
0111
0111?
f
G
F
xGG
xFF
3
0 )(! 3
)( xxf
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
,)( 0)( 则在该邻域内有存在xf n
))((o)(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxxxk xfxf
))(()( 000 xxxfxf 200 )(! 2 )( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
))o ( ( 0 nxx
,公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为 n
带皮亚诺余项的泰勒公式
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,阶拉格朗日余项称为 n
带拉格朗日余项的泰勒公式
,勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为 n
,)( 阶泰勒公式的带皮亚诺余项的求 nexf x?
xn exfxfxf )( )( )( )(
1)0()0()0( ）（ nfff?
)(o! ! 3! 21
32
n
n
x x
n
xxxxe故
,1,得时当特别地?x
)1(o! 1! 31! 2111 ne?
e 的近似计算公式
! 1)( 1 nx xne?
估计误差解例 1
,s i n)( 阶马克劳林公式的求 nxxf?
)( )( 2s i n)( )( Nnnxxf n
)(
12,)1(
2,0
)0( 1)( Nm
mn
mn
f mn?
xffxf )0()0()( 2 ! 2 )0( xf n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf? )10(
解例 2
泰勒公式
1
! )1(
2
)1( s i n
)(?
nn x
n
nx
xR
）（
xx?si n 故 ! 3
3x
! 5
5x
! 7
7x
! )12( )1(
121
m
x mm?
nx
n
n
!
2
s i n?
其中,
展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关,
)( xRn?
)10(
,) 12 ( 2 时或 mnmn
xx?sin ! 3
3x
! 5
5x
! 7
7x
! )12( )1(
121
m
x mm? )(
2 xR m?
)( 12 xR m?为什么不是
12
2 ! )12(
2
)12( s i n
)(?
mm x
m
mx
xR
）（
其中,)10(
处在由于 0 s i n 0?xx的偶数阶导数为零,
故一般将 展至偶数项,以提高精度,xsin
,co s)( 阶马克劳林公式的求 nxxf?
)( )( 2co s)( )( Nnnxxf n
)(
2,)1(
12,0
)0( )( Nm
mn
mn
f mn?
xffxf )0()0()( 2 ! 2 )0( xf n
n
xnf ! )0(
)(
1
)1(
! 1)( ) (?
n
n
xn xf? )10(泰勒公式解例 3
1
! )1(
2
)1( c o s
)(?
nn x
n
nx
xR
）（
1c o s?x故 ! 2
2x
! 4
4x
! 6
6x
! )2( )1(
2
m
x mm
nx
n
n
!
2
c o s?
其中,
展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关,
)( xRn?
)10(
,) 12 ( 2 时或 mnmn
1co s?x ! 2
2x
! 4
4x
! 6
6x
! )2( )1(
2
m
x mm )(
12 xR m
)( 2 xR m为什么不是
22
12 ! )22(
2
)22( c o s
)(
mm x
m
mx
xR
）（
其中,)10(
处在由于 0 c o s 0?xx的奇数阶导数为零,
故一般将 xcos 展至奇数项,以提高精度,
实际应用中,计算 xx c o s,s in 的近似值时,
均展开到 2m 阶马克劳林公式,即有
!)12(
)1(
!5!3s i n
12153
m
xxxxx mm?
!)2(
)1(
!4!21co s
242
m
xxxx mm
)( Nm?
它们的误差估计式均为
!)12(
|||)(| 12
2
m
xxR m
m
,)1l n ()( 阶马克劳林公式的求 nxxf
)( )(1 ! )1()1()( 1)( Nnxnxf nnn
0)0(,! )1()1()0( 1)( fnf nn
)()1(32)1l n ( 1
32
xRnxxxxx n
n
n故
1)(0,)1( 11)1()(,1
1
n
nn
n xn
xxR式中
)1(x
请自己算一下解例 4
近似上用一个三次多项式来在 ]41,0[
.,1)( 3 并估计误差 x xxf
的二阶马克劳林公式为 113 xy
3
10
3
3
2
2
3
1
)1(
3 ! 3
741
3 ! 2
41
3
1)1(
xxxx
),0( x
为什么只要二阶？
)(2 xR
yxxf)(
解例 5
]41,0[,9231
32
3 x
xxx
x
x故误差为
)1(
3 ! 3
741
3
10
3
3 x
x
3
3 100 0 0 6 8.0
4
4
1
3 ! 3
74 )(
|)(| 2 xRx
,),(,621
32
xxxxe x证明：
,0 时?x 该式中等号成立,
,0 时?x 由泰勒 (马克劳林 ) 公式
)(! 3! 21 3
32
xRxxxe x
0 ! 4)(
4
3
exxR ) 0 ( 之间与在 x?
,621,
32 xx
xe x此时综上所述,即得所证,
例 6
证例 7
,)1( 的幂的多项式为?x
表示将多项式 2531)( 32 xxxxp
解,1 0 则令x
,22)1(,13)1(,5)1( ppp
),4( 0)1(,12)1( )( kpp k
得由泰勒公式,
32 )1(
! 3
12)1(
! 2
22)1(135)( xxxxp
,)1(2)1(11)1(135 32 xxx
三次多项式例 8
解
,
3 ln)( 0
阶泰勒公式余项的处展开为带拉格朗日在点将
n
xxxf
) 3 31 l n (3ln)]3(3l n [ln)( xxxxf
,3 3 则由记 xu
)1( )()1()1l n (
1
1
xxR
k
xu
n
n
k
k
k
n
k
n
k
k uR
k
uuxf
1
1 )()1(3ln)1l n (3ln)( 得
)1( )3()1()3( 31)1(3ln 1
1
1
1
n
n
nk
n
k
k
k
n
xx
k?
) 3 ( 之间和介于其中 x?
4 参看例例 9
解
,4
0 c o s)( 0
阶泰勒公式亚诺余项的处的带皮在点求函数 xxxf
,)]1( co s1[co s)( 2
1
及由 xxxf
)o(81211)1( 222
1
得uuuu
2
1
)]1( co s1[co s)( xxxf
))1o ( ( co s)1( co s81)1( co s211 22 xx
例 10
证
,|)()(|
)(
4
|)(|
),,(:,0)()(
,),( ] ),,([)(
2
afbf
ab
f
babfaf
babaCxf
使得证明且满足内可导在设
,2 0 由泰勒公式记 bax
,)(! 2 )())(()()( 201000 xafxaxfxfaf
,)(! 2 )())(()()( 202000 xbfxbxfxfbf
,),( );,(,0201 bxxa其中
4 )()()(,
2
2
0
2
0 得由两式相减
abxbxa
,)) ] (()([81)()( 221 abffafbf
).()())()(()( 8 212 ffafbfab即
|)(| |)(| |)()(| 2121 ffff由
},|)(|,|)(| m a x {2 21 ff
},|)(|,|)(| m a x {|)(| 21 则有记 fff
).,( ))()(()( 4 |)(| 2 baafbfabf
例 11
证,2 0 由泰勒公式记 bax
,)(! 2 )())(()()( 201000 xafxaxfxfaf
,)(! 2 )())(()()( 202000 xbfxbxfxfbf
两式相加得
,2 )()(4 )(22)()( 21
2
ffabbafafbf
,),( ] ),,([)( 内二阶可导在设 babaCxf?
),,( 使得证明至少存在一点 ba
).(4 )(22)()(
2
fabbafafbf
),()( 21 则由达布中值定理得若 ff
),(4 )(22)()(
2
fabbafafbf
).,(),( );,( );,(,210201 babxxa其中
,),()( 2121 即得所证或则取若 ff
达布中值定理
),()(,],[ )( bfafbaxf且上处处可导在设
,)( )(?之间的任何一个数值和则对介于 bfaf
,)( ),,( fba 使得都至少存在一点三,泰勒公式的几何应用
,)( )( 00 内的性状的某邻域在点函数 xUxxxf?
,)( 0 可以借附近的性状在点或者说曲线 xxxfy
,地加以刻划助于泰勒中值定理详细
,),,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k设
,)()1( 存在xf n? 则在该邻域内有
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
曲线接触的概念
,)(
,
)( )(,
00
或相互接触处具有一阶接触则称它们在点处相交且有公共切线在点与如果两条光滑曲线几何上看
xxxx
xgyxfy
).()( ),()(,
)( )(,
0000
0
xgxfxgxf
xxxgxf
满足处在点与此时函数从分析上看
,)(
)(,)()( ),()(
)( )(,
0
0000
0
处具有一阶接触在点线与曲则称曲线处满足在点与如果函数就是说
xxxgy
xfyxgxfxgxf
xxxgxf
,,)( )( 2 得则由泰勒公式、如果函数 Cxgxf?
21
000 ! 2
)()()()( xfxxfxfxxf
22
000 ! 2
)()()()( xgxxgxgxxg
,得两式相减
2
1100 )]()([ ! 2
1)()( xgfxxgxxf
,,0011 之间与位于与其中 xxx
0)( )O()()(
,)()(,
)( )(,
2
00
2
0
xxxxgxxf
Cxgxf
xxxgyxfy
则、且处具有一阶接触在点与如果曲线就是说
,
)( )(
),()(,)()( ),()(
)( )(
0
000000
0
处具有二阶接触在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数
xxxgyxfy
xgxfxgxfxgxf
xxxgxf
0)( )O()()(
))()((
! 3
1
)()(
,)()(,
)( )(
3
00
3
2100
3
0
xxxxgxxf
xgfxxgxxf
Cxgxf
xxxgyxfy
即有则、且处具有二阶接触在点与如果曲线
一般地,
,
)( )(
),,,2,1( )()( ),()(
)( )(
0
0
)(
0
)(
00
0
阶接触处具有在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数
n
xxxgyxfy
nkxgxfxgxf
xxxgxf
kk
0)( )O()()(
))()((
! )1(
1
)()(
,)()(,
)( )(
1
00
1
2
)1(
1
)1(
00
1
0
xxxxgxxf
xgf
n
xxgxxf
Cxgxfn
xxxgyxfy
n
nnn
n
即有则、且阶接触处具有在点与如果曲线
,)()(,
)( )(
1
0
则有、且阶接触处具有在点与如果曲线
nCxgxfn
xxxgyxfy
),()()()( 10010 xRxxaxxaaxf nn
),()()()( 20010 xRxxaxxaaxg nn
,
,)()( 0010
次“抛物线”称之为令
n
xxaxxaay nn
,)1,,2,1,0( ))(U()( 0 nkxCxf k?设
)()(
!
)(
)(
)(
0
0
0
)(
xRxx
k
xf
xf
xf
n
k
n
k
k
的泰勒公式为则函数
)(! )1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?其中 ),(
0 之间在 xx?
,.,密切抛物线次的为曲线称此时
)(
)(
!
)(
,
0
0
0
)(
nxfy
xx
k
xf
y
n
k
k
k
O x
y
! 21
2xxy
xy1
! 3! 21
32 xxxy
xey?
12
! )1(! ! 21
nnx x
n
e
n
xxxe
3 次密切抛物线的曲线 xey?
00?x
偶阶接触、奇阶接触
)o( ))()((
! )1(
1
))()((
! )1(
1
)()(
,
,)()(,
)( )(
11
0
)1(
0
)1(
1
2
)1(
1
)1(
00
1
0
nnnn
nnn
n
xxxgxf
n
xgf
n
xxgxxf
Cxgxfn
xxxgyxfy
有泰勒公式则由、且阶接触处具有在点与如果曲线正负
,)(,
,,
0 内是交叉的两曲线在此时触称两条曲线具有偶阶接为偶数时当
xU
n
,)(,
,,
0 内是不会交叉的两曲线在此时触称两条曲线具有奇阶接为奇数时当
xU
n
可以用来讨论切线是否穿过曲线,
