高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十九讲 一元微积分的应用 (二 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数 (曲线 )的凹凸性、拐点、
函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用第三节 曲线的凹凸性、
函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?
O x
y
A
B? !
.
.
一、曲线的凹凸性、拐点
,)( ),( 时baxf? 它的图形的形式不尽相同,
一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题,
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数 )的凹凸性问题,
简单地说,在区间 I 上,
曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的 ;
曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的,
凸 凹
O x
y
2 21 xx?
)(xfy?
2x1x O x
y
2 21 xx?
)(xfy?
2x1x
,) I ()( Cxf?设
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凸的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凹的,
定义凹凸性的一般性定义是 ……
O x
y 凸
xa b
P
Q
,的方程弦线 PQ )()()()( 1
12
121 xxxx xfxfxfy弦
,的坐标点 x )1,0(,)1( 21 xxx
:曲线位于弦线上方 弦yxf?)(
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf即
)(xfy?
2x1x
O x
y 凹
xa b
P
Q
,的方程弦线 PQ )()()()( 112 121 xxxx xfxfxfy弦
,的坐标点 x )1,0(,)1( 21 xxx
:曲线位于弦线下方 )( 弦yxf?
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf即
)(xfy?
1x 2x
,)1,0(,) I ()(Cxf设
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凸的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凹的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
1,曲线凹凸性的定义及其判别法
,3 的凹凸性分析立方抛物线 xy?
)2 ( 21 xxf 8 33
3
2
2
212
2
1
3
1 xxxxxx
2))()((2
1 3231
21
xxxfxf
,)0,( 上在,) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
,3 是凸的xy?
,),0( 上在,) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
,3 是凹的xy?
例 1
分析
O x
y
3xy?
,)0,( 上在
,3 是凸的xy?
,3 2xy,6xy
,0y此时
,),0( 上在
,3 是凹的xy?
,0y此时
,0 时?x,0y
,)0,0( 是曲线凹凸性的分界点点有何体会？
能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？
判别可微函数的凸凹性主要是对
))()((21 21 xfxf?
) 2 ( 21 xxf?
进行比较,
有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?
,),(,) ],[ ()( 内有二阶导数在设 babaCxf?
,),(,21 baxx 则令,2 210 xxx
22 2121101
xxxxxxx
22 1221202
xxxxxxx
)( 0102 xxxx
2
0000 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf由泰勒公式
2
01101001 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf有
2
02202002 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf
,,,202101 之间与在之间与在其中 xxxx
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf于是
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf即
,),(,0)( 则若 baxxf
,0)(2)( 021 xfxfxf 2
210 xxx
,))()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf即
)(,),(,0)( xfybaxxf 曲线时故
,],[ 上是凹的在区间 ba
,,,202101 之间与在之间与在其中 xxxx
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf于是
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf即
,),(,0)( 则若 baxxf
,0)(2)( 021 xfxfxf 2
210 xxx
,))()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf即
)(,),(,0)( xfybaxxf 曲线时故
,],[ 上是凹的在区间 ba
凸以上的讨论是对开区间 ),( ba 进行的,
但结论却出现了闭区间,],[ ba 这正确吗?
结论是正确的,我们是利用函数的连续性将开区间内的结论延伸到了闭区间上,
以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法,
定理
,),(,) ],[ ()( 内有二阶导数在设 babaCxf?
,],[ )(,),(,0)( 上是凹的在则曲线若 baxfybaxxf
,],[ )(,),(,0)( 上是凸的在则曲线若 baxfybaxxf
在运用该定理时要注意：
但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立,
,),(,0)( 0)( baxxf如果
,1 的凹凸性判别曲线 xy?
,),0()0,(函数的定义域为
,2,1 32 xyxy因为
,1,0,)0,( 为凸的时所以 xyyx
,1,0,),0( 为凹的时 xyyx
该函数的图形请自己绘出,
例 2
解
,)0( 1432231 的凹凸性研究 aaxaxaxay
,23 3221 axaxay,26 21 axay
,0,3
1
2 y
a
ax 时故
,0,3
1
2 y
a
ax 时
,0,3
1
2 y
a
ax 时例 3
解,),(函数的定义域为; )3,(
1
2 中是凸的曲线在
a
a; ),3(
1
2 中是凹的曲线在
a
a
,3
1
2 是曲线凹凸性的分界点
a
ax
,1),1( 4 内的凹凸性在研究 xy
,4 3xy,12 2xy
,0,)1,1( yx 时,0,0 yx 时且仅在
,1) 1,( 4 内是凹的在故 xy
O x
y
4xy?
0?x 只是使
0y 的孤立点,
不是曲线凹凸性的分界点,
例 3
解比较例 3 和例 4,发现使得曲线所对的分界点,
我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点,
O x
y
O x
y
)(xfy? )(xgy?
2,曲线拐点的定义及判别法
,)( 上二阶可导在区间设 Ixf
,0)(,) ( )( ),( 0000 xfIxxfyyx 则的拐点为曲线若
,)( ),( 0 的拐点为函数设 xfbaIx
,,不妨设由拐点的定义
,)(,),( 0 为凹的时 xfybxx
,)( 故上二阶可导在由 Ixf
);0(,),(,0)( 00 xxxxxxf
),0(,),(,0)( 00 xxxxxxf
定理 ( 判别拐点的必要条件 )
证
,0)( xf且仅在孤立点处出现; )(,),( 0 为凸的时 xfyxax
,)( ),( 00 xxxxf于是,)( ),( 00 xxxf
,)( 0 处取极小值在故 xxxf
,0))(()( 00 xxxfxf从而必有
,)( 0)( 不存在的点及使 xfxf
称为曲线的拐点可疑点,
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
,) I( )(U? )(,) I ()( 00 内二阶可导在设 xxxfCxf
,)( 0 则两侧符号相反在点若 xxf
,)( ))(,( 00 的拐点为曲线点 xfyxfx?
根据拐点的定义立即可证明该定理,
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
,) ( )U( )(,) ()( 00 内三阶可导在设 IxxxfICxf
,0)(,0)( 00 则且若 xfxf
,)( ))(,( 00 的拐点为曲线点 xfyxfx?
,0)( 0 xf由于,0)( 0 xf故不妨设
,0)( 0 xf又
0
0
0
)()(li m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
0 )(lim
00
xx xfxx
,)(,)(U?,000 同号与内在由极限的保号性可知 xxxfx
证
,得故由导数的定义; 0)(,0 xfxx 时故,0)(,0 xfxx 时
,)( ))(,(,00 的拐点为曲线点从而 xfyxfx?
你能由以上的几个定理归纳出求曲线拐点的步骤吗？
求拐点一般步骤
,)( 拐点的一般步骤求曲线 xfy?; )( )( ) 1 ( 或确定讨论区间的定义域求 xf; ))( (,)(,)( )2( xfxfxf 如需要可求出计算; )( 0)( 不存在的点的点和使 xfxf
,)4( 否确为拐点根据定理判别可疑点是
,)3( 求拐点可疑点
,,2
2
并求拐点的凹凸性讨论曲线 xey
),(,定义域为
,2
2x
xey,)1( 22
2x
exy
,0 得拐点可疑点令y )( 1,1 横坐标 xx
x
y?
y
)1,( 1? )1,1(? 1 ),1(
0 0
拐点 拐点例 4
解
,),1( )1,( 内为凹的及在
,1),1( 内为凸的在?
,),1 ( ),1( 2121 为其拐点及点 ee
O x
y
1? 1
2
2x
ey
,2
2x
ey曲线
.)(21,,2
yx
yx eeeyx
时证明
,),(,)( tetf t令
,),(,0)()( tetftf t
,),( )( 内是凹的所对应的曲线在故 tetf
,),(, yx
,)(21 2
yx
yx eee
,)( yx?
例 5
解
,有由曲线凹性的定义
,0 )2,5,2( 2 的拐点为曲线已知点 ybxayx
,,的值求 ba
,0,2 bx由题意,得由隐函数求导法则
,2 2 bx ayxy,)( 246 22
2
bx
ybxayxy
,0,1y由拐点的必要条件得,5.2,2 代入得以 yx
( 1 ) 05860 ba
例 6
解
,,,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上
( 2 ) 05.2210 ba
,)2(,)1( 解之得成方程组联立,320a,34?b
例 7 ],[ )( 其一阶导数的图形上二阶可导，在设函数 baxf,如下图所示
,)( 性、凹凸性的极值点、拐点、单调指出函数 xf; ],[ ],,[ ],,[ 内单调增加TQPKJa,],[ ],,[ 内单调减少QPKJ; Q,,;,,KPJ 极小点极大点凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸
,,,,,,,,IHFEDCB拐点
x
y
O
)(xfy
A
B
C
D
E
F
H IKJ
P Q
T
a b
M
W
函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关,
你清楚它们之间的联系吗?
画画图就能搞清楚,
极大凸
0)( xf
极小凹
0)( xf
现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线,
中学就会求了,
若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条渐近线,
二、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线
O x
y
xy
1?
,01lim xx,0?y水平渐近线
,1lim0 xx,0?x垂直渐近线水平渐近线
,)(,)(li m byxfbxfx 有一条水平渐近线则曲线若
,)(l i m )(l i m bxfbxf xx 或这里的极限可以是
,)(,)(li m axxfyxfax 有一条垂直渐近线则曲线若这里的极限可以是; )(l im,)(l im xfxf axax
,)(li m,)(li m xfxf axax; )(lim xfax
垂直渐近线
O x
y
)(xfy? bxay
,0))()((lim bxaxfx
,bxay斜渐近线想想：
怎么求 a,b?
)(,))((li m,)(li m xfybxaxfax xf xx 则曲线若
,bxay有一条斜渐近线这里的极限过程可以是,, xx
以上的极限实际是,0))()((lim bxaxfx
斜渐近线
,s i n 的渐近线求曲线 x xy?
,0s i nlim x xx?
,s i n 0 的水平渐近线是曲线 x xyy
O x
y x xy sin?
0?y
曲线可以穿过其渐近线,
例 8
解
,ln 的渐近线求曲线 xy?
的定义域,ln xy? ),0(x
,lnl i m 0 xx?
是曲线 0 x
,ln 的垂直渐近线xy?
O x
y
xy ln?
1
例 9
解
,1 2 的渐近线求曲线 xxy
1lim 2 xxx 曲线无水平渐近线
,1li m 2
0
x
x
x
1lim 2
0
x
x
x
,0?x曲线有垂直渐近线 (函数间断 )
曲线有斜渐近线吗？
例 10
解
11lim
1
lim 2
2
2
x
x
x
x
x
xx
1?a
0 1 lim 11 lim )()( 2 xxxx xx 0?b
,xbxay曲线有斜渐近线请同学课后自己绘出此函数的图形,
,)0( 13,1 3 323 的渐近线求曲线 kttkyttkx
1l i m33l i ml i m
1
2
1
ttk tkxy
ttx
1a
,,1 yxt由于所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线,
))1((lim xyx ktt tkt 13lim 21 kb
,kxy故曲线有斜渐近线例 11
解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：
定义域,值 域,奇偶性,有界性、
周期性,连续性,间断点,可微性、
单调性,极 值,最 值,凹凸性、
拐 点,渐近线,零点位置,
用极限讨论函数的变化趋势,
用泰勒公式将函数离散化,
作函数图形的一般步骤如下：
(1) 确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性,
(2) 求函数的一、二阶导数,
(3) 列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点,
(4) 求曲线的渐近线,
(5) 作出函数的图形,
三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点,
,)1( )1( 2
3
的图形作出函数 xxy
,函数的定义域,),1()1,(x
,)1( )5()1( 3
2
x
xxy,
)1(
)1(24
4?
x
xy
,5,1,0 xxy 得驻点令
,1,0 xy 得拐点可疑点令例 12
解
x
y?
y?
y
)5,( 5? )1,5( 1? )1,1(? 1 ),1(
0 0
0
极大拐点
,5,x极大点,5.13)5(,f极大值
,)0,1( 拐点为
,)1( )1(l i m 2
3
x
x
x
曲线无水平渐近线,
,)1( )1(l i m 2
3
1
x
x
x
,1 为垂直渐近线x
1)1( )1(l i m)(l i m 2
3
xx
x
x
xf
xx
1?a
5)1( 125l i m))((l i m 2
2
x
xxxaxf
xx 5b
,5 xy曲线有斜渐近线
,)1,0(,?轴相交于点曲线与此外 y
O x
y
1?
5 xy
5?
2
3
)1(
)1(
x
xy
5.13?
0) (1,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十九讲 一元微积分的应用 (二 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数 (曲线 )的凹凸性、拐点、
函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用第三节 曲线的凹凸性、
函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?
O x
y
A
B? !
.
.
一、曲线的凹凸性、拐点
,)( ),( 时baxf? 它的图形的形式不尽相同,
一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题,
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数 )的凹凸性问题,
简单地说,在区间 I 上,
曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的 ;
曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的,
凸 凹
O x
y
2 21 xx?
)(xfy?
2x1x O x
y
2 21 xx?
)(xfy?
2x1x
,) I ()( Cxf?设
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凸的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凹的,
定义凹凸性的一般性定义是 ……
O x
y 凸
xa b
P
Q
,的方程弦线 PQ )()()()( 1
12
121 xxxx xfxfxfy弦
,的坐标点 x )1,0(,)1( 21 xxx
:曲线位于弦线上方 弦yxf?)(
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf即
)(xfy?
2x1x
O x
y 凹
xa b
P
Q
,的方程弦线 PQ )()()()( 112 121 xxxx xfxfxfy弦
,的坐标点 x )1,0(,)1( 21 xxx
:曲线位于弦线下方 )( 弦yxf?
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf即
)(xfy?
1x 2x
,)1,0(,) I ()(Cxf设
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凸的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
)()1()())1(( 2121 xfxfxxf
成立,则称曲线 )(xfy? 在区间 I 上是凹的 ;
,)( I,2121 恒有如果 xxxx
1,曲线凹凸性的定义及其判别法
,3 的凹凸性分析立方抛物线 xy?
)2 ( 21 xxf 8 33
3
2
2
212
2
1
3
1 xxxxxx
2))()((2
1 3231
21
xxxfxf
,)0,( 上在,) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
,3 是凸的xy?
,),0( 上在,) )()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf
,3 是凹的xy?
例 1
分析
O x
y
3xy?
,)0,( 上在
,3 是凸的xy?
,3 2xy,6xy
,0y此时
,),0( 上在
,3 是凹的xy?
,0y此时
,0 时?x,0y
,)0,0( 是曲线凹凸性的分界点点有何体会？
能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？
判别可微函数的凸凹性主要是对
))()((21 21 xfxf?
) 2 ( 21 xxf?
进行比较,
有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?
,),(,) ],[ ()( 内有二阶导数在设 babaCxf?
,),(,21 baxx 则令,2 210 xxx
22 2121101
xxxxxxx
22 1221202
xxxxxxx
)( 0102 xxxx
2
0000 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf由泰勒公式
2
01101001 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf有
2
02202002 )(! 2
)())(()()( xxfxxxfxfxf
,,,202101 之间与在之间与在其中 xxxx
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf于是
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf即
,),(,0)( 则若 baxxf
,0)(2)( 021 xfxfxf 2
210 xxx
,))()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf即
)(,),(,0)( xfybaxxf 曲线时故
,],[ 上是凹的在区间 ba
,,,202101 之间与在之间与在其中 xxxx
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf于是
20121021 )))(()(()(2)( xxffxfxfxf即
,),(,0)( 则若 baxxf
,0)(2)( 021 xfxfxf 2
210 xxx
,))()((21) 2 ( 2121 xfxfxxf即
)(,),(,0)( xfybaxxf 曲线时故
,],[ 上是凹的在区间 ba
凸以上的讨论是对开区间 ),( ba 进行的,
但结论却出现了闭区间,],[ ba 这正确吗?
结论是正确的,我们是利用函数的连续性将开区间内的结论延伸到了闭区间上,
以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法,
定理
,),(,) ],[ ()( 内有二阶导数在设 babaCxf?
,],[ )(,),(,0)( 上是凹的在则曲线若 baxfybaxxf
,],[ )(,),(,0)( 上是凸的在则曲线若 baxfybaxxf
在运用该定理时要注意：
但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立,
,),(,0)( 0)( baxxf如果
,1 的凹凸性判别曲线 xy?
,),0()0,(函数的定义域为
,2,1 32 xyxy因为
,1,0,)0,( 为凸的时所以 xyyx
,1,0,),0( 为凹的时 xyyx
该函数的图形请自己绘出,
例 2
解
,)0( 1432231 的凹凸性研究 aaxaxaxay
,23 3221 axaxay,26 21 axay
,0,3
1
2 y
a
ax 时故
,0,3
1
2 y
a
ax 时
,0,3
1
2 y
a
ax 时例 3
解,),(函数的定义域为; )3,(
1
2 中是凸的曲线在
a
a; ),3(
1
2 中是凹的曲线在
a
a
,3
1
2 是曲线凹凸性的分界点
a
ax
,1),1( 4 内的凹凸性在研究 xy
,4 3xy,12 2xy
,0,)1,1( yx 时,0,0 yx 时且仅在
,1) 1,( 4 内是凹的在故 xy
O x
y
4xy?
0?x 只是使
0y 的孤立点,
不是曲线凹凸性的分界点,
例 3
解比较例 3 和例 4,发现使得曲线所对的分界点,
我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点,
O x
y
O x
y
)(xfy? )(xgy?
2,曲线拐点的定义及判别法
,)( 上二阶可导在区间设 Ixf
,0)(,) ( )( ),( 0000 xfIxxfyyx 则的拐点为曲线若
,)( ),( 0 的拐点为函数设 xfbaIx
,,不妨设由拐点的定义
,)(,),( 0 为凹的时 xfybxx
,)( 故上二阶可导在由 Ixf
);0(,),(,0)( 00 xxxxxxf
),0(,),(,0)( 00 xxxxxxf
定理 ( 判别拐点的必要条件 )
证
,0)( xf且仅在孤立点处出现; )(,),( 0 为凸的时 xfyxax
,)( ),( 00 xxxxf于是,)( ),( 00 xxxf
,)( 0 处取极小值在故 xxxf
,0))(()( 00 xxxfxf从而必有
,)( 0)( 不存在的点及使 xfxf
称为曲线的拐点可疑点,
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
,) I( )(U? )(,) I ()( 00 内二阶可导在设 xxxfCxf
,)( 0 则两侧符号相反在点若 xxf
,)( ))(,( 00 的拐点为曲线点 xfyxfx?
根据拐点的定义立即可证明该定理,
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
,) ( )U( )(,) ()( 00 内三阶可导在设 IxxxfICxf
,0)(,0)( 00 则且若 xfxf
,)( ))(,( 00 的拐点为曲线点 xfyxfx?
,0)( 0 xf由于,0)( 0 xf故不妨设
,0)( 0 xf又
0
0
0
)()(li m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
0 )(lim
00
xx xfxx
,)(,)(U?,000 同号与内在由极限的保号性可知 xxxfx
证
,得故由导数的定义; 0)(,0 xfxx 时故,0)(,0 xfxx 时
,)( ))(,(,00 的拐点为曲线点从而 xfyxfx?
你能由以上的几个定理归纳出求曲线拐点的步骤吗？
求拐点一般步骤
,)( 拐点的一般步骤求曲线 xfy?; )( )( ) 1 ( 或确定讨论区间的定义域求 xf; ))( (,)(,)( )2( xfxfxf 如需要可求出计算; )( 0)( 不存在的点的点和使 xfxf
,)4( 否确为拐点根据定理判别可疑点是
,)3( 求拐点可疑点
,,2
2
并求拐点的凹凸性讨论曲线 xey
),(,定义域为
,2
2x
xey,)1( 22
2x
exy
,0 得拐点可疑点令y )( 1,1 横坐标 xx
x
y?
y
)1,( 1? )1,1(? 1 ),1(
0 0
拐点 拐点例 4
解
,),1( )1,( 内为凹的及在
,1),1( 内为凸的在?
,),1 ( ),1( 2121 为其拐点及点 ee
O x
y
1? 1
2
2x
ey
,2
2x
ey曲线
.)(21,,2
yx
yx eeeyx
时证明
,),(,)( tetf t令
,),(,0)()( tetftf t
,),( )( 内是凹的所对应的曲线在故 tetf
,),(, yx
,)(21 2
yx
yx eee
,)( yx?
例 5
解
,有由曲线凹性的定义
,0 )2,5,2( 2 的拐点为曲线已知点 ybxayx
,,的值求 ba
,0,2 bx由题意,得由隐函数求导法则
,2 2 bx ayxy,)( 246 22
2
bx
ybxayxy
,0,1y由拐点的必要条件得,5.2,2 代入得以 yx
( 1 ) 05860 ba
例 6
解
,,,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上
( 2 ) 05.2210 ba
,)2(,)1( 解之得成方程组联立,320a,34?b
例 7 ],[ )( 其一阶导数的图形上二阶可导，在设函数 baxf,如下图所示
,)( 性、凹凸性的极值点、拐点、单调指出函数 xf; ],[ ],,[ ],,[ 内单调增加TQPKJa,],[ ],,[ 内单调减少QPKJ; Q,,;,,KPJ 极小点极大点凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸
,,,,,,,,IHFEDCB拐点
x
y
O
)(xfy
A
B
C
D
E
F
H IKJ
P Q
T
a b
M
W
函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关,
你清楚它们之间的联系吗?
画画图就能搞清楚,
极大凸
0)( xf
极小凹
0)( xf
现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线,
中学就会求了,
若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条渐近线,
二、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线
O x
y
xy
1?
,01lim xx,0?y水平渐近线
,1lim0 xx,0?x垂直渐近线水平渐近线
,)(,)(li m byxfbxfx 有一条水平渐近线则曲线若
,)(l i m )(l i m bxfbxf xx 或这里的极限可以是
,)(,)(li m axxfyxfax 有一条垂直渐近线则曲线若这里的极限可以是; )(l im,)(l im xfxf axax
,)(li m,)(li m xfxf axax; )(lim xfax
垂直渐近线
O x
y
)(xfy? bxay
,0))()((lim bxaxfx
,bxay斜渐近线想想：
怎么求 a,b?
)(,))((li m,)(li m xfybxaxfax xf xx 则曲线若
,bxay有一条斜渐近线这里的极限过程可以是,, xx
以上的极限实际是,0))()((lim bxaxfx
斜渐近线
,s i n 的渐近线求曲线 x xy?
,0s i nlim x xx?
,s i n 0 的水平渐近线是曲线 x xyy
O x
y x xy sin?
0?y
曲线可以穿过其渐近线,
例 8
解
,ln 的渐近线求曲线 xy?
的定义域,ln xy? ),0(x
,lnl i m 0 xx?
是曲线 0 x
,ln 的垂直渐近线xy?
O x
y
xy ln?
1
例 9
解
,1 2 的渐近线求曲线 xxy
1lim 2 xxx 曲线无水平渐近线
,1li m 2
0
x
x
x
1lim 2
0
x
x
x
,0?x曲线有垂直渐近线 (函数间断 )
曲线有斜渐近线吗？
例 10
解
11lim
1
lim 2
2
2
x
x
x
x
x
xx
1?a
0 1 lim 11 lim )()( 2 xxxx xx 0?b
,xbxay曲线有斜渐近线请同学课后自己绘出此函数的图形,
,)0( 13,1 3 323 的渐近线求曲线 kttkyttkx
1l i m33l i ml i m
1
2
1
ttk tkxy
ttx
1a
,,1 yxt由于所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线,
))1((lim xyx ktt tkt 13lim 21 kb
,kxy故曲线有斜渐近线例 11
解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：
定义域,值 域,奇偶性,有界性、
周期性,连续性,间断点,可微性、
单调性,极 值,最 值,凹凸性、
拐 点,渐近线,零点位置,
用极限讨论函数的变化趋势,
用泰勒公式将函数离散化,
作函数图形的一般步骤如下：
(1) 确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性,
(2) 求函数的一、二阶导数,
(3) 列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点,
(4) 求曲线的渐近线,
(5) 作出函数的图形,
三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点,
,)1( )1( 2
3
的图形作出函数 xxy
,函数的定义域,),1()1,(x
,)1( )5()1( 3
2
x
xxy,
)1(
)1(24
4?
x
xy
,5,1,0 xxy 得驻点令
,1,0 xy 得拐点可疑点令例 12
解
x
y?
y?
y
)5,( 5? )1,5( 1? )1,1(? 1 ),1(
0 0
0
极大拐点
,5,x极大点,5.13)5(,f极大值
,)0,1( 拐点为
,)1( )1(l i m 2
3
x
x
x
曲线无水平渐近线,
,)1( )1(l i m 2
3
1
x
x
x
,1 为垂直渐近线x
1)1( )1(l i m)(l i m 2
3
xx
x
x
xf
xx
1?a
5)1( 125l i m))((l i m 2
2
x
xxxaxf
xx 5b
,5 xy曲线有斜渐近线
,)1,0(,?轴相交于点曲线与此外 y
O x
y
1?
5 xy
5?
2
3
)1(
)1(
x
xy
5.13?
0) (1,
