高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第二节 一阶微分方程
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶线性齐方程
)()(dd xqyxpxy
一阶线性非齐方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
0)(dd yxpxy
一阶线性齐方程
)()(dd xqyxpxy
一阶线性非齐方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：
xxfyyg d)(d)(?
则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
xxfyyg d)(d)(
其中 C 为积分后出现的任意常数。
),( 。就是原方程的通解积分的结果 Cxyy?
将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，
称为分离变量法。
例解
),( 1 1 002 的特解。的通解，并指出过点求方程 yxxy
原方程即
,1 dd 2xxy
对上式两边积分，得原方程的通解
Cxy a r c t a n )( 。 x
，故时，当 00 yyxx
a rc t a n 00,xyC
的特解为从而，过点 ),( 00 yx
a r c t a na r c t a n 00 。xxyy
例解
)1(21dd 2 。求解微分方程 yxy
01 2 分离的方程时，该方程可化为变量当y
d1d2 2,xy y
对上式两边积分，得原方程的通解
11ln 1 。Cxyy 隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为
11 。xxCeCey )( 1CeC
你认为做完了没有？
1 01 2,代入原方程可知：，得出令 yy
1 也是原方程的解。?y
1 0 1,所以，对应于；对应于由于 CyCy
原方程的解为
11,xxCeCey ) ( 。为任意常数C
例解
0d)1(d)1( 2 的通解。求方程 yxyxy
，得方程两边同除以 )1)(1( 2yx
01 d1d 2 。 yyx x
两边同时积分，得
||ln |1|ln21|1|ln 2,Cyx
||1 |1| 2 。即 Cyx
故所求通解为 11 2 。 yCx
你认为还需要讨论吗？为什么？
因为只求通解，所以不必再讨论了。
例解
2dd 。的所有解求方程 yxy?
原方程即
。 )0( d2d yxyy
两边积分，得
,Cxy
故通解为
)( 2 。Cxy
0 被包含在通解内。也是方程的解，但它不易验证?y
0 看，方程的奇解是积分为方程的奇解，几何上此时称?y
曲线族的包络。
工程技术中解决某些问题时，
需要用到方程的奇解。
二、齐次方程
xyfxydd
齐次方程
d)( d xxuuf u
变量分离方程变量代换 uxy?
xuuxy ddd
)(dd ufuxux
代入原方程，得例解
t a ndd 的通解。求方程 xyxyxy
dddd,，则令 xuxuxyxyu
于是，原方程化为
dt a nd,xxuu?
两边积分，得
dt a nd, xxuu
||ln ||ln |s i n|ln,Cxu
即 s i n,Cxu?
s i n 。故原方程的通解为 Cxxy?
xuuxy ddd
uxuxxy dddd
x
xx
x s i n
c o sc o t
t a n
1
三、可化为齐次方程的方程
XYXY?dd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程变量代换
0111 cybxa
0222 cybxa
,, yx
,，令 yYxX
d)( d XXZZf Z
变量分离方程变量代换 ZXY?
三、可化为齐次方程的方程
XYXY?dd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程变量代换
d)( d XXZZf Z
变量分离方程变量代换例解
0d)823(d)732( 2222 的通解。求 yyyxxxyx
d2d d2d 22,，，则，令 yyvxxuyvxu
于是，原方程变为
732 823dd, vu vuvu
联立方程组 0823 vu
0732 vu
解之，得 1 2 。, vu 12,则有，令 vXuY
32 23dd,XY XYXY
可化为齐次方程的可化为齐次方程的
ddd,于是得到，则令 XZZXYXYZ
d2d1 32 2,X XZZZ
两边积分，得
||ln||ln2 |1|ln21|1|ln25,CXZZ
即 1)1( 25 。CZ XZ
的通解为，代入上式，得原方程由 1212 2
2
y
x
v
u
X
YZ
3)1( 22
522
。Cyx yx
你由这个例题的解题过程想到什么了？
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
021 时， cc
x
y
x
y
ba
x
y
ba
f
ybxa
ybxa
f
x
y
22
11
22
11
d
d
2
1
2
1 时，k
b
b
a
a
2
1
222
122
)(
)(
d
d
cu
ckuf
cybxa
cybxakf
x
y
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换四、一阶线性微分方程形如
)()( xqyxpy
的方程称为一阶线性微分方程。
0)( 时，当?xq 方程称为一阶齐线性方程。
方程称为一阶非齐线性方程。 0)( 时，当?xq
习惯上，称 0)( yxpy
为方程
)()( xqyxpy
所对应的齐方程。
时，方程有唯一解。、一般说来，当函数 )()( Cxqxp?
0)( 。是一个变量可分离方程方程 yxpy
一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得
d)(d,xxpyy )0(,?y
两边积分，得
d)( ||ln 1,Cxxpy
故
d)(1 。 xxpC eey
1 的通解为，得一阶齐线性方程记 CeC
d)( 。 xxpCey
0 对应于?y
0。＝C
表示一个原函数
，则一阶齐线性方程若 Cxp?)(
0)( yxpy
的解存在，且唯一，其通解为
。 xxpCey d)(
例解
02 的通解。求 xyy
)),(()( 2)(,, Cxpxxp
故该一阶齐线性方程的通解为
2d)2(d)( 。xxxxxp CeCeCey
套公式！
例解
2 0s i n 2 。，求解初值问题,xyxyy
先求此一阶齐线性方程的通解：
)),((s i n)(, Cxxp
c o sds i n 。xxx CeCey
2
2
代入通解中，得将xy
) 2 ( 2c o sCe因为 2，?C
故该初值问题的解为
2 c o s 。xey?
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换一阶非齐线性方程的解比较两个方程：
)()( 。xqyxpy
0)(, yxpy
请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？
我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？
xxpCey d)(
xxpexCy d)()(
行吗?!
)()( xqyxpy
)( )( d)( 可微，则，且待定函数令 xCexCy xxp
)()()())(( d)(d)(d)(, xxpxxpxxp exCxpexCexCy
怎么办？
得的表达式代入方程中，及将 yy?
)()()()()()( d)(d)(d)(,xqxpexCexCxpexC xxpxxpxxp
故 )()( d)(,xqexC xxp
即 )()( d)(, xxpexqxC
上式两边积分，求出待定函数
CxexqxC xxp d)()( d)( ) ( 。为任意常数C
)( d)( 方程的通解为中，得一阶非齐线性代入 xxpexCy
) d)( ( d)(d)( 。Cxexqey xxpxxp
以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。
0)( yxpy
xxpCey d)(
) d)( ( d)(d)( Cxexqey xxpxxp
)()( xqyxpy
例解
c os2 2 的通解。求方程 xexyy x
c os)( 2)( 2,，因为 xexqxxp x
所以，方程的通解为
) dc o s ( d)2(d)2( 2 Cxxeeey xxxxx
) Cd c o s ( 222 xexee xxx
) Cdc o s (2 xxe x
) s i n (2 。Cxe x
例解
dd 3 的通解。求方程 yx yxy不是线性方程原方程可以改写为
1dd 2，yxyyx
这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中
)( 1)( 2，,yyqyyp
故原方程的通解为
) d ( d)
1(
2d)
1(?
Cyeyex yyyy
21 3 。Cyy
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换五、伯努利方程形如
) 1,0 ( )()( nyxqyxpy n
的方程称为伯努利方程。
dd)1(dd 1,，则令 xyynxuyu nn
代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程
)()()1(dd xquxpnxu
于是，原方程的通解为
) )()1( ( d)()1(d)()1( 。Cexqneu xxpnxxpnny?1
例解
0 0 4 。，的通解，其中求方程 xyyxyxy
)( 4)( 21 的伯努利方程。，，这是 xxqxxpn
211,则原方程可化为令 yyu
22dd,xuxxu
故
) d 2 ( d)
2(d)2(
Cxexeu xxxx ||ln212, Cxx
从而，原方程的通解为
||ln21
2
4 。
Cxxy
0
原方程的奇解。
为易验证,?y
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换例解
1dd 的通解。求方程 xy xexye变量代换原方程即 1dd 。yxexxy
dd1dd,，则令 xyxuyxu 于是，原方程化为
dd,uexxu?
运用分离变量法，解得
21 2,Cxe u
故原方程的通解为
021 2 。 Cex yx
不是讲过的类型
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第二节 一阶微分方程
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶线性齐方程
)()(dd xqyxpxy
一阶线性非齐方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
0)(dd yxpxy
一阶线性齐方程
)()(dd xqyxpxy
一阶线性非齐方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：
xxfyyg d)(d)(?
则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
xxfyyg d)(d)(
其中 C 为积分后出现的任意常数。
),( 。就是原方程的通解积分的结果 Cxyy?
将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，
称为分离变量法。
例解
),( 1 1 002 的特解。的通解，并指出过点求方程 yxxy
原方程即
,1 dd 2xxy
对上式两边积分，得原方程的通解
Cxy a r c t a n )( 。 x
，故时，当 00 yyxx
a rc t a n 00,xyC
的特解为从而，过点 ),( 00 yx
a r c t a na r c t a n 00 。xxyy
例解
)1(21dd 2 。求解微分方程 yxy
01 2 分离的方程时，该方程可化为变量当y
d1d2 2,xy y
对上式两边积分，得原方程的通解
11ln 1 。Cxyy 隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为
11 。xxCeCey )( 1CeC
你认为做完了没有？
1 01 2,代入原方程可知：，得出令 yy
1 也是原方程的解。?y
1 0 1,所以，对应于；对应于由于 CyCy
原方程的解为
11,xxCeCey ) ( 。为任意常数C
例解
0d)1(d)1( 2 的通解。求方程 yxyxy
，得方程两边同除以 )1)(1( 2yx
01 d1d 2 。 yyx x
两边同时积分，得
||ln |1|ln21|1|ln 2,Cyx
||1 |1| 2 。即 Cyx
故所求通解为 11 2 。 yCx
你认为还需要讨论吗？为什么？
因为只求通解，所以不必再讨论了。
例解
2dd 。的所有解求方程 yxy?
原方程即
。 )0( d2d yxyy
两边积分，得
,Cxy
故通解为
)( 2 。Cxy
0 被包含在通解内。也是方程的解，但它不易验证?y
0 看，方程的奇解是积分为方程的奇解，几何上此时称?y
曲线族的包络。
工程技术中解决某些问题时，
需要用到方程的奇解。
二、齐次方程
xyfxydd
齐次方程
d)( d xxuuf u
变量分离方程变量代换 uxy?
xuuxy ddd
)(dd ufuxux
代入原方程，得例解
t a ndd 的通解。求方程 xyxyxy
dddd,，则令 xuxuxyxyu
于是，原方程化为
dt a nd,xxuu?
两边积分，得
dt a nd, xxuu
||ln ||ln |s i n|ln,Cxu
即 s i n,Cxu?
s i n 。故原方程的通解为 Cxxy?
xuuxy ddd
uxuxxy dddd
x
xx
x s i n
c o sc o t
t a n
1
三、可化为齐次方程的方程
XYXY?dd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程变量代换
0111 cybxa
0222 cybxa
,, yx
,，令 yYxX
d)( d XXZZf Z
变量分离方程变量代换 ZXY?
三、可化为齐次方程的方程
XYXY?dd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程变量代换
d)( d XXZZf Z
变量分离方程变量代换例解
0d)823(d)732( 2222 的通解。求 yyyxxxyx
d2d d2d 22,，，则，令 yyvxxuyvxu
于是，原方程变为
732 823dd, vu vuvu
联立方程组 0823 vu
0732 vu
解之，得 1 2 。, vu 12,则有，令 vXuY
32 23dd,XY XYXY
可化为齐次方程的可化为齐次方程的
ddd,于是得到，则令 XZZXYXYZ
d2d1 32 2,X XZZZ
两边积分，得
||ln||ln2 |1|ln21|1|ln25,CXZZ
即 1)1( 25 。CZ XZ
的通解为，代入上式，得原方程由 1212 2
2
y
x
v
u
X
YZ
3)1( 22
522
。Cyx yx
你由这个例题的解题过程想到什么了？
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
021 时， cc
x
y
x
y
ba
x
y
ba
f
ybxa
ybxa
f
x
y
22
11
22
11
d
d
2
1
2
1 时，k
b
b
a
a
2
1
222
122
)(
)(
d
d
cu
ckuf
cybxa
cybxakf
x
y
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换四、一阶线性微分方程形如
)()( xqyxpy
的方程称为一阶线性微分方程。
0)( 时，当?xq 方程称为一阶齐线性方程。
方程称为一阶非齐线性方程。 0)( 时，当?xq
习惯上，称 0)( yxpy
为方程
)()( xqyxpy
所对应的齐方程。
时，方程有唯一解。、一般说来，当函数 )()( Cxqxp?
0)( 。是一个变量可分离方程方程 yxpy
一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得
d)(d,xxpyy )0(,?y
两边积分，得
d)( ||ln 1,Cxxpy
故
d)(1 。 xxpC eey
1 的通解为，得一阶齐线性方程记 CeC
d)( 。 xxpCey
0 对应于?y
0。＝C
表示一个原函数
，则一阶齐线性方程若 Cxp?)(
0)( yxpy
的解存在，且唯一，其通解为
。 xxpCey d)(
例解
02 的通解。求 xyy
)),(()( 2)(,, Cxpxxp
故该一阶齐线性方程的通解为
2d)2(d)( 。xxxxxp CeCeCey
套公式！
例解
2 0s i n 2 。，求解初值问题,xyxyy
先求此一阶齐线性方程的通解：
)),((s i n)(, Cxxp
c o sds i n 。xxx CeCey
2
2
代入通解中，得将xy
) 2 ( 2c o sCe因为 2，?C
故该初值问题的解为
2 c o s 。xey?
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换一阶非齐线性方程的解比较两个方程：
)()( 。xqyxpy
0)(, yxpy
请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？
我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点什么东西呢？
xxpCey d)(
xxpexCy d)()(
行吗?!
)()( xqyxpy
)( )( d)( 可微，则，且待定函数令 xCexCy xxp
)()()())(( d)(d)(d)(, xxpxxpxxp exCxpexCexCy
怎么办？
得的表达式代入方程中，及将 yy?
)()()()()()( d)(d)(d)(,xqxpexCexCxpexC xxpxxpxxp
故 )()( d)(,xqexC xxp
即 )()( d)(, xxpexqxC
上式两边积分，求出待定函数
CxexqxC xxp d)()( d)( ) ( 。为任意常数C
)( d)( 方程的通解为中，得一阶非齐线性代入 xxpexCy
) d)( ( d)(d)( 。Cxexqey xxpxxp
以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。
0)( yxpy
xxpCey d)(
) d)( ( d)(d)( Cxexqey xxpxxp
)()( xqyxpy
例解
c os2 2 的通解。求方程 xexyy x
c os)( 2)( 2,，因为 xexqxxp x
所以，方程的通解为
) dc o s ( d)2(d)2( 2 Cxxeeey xxxxx
) Cd c o s ( 222 xexee xxx
) Cdc o s (2 xxe x
) s i n (2 。Cxe x
例解
dd 3 的通解。求方程 yx yxy不是线性方程原方程可以改写为
1dd 2，yxyyx
这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中
)( 1)( 2，,yyqyyp
故原方程的通解为
) d ( d)
1(
2d)
1(?
Cyeyex yyyy
21 3 。Cyy
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换五、伯努利方程形如
) 1,0 ( )()( nyxqyxpy n
的方程称为伯努利方程。
dd)1(dd 1,，则令 xyynxuyu nn
代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程
)()()1(dd xquxpnxu
于是，原方程的通解为
) )()1( ( d)()1(d)()1( 。Cexqneu xxpnxxpnny?1
例解
0 0 4 。，的通解，其中求方程 xyyxyxy
)( 4)( 21 的伯努利方程。，，这是 xxqxxpn
211,则原方程可化为令 yyu
22dd,xuxxu
故
) d 2 ( d)
2(d)2(
Cxexeu xxxx ||ln212, Cxx
从而，原方程的通解为
||ln21
2
4 。
Cxxy
0
原方程的奇解。
为易验证,?y
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换
)()(dd ygxfxy?
变量可分离方程
xyfxydd
齐次方程
222
111
d
d
cybxa
cybxaf
x
y
可化为齐次方程的方程
0)(dd yxpxy
一阶齐线性方程
)()(dd xqyxpxy
一阶非齐线性方程
nyxqyxp
x
y )()(
d
d
伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换例解
1dd 的通解。求方程 xy xexye变量代换原方程即 1dd 。yxexxy
dd1dd,，则令 xyxuyxu 于是，原方程化为
dd,uexxu?
运用分离变量法，解得
21 2,Cxe u
故原方程的通解为
021 2 。 Cex yx
不是讲过的类型
