高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十八讲 函数的微分脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四节 函数的微分第四章 一元函数的导数与微分一,函数的微分三,二阶微分二,微分的运算法则四,微分在近似计算中的应用五,微分在误差估计中的应用
)(o)( 0 xxxfy
若 y = f (x) 在点 x0 处有 (有限 )导数,则
xxfy )( 0
现在反过来想一想：
若在 x0 点处 y = f (x) 的增量?y 可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 )0 ( )o( xxxAy
回忆复合函数求导法则中的一个定理那么,我们自然要问 A =?
x
xA
x
y
)(o?
x
y A
x?
0
lim )(
0xf
就是说,在点 x0 处若可用关于自变量的增量?x 的线性函数逼近函数的增量?y 时,
其关系式一定是
y = f?(x0)?x + o(?x)
我们称 f?(x0)?x (或 A?x) 为 函数 在点 x0 处增量的线性主部,通常将它记为
dy = f?(x0)?x ( dy =A?x ).微分一,函数的微分将以上的讨论归纳一下,
可得出什么结论?
1.微分的概念
y =A?x + o(?x)
此时,称 f (x) 在点 x0 处可微 。
设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义,给 x0 以增量
x,且 x0+?x? U(x0) 。
如果函数相应的增量可表示为则称?y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,
记为 d y =A?x,其中,A 叫微分系数 。
2.可微与可导的关系定理
).(
,)( )(
0
00
xfA
xxfxxf
且处可导在点处可微在点
y = f?(x0)?x + o(?x)
dy = f?(x0)?x
也就是说,f (x) 在点 x0 处 的 可微性与可导性是等价的,且 f (x) 在点 x0 处可微,
则解
.d,yxy 求? 什么意思？例 1
自变量的增量就是自变量的微分：
函数的微分可以写成,
该例说明,
xx d
xxfy d)(d xxfxf d)()(d或此外,当 x 为自变量时,还可记
,)( d,d 22 等 Znxxxx nn
,1)(d xxxxy
,故得由于 xy?
,dd xxy
,dd)(,d)(d xyxfxxfy 有时当即 函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商,故导数也可称为微商,
哈哈 ！ 除法,这一下复合函数,反函数,参数方程等的求导公式就好理解了,
3,微分的几何意义
O x
y
x?
xd
x xx
)( xfy?
ddt a n xy
几何上,函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为,相应于自变量 x 的改变量
x,曲线 y = f (x) 在点 P(x,y) 的切线上纵坐标的改变量,
二,微分的运算法则
1.微分的基本公式可微 可导微分的基本公式与导数的基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了,
2.一阶微分形式不变性
( 复合函数微分法则 )
)( )( 可构成复合函数与设 xuufy
) ),(( xfy 而处可微在点若,)( 0xxu
,)( )( 00 且处可微在相应点 xuufy
))((,)U( ))(( 0 xfyxxf则内有定义在在点 x0 处可微,
按微分的定义但故
xxfxxyy d)))(((dddd
xxxf d)())((
xxu d)(d
d)(d)()(d uufxxufy
)( 为中间变量u
说明什么问题
？
我们发现 y = f (u),当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy = f?(u) du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性,
解 xxxxy d3d)(d 23
1.02
2
1.02 d3d xxxx xxy
)d( 2.11.023 2 xx
故 xxxy xx d12d3d 222
,2,1.0
,2 3
处的微分在时以及当处的微分在求
xx
xxy例 2
由一阶微分形式不变性,再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：
)(
1
d
d
1
d
d)(
xf
x
yy
xy
反函数的导数
)(
)(
d)(
d)(
d
d
tx
ty
ttx
tty
x
y
参数方程的导数
,dddddd xuuyxy复合函数的导数例 3
.dd,4 2 xyyyx 求设
解 yyx d)42(d
)2( 42 1dd yyxy
) 42dd ( yyx或例 4
三,二阶微分其二阶微分为设函数 y = f (x) 二阶可导,当 x 为自变量时,
)d)(d()d( dd 2 xxfyy
2d)(d))(d( xxfxxf
由此看出,当 x 为自变量时,
2
2
d
d)(
x
yxf
d 22 xx
除法
xxd
类似可定义 n 阶微分,
nnnnnn xxfxxfyy d)()d)(d()d( dd )(1)1(1
n
n
n
x
yxf
d
d)( )(?且有注意这里 x 是自变量以及一阶微分由高阶导数 dd)( )( n
n
n
x
yxf?
,分是否也我们自然会想到高阶微形式不变性具有这种不变性？
看一下二阶微分的情形：
性,且可构成复合函数 y = f (? (t)),则
tttxftxf d]d))()()()([( 2
xxfxxf 22 d)(d)(
设函数 y = f (x),x =? (t) 都具有相应的可微
)d)()(d()d( dd 2 ttxfyy d tt
,d)(d,22 ttx其中
2222 d)()d)((d ttttx
就是说,二阶微分不具备微分形式不变性,
高阶微分不具备微分形式不变性,
三,微分在近似计算中的应用
)(o)( xxxfy由函数增量的近似值：,||,0)( 0 很小时当 xxf
xxfxfxxfy )()()( 000
函数值的近似值：
xxfxfxxf )()()( 000
)()()()( 000 xxxfxfxf
将半径为 R 的球加热,如果球的半径
,R? 估计球的体积的增量,伸长解
33
3
4)(
3
4 RRRV
RR )34( 3?
RR 24?
,34 3RV 则由所以,球的体积增量大约为,4 2 RR
例 5
,'3030s i n 的近似值利用微分求?
,s i n)( xxf?设,3 6 06'3030又
,360,6 0 xx取
xxfxfxxf )()()( 000由
,2 36c o s)( 0xf而
3 6 06co s6s i n)3 6 06s i n (
5076.0?
得
3602
3
2
1
解例 6
四,微分在误差估计中的应用设某个量的精确值为 A,它的近似值为 a,
||
||
a
aA? 为 a 的 相对误差,
A 为测量 A 的 绝对误差限,简称 A 的绝对误差,
|a|
δA 为测量 A 的 相对误差限,简称 A 的相对误差,
则称,
| A? a | 为 a 的 绝对误差 ;
,|| AaA若已知 则称,
设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm,
测量 D 的绝对误差限?D＝ 0.05 mm,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解 设测量值为 D,精确值为,DD 则
22
4)(4 DDDA
DAA dd DD 2?
4
2D
A
由于 D 的绝对误差限?D＝ 0.05 mm,所以
05.0|| DD?
例 7
而因此,A 的绝对误差限约为
)(7 1 5.4 2mm?
A 的相对误差限约为
2
4
2
D
D
A
D
A
%17.0?DD?2? 03.60 05.02
05.003.602 π
DDDDAA?
2||2|d|||
DA D?
2?
,)( xfy?设 已知测量 x 的绝对误差限为?x,
,|| xx即
,0 时则当y
y 的绝对误差,
xyxyyy?|||||||d|||
y 的绝对误差限约为 xyy ||
y 的相对误差限约为 xyyyy || ||||
即有若根据直接测量的 x 值计算 y 值,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十八讲 函数的微分脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四节 函数的微分第四章 一元函数的导数与微分一,函数的微分三,二阶微分二,微分的运算法则四,微分在近似计算中的应用五,微分在误差估计中的应用
)(o)( 0 xxxfy
若 y = f (x) 在点 x0 处有 (有限 )导数,则
xxfy )( 0
现在反过来想一想：
若在 x0 点处 y = f (x) 的增量?y 可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 )0 ( )o( xxxAy
回忆复合函数求导法则中的一个定理那么,我们自然要问 A =?
x
xA
x
y
)(o?
x
y A
x?
0
lim )(
0xf
就是说,在点 x0 处若可用关于自变量的增量?x 的线性函数逼近函数的增量?y 时,
其关系式一定是
y = f?(x0)?x + o(?x)
我们称 f?(x0)?x (或 A?x) 为 函数 在点 x0 处增量的线性主部,通常将它记为
dy = f?(x0)?x ( dy =A?x ).微分一,函数的微分将以上的讨论归纳一下,
可得出什么结论?
1.微分的概念
y =A?x + o(?x)
此时,称 f (x) 在点 x0 处可微 。
设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义,给 x0 以增量
x,且 x0+?x? U(x0) 。
如果函数相应的增量可表示为则称?y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,
记为 d y =A?x,其中,A 叫微分系数 。
2.可微与可导的关系定理
).(
,)( )(
0
00
xfA
xxfxxf
且处可导在点处可微在点
y = f?(x0)?x + o(?x)
dy = f?(x0)?x
也就是说,f (x) 在点 x0 处 的 可微性与可导性是等价的,且 f (x) 在点 x0 处可微,
则解
.d,yxy 求? 什么意思？例 1
自变量的增量就是自变量的微分：
函数的微分可以写成,
该例说明,
xx d
xxfy d)(d xxfxf d)()(d或此外,当 x 为自变量时,还可记
,)( d,d 22 等 Znxxxx nn
,1)(d xxxxy
,故得由于 xy?
,dd xxy
,dd)(,d)(d xyxfxxfy 有时当即 函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商,故导数也可称为微商,
哈哈 ！ 除法,这一下复合函数,反函数,参数方程等的求导公式就好理解了,
3,微分的几何意义
O x
y
x?
xd
x xx
)( xfy?
ddt a n xy
几何上,函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为,相应于自变量 x 的改变量
x,曲线 y = f (x) 在点 P(x,y) 的切线上纵坐标的改变量,
二,微分的运算法则
1.微分的基本公式可微 可导微分的基本公式与导数的基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了,
2.一阶微分形式不变性
( 复合函数微分法则 )
)( )( 可构成复合函数与设 xuufy
) ),(( xfy 而处可微在点若,)( 0xxu
,)( )( 00 且处可微在相应点 xuufy
))((,)U( ))(( 0 xfyxxf则内有定义在在点 x0 处可微,
按微分的定义但故
xxfxxyy d)))(((dddd
xxxf d)())((
xxu d)(d
d)(d)()(d uufxxufy
)( 为中间变量u
说明什么问题
？
我们发现 y = f (u),当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy = f?(u) du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性,
解 xxxxy d3d)(d 23
1.02
2
1.02 d3d xxxx xxy
)d( 2.11.023 2 xx
故 xxxy xx d12d3d 222
,2,1.0
,2 3
处的微分在时以及当处的微分在求
xx
xxy例 2
由一阶微分形式不变性,再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：
)(
1
d
d
1
d
d)(
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x
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反函数的导数
)(
)(
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d)(
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x
y
参数方程的导数
,dddddd xuuyxy复合函数的导数例 3
.dd,4 2 xyyyx 求设
解 yyx d)42(d
)2( 42 1dd yyxy
) 42dd ( yyx或例 4
三,二阶微分其二阶微分为设函数 y = f (x) 二阶可导,当 x 为自变量时,
)d)(d()d( dd 2 xxfyy
2d)(d))(d( xxfxxf
由此看出,当 x 为自变量时,
2
2
d
d)(
x
yxf
d 22 xx
除法
xxd
类似可定义 n 阶微分,
nnnnnn xxfxxfyy d)()d)(d()d( dd )(1)1(1
n
n
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x
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n
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,分是否也我们自然会想到高阶微形式不变性具有这种不变性？
看一下二阶微分的情形：
性,且可构成复合函数 y = f (? (t)),则
tttxftxf d]d))()()()([( 2
xxfxxf 22 d)(d)(
设函数 y = f (x),x =? (t) 都具有相应的可微
)d)()(d()d( dd 2 ttxfyy d tt
,d)(d,22 ttx其中
2222 d)()d)((d ttttx
就是说,二阶微分不具备微分形式不变性,
高阶微分不具备微分形式不变性,
三,微分在近似计算中的应用
)(o)( xxxfy由函数增量的近似值：,||,0)( 0 很小时当 xxf
xxfxfxxfy )()()( 000
函数值的近似值：
xxfxfxxf )()()( 000
)()()()( 000 xxxfxfxf
将半径为 R 的球加热,如果球的半径
,R? 估计球的体积的增量,伸长解
33
3
4)(
3
4 RRRV
RR )34( 3?
RR 24?
,34 3RV 则由所以,球的体积增量大约为,4 2 RR
例 5
,'3030s i n 的近似值利用微分求?
,s i n)( xxf?设,3 6 06'3030又
,360,6 0 xx取
xxfxfxxf )()()( 000由
,2 36c o s)( 0xf而
3 6 06co s6s i n)3 6 06s i n (
5076.0?
得
3602
3
2
1
解例 6
四,微分在误差估计中的应用设某个量的精确值为 A,它的近似值为 a,
||
||
a
aA? 为 a 的 相对误差,
A 为测量 A 的 绝对误差限,简称 A 的绝对误差,
|a|
δA 为测量 A 的 相对误差限,简称 A 的相对误差,
则称,
| A? a | 为 a 的 绝对误差 ;
,|| AaA若已知 则称,
设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm,
测量 D 的绝对误差限?D＝ 0.05 mm,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解 设测量值为 D,精确值为,DD 则
22
4)(4 DDDA
DAA dd DD 2?
4
2D
A
由于 D 的绝对误差限?D＝ 0.05 mm,所以
05.0|| DD?
例 7
而因此,A 的绝对误差限约为
)(7 1 5.4 2mm?
A 的相对误差限约为
2
4
2
D
D
A
D
A
%17.0?DD?2? 03.60 05.02
05.003.602 π
DDDDAA?
2||2|d|||
DA D?
2?
,)( xfy?设 已知测量 x 的绝对误差限为?x,
,|| xx即
,0 时则当y
y 的绝对误差,
xyxyyy?|||||||d|||
y 的绝对误差限约为 xyy ||
y 的相对误差限约为 xyyyy || ||||
即有若根据直接测量的 x 值计算 y 值,
