高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十讲 函数极限存在准则、
两个重要极限脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第四、五节 极限存在准则、
两个重要极限第三章 函数的极限与连续性二,夹逼定理一,单调收敛准则三,两个重要极限五,柯西 准则四,函数极限与数列极限的关系一,单调收敛准则
,)(s u p)(lim
,
,)(,
xfxf
xf
的极限存在则在该极限过程中函数单调增加且有上界函数设在某极限过程中
,)(i n f)(lim
,
,)(,
xfxf
xf
的极限存在则在该极限过程中函数单调减少且有下界函数设在某极限过程中一般说成,
在某极限过程中,单调有界的函数必有极限,
0x0x0x
ay
ay
ay?
)( xhy?
)( xfy?
)( xgy?
x
y
O
看懂后,用精确地语言描述它,
二,夹逼定理函数极限的夹逼定理有时设,) || ( ),(U? 0 Xxxx
,)()()( xhxfxg
则必有若,)(l i m)(l i m
)()( 00
axhxg
x
xx
x
xx
,)(l i m
)( 0
axf
x
xx
定理证,0 的情形只证 xx?
且设,),U( )()()( 10?xxxhxfxg
,0,)(lim)(lim
00
则axhxg xxxx
,|)(|,|| 0,0 202 axhxx 时当
,|)(|,|| 0,0 303 axgxx 时当
,)( axha即
,)( axga即
,|| 0 },,,m i n { 0321 时则当取 xx
,)()()( axhxfxga
,)(l i m
0
axfxx即例 1,
2 lim
0
x
x
x
求解,有由取整函数的定义
,2212 xxx;222,0 xxxx 时故当
,222,0 xxxx 时当
.22l i m,,2)2(l i m
00
x
xx
xx
所以而夹逼定理二,重要极限
1s i nl i m,1
0
x
x
x
重要极限
11l i m,2 ex
x
x
重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：
1s i nlim,1?
x
x
x 0
重要极限
x xxsin0? 1?
0.1 0.9983341664682815475018
0.01 0.9999833334166664533527
0.001 0.9999998333333416367097
0.0001 0.9999999983333334174773
0.00001 0.9999999999833332209320
0.000001 0.9999999999998333555240
0.0000001 1.0000000000000000000000
0.00000001 1
22
x
xy s in?
x
y
O
1
,s i n 的图形然后看 x xy?
运用夹逼定理,关键在于建立不等式,
x
O
1
D
B
A
x
y,作一单位圆
20
x先令从图中可看出,
,xAO B设面积面积扇形面积 DOBA O BA O B
xsin xtan
证
,)2(0 t a n2121s i n21 xxxx即
xx
x
c o s
1
s in1
由 sin x 与 cos x 的 奇偶性可知：
,2||0 时当 x,1s inc o s 成立 x xx
1s inlim
0
x
x
x
得及夹逼定理由,11lim,1c o slim 00 xx x
,20 时故当 x
,1s i nc o s x xx即有一般地其中,a ≠0 为常数,
)(
)(s i nlim
0)(
a
x
xa
x
,)( 0)( 的极限为零表示在某极限过程中 xx
x
x
x
5s i nl i m
0
x
x
x
5sinlim
0?求
x
x
x 5
5s i n5l i m
0?
)5(,5s i nl i m5
0
xuu u
u
解例 2
,)0( )( )(s i nl i m
0)(
aax xa
x?
或直接用公式
,55s i nlim
0
x
x
x
x
x
x
t a nlim
0
1c o s1li ms inli m
00
xx
x
xx
x
x
x
t a nl im
0?
求
xx
x
x c o s
1s i nlim
0?
解例 3
x? a 时,? (x) = x? a? 0,
,3)(3si nlim
ax
ax
ax
ax
ax
ax?
)(3s i nlim求故解例 4
解例 5
20
c o s1l i m
x
x
x
求
2
1
2
2
s i n
lim
2
1
2
0
x
x
x
20
c o s1lim
x
x
x
2
2
0
2
2
s i n
2
1
lim
x
x
x
2
2
0
2
s in2
lim
x
x
x?
, xt令
x
x
x
s i nlim
x
x
x
s i nl im求故
1s i nlim
0
t
t
t
,时则x 0?t
t
t
t
)s i n (lim
0
解例 6
x
xx
xx
1s i ns i n1l im
0
(2)
x
xx
xx
1s ins in1lim
求 (1)
请自己动手做一下例 7
(1)
x
xx
s i n1l i m
0
01s i nlim
0
x
x
x
) 11s in ( 是有界量?
x
x
xx
xx
1s ins in1lim
0
1s i nl i m
0
x
x
x
11s i nl ims i n1l im
00
x
xx
x xx
解
x
x
x
1s i nl i m?
0s i n1lim?
x
xx
) 1 |s i n| ( 是有界量?x
x
xx
xx
1s ins in1 lim
(2)
1
1
1
s i n
l im?
x
x
x
11s i nl i ms i n1l i m
x
xxx
xx
解由三角函数公式
332
3
2s in2c o s2c o s2c o s2
xxxx?
nn
xxx
2c o s2c o s2c o sl i m 2
求
22
2
2s i n2c o s2c o s2
xxx?
2c o s2s i n2
xx?xsin
nn
n xxxx
2s i n2c o s2c o s2c o s2 2?
例 8
解故 原式
x
x
x
x
n
n
n
s i n
2
s i n
2l i m
n
nn x
x
2
s i n2
s i nl im
x
xsin?
2,重要极限
ex
x
x
11l i m
特别重要啊 ！
ex x
x
1
0
)1(l i m
变量代换
xy
1?
下面先证明 e
x
x
x
11lim
ex
x
x
11l i m
ex x
x
1
0
)1(l i m
由它能得到 e
x
x
x
11 lim 吗？
如果可行,则可以利用极限运算性质
axfxfaxf xxx )(lim)(lim )(lim
得到所需的结论吗？
进一步可得 e
x
x
x
11 lim 吗？
在讨论数列极限时,有,11l i m en
n
n
第一步：证明因为 x? +?,故不妨设 x > 0.
e
x
x
x
11 lim
1111
1
11
nxn
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
nxxxn
nnxnn
由实数知识,总可取 n?N,使 n? x < n+1,
故
11
1lim
n
n n
n
n n
1
11lim
,
1
1
1
1
1
1
lim
1
e
n
n
n
n
,1111l i m e
nn
n
n
,,,得故由夹逼定理时而 xn
,11lim e
x
x
x
e
x
x
x
1
1 lim
我们作变量代换,将它归为 x? +? 的情形即可,
想想,作一个什么样的代换？
.,, txtx 时则令第二步：证明
,tx令
x
x
11
t
t
1
11
,1 tu再令
x
x x
11lim
,, tx 时则且时则,, ut
t
t
t
1
t
t
t
1
11
1
11
1
11 1
tt
t
e
uu
u
u
1111lim
t
t
11
e
x
x
x
11 lim
由
e
xx
x
x
x
x
11lim11lim
e
x
x
x
11 lim
第三步：证明现在证明
ex x
x
1
0
1 lim
,的情形转化为x
ex x
x
1
0
)1(lim 11 lim e
x
x
x
令
,1
t
x?
t,则 x? 0时,
,11lim)(1 lim
1
0
e
t
x
t
t
x
x
故 ex x
x
1
0
)1( li m
于是有证综上所述,得到以下公式
e
n
n
n
11 lim
e
x
x
x
11 lim
ex x
x
1
0
)1( lim
)(
1 lim
)(
)(
k
x
x
e
x
k
))(1( li m )(
1
0)(
kx
x
exk
一般地其中,k≠ 0 为常数,
,)( 0)( 的极限为零表示在某极限过程中 xx
,)( )( 的极限为表示在某极限过程中 xx
x
x x
31 lim
x
x x
31 lim求
3
3
3
1
1 lim
x
x x
3
3
3
3
1
1lim e
x
x
x
例 9
解
x
x
x 2c o t2
0
)t a n31(lim?
3t a n3
3
2
0
2)t a n31(lim ex x
x
例 10 x
x
x 2c o t2
0
)t a n31(lim?
求解
x
x x21lim 0
2
1
0
)21( lim?
ex x
x
( 即 k =?2 的情形 )
x
x x21lim 0
求例 11
解
x
x x
x?
1
1 lim
)1(
1
21ln
1
e x plim
x
x xx
x
2
)1(
1
21lnlim
1
lime x p?
e
xx
x x
xx
1
)1(
1
21 li m
x
xx
x x
( 1?)x
x x
x?
1
1 lim求
x
x x
1
21 l i m
例 12
解
x
x x
x
1
1 lim x
x
x
x
x
1
1
1
1
li m
x
x
x
x
x
x
1
1li m
1
1 li m
2
1
eee
解此题的另一解法：
1c o s 0 xx,时?
22
11
)]1( c o s1[ )( c o s xx xx
2
1c o s
1c o s
1
)]1( co s1[ x
x
xx
2
1
0
)( c o slim x
x
x
求 ) 1 (?例 13
解
,211c o slim,)]1( c o s1[ lim 2
0
1c o s
1
0
x
xex
x
x
x
又
2
11
0
)( c o s lim 2
ex x
x
故常用的方法
.1c o s1s inli m
x
x xx
求 )1 (?
x
x xx
1c o s1sinlim
e
x
x
x
22
si n1l i m
2
21
c o s1si nl i m
x
x xx
例 14
解首先平方例 15
解
).0( lnlnlim
aax ax
ax
求 你想怎么做?
,0,,于是时则令 yaxyax
1ln1l i m)( ln)l n (l i m lnlnl i m
00
a
y
yaya
aya
ax
ax
yyax
,1l n 1lnl i m
11
0 a
e
a
y ay
y
例 16,,,,3l i m
1
0
为正常数其中求极限 cbacba
xxxx
x?
解,1 型的极限这是?
,3 )1()1()1( 13
xxxxxx cbacba
,3 )1()1()1( )( 则令
xxx cba
x?
x
x
x
x
xxxx
x
xcba
)(
)(
1
0
1
0
))(1(lim
3
lim
,3)lnln( ln31 a b ce cba
axf nn )(lim
Df 为函数 f ( x ) 的定义域,
其中,极限值 a 可为有限数或为?；
四,函数极限与数列极限的关系定理
)(l i m 0 axfxx
),( },{ 0xxDxx nfnn对任意的数列
,)( 0 都有时当 nxx n
该定理说明：
的则对于任何一个趋向于如果,)(l i m,1 0
0
xaxfxx
) ),(,( }{ 0 都有数列 fDxxxx nnn
),( }{,2 00 xxxx nn?的数列如果对每一个收敛于则有且所有极限相等存在极限,,)(lim nn xf
,)(lim
0
axfxx
.)(lim axf nn
证 必要性：,)(l i m
0
axfxx设
,|)(| axf
,|| 0,0 0,0 有时当则 xx
,lim,),(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且
,,0,0 有时当则对于上面的 NnN
,|| 0 xx n
从而有
,|)(| axf n
即有,)(lim
0
axf nxx
充分性,反证法
,|)(|
,|| 0,
,0,
0
0
0
axf
xxx 但满足总存在则对于任意的的值取定一个下面怎么做？
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且假设
,)(l i m axf nn有,)(lim
0
axfxx如果充分性：
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且假设
,)(l i m axf nn有,)(lim
0
axfxx如果反证法
),( 1,0 Znnn 并取的值任意取定一个
),(,1 满足存在一个则对每一个 fDxn nn
,|| 0 0 nn xx
,|)(| 0 axf n且有
,),(,}{ 0xxfDxx nnn于是得到一个数列
,,性成立该矛盾说明定理的充分这与假设矛盾
,|)(|,l i m 00 axfxx nnn 且
,01limlim 0xnx
nnn
nn
nn xxf
1s inlim)(lim
,00limsi nlim nn n?
,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x?
证,1s i n)(,00 xxfx
,1,}{ )1( 则取?nxx nn?
,
2
2
1,}{ )2(
n
xx nn取
,0
2
2
1limlim
0x
n
x
nnn
则例 17
nn
nn xxf
1s inlim)(lim
1 1 lim)22( s inlim
nn
n
,1s i nl i m
0
不存在x
x?
)(lim nn xf?
nn x
1s inlim
n
n x
1s inlim
)(lim nn xf
五,柯西 (Cauchy)准则定理 1 ( 柯西收敛准则 )
,有时
)(l i m
0
的充要条件是：axfxx
且当 )(,,0,0 21 fDxx
|| 0,|| 0 0201 xxxx
|)()(| 21 xfxf
,成立证 必要性：,)(l i m
0
axfxx设
,|| 0,|| 0 )(,020121 xxxxfDxx 且
,2 |)(| axf
,|| 0,0 0,0 有时当则 xx
,2 |)(|,2 |)(| 21 同时成立则有 axfaxf
|))(())((| |)()(| 2121 axfaxfxfxf
,|)(| |)(| 21 axfaxf
充分性：
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且任取数列
) },({ nxf值构成的数列则相应得到一个由函数
,由柯西准则的条件可知且当 )(,,0,0 21 fDxx
|| 0,|| 0 0201 xxxx
,|)()(|,21 成立有时 xfxf
,,,0,0 时当对此 NnNnN
,|| 0,|| 0 00 xxxx nn
,)}({,|)()(| 收敛故成立于是有 nnn xfxfxf
)(l i m },{ nnn xfx任何数列下面证明对满足条件的
,的极限值相同
,},{ }{ 21 但满足定理的条件和设存在两个数列 nn xx
,,)(lim,)(lim 212211 bbbxfbxf nnnn 且
:我们改造一个新数列
,,,,,,,,:}{ 2414231322122111 xxxxxxxxy n
),l i m,l i m ( l i m,02010 xxxxxy nnnnnn显然
).( )}({ 不相等因为两个子数列的极限发散并且数列 nyf
,21 bb?故必有 剩下的工作请看书！
定理 2 ( 柯西收敛准则 )
,有时
)(lim 的充要条件是：axfx
且当 )(,,0,0 21 fDxxX
||,|| 21 XxXx
|)()(| 21 xfxf
,成立请自己证明,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十讲 函数极限存在准则、
两个重要极限脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第四、五节 极限存在准则、
两个重要极限第三章 函数的极限与连续性二,夹逼定理一,单调收敛准则三,两个重要极限五,柯西 准则四,函数极限与数列极限的关系一,单调收敛准则
,)(s u p)(lim
,
,)(,
xfxf
xf
的极限存在则在该极限过程中函数单调增加且有上界函数设在某极限过程中
,)(i n f)(lim
,
,)(,
xfxf
xf
的极限存在则在该极限过程中函数单调减少且有下界函数设在某极限过程中一般说成,
在某极限过程中,单调有界的函数必有极限,
0x0x0x
ay
ay
ay?
)( xhy?
)( xfy?
)( xgy?
x
y
O
看懂后,用精确地语言描述它,
二,夹逼定理函数极限的夹逼定理有时设,) || ( ),(U? 0 Xxxx
,)()()( xhxfxg
则必有若,)(l i m)(l i m
)()( 00
axhxg
x
xx
x
xx
,)(l i m
)( 0
axf
x
xx
定理证,0 的情形只证 xx?
且设,),U( )()()( 10?xxxhxfxg
,0,)(lim)(lim
00
则axhxg xxxx
,|)(|,|| 0,0 202 axhxx 时当
,|)(|,|| 0,0 303 axgxx 时当
,)( axha即
,)( axga即
,|| 0 },,,m i n { 0321 时则当取 xx
,)()()( axhxfxga
,)(l i m
0
axfxx即例 1,
2 lim
0
x
x
x
求解,有由取整函数的定义
,2212 xxx;222,0 xxxx 时故当
,222,0 xxxx 时当
.22l i m,,2)2(l i m
00
x
xx
xx
所以而夹逼定理二,重要极限
1s i nl i m,1
0
x
x
x
重要极限
11l i m,2 ex
x
x
重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：
1s i nlim,1?
x
x
x 0
重要极限
x xxsin0? 1?
0.1 0.9983341664682815475018
0.01 0.9999833334166664533527
0.001 0.9999998333333416367097
0.0001 0.9999999983333334174773
0.00001 0.9999999999833332209320
0.000001 0.9999999999998333555240
0.0000001 1.0000000000000000000000
0.00000001 1
22
x
xy s in?
x
y
O
1
,s i n 的图形然后看 x xy?
运用夹逼定理,关键在于建立不等式,
x
O
1
D
B
A
x
y,作一单位圆
20
x先令从图中可看出,
,xAO B设面积面积扇形面积 DOBA O BA O B
xsin xtan
证
,)2(0 t a n2121s i n21 xxxx即
xx
x
c o s
1
s in1
由 sin x 与 cos x 的 奇偶性可知：
,2||0 时当 x,1s inc o s 成立 x xx
1s inlim
0
x
x
x
得及夹逼定理由,11lim,1c o slim 00 xx x
,20 时故当 x
,1s i nc o s x xx即有一般地其中,a ≠0 为常数,
)(
)(s i nlim
0)(
a
x
xa
x
,)( 0)( 的极限为零表示在某极限过程中 xx
x
x
x
5s i nl i m
0
x
x
x
5sinlim
0?求
x
x
x 5
5s i n5l i m
0?
)5(,5s i nl i m5
0
xuu u
u
解例 2
,)0( )( )(s i nl i m
0)(
aax xa
x?
或直接用公式
,55s i nlim
0
x
x
x
x
x
x
t a nlim
0
1c o s1li ms inli m
00
xx
x
xx
x
x
x
t a nl im
0?
求
xx
x
x c o s
1s i nlim
0?
解例 3
x? a 时,? (x) = x? a? 0,
,3)(3si nlim
ax
ax
ax
ax
ax
ax?
)(3s i nlim求故解例 4
解例 5
20
c o s1l i m
x
x
x
求
2
1
2
2
s i n
lim
2
1
2
0
x
x
x
20
c o s1lim
x
x
x
2
2
0
2
2
s i n
2
1
lim
x
x
x
2
2
0
2
s in2
lim
x
x
x?
, xt令
x
x
x
s i nlim
x
x
x
s i nl im求故
1s i nlim
0
t
t
t
,时则x 0?t
t
t
t
)s i n (lim
0
解例 6
x
xx
xx
1s i ns i n1l im
0
(2)
x
xx
xx
1s ins in1lim
求 (1)
请自己动手做一下例 7
(1)
x
xx
s i n1l i m
0
01s i nlim
0
x
x
x
) 11s in ( 是有界量?
x
x
xx
xx
1s ins in1lim
0
1s i nl i m
0
x
x
x
11s i nl ims i n1l im
00
x
xx
x xx
解
x
x
x
1s i nl i m?
0s i n1lim?
x
xx
) 1 |s i n| ( 是有界量?x
x
xx
xx
1s ins in1 lim
(2)
1
1
1
s i n
l im?
x
x
x
11s i nl i ms i n1l i m
x
xxx
xx
解由三角函数公式
332
3
2s in2c o s2c o s2c o s2
xxxx?
nn
xxx
2c o s2c o s2c o sl i m 2
求
22
2
2s i n2c o s2c o s2
xxx?
2c o s2s i n2
xx?xsin
nn
n xxxx
2s i n2c o s2c o s2c o s2 2?
例 8
解故 原式
x
x
x
x
n
n
n
s i n
2
s i n
2l i m
n
nn x
x
2
s i n2
s i nl im
x
xsin?
2,重要极限
ex
x
x
11l i m
特别重要啊 ！
ex x
x
1
0
)1(l i m
变量代换
xy
1?
下面先证明 e
x
x
x
11lim
ex
x
x
11l i m
ex x
x
1
0
)1(l i m
由它能得到 e
x
x
x
11 lim 吗？
如果可行,则可以利用极限运算性质
axfxfaxf xxx )(lim)(lim )(lim
得到所需的结论吗？
进一步可得 e
x
x
x
11 lim 吗？
在讨论数列极限时,有,11l i m en
n
n
第一步：证明因为 x? +?,故不妨设 x > 0.
e
x
x
x
11 lim
1111
1
11
nxn
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
nxxxn
nnxnn
由实数知识,总可取 n?N,使 n? x < n+1,
故
11
1lim
n
n n
n
n n
1
11lim
,
1
1
1
1
1
1
lim
1
e
n
n
n
n
,1111l i m e
nn
n
n
,,,得故由夹逼定理时而 xn
,11lim e
x
x
x
e
x
x
x
1
1 lim
我们作变量代换,将它归为 x? +? 的情形即可,
想想,作一个什么样的代换？
.,, txtx 时则令第二步：证明
,tx令
x
x
11
t
t
1
11
,1 tu再令
x
x x
11lim
,, tx 时则且时则,, ut
t
t
t
1
t
t
t
1
11
1
11
1
11 1
tt
t
e
uu
u
u
1111lim
t
t
11
e
x
x
x
11 lim
由
e
xx
x
x
x
x
11lim11lim
e
x
x
x
11 lim
第三步：证明现在证明
ex x
x
1
0
1 lim
,的情形转化为x
ex x
x
1
0
)1(lim 11 lim e
x
x
x
令
,1
t
x?
t,则 x? 0时,
,11lim)(1 lim
1
0
e
t
x
t
t
x
x
故 ex x
x
1
0
)1( li m
于是有证综上所述,得到以下公式
e
n
n
n
11 lim
e
x
x
x
11 lim
ex x
x
1
0
)1( lim
)(
1 lim
)(
)(
k
x
x
e
x
k
))(1( li m )(
1
0)(
kx
x
exk
一般地其中,k≠ 0 为常数,
,)( 0)( 的极限为零表示在某极限过程中 xx
,)( )( 的极限为表示在某极限过程中 xx
x
x x
31 lim
x
x x
31 lim求
3
3
3
1
1 lim
x
x x
3
3
3
3
1
1lim e
x
x
x
例 9
解
x
x
x 2c o t2
0
)t a n31(lim?
3t a n3
3
2
0
2)t a n31(lim ex x
x
例 10 x
x
x 2c o t2
0
)t a n31(lim?
求解
x
x x21lim 0
2
1
0
)21( lim?
ex x
x
( 即 k =?2 的情形 )
x
x x21lim 0
求例 11
解
x
x x
x?
1
1 lim
)1(
1
21ln
1
e x plim
x
x xx
x
2
)1(
1
21lnlim
1
lime x p?
e
xx
x x
xx
1
)1(
1
21 li m
x
xx
x x
( 1?)x
x x
x?
1
1 lim求
x
x x
1
21 l i m
例 12
解
x
x x
x
1
1 lim x
x
x
x
x
1
1
1
1
li m
x
x
x
x
x
x
1
1li m
1
1 li m
2
1
eee
解此题的另一解法：
1c o s 0 xx,时?
22
11
)]1( c o s1[ )( c o s xx xx
2
1c o s
1c o s
1
)]1( co s1[ x
x
xx
2
1
0
)( c o slim x
x
x
求 ) 1 (?例 13
解
,211c o slim,)]1( c o s1[ lim 2
0
1c o s
1
0
x
xex
x
x
x
又
2
11
0
)( c o s lim 2
ex x
x
故常用的方法
.1c o s1s inli m
x
x xx
求 )1 (?
x
x xx
1c o s1sinlim
e
x
x
x
22
si n1l i m
2
21
c o s1si nl i m
x
x xx
例 14
解首先平方例 15
解
).0( lnlnlim
aax ax
ax
求 你想怎么做?
,0,,于是时则令 yaxyax
1ln1l i m)( ln)l n (l i m lnlnl i m
00
a
y
yaya
aya
ax
ax
yyax
,1l n 1lnl i m
11
0 a
e
a
y ay
y
例 16,,,,3l i m
1
0
为正常数其中求极限 cbacba
xxxx
x?
解,1 型的极限这是?
,3 )1()1()1( 13
xxxxxx cbacba
,3 )1()1()1( )( 则令
xxx cba
x?
x
x
x
x
xxxx
x
xcba
)(
)(
1
0
1
0
))(1(lim
3
lim
,3)lnln( ln31 a b ce cba
axf nn )(lim
Df 为函数 f ( x ) 的定义域,
其中,极限值 a 可为有限数或为?；
四,函数极限与数列极限的关系定理
)(l i m 0 axfxx
),( },{ 0xxDxx nfnn对任意的数列
,)( 0 都有时当 nxx n
该定理说明：
的则对于任何一个趋向于如果,)(l i m,1 0
0
xaxfxx
) ),(,( }{ 0 都有数列 fDxxxx nnn
),( }{,2 00 xxxx nn?的数列如果对每一个收敛于则有且所有极限相等存在极限,,)(lim nn xf
,)(lim
0
axfxx
.)(lim axf nn
证 必要性：,)(l i m
0
axfxx设
,|)(| axf
,|| 0,0 0,0 有时当则 xx
,lim,),(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且
,,0,0 有时当则对于上面的 NnN
,|| 0 xx n
从而有
,|)(| axf n
即有,)(lim
0
axf nxx
充分性,反证法
,|)(|
,|| 0,
,0,
0
0
0
axf
xxx 但满足总存在则对于任意的的值取定一个下面怎么做？
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且假设
,)(l i m axf nn有,)(lim
0
axfxx如果充分性：
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且假设
,)(l i m axf nn有,)(lim
0
axfxx如果反证法
),( 1,0 Znnn 并取的值任意取定一个
),(,1 满足存在一个则对每一个 fDxn nn
,|| 0 0 nn xx
,|)(| 0 axf n且有
,),(,}{ 0xxfDxx nnn于是得到一个数列
,,性成立该矛盾说明定理的充分这与假设矛盾
,|)(|,l i m 00 axfxx nnn 且
,01limlim 0xnx
nnn
nn
nn xxf
1s inlim)(lim
,00limsi nlim nn n?
,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x?
证,1s i n)(,00 xxfx
,1,}{ )1( 则取?nxx nn?
,
2
2
1,}{ )2(
n
xx nn取
,0
2
2
1limlim
0x
n
x
nnn
则例 17
nn
nn xxf
1s inlim)(lim
1 1 lim)22( s inlim
nn
n
,1s i nl i m
0
不存在x
x?
)(lim nn xf?
nn x
1s inlim
n
n x
1s inlim
)(lim nn xf
五,柯西 (Cauchy)准则定理 1 ( 柯西收敛准则 )
,有时
)(l i m
0
的充要条件是：axfxx
且当 )(,,0,0 21 fDxx
|| 0,|| 0 0201 xxxx
|)()(| 21 xfxf
,成立证 必要性：,)(l i m
0
axfxx设
,|| 0,|| 0 )(,020121 xxxxfDxx 且
,2 |)(| axf
,|| 0,0 0,0 有时当则 xx
,2 |)(|,2 |)(| 21 同时成立则有 axfaxf
|))(())((| |)()(| 2121 axfaxfxfxf
,|)(| |)(| 21 axfaxf
充分性：
,l i m ),( )(,}{ 00 xxxxfDxx nnnnn且任取数列
) },({ nxf值构成的数列则相应得到一个由函数
,由柯西准则的条件可知且当 )(,,0,0 21 fDxx
|| 0,|| 0 0201 xxxx
,|)()(|,21 成立有时 xfxf
,,,0,0 时当对此 NnNnN
,|| 0,|| 0 00 xxxx nn
,)}({,|)()(| 收敛故成立于是有 nnn xfxfxf
)(l i m },{ nnn xfx任何数列下面证明对满足条件的
,的极限值相同
,},{ }{ 21 但满足定理的条件和设存在两个数列 nn xx
,,)(lim,)(lim 212211 bbbxfbxf nnnn 且
:我们改造一个新数列
,,,,,,,,:}{ 2414231322122111 xxxxxxxxy n
),l i m,l i m ( l i m,02010 xxxxxy nnnnnn显然
).( )}({ 不相等因为两个子数列的极限发散并且数列 nyf
,21 bb?故必有 剩下的工作请看书！
定理 2 ( 柯西收敛准则 )
,有时
)(lim 的充要条件是：axfx
且当 )(,,0,0 21 fDxxX
||,|| 21 XxXx
|)()(| 21 xfxf
,成立请自己证明,
