高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第七讲 函数极限的概念和性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质的极限时一 )(,,xfx
的极限时二 )(,,0 xfxx?
三,极限定义及定理小结四,函数极限的基本性质的极限时一 )(,,xfx
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形,
1,}{ nxx nn?从数列
)),0(( 1 xxy与函数的图形可以看出,
,01l i m,01l i m
xn xn O x
y
1
2 3
n
nxn
1?x
y 1?
如何描述它？
1,}{ 极限的定义：回忆数列 nxx nn?
有时使当若,,0,0 NnN | | ax n
记为为极限以时当则称数列成立,,}{,anx n
,lim ax nn
,)(, Znnfx n数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而,)(l i m l i m axfax xnn
,,),(,XNxnxfx n 替换为替换为替换为将推广有时使当若,,0,0 XxX | )( | axf
记为为极限以时当则称函数成立,,)(,axxf
,)(lim axfx 有问题没有？好像没有问题,
有时使当若,,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.1 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
)( |)(| axfaaxf
的几何意义 )(lim axfx
O x
y
ay?
ay
ay
X
)( xfy?
,)(,即函数的图时当 axfaXx,之间和形夹在两条平行线 ayay
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
将图形对称过去后,你有什么想法?
将图形对称
,,函数的极限时我们将得到x
有时使当若,,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.2 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
,)(lim )(lim 的情形类似的几何意义与 axfaxf xx
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?
0 || XxXxXx 或
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理,
0 || XxXxXx 或现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?
有时使当若,||,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.3 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x <?X,
所以,x 按绝对值无限增大 时,
又包含了 x 的情形,
既包含了 x? +?,
定理
,)(lim)(lim )(lim axfxfaxf xxx
及极限的三个定义即可证明该定理,
0)( || XXxXxXx 或由绝对值关系式,
,2121l i m 3
3
x
x
x
证明：
证,0
,2121 3
3
x x要,||2 1 3x即要,
2
1 ||
3x即
,||,21 3 有时则当故取 XxX
2121 3
3
x x
成立,由极限的定义可知,,2121lim 3
3
x
x
x
例 1
,1 1)( 2 时的极限当讨论函数 xxxf
解 22 1 1,1,|| xxx 此时也无限增大无限增大时当无限缩小,可以小于任意小的正数,因而应该有
,01 1lim 2
xx
下面证明我们的猜想,要由极限的定义,0,
,1 1 1 1 01 1 222 xxx
,11 2x即要
,1 1,0,1 2 显然成立则时当 xx
,1 1,11 ||,1 2 成立时时当 xx?
证明过程怎么写？
例 2
则当取不妨设,11,) 10 ( 0 X
有时,|| Xx?
,1 1 1 1 01 1 222 xxx
,01 1l i m,2
xx
故由极限的定义可知这里想得通吗？
,)( 0 的接近程度的与是用来描述由于 axf
,
,
某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意
,a r c t a n lim 不存在证明 xx
2
2
y
xy a rc ta n?
x
由图容易看出：
,2ar ct anl i m
x
x
,2ar ct anl i m
x
x
,a r c t a n lim 不存在由定理可知,xx
需要证明之处请同学们自己先证一下,
例 3
证,2ar ct anl i m )1( xx证明：
,|2ar ct an|,0 即要要 x,2ar ct an2 x
,2ar ct an2 所以只需证明由于 x,ar ct an2 x
.2ar ct an 0,2 xx 就有时当
,t an 2ar ct an,20 的单调性及由时当 xx
,02ta nx
,},0,2ta n m a x {,时则当取综上所述 XxX
,2ar ctanlim,|2ar ctan|
xx
x
即证,2ar ct anlim )2(
x
x
证明：
,|2a r c ta n|,0 即要要 x,2a r c t a n2 x
,2a r c t a n2 所以只需证明由于 x,2a r c t a nx
.2a r c t a n 0,2 xx 就有时当得的单调性及由时当,t a n 2a r c t a n,20 xx
,2ta n2ta nx
,},0,2ta n m a x {,时则当取综上所述 XxX
,2a r c ta nli m,|2a r c ta n|
xx
x
即
,l i m 不存在证明 xx
xx
x ee
ee
,111limlim 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
ee
,111limlim 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
ee
,l i ml i m xx
xx
xxx
xx
x ee
ee
ee
ee
由于
,l i m 不存在故 xx
xx
x ee
ee
例 4
证的极限时二 )(,,0 xfxx?
x? x0 时函数 的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f (x)
的变化趋势,
,112)(,0 xxfx 时当
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义,
11)(,1
3
x
xxfx 时当函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义,
,312 xx
例 5
无限只考虑有无定义在必考虑,)( 0 xxxxf?
的变化函数时即接近 )(,),(U,00 xfxxx
是否成立。趋势，即不等式 |)(| axf
我们不这类极限过程时在讨论,0xx?
的极限函数时 )(,.1 0 xfxx?
定义,|| 0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
,)(,0 时的极限当为函数则称成立 xxxfa?
,)( )( )(lim 0
0
xxaxfaxfxx 或记为
,,需要考察的是就是说,,
0 去心邻域时的落在点当轴上在?xxx ) )( (,是否落在点对应点轴上在 xfyyy?
,邻域内的?a
O x
y
ay?
ay
ay
0x
( )
)( xfy?
x
y
),(U? 0?xx?
),U(?ay?
0x0x
的几何解释 )(lim
0
axfxx
P
,l i m 0
0
xxxx证明证,|| 0,,0 0 时则当取 xx
|| 0xx
,lim,0
0
xxxx故成立这是证明吗？
非常非常严格
！
例 6
,82 )4(2l i m
2
2
x
x
x
证明证,0,)8(2 )4(2
2
xx要
|)2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要
,|)2(| 0,2 有时则当故取 x
,)8(2 )4(2
2
xx
,82 )4(2lim
2
2
x
x
x
即
2x
例 7
证
,311lim
3
1
x
x
x
证明
,0,311
3
xx要
,|1||2| |2| |31| 22 xxxxxx只要
？ 如何处理它例 8
这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它,因为 x? 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1,
( )
0
x
21
11 1+?1
4|2|x1 1取
1 |1| 0 x
证
,311lim
3
1
x
x
x
证明
,0,311
3
xx要
,|1||2| |2| |31| 22 xxxxxx只要
,|1|4|1||2| 31 1
3
xxxxx于是
,|1| 0,} 4,1 m i n { 有时则当取 x
,311
3
xx 证毕
,) 1,1 (U?,1,1 1 此时必有时当令 xx?
,4 |2|x
例 8
在极限定义中：
1)? 与? 和 x0 有关,即? =? (?,x0),
一般说来,? 值越小,相应的? 值也越小,
2) 不等式 | f (x)－ a | <? 既要对任意的? > 0,同时也要对 x? x0 以任何方式进行都成立,
3) 函数 f (x) 以 a 为极限,但函数 f (x) 本身可以不取其极限值 a.
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0x0 x0 +?
)( xfy?
曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )(,.2 0 xfxx?
考虑两个问题,
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0 x0 +?
)( xfy?
函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?
如何描述这种情形？
想想这种情形下,函数有极限吗?
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0x0
)( xfy?
函数在 x0 的右边可无定义如何描述这种情形？
3.函数的左、右极限
,0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
记为右极限,时的当为则称成立 )(,0xxxfa?
)(lim
0
axf
xx
,)0( 0 axf也可记为,)( )(
0 xxaxf或定义
,0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
记为左极限,时的当为则称成立 )(,0xxxfa?
)(lim
0
axf
xx
,)0( 0 axf也可记为,)( )(
0 xxaxf或定义
(1) 左、右极限均存在,且相等；
(2) 左、右极限均存在,但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在,
找找例题！
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：
11
1
2
1
1
)(
2
xx
x
xx
xf求
)(lim 1 xfx
)(lim 1 xfx
xO
y
1
1
2
1
在 x = 1 处的左、右极限,
1lim 2
1
x
x
0)1(lim 1 xx
解例 9
下面将左、右极限的图形重合起来,
会有什么结果,
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0 x0 +?x0
)( xfy?
对此有什么想法没有？
“左右重合”
axfxx )(lim
0
axfxf
xxxx
)(li m)(li m
00
定理利用 | x? x0 | <?
< x? x0 <?
和极限的定义,即可证得,
。求设 )(li m,
1,1
1,1
)(
1
2
xf
xx
xx
xf
x
2)1(lim)(lim 2
11
xxf
xx
2)1(lim)(lim
11
xxf
xx
2)(l i m 1 xfx
解例 10
,||lim
0 x
x
x?
求
||
lim
0 x
x
x
||
li m
0 x
x
x
)(l i m)(l i m 00 xfxf xx
,||lim
0
不存在xx
x?
x
x
x 0
lim 11lim
0
x
x
x
x 0
lim 1)1(lim
0x
解例 11
例 12,|| |)(|lim,)(lim,00 axfaxf xxxx 则若证明证,0,0,,)(lim
0
所以因为 axfxx
,|| 0 0 有时当 xx
|)(| axf | || |)(| | axf
,得故由极限的定义
,|| |)(|l i m
0
axfxx
立该命题的逆命题是否成
,
情也成立的对x
三、极限定义及定理小结极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量极限形式
ax nnlim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
0
0
0
0
0
0
0
时当,0 NnN
时当 ||,0 XxX
时当,0 XxX
时当,0 XxX
时当 ||0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
|| ax n
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量极限形式
ax nnlim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
0
0
0
0
0
0
0
时当,0 NnN
时当 ||,0 XxX
时当,0 XxX
时当,0 XxX
时当 ||0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
|| ax n
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
0
|)(| axf
重要定理
axfxfaxf xxx )(lim)(lim)(lim
axfxfaxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim 000
在以后的叙述中,如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算 对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的基本性质
)(lim xf
极限,
函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书,
1.有界性定理若 lim f ( x ) 存在,
则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界,
2.唯一性定理若 lim f ( x ) 存在,则极限值必唯一,
3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系极限值的正负与函数值正负的关系
),0( 0,)(l i m
0
aaaxfxx若
。有 )0)(( 0)( xfxf
),0( 0,)(l i m aaaxfx若,0 0 X则
,D || 0 时且当 fxXx 。有 )0)(( 0)( xfxf
该定理也称为第一保号性定理
,)(U? 0x?则
,)(U? 0 时当 fDxx
极限值正负与函数值正负关系的推论
),(,)(l i m
0
cacaaxfxx若,)(U
0x?则
,)(U? 0 时当 fDxx 。有 ))(( )( cxfcxf
),(,)(lim cacaaxfx若,0 0 X则
,D || 0 时且当 fxXx 。有 ))(( )( cxfcxf
作辅助函数 F( x ) = f ( x )? c
再利用定理的结论即可得 证,
函数值的正负与极限值正负的关系
),(U ),0)((,0)( 0xxxfxf若
,)(l i m
0
axfxx且 。则必有 )0( 0 aa
该定理也称为第二保号性定理
,0|| ),0)((,0)( rxxfxf若
。则必有 )0( 0 aa,)(lim axfx且第二保号性定理成立,
运用反证法,设 f ( x )? 0 ( f ( x )? 0 ) 时,
有 a < 0 ( a > 0 ),则由第一保号性定理将推出
f ( x ) < 0 ( f ( x ) > 0) 的矛盾,该矛盾就证明了注意,
当 f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) 时,
按照第二保号性定理也只能得到
a? 0 ( a? 0 ) 结论,
,01lim,01)(,1,
xx
xfx
x
而时例如
,0,1
,0,)( 2
x
xxxf设
,0)(,),( 但是时则当 xfx
,0lim)(lim 200 xxf xx
,0?a即有例 13
,01l i m,01)(,1,
xx
xfx
x
而时又例如函数值正负与极限值正负关系的推论若极限 lim f ( x ) = a,lim g( x ) = b 存在,
即 lim f ( x )? lim g( x ),
且在该极限过程中 f ( x ) > g( x ),则有 a? b,
在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号,
令 F (x) = f (x)? g (x) > 0,即可 进行证明,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第七讲 函数极限的概念和性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质的极限时一 )(,,xfx
的极限时二 )(,,0 xfxx?
三,极限定义及定理小结四,函数极限的基本性质的极限时一 )(,,xfx
由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形,
1,}{ nxx nn?从数列
)),0(( 1 xxy与函数的图形可以看出,
,01l i m,01l i m
xn xn O x
y
1
2 3
n
nxn
1?x
y 1?
如何描述它？
1,}{ 极限的定义：回忆数列 nxx nn?
有时使当若,,0,0 NnN | | ax n
记为为极限以时当则称数列成立,,}{,anx n
,lim ax nn
,)(, Znnfx n数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而,)(l i m l i m axfax xnn
,,),(,XNxnxfx n 替换为替换为替换为将推广有时使当若,,0,0 XxX | )( | axf
记为为极限以时当则称函数成立,,)(,axxf
,)(lim axfx 有问题没有？好像没有问题,
有时使当若,,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.1 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
)( |)(| axfaaxf
的几何意义 )(lim axfx
O x
y
ay?
ay
ay
X
)( xfy?
,)(,即函数的图时当 axfaXx,之间和形夹在两条平行线 ayay
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
将图形对称过去后,你有什么想法?
将图形对称
,,函数的极限时我们将得到x
有时使当若,,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.2 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
,)(lim )(lim 的情形类似的几何意义与 axfaxf xx
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?
0 || XxXxXx 或
O x
y
ay?
ay
ay
XX?
)( xfy?
你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理,
0 || XxXxXx 或现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?
有时使当若,||,0,0 XxX
,,)(,极限存在时当则称函数成立xxf
,)(lim axfx
| )( | axf
的极限函数时 )(,.3 xfx
定义
,)( )( xaxf或记为记为为其极限值常数,a
由于 | x | > X > 0 x > X 或 x <?X,
所以,x 按绝对值无限增大 时,
又包含了 x 的情形,
既包含了 x? +?,
定理
,)(lim)(lim )(lim axfxfaxf xxx
及极限的三个定义即可证明该定理,
0)( || XXxXxXx 或由绝对值关系式,
,2121l i m 3
3
x
x
x
证明：
证,0
,2121 3
3
x x要,||2 1 3x即要,
2
1 ||
3x即
,||,21 3 有时则当故取 XxX
2121 3
3
x x
成立,由极限的定义可知,,2121lim 3
3
x
x
x
例 1
,1 1)( 2 时的极限当讨论函数 xxxf
解 22 1 1,1,|| xxx 此时也无限增大无限增大时当无限缩小,可以小于任意小的正数,因而应该有
,01 1lim 2
xx
下面证明我们的猜想,要由极限的定义,0,
,1 1 1 1 01 1 222 xxx
,11 2x即要
,1 1,0,1 2 显然成立则时当 xx
,1 1,11 ||,1 2 成立时时当 xx?
证明过程怎么写？
例 2
则当取不妨设,11,) 10 ( 0 X
有时,|| Xx?
,1 1 1 1 01 1 222 xxx
,01 1l i m,2
xx
故由极限的定义可知这里想得通吗？
,)( 0 的接近程度的与是用来描述由于 axf
,
,
某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意
,a r c t a n lim 不存在证明 xx
2
2
y
xy a rc ta n?
x
由图容易看出：
,2ar ct anl i m
x
x
,2ar ct anl i m
x
x
,a r c t a n lim 不存在由定理可知,xx
需要证明之处请同学们自己先证一下,
例 3
证,2ar ct anl i m )1( xx证明：
,|2ar ct an|,0 即要要 x,2ar ct an2 x
,2ar ct an2 所以只需证明由于 x,ar ct an2 x
.2ar ct an 0,2 xx 就有时当
,t an 2ar ct an,20 的单调性及由时当 xx
,02ta nx
,},0,2ta n m a x {,时则当取综上所述 XxX
,2ar ctanlim,|2ar ctan|
xx
x
即证,2ar ct anlim )2(
x
x
证明：
,|2a r c ta n|,0 即要要 x,2a r c t a n2 x
,2a r c t a n2 所以只需证明由于 x,2a r c t a nx
.2a r c t a n 0,2 xx 就有时当得的单调性及由时当,t a n 2a r c t a n,20 xx
,2ta n2ta nx
,},0,2ta n m a x {,时则当取综上所述 XxX
,2a r c ta nli m,|2a r c ta n|
xx
x
即
,l i m 不存在证明 xx
xx
x ee
ee
,111limlim 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
ee
,111limlim 2
2
x
x
xxx
xx
x e
e
ee
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,l i ml i m xx
xx
xxx
xx
x ee
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ee
ee
由于
,l i m 不存在故 xx
xx
x ee
ee
例 4
证的极限时二 )(,,0 xfxx?
x? x0 时函数 的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f (x)
的变化趋势,
,112)(,0 xxfx 时当
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义,
11)(,1
3
x
xxfx 时当函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义,
,312 xx
例 5
无限只考虑有无定义在必考虑,)( 0 xxxxf?
的变化函数时即接近 )(,),(U,00 xfxxx
是否成立。趋势，即不等式 |)(| axf
我们不这类极限过程时在讨论,0xx?
的极限函数时 )(,.1 0 xfxx?
定义,|| 0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
,)(,0 时的极限当为函数则称成立 xxxfa?
,)( )( )(lim 0
0
xxaxfaxfxx 或记为
,,需要考察的是就是说,,
0 去心邻域时的落在点当轴上在?xxx ) )( (,是否落在点对应点轴上在 xfyyy?
,邻域内的?a
O x
y
ay?
ay
ay
0x
( )
)( xfy?
x
y
),(U? 0?xx?
),U(?ay?
0x0x
的几何解释 )(lim
0
axfxx
P
,l i m 0
0
xxxx证明证,|| 0,,0 0 时则当取 xx
|| 0xx
,lim,0
0
xxxx故成立这是证明吗？
非常非常严格
！
例 6
,82 )4(2l i m
2
2
x
x
x
证明证,0,)8(2 )4(2
2
xx要
|)2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要
,|)2(| 0,2 有时则当故取 x
,)8(2 )4(2
2
xx
,82 )4(2lim
2
2
x
x
x
即
2x
例 7
证
,311lim
3
1
x
x
x
证明
,0,311
3
xx要
,|1||2| |2| |31| 22 xxxxxx只要
？ 如何处理它例 8
这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它,因为 x? 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1,
( )
0
x
21
11 1+?1
4|2|x1 1取
1 |1| 0 x
证
,311lim
3
1
x
x
x
证明
,0,311
3
xx要
,|1||2| |2| |31| 22 xxxxxx只要
,|1|4|1||2| 31 1
3
xxxxx于是
,|1| 0,} 4,1 m i n { 有时则当取 x
,311
3
xx 证毕
,) 1,1 (U?,1,1 1 此时必有时当令 xx?
,4 |2|x
例 8
在极限定义中：
1)? 与? 和 x0 有关,即? =? (?,x0),
一般说来,? 值越小,相应的? 值也越小,
2) 不等式 | f (x)－ a | <? 既要对任意的? > 0,同时也要对 x? x0 以任何方式进行都成立,
3) 函数 f (x) 以 a 为极限,但函数 f (x) 本身可以不取其极限值 a.
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0x0 x0 +?
)( xfy?
曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )(,.2 0 xfxx?
考虑两个问题,
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0 x0 +?
)( xfy?
函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?
如何描述这种情形？
想想这种情形下,函数有极限吗?
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0x0
)( xfy?
函数在 x0 的右边可无定义如何描述这种情形？
3.函数的左、右极限
,0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
记为右极限,时的当为则称成立 )(,0xxxfa?
)(lim
0
axf
xx
,)0( 0 axf也可记为,)( )(
0 xxaxf或定义
,0,0,0 0 时当若 xx
|)(| axf
记为左极限,时的当为则称成立 )(,0xxxfa?
)(lim
0
axf
xx
,)0( 0 axf也可记为,)( )(
0 xxaxf或定义
(1) 左、右极限均存在,且相等；
(2) 左、右极限均存在,但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在,
找找例题！
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：
11
1
2
1
1
)(
2
xx
x
xx
xf求
)(lim 1 xfx
)(lim 1 xfx
xO
y
1
1
2
1
在 x = 1 处的左、右极限,
1lim 2
1
x
x
0)1(lim 1 xx
解例 9
下面将左、右极限的图形重合起来,
会有什么结果,
y = a
y = a
y = a
xO
y
x0 x0 +?x0
)( xfy?
对此有什么想法没有？
“左右重合”
axfxx )(lim
0
axfxf
xxxx
)(li m)(li m
00
定理利用 | x? x0 | <?
< x? x0 <?
和极限的定义,即可证得,
。求设 )(li m,
1,1
1,1
)(
1
2
xf
xx
xx
xf
x
2)1(lim)(lim 2
11
xxf
xx
2)1(lim)(lim
11
xxf
xx
2)(l i m 1 xfx
解例 10
,||lim
0 x
x
x?
求
||
lim
0 x
x
x
||
li m
0 x
x
x
)(l i m)(l i m 00 xfxf xx
,||lim
0
不存在xx
x?
x
x
x 0
lim 11lim
0
x
x
x
x 0
lim 1)1(lim
0x
解例 11
例 12,|| |)(|lim,)(lim,00 axfaxf xxxx 则若证明证,0,0,,)(lim
0
所以因为 axfxx
,|| 0 0 有时当 xx
|)(| axf | || |)(| | axf
,得故由极限的定义
,|| |)(|l i m
0
axfxx
立该命题的逆命题是否成
,
情也成立的对x
三、极限定义及定理小结极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量极限形式
ax nnlim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
0
0
0
0
0
0
0
时当,0 NnN
时当 ||,0 XxX
时当,0 XxX
时当,0 XxX
时当 ||0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
|| ax n
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量极限形式
ax nnlim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfx )(lim
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
axfxx )(lim
0
0
0
0
0
0
0
0
时当,0 NnN
时当 ||,0 XxX
时当,0 XxX
时当,0 XxX
时当 ||0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
时当 0,0 0 xx
|| ax n
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
|)(| axf
0
|)(| axf
重要定理
axfxfaxf xxx )(lim)(lim)(lim
axfxfaxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim 000
在以后的叙述中,如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算 对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的基本性质
)(lim xf
极限,
函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书,
1.有界性定理若 lim f ( x ) 存在,
则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界,
2.唯一性定理若 lim f ( x ) 存在,则极限值必唯一,
3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系极限值的正负与函数值正负的关系
),0( 0,)(l i m
0
aaaxfxx若
。有 )0)(( 0)( xfxf
),0( 0,)(l i m aaaxfx若,0 0 X则
,D || 0 时且当 fxXx 。有 )0)(( 0)( xfxf
该定理也称为第一保号性定理
,)(U? 0x?则
,)(U? 0 时当 fDxx
极限值正负与函数值正负关系的推论
),(,)(l i m
0
cacaaxfxx若,)(U
0x?则
,)(U? 0 时当 fDxx 。有 ))(( )( cxfcxf
),(,)(lim cacaaxfx若,0 0 X则
,D || 0 时且当 fxXx 。有 ))(( )( cxfcxf
作辅助函数 F( x ) = f ( x )? c
再利用定理的结论即可得 证,
函数值的正负与极限值正负的关系
),(U ),0)((,0)( 0xxxfxf若
,)(l i m
0
axfxx且 。则必有 )0( 0 aa
该定理也称为第二保号性定理
,0|| ),0)((,0)( rxxfxf若
。则必有 )0( 0 aa,)(lim axfx且第二保号性定理成立,
运用反证法,设 f ( x )? 0 ( f ( x )? 0 ) 时,
有 a < 0 ( a > 0 ),则由第一保号性定理将推出
f ( x ) < 0 ( f ( x ) > 0) 的矛盾,该矛盾就证明了注意,
当 f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 ) 时,
按照第二保号性定理也只能得到
a? 0 ( a? 0 ) 结论,
,01lim,01)(,1,
xx
xfx
x
而时例如
,0,1
,0,)( 2
x
xxxf设
,0)(,),( 但是时则当 xfx
,0lim)(lim 200 xxf xx
,0?a即有例 13
,01l i m,01)(,1,
xx
xfx
x
而时又例如函数值正负与极限值正负关系的推论若极限 lim f ( x ) = a,lim g( x ) = b 存在,
即 lim f ( x )? lim g( x ),
且在该极限过程中 f ( x ) > g( x ),则有 a? b,
在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号,
令 F (x) = f (x)? g (x) > 0,即可 进行证明,
