高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三讲 数列的极限脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质
,)( 为定义域的函数是以正整数集设 ＋Znf
},)( | {)( NnnfxxZff nn的值域将
,增大的次序排列出来所按自变量中的元素 nx n
得到的一串数：
,,,,21 nxxx
称为一个数列,记为 { xn }.
1,定义数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列
2,数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列
xn
0 2 4 2n
x1 x2 … …
x
… …
例 1
,2,,8,4,2,}2{ )1( nn
,2,nnx?通项
…xn x2 x1
n2
1
4
1
2
1
x0
x3
8
1
…
,21,,81,41,21,21 )2( nn
.21,nnx?通项
0 1–1
nx2 12?nx x
,)1(,,1,1,1,1,})1( { )3( 11 nn
.)1(,1 nnx通项所有的奇数项所有的偶数项
x
n
1
2
1
1
M
3x
1x
nx2
x4 x2
12?nx
0
,)1(1,,31,0,21,0,1,0,)1(1 )4( nn
nn
.)1(1 nx
n
n
通项：
所有奇数项
1
xnx3x2x1
x
0
2
1
3
2
4
3
1?n
n
…
……
…
,1,,43,32,21,1 )5( n nn n
.1, n nx n通项
3,数列的性质单调性有界性则称满足若,}{ 21 nn xxxx
(1) 数列的单调性
,}{,}{?nn xx 记为严格单调增加单调增加则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 也记为单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说,
则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 记为严格单调增加单调减少则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 也记为单调增加不增加的严格单调增加 (单调增加 )
严格单调减少 (单调减少 )
单调增加 (不减少的 )
单调减少 (不增加的 )
统称为单调数列数列
(2) 数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？
,|)(|,I,0 成立有时使得当若 MxfxM
,I )( 上有界在区间则称函数 xf
O x
y
M
M?
My?
My
( )I
)( xfy?
,,||,0 成立使得若 NnMxM n
,}{,}{ 是无界的否则称有界则称数列 nn xx
数列的有界性的定义有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？
想想：
| xn | < M*,n? N
xn? U( 0,M* ),n? N
从 数轴上看,有界数数列 { xn } 的全部点都落在 某 区间 (－ M*,M* ) 中,
( ) x
0 M*－ M*
nx
例 2
…xn x2 x1
n2
1 4
1
2
1
x0
x3
8
1
…
,21,,81,41,21,21 )1( nn
),21 (,21 Mn 可取有界观察例 1 中的几个数列：
0 1–1
nx2 12?nx x
),1 (,})1{( 1 Mn 可取但有界不单调
,)1(,,1,1,1,1,})1( { )3( 11 nn
x
n
1
2
1
1
M
3x
1x
nx2
x4 x2
12?nx
0
,)1(1,,31,0,21,0,1,0,)1(1 )3( nn
nn
),1 (,)1(1?
M
n
n
可取但有界不单调
1
xnx3x2x1
x
0
2
1
3
2
4
3
1?n
n
…
……
…
,1,,43,32,21,1 )4( n nn n
,) 1 (,1 Mn n 可取有界
xn
0 2 4 2n
x1 x2 … …
x
… …
,2,,8,4,2,}2{ )5( nn
),2 (,}2{ nn x但下方有界：无界有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的,
若 xn? M,M?R,
则称 { xn} 有上界,
若 xn? m,m?R，
则称 { xn} 有下界,
{ xn},有界 既有上界又有下界,
,* || *,*
},|| |,| m a x {*,
MxMxM
mMMMxm
nn
n
即则取
,}{ 的所有上界中的最小者数列 nx
,s u p,nx记为称为数列的上确界
,}{ 下界中的最大者的所有数列 nx
,i n f,nx记为称为数列的下确界一个数列有界 (有上界,有下界 ),则必有无穷多个界 (上界,下界 ).
,,0 0 使得至少存在一个若对 nM
,}{,|| 0 是无界的则称数列成立 nn xMx?
现在来讨论如何定义数列的无有界性：
,,||,0 成立使得若 ZnMxM n
,}{ 有界则称数列 nx
首先看有界性定义的关键所在使不等式不成立 若有一个 0n 这么办？M
对所有的例 3,}2{ 是无界的证明数列 n
证
,||,0,00 MxnM n 使找一个即要对证无界
,)1 ( l og,|2| 2 MMnMn 不妨设则令
,|2| |2|,l o g,1 20 l o g20 MMnM Mn 时当取
,01 M
,0l o g1][ l o g,1][ l o g 2220 MMMn 则取
,|2| |2| |2| || 2200 l o g1][ l o g Mx MMnn
,}2{ 是无界的由定义可知数列 n
二、数列的极限
n21
n
n)1(1
1n n
0
0
1
,时无限增大当由前面我们看到,n
极限描述的是变量的变化趋势,
讨论数列
n
n
10
)1( 当 n 无限增大时的变化趋势,
容易看出,当 n 无限增大时,,10 )1( 无限地趋近于零n
n?
10
1?
310
1?
1210
1
n n210
1
210
1
410
1
x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2
x0
( ( ( ) ))*
10
,)O,(U
,,0
中了以后的所有项就都落在从某一项开始
) O,(U) O,(U?
,n 无限增大,记为 n,
此时称数列
n
n
nx 10
)1(}{ 当 n 时以零为极限,记为,.010
)1(lim
n
n
n
这就是该数列的变化趋势
,010 )1( 0 10 )1( n
n
n
n
”记为无限地接近于“
的图上看,
n
n
nx 10
)1(}{从数列
10
1?
310
1?
1210
1
n n210
1
210
1
410
1
x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2
x0
( ( ( ) ))*
量化表示,n 时,xn? a,
,|0| ) O,(U nn xx
预先任意给定一个正数?> 0,不论它的值多么小,
当 n 无限增大时,数列 { xn } 总会从某一项开始,
以后的所有项都落在 U(0,? ) 中,
0
0
10
)1( |0 |
n
n
nx
,0 N
（在 U(0,? ) 外面只有 有限 项）
,时当 Nn?
0
010)1( n
n
,0 N
,时当 Nn?
:010 )1(lim
n
n
n
其中,
是描述点 xn 与点 0 无限接近的0
度量标准,它是预先任意给定的,与 {xn}的极限存在与否 无关,
,}{,本身取决于数列是否存在 nxN
NN,;,则数列无极限存在则数列有极限不存在,
,,NN 所有大于则其不唯一存在如果
,,有关与并且的正整数均可取作为?NN
,,),( 则值越小一般说来可记为NN?
,的值越大N
由 N 存在与否 判断数列的极限是否存在,
n > N 描述 n.
通过目标不等式来寻找 N> 0,N = N(?).
不等式 0
10
)1(
n
n 称为目标不等式,
.lim ax nn
一般地,如果数列 {xn} 当 n 时,
列 {xn} 当 n 时以 a 为极限,记为
xn 可以无限地趋近某个常数 a,则称数此时,也称数列 是收敛的,
例 4
nn 2
1lim
n
n
n
)1(1l i m
1
lim n n
n
0
0
1
若 { xn }当 n 时没有极限,则称 { xn }发散,
,0 若,0 N 时,使当 Nn?
|| ax n
记为,lim ax n
n
或,)( nax n
此时,也称数列 { xn } 是收敛的,
,}{,时的极限当为数列则称数成立nxa n
极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值,数列极限的定义：
例 5,021lim nn证明：
证,0
021 n由
,021lim?
nn
021n
n21
12 n
1l o g
2 n
] },1[ l o g,0m a x { 2N
故取 则 n > N 时,
由极限的定义,得
),1 || ( 0lim
aa n
n
一般有例 6,0s i n
1l i m?
nnn
证明：
证,0
,0s i n1nn要,1 s i n 1 nnn只要
,,1 时则当故取 NnN
nnnnn 1 s i n 1 0s i n1
成立,由极限的定义可知,,0s i n1l i m nnn?
放大不等式法
.,不唯一时利用极限存在
N
例 7,lim,,,,,:}{ aaaaax nn证明设
证,0
有时则当取,,1 NnN
0 || || aaax n
,l i m,aan故由极限的定义可知：成立通常说成：常数的极限等于其自身,
,,1)1(l i m,55l i m nn
例 8,|| ||l i m,l i m,axax nnnn 则若证明证,0 0,,lim
Nax nn?所以因为
,||, axNn n有时当由绝对值不等式,得
,|| | |||| | axax nn
,|| || lim ax nn故有注意：该例题结论的逆命题不真,例如,{(?1)n}.
例 9
证
,,l i m
),12( l i m ),2( l i m
}{
Zmax
mnaxmnax
x
n
n
n
n
n
n
n
其中则满足证明：如果
,0
,,0,)2( l i m 1 时当由 NnNmnax nn
,,0 ),12( l i m 2 时当由 NnNmnax nn
);2( || mnax n
,)12( || mnax n?
,||,},,m a x { 21 axNnNNN n恒有时则当取
,l i m ax nn故由极限定义得,逆命题成立吗？
例 10
证
,1lim,
,,
1
,,
1
n
n
n x
n
n
n
n
n
n
x 证明为奇数当为偶数当设
,0
,1 1,11 nn nnnn 即要要
,,],1[ 11 有为偶数时则当故取 nNnN; 11nn
,1 1,11, nn nnnn 即要要同理
,,],1[ 22 有为奇数时则当故取 nNnN; 11nn
,},,m a x { 21 时则当取 NnNNN
11 与nn,11 同时成立nn
,|1|,,即成立时当所以 nxNn
,1lim nn x
1.唯一性定理若数列 { xn }收敛,则其极限值必唯一,
三、数列极限的性质设数列 { xn }收敛,但其极限不唯一,不妨设有：
证 运用 反证法
,,l i m,l i m babxax nnnn
,0,于是; ||,,0 11 axNnN n时当; ||,,0 22 bxNnN n时当
,},,m a x { 21 时则当取 NnNNN
2 |||| || || bxaxbxxaba nnnn
任意性常数由? 的任意性,上式矛盾,故 a = b,
唯一性定理的推论
lim ax nn
}{ nx 的任何一个子数列都收敛,
且均以 a 为极限,
充分必要条件何谓子数 列
？
子数列的概念在数列 {xn},x1,x2,?,xn,? 中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为 }.{
knx
唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．
例 11,)1(lim 1 nn求解,)1( 1 nnx
.,)1(,,1,1,1,1,}{ 1 nnx
取子数列：
,)1(,1,1,1,:}{ 1)1(212 nnx
,)1(,1,1,1,:}{ 122 nnx
,1)1(l i ml i m,11l i ml i m 212 nnnnnn xx而
,)1(l i m 1 不存在故 nn
例 12,} 8s i n {}{ 的敛散性判别?nx n?
解 利用函数的周期性,在 { xn }中取两个子数列,
得子数列：令,,8 )1( Nkkn
,s i n,,2s i n,s i n,}{ s i n} 8s i n { kkn?
,00l i msi nl i m,,0si n nn kNkk 所以由于得子数列：令,,416 )2( Nkkn
),22s i n (,,25s i n,} )2s i n ( 2 {} 8s i n { kkn
,11l i m)22s i n (l i m
nn
k此时
,)( } 8s i n {,即极限不存在是发散的故由推论可知?n
:l i m ax nn
有时当,0,,0 NnN
|| ax n
|| |||| axax nn
|| || ax n
,则似乎可以得到如果固定?
}{ 有界的结论nx
回想数列的极限
2.有界性定理若数列 { xn }收敛,则 { xn }必有界,
证 1,lim ax n
n
设 则由极限定义,取 时,
,0 N,时当 Nn?
1||ax n
||1|| ax n即有
|}|,|,||,|,||1{m a x 21 NxxxaM取则 NnMx n,||
由数列有界的定义得：数列 { xn }收敛,则必有界,
该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛,
例如,{ (－ 1) n }.
有界性定理的推论：
即 无界数列的极限不存在,
无界数列必发散,
例 13
,2,,8,4,2:}2{ nn
,8,0,4,0,}))1(1({?nn
无极限发散无界,,
无极限发散无界,,
发散的数列不一定都无界,例如,{ (－ 1) n },
收敛的数列必有界,
有界的数列不一定收敛,
无界的数列必发散,
发散的数列不一定无界,
,)1(,nnx反例
:l i m ax nn
有时当,0,,0 NnN
|| ax n
ax n 即
axa n
,论你认为可能得到什么结由此回想数列的极限
3.保号性定理
,0 ),0( 0,l i m Naaax nn 则若
).0( 0, nn xxNn 有时当证,,0,l i m 则由极限的定义且设 aax nn
有时当时取,,0,02 NnNa
,2 | | aax n
由绝对值不等式的知识,立即得
.20 nxaa
a < 0 的情形类似可证,由学生自己完成,
,)0( 0 nn xx若保号性定理的推论 1：
,l i m 存在且 ax nn
,)0( 0 aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明保号性定理的推论 2：
,),0 ( )( 00 时当或若 NnNNnyxyx nnnn
则存在且,lim,lim byax nnnn
,)l i ml i m( l i ml i m byxabyxa nnnnnnnn
在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三讲 数列的极限脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质
,)( 为定义域的函数是以正整数集设 ＋Znf
},)( | {)( NnnfxxZff nn的值域将
,增大的次序排列出来所按自变量中的元素 nx n
得到的一串数：
,,,,21 nxxx
称为一个数列,记为 { xn }.
1,定义数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列
2,数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列
xn
0 2 4 2n
x1 x2 … …
x
… …
例 1
,2,,8,4,2,}2{ )1( nn
,2,nnx?通项
…xn x2 x1
n2
1
4
1
2
1
x0
x3
8
1
…
,21,,81,41,21,21 )2( nn
.21,nnx?通项
0 1–1
nx2 12?nx x
,)1(,,1,1,1,1,})1( { )3( 11 nn
.)1(,1 nnx通项所有的奇数项所有的偶数项
x
n
1
2
1
1
M
3x
1x
nx2
x4 x2
12?nx
0
,)1(1,,31,0,21,0,1,0,)1(1 )4( nn
nn
.)1(1 nx
n
n
通项：
所有奇数项
1
xnx3x2x1
x
0
2
1
3
2
4
3
1?n
n
…
……
…
,1,,43,32,21,1 )5( n nn n
.1, n nx n通项
3,数列的性质单调性有界性则称满足若,}{ 21 nn xxxx
(1) 数列的单调性
,}{,}{?nn xx 记为严格单调增加单调增加则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 也记为单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说,
则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 记为严格单调增加单调减少则称满足若,}{ 21 nn xxxx
,}{,}{?nn xx 也记为单调增加不增加的严格单调增加 (单调增加 )
严格单调减少 (单调减少 )
单调增加 (不减少的 )
单调减少 (不增加的 )
统称为单调数列数列
(2) 数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？
,|)(|,I,0 成立有时使得当若 MxfxM
,I )( 上有界在区间则称函数 xf
O x
y
M
M?
My?
My
( )I
)( xfy?
,,||,0 成立使得若 NnMxM n
,}{,}{ 是无界的否则称有界则称数列 nn xx
数列的有界性的定义有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？
想想：
| xn | < M*,n? N
xn? U( 0,M* ),n? N
从 数轴上看,有界数数列 { xn } 的全部点都落在 某 区间 (－ M*,M* ) 中,
( ) x
0 M*－ M*
nx
例 2
…xn x2 x1
n2
1 4
1
2
1
x0
x3
8
1
…
,21,,81,41,21,21 )1( nn
),21 (,21 Mn 可取有界观察例 1 中的几个数列：
0 1–1
nx2 12?nx x
),1 (,})1{( 1 Mn 可取但有界不单调
,)1(,,1,1,1,1,})1( { )3( 11 nn
x
n
1
2
1
1
M
3x
1x
nx2
x4 x2
12?nx
0
,)1(1,,31,0,21,0,1,0,)1(1 )3( nn
nn
),1 (,)1(1?
M
n
n
可取但有界不单调
1
xnx3x2x1
x
0
2
1
3
2
4
3
1?n
n
…
……
…
,1,,43,32,21,1 )4( n nn n
,) 1 (,1 Mn n 可取有界
xn
0 2 4 2n
x1 x2 … …
x
… …
,2,,8,4,2,}2{ )5( nn
),2 (,}2{ nn x但下方有界：无界有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的,
若 xn? M,M?R,
则称 { xn} 有上界,
若 xn? m,m?R，
则称 { xn} 有下界,
{ xn},有界 既有上界又有下界,
,* || *,*
},|| |,| m a x {*,
MxMxM
mMMMxm
nn
n
即则取
,}{ 的所有上界中的最小者数列 nx
,s u p,nx记为称为数列的上确界
,}{ 下界中的最大者的所有数列 nx
,i n f,nx记为称为数列的下确界一个数列有界 (有上界,有下界 ),则必有无穷多个界 (上界,下界 ).
,,0 0 使得至少存在一个若对 nM
,}{,|| 0 是无界的则称数列成立 nn xMx?
现在来讨论如何定义数列的无有界性：
,,||,0 成立使得若 ZnMxM n
,}{ 有界则称数列 nx
首先看有界性定义的关键所在使不等式不成立 若有一个 0n 这么办？M
对所有的例 3,}2{ 是无界的证明数列 n
证
,||,0,00 MxnM n 使找一个即要对证无界
,)1 ( l og,|2| 2 MMnMn 不妨设则令
,|2| |2|,l o g,1 20 l o g20 MMnM Mn 时当取
,01 M
,0l o g1][ l o g,1][ l o g 2220 MMMn 则取
,|2| |2| |2| || 2200 l o g1][ l o g Mx MMnn
,}2{ 是无界的由定义可知数列 n
二、数列的极限
n21
n
n)1(1
1n n
0
0
1
,时无限增大当由前面我们看到,n
极限描述的是变量的变化趋势,
讨论数列
n
n
10
)1( 当 n 无限增大时的变化趋势,
容易看出,当 n 无限增大时,,10 )1( 无限地趋近于零n
n?
10
1?
310
1?
1210
1
n n210
1
210
1
410
1
x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2
x0
( ( ( ) ))*
10
,)O,(U
,,0
中了以后的所有项就都落在从某一项开始
) O,(U) O,(U?
,n 无限增大,记为 n,
此时称数列
n
n
nx 10
)1(}{ 当 n 时以零为极限,记为,.010
)1(lim
n
n
n
这就是该数列的变化趋势
,010 )1( 0 10 )1( n
n
n
n
”记为无限地接近于“
的图上看,
n
n
nx 10
)1(}{从数列
10
1?
310
1?
1210
1
n n210
1
210
1
410
1
x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2
x0
( ( ( ) ))*
量化表示,n 时,xn? a,
,|0| ) O,(U nn xx
预先任意给定一个正数?> 0,不论它的值多么小,
当 n 无限增大时,数列 { xn } 总会从某一项开始,
以后的所有项都落在 U(0,? ) 中,
0
0
10
)1( |0 |
n
n
nx
,0 N
（在 U(0,? ) 外面只有 有限 项）
,时当 Nn?
0
010)1( n
n
,0 N
,时当 Nn?
:010 )1(lim
n
n
n
其中,
是描述点 xn 与点 0 无限接近的0
度量标准,它是预先任意给定的,与 {xn}的极限存在与否 无关,
,}{,本身取决于数列是否存在 nxN
NN,;,则数列无极限存在则数列有极限不存在,
,,NN 所有大于则其不唯一存在如果
,,有关与并且的正整数均可取作为?NN
,,),( 则值越小一般说来可记为NN?
,的值越大N
由 N 存在与否 判断数列的极限是否存在,
n > N 描述 n.
通过目标不等式来寻找 N> 0,N = N(?).
不等式 0
10
)1(
n
n 称为目标不等式,
.lim ax nn
一般地,如果数列 {xn} 当 n 时,
列 {xn} 当 n 时以 a 为极限,记为
xn 可以无限地趋近某个常数 a,则称数此时,也称数列 是收敛的,
例 4
nn 2
1lim
n
n
n
)1(1l i m
1
lim n n
n
0
0
1
若 { xn }当 n 时没有极限,则称 { xn }发散,
,0 若,0 N 时,使当 Nn?
|| ax n
记为,lim ax n
n
或,)( nax n
此时,也称数列 { xn } 是收敛的,
,}{,时的极限当为数列则称数成立nxa n
极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值,数列极限的定义：
例 5,021lim nn证明：
证,0
021 n由
,021lim?
nn
021n
n21
12 n
1l o g
2 n
] },1[ l o g,0m a x { 2N
故取 则 n > N 时,
由极限的定义,得
),1 || ( 0lim
aa n
n
一般有例 6,0s i n
1l i m?
nnn
证明：
证,0
,0s i n1nn要,1 s i n 1 nnn只要
,,1 时则当故取 NnN
nnnnn 1 s i n 1 0s i n1
成立,由极限的定义可知,,0s i n1l i m nnn?
放大不等式法
.,不唯一时利用极限存在
N
例 7,lim,,,,,:}{ aaaaax nn证明设
证,0
有时则当取,,1 NnN
0 || || aaax n
,l i m,aan故由极限的定义可知：成立通常说成：常数的极限等于其自身,
,,1)1(l i m,55l i m nn
例 8,|| ||l i m,l i m,axax nnnn 则若证明证,0 0,,lim
Nax nn?所以因为
,||, axNn n有时当由绝对值不等式,得
,|| | |||| | axax nn
,|| || lim ax nn故有注意：该例题结论的逆命题不真,例如,{(?1)n}.
例 9
证
,,l i m
),12( l i m ),2( l i m
}{
Zmax
mnaxmnax
x
n
n
n
n
n
n
n
其中则满足证明：如果
,0
,,0,)2( l i m 1 时当由 NnNmnax nn
,,0 ),12( l i m 2 时当由 NnNmnax nn
);2( || mnax n
,)12( || mnax n?
,||,},,m a x { 21 axNnNNN n恒有时则当取
,l i m ax nn故由极限定义得,逆命题成立吗？
例 10
证
,1lim,
,,
1
,,
1
n
n
n x
n
n
n
n
n
n
x 证明为奇数当为偶数当设
,0
,1 1,11 nn nnnn 即要要
,,],1[ 11 有为偶数时则当故取 nNnN; 11nn
,1 1,11, nn nnnn 即要要同理
,,],1[ 22 有为奇数时则当故取 nNnN; 11nn
,},,m a x { 21 时则当取 NnNNN
11 与nn,11 同时成立nn
,|1|,,即成立时当所以 nxNn
,1lim nn x
1.唯一性定理若数列 { xn }收敛,则其极限值必唯一,
三、数列极限的性质设数列 { xn }收敛,但其极限不唯一,不妨设有：
证 运用 反证法
,,l i m,l i m babxax nnnn
,0,于是; ||,,0 11 axNnN n时当; ||,,0 22 bxNnN n时当
,},,m a x { 21 时则当取 NnNNN
2 |||| || || bxaxbxxaba nnnn
任意性常数由? 的任意性,上式矛盾,故 a = b,
唯一性定理的推论
lim ax nn
}{ nx 的任何一个子数列都收敛,
且均以 a 为极限,
充分必要条件何谓子数 列
？
子数列的概念在数列 {xn},x1,x2,?,xn,? 中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为 }.{
knx
唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．
例 11,)1(lim 1 nn求解,)1( 1 nnx
.,)1(,,1,1,1,1,}{ 1 nnx
取子数列：
,)1(,1,1,1,:}{ 1)1(212 nnx
,)1(,1,1,1,:}{ 122 nnx
,1)1(l i ml i m,11l i ml i m 212 nnnnnn xx而
,)1(l i m 1 不存在故 nn
例 12,} 8s i n {}{ 的敛散性判别?nx n?
解 利用函数的周期性,在 { xn }中取两个子数列,
得子数列：令,,8 )1( Nkkn
,s i n,,2s i n,s i n,}{ s i n} 8s i n { kkn?
,00l i msi nl i m,,0si n nn kNkk 所以由于得子数列：令,,416 )2( Nkkn
),22s i n (,,25s i n,} )2s i n ( 2 {} 8s i n { kkn
,11l i m)22s i n (l i m
nn
k此时
,)( } 8s i n {,即极限不存在是发散的故由推论可知?n
:l i m ax nn
有时当,0,,0 NnN
|| ax n
|| |||| axax nn
|| || ax n
,则似乎可以得到如果固定?
}{ 有界的结论nx
回想数列的极限
2.有界性定理若数列 { xn }收敛,则 { xn }必有界,
证 1,lim ax n
n
设 则由极限定义,取 时,
,0 N,时当 Nn?
1||ax n
||1|| ax n即有
|}|,|,||,|,||1{m a x 21 NxxxaM取则 NnMx n,||
由数列有界的定义得：数列 { xn }收敛,则必有界,
该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛,
例如,{ (－ 1) n }.
有界性定理的推论：
即 无界数列的极限不存在,
无界数列必发散,
例 13
,2,,8,4,2:}2{ nn
,8,0,4,0,}))1(1({?nn
无极限发散无界,,
无极限发散无界,,
发散的数列不一定都无界,例如,{ (－ 1) n },
收敛的数列必有界,
有界的数列不一定收敛,
无界的数列必发散,
发散的数列不一定无界,
,)1(,nnx反例
:l i m ax nn
有时当,0,,0 NnN
|| ax n
ax n 即
axa n
,论你认为可能得到什么结由此回想数列的极限
3.保号性定理
,0 ),0( 0,l i m Naaax nn 则若
).0( 0, nn xxNn 有时当证,,0,l i m 则由极限的定义且设 aax nn
有时当时取,,0,02 NnNa
,2 | | aax n
由绝对值不等式的知识,立即得
.20 nxaa
a < 0 的情形类似可证,由学生自己完成,
,)0( 0 nn xx若保号性定理的推论 1：
,l i m 存在且 ax nn
,)0( 0 aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明保号性定理的推论 2：
,),0 ( )( 00 时当或若 NnNNnyxyx nnnn
则存在且,lim,lim byax nnnn
,)l i ml i m( l i ml i m byxabyxa nnnnnnnn
在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号,
