高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第八讲 无穷小量、无穷大量脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第二节 无穷小量、无穷大量一,无穷小量及其运算性质二,无穷大量一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量,
例 1
,,0 0,l i m )1( 220 是一个无穷小量时 xxxx
,si n,0 0,si nlim )2( 0 是一个无穷小量时 xxxx
,1,0,1lim )3( 是一个无穷小量时 xxx
x
,c o s,2 0,c o sl i m )4(
2
是一个无穷小量时 xxx
x
0,0 lim )5(?在任何一个极限过程中,常值函数 y = 0 均为无穷小量,
1.无穷小量的定义
,)0( 0,0 使当若 X
,)||( || 0 0 时Xxxx |)(| xf
,)( )(,0 时当则称成立 xxxxf
,为无穷小量定义
2,函数的极限与无穷小量的关系分析
,|| 0,0,)(l i m 0
0
时当则若 xxaxfxx
,|0))((| |)(| axfaxf
,)(,0 是一个无穷小量时即当 axfxx
,)( 0)(,)()( 0 且则令 xxxaxfx
,)( )()( 0xxxaxf
反之亦然,由以上的分析,你可得出什么结论?
由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则,
定理
)(lim
)( 0
axf
x
xx
,)()( xaxf
,))(,( 0)(,0 xxxx?其中同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量,
同一个极限过程中的 有限个无穷小量之积仍为无穷小量,
3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量,
在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量,
在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量,
证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量,
证,,0 则时的两个无穷小量为设 xx
,0,2 ||,|| 0,0 101 时当 xx
,2 ||,|| 0,0 202 时当 xx
,|| 0,},m i n { 021 有时则当取 xx
,22 |||| ||
,,0 是一个无穷小量时即 xx
证明,在某一极限过程中,无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量,
证,0 0,)( 10和即时的有界量是设 Mxxxf
,|)(|,),U( 10 Mxfxx 时使当?
,0,0,)( 0)( 20 使当则又设 xxx
,|)(|,|| 0 20 Mxxx 时
,|| 0 },,m i n { 021 时则当令 xx
MMxxfxxf |)(||)(| |)()(|
,)()(,0 为无穷小量时故当 xxfxx
例 2
证
0s i n1lim?
xx
x
证明
) (,01 lim 无穷小量因为?
xx
) (,),( 1 |s i n| 有界量 xx
,0s i n1lim?
xx
x
故证明：在某极限过程中 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量,
证,)( 0)( ; 0,)(l i m 0
0
xxxaaxfxx设
,|| 0,0,2 || 000 有时当则取 xxa
,2 || |)(| aaxf
,),U( || 2 )(1 2 || |)(||| 00?xxaxfaxfa故
,)(1,0 有界时即 xfxx?
,0)( )(lim
0
xf
x
xx
故 有界量与无穷小量之积
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界,
例如,f (x) = x,x?(0,1).
(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论,
注意,
,,3,,,0,2
2
3
2
2
3
的情况时可观察例如?xxxxxxx?
例 3,4lim 2
3
0 x
x
x
求解 ) (,0l i m 3
0 无穷小量由于 xx
) (,4)4(lim 20 极限不为零 xx
,04l i m 2
3
0
x
x
x
故二,无穷大量
,||,0,0 有时当若 XxXM定义
Mxf? |)(|
,)(,记为时的无穷大量为则称成立xxf
,)( )( )(l i m xxfxfx 或
,
)(l i m
,)(
称为正无穷大量则 换成
xf
Mxf
x
,
)(l i m
,)(
称为负穷大量则 换成
xf
Mxf
x
1.无穷大量的定义例 4
,( i) 2xy?
,ln ( i i i ) xy?
.lim 2 xx
,lnlim
0
x
x
.lnlim xx
,t a n ( i v ) xy?
,t a nlim
2
x
x?
.t a nli m
2
x
x?
,( i i ) 3xy?,lim 3
xx
(iii),(iv) 自己画画图会更清楚,
例 5? )2(,是否为无穷大量时当 nnxn
解有时则当取,,][ l o g 2 NnMN
Mn |)2(|
,)2(l i ml i m nnnn x故
,0 M
2 |)2(| || Mx nnn要?,lo g 2 Mn?
无穷大量是按绝对值定义的,
例 6
无穷大量是否一定是无界量?
在某极限过程中,
无界量是否一定是无穷大量?
,2 )1(,,0,2,0,,4,0,2,0,}{,nnxnx
n
nn
例如
0,,的项使总有等于时当取多么大不论 NnN?
|| Mx n?
,}{,,不是无穷大量时故当不成立 nxn
但该数列是无界的,
当 x 时,
函数 sinx,cosx,是否为无穷大量？
因为 sinx,cosx 是有界函数,
所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量,
2,无穷大量与无穷小量的关系
( 无穷大量的倒数为无穷小量,x? 0 )
( 无穷小量的倒数为无穷大量,x? 0 )
则例 7,0 ),(,1)( xxxxf 且设
.01lim )1(?
xx
.1lim )2(
0
xx
在某一极限过程中请自己根据定义自已进行证明,
定理
,0)( )(?xfxf 是一个无穷大量且若
,)(1 为无穷小量则 xf
,0)( )(?xfxf 是一个无穷小量且若
,)(1 为无穷大量则 xf
,)(limxf若无穷大量一定是同一极限过程中的无界量,
反之不真
,|)(|limxf则
3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,
两个无穷大量之积仍是一个无穷大量,
在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量,
,0,,0,0,}{ nn yx?
,8,6,4,2,}{ nn yx
,)1(,,4,3 2,,1,}{ nx nn
,)1(,,4,3 2,,1,}{ 1 ny nn
此时时显然,,,, nn yxn
不是无穷大量是无穷大量例 8 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?
考察例 9 有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？
不着急,看个例题,
,)( )(1 xxxf
1,1 |)(|,)1 || ( 2 xxgxx 时不妨设当
,)( 011)()( 21 xxxxxgxf而
,)( )( 32 xxxf
,)( 1)()( 232 xxxxxgxf
例 9 有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？
不着急,看个例题,
,)( )(1 xxxf
1,1 |)(|,)1 || ( 2 xxgxx 时不妨设当
,)( 011)()( 21 xxxxxgxf而
,)( )( 32 xxxf
,)( 1)()( 232 xxxxxgxf
不一定再是无穷大量,
结论,在某个极限过程中,
无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量,
两个无穷大量的和不一定是无穷大量,
无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第八讲 无穷小量、无穷大量脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第二节 无穷小量、无穷大量一,无穷小量及其运算性质二,无穷大量一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量,
例 1
,,0 0,l i m )1( 220 是一个无穷小量时 xxxx
,si n,0 0,si nlim )2( 0 是一个无穷小量时 xxxx
,1,0,1lim )3( 是一个无穷小量时 xxx
x
,c o s,2 0,c o sl i m )4(
2
是一个无穷小量时 xxx
x
0,0 lim )5(?在任何一个极限过程中,常值函数 y = 0 均为无穷小量,
1.无穷小量的定义
,)0( 0,0 使当若 X
,)||( || 0 0 时Xxxx |)(| xf
,)( )(,0 时当则称成立 xxxxf
,为无穷小量定义
2,函数的极限与无穷小量的关系分析
,|| 0,0,)(l i m 0
0
时当则若 xxaxfxx
,|0))((| |)(| axfaxf
,)(,0 是一个无穷小量时即当 axfxx
,)( 0)(,)()( 0 且则令 xxxaxfx
,)( )()( 0xxxaxf
反之亦然,由以上的分析,你可得出什么结论?
由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则,
定理
)(lim
)( 0
axf
x
xx
,)()( xaxf
,))(,( 0)(,0 xxxx?其中同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量,
同一个极限过程中的 有限个无穷小量之积仍为无穷小量,
3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量,
在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量,
在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量,
证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量,
证,,0 则时的两个无穷小量为设 xx
,0,2 ||,|| 0,0 101 时当 xx
,2 ||,|| 0,0 202 时当 xx
,|| 0,},m i n { 021 有时则当取 xx
,22 |||| ||
,,0 是一个无穷小量时即 xx
证明,在某一极限过程中,无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量,
证,0 0,)( 10和即时的有界量是设 Mxxxf
,|)(|,),U( 10 Mxfxx 时使当?
,0,0,)( 0)( 20 使当则又设 xxx
,|)(|,|| 0 20 Mxxx 时
,|| 0 },,m i n { 021 时则当令 xx
MMxxfxxf |)(||)(| |)()(|
,)()(,0 为无穷小量时故当 xxfxx
例 2
证
0s i n1lim?
xx
x
证明
) (,01 lim 无穷小量因为?
xx
) (,),( 1 |s i n| 有界量 xx
,0s i n1lim?
xx
x
故证明：在某极限过程中 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量,
证,)( 0)( ; 0,)(l i m 0
0
xxxaaxfxx设
,|| 0,0,2 || 000 有时当则取 xxa
,2 || |)(| aaxf
,),U( || 2 )(1 2 || |)(||| 00?xxaxfaxfa故
,)(1,0 有界时即 xfxx?
,0)( )(lim
0
xf
x
xx
故 有界量与无穷小量之积
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界,
例如,f (x) = x,x?(0,1).
(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论,
注意,
,,3,,,0,2
2
3
2
2
3
的情况时可观察例如?xxxxxxx?
例 3,4lim 2
3
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x
x
求解 ) (,0l i m 3
0 无穷小量由于 xx
) (,4)4(lim 20 极限不为零 xx
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称为正无穷大量则 换成
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Mxf
x
,
)(l i m
,)(
称为负穷大量则 换成
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1.无穷大量的定义例 4
,( i) 2xy?
,ln ( i i i ) xy?
.lim 2 xx
,lnlim
0
x
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.lnlim xx
,t a n ( i v ) xy?
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2
x
x?
.t a nli m
2
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,( i i ) 3xy?,lim 3
xx
(iii),(iv) 自己画画图会更清楚,
例 5? )2(,是否为无穷大量时当 nnxn
解有时则当取,,][ l o g 2 NnMN
Mn |)2(|
,)2(l i ml i m nnnn x故
,0 M
2 |)2(| || Mx nnn要?,lo g 2 Mn?
无穷大量是按绝对值定义的,
例 6
无穷大量是否一定是无界量?
在某极限过程中,
无界量是否一定是无穷大量?
,2 )1(,,0,2,0,,4,0,2,0,}{,nnxnx
n
nn
例如
0,,的项使总有等于时当取多么大不论 NnN?
|| Mx n?
,}{,,不是无穷大量时故当不成立 nxn
但该数列是无界的,
当 x 时,
函数 sinx,cosx,是否为无穷大量？
因为 sinx,cosx 是有界函数,
所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量,
2,无穷大量与无穷小量的关系
( 无穷大量的倒数为无穷小量,x? 0 )
( 无穷小量的倒数为无穷大量,x? 0 )
则例 7,0 ),(,1)( xxxxf 且设
.01lim )1(?
xx
.1lim )2(
0
xx
在某一极限过程中请自己根据定义自已进行证明,
定理
,0)( )(?xfxf 是一个无穷大量且若
,)(1 为无穷小量则 xf
,0)( )(?xfxf 是一个无穷小量且若
,)(1 为无穷大量则 xf
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反之不真
,|)(|limxf则
3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,
两个无穷大量之积仍是一个无穷大量,
在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量,
,0,,0,0,}{ nn yx?
,8,6,4,2,}{ nn yx
,)1(,,4,3 2,,1,}{ nx nn
,)1(,,4,3 2,,1,}{ 1 ny nn
此时时显然,,,, nn yxn
不是无穷大量是无穷大量例 8 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?
考察例 9 有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？
不着急,看个例题,
,)( )(1 xxxf
1,1 |)(|,)1 || ( 2 xxgxx 时不妨设当
,)( 011)()( 21 xxxxxgxf而
,)( )( 32 xxxf
,)( 1)()( 232 xxxxxgxf
例 9 有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？
不着急,看个例题,
,)( )(1 xxxf
1,1 |)(|,)1 || ( 2 xxgxx 时不妨设当
,)( 011)()( 21 xxxxxgxf而
,)( )( 32 xxxf
,)( 1)()( 232 xxxxxgxf
不一定再是无穷大量,
结论,在某个极限过程中,
无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量,
两个无穷大量的和不一定是无穷大量,
无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量,
