高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第九讲 函数极限的运算脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第三节 极限运算法则极限运算法则的理论依据
)(lim axf )()( xaxf
) 0)( (?x?
依据无穷小量的运算法则定理法则
,)(l i m,)(l i m 则存在设 bxgaxf
,) 0,(,)(,)( bxgaxf
在该极限过程中
,)()()()( baxgxf
,)())(()()( baabbaxgxf
,)0(,)()( )( bbb abbababababaxg xf
由此你能不能写出极限四则运算公式？
一,极限运算法则和的极限等于极限的和,
乘积的极限等于极限的乘积,
商的极限等于极限的商 (分母不为零 ).
差一点 !
结论成立的条件,
设在某极限过程中,函数 f (x),g(x) 的极限
lim f (x),lim g(x) 存在,则
) 0)(lim ( )(lim )(lim)( )(lim,4 xgxg xfxg xf
)( )(l i m)(l i m,2 为常数kxfkxfk?
)(lim)(lim)()(lim,3 xgxfxgxf?
)(lim)(lim)]()(l i m [,1 xgxfxgxf
)]([ l i m)](l i m [,5 nn xfxf?
)(lim)(lim
,)()(,6
xgxf
xgxf
则若在极限过程中法则 1,3 可推广至有限个函数的情形,
法则 6 中 )()( xgxf? )()( xgxf?换成其极限仍为,)(lim)(lim xgxf?
注：
由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的运算法则,容易证明上述各公式,
证明请同学们课后看书中的复合函数的极限
,)( )( ))(( 复合而成及是由设 xuufyxfy
,由极限的概念可知
,),U( 0?uu?有
,),(U?,0,0,)(l i m 0
0
时当即 uuaufuu
,),U(?ay?有
,),(U?,0,0,)(lim 00
0
时当即 xxuxxx
),U( ),(U? 0,0 00 uuxx
,),U(?ay 有什么问题没有？
7,复合函数的极限计算定理
,)( )( ))(( 复合而成及是由设 xuufyxfy
,)( )(U?,)(l i m 000
0
又有内且在若 uxxuxxx
,)(lim))((lim,)(lim
000
aufxfauf uuxxuu则注意这个条件,缺了它定理不一定成立,
,
,)(
0 在定义域内的值是的“自变量”是函数
uu
ufu
证 由极限的定义,即要证明：
,|| 0,0,0 0 有时使当 xx
,|)(| |))((| aufaxf
,0,0,)(l i m
0
故由 aufuu
,|| 0 0 时当 uu,|)(| auf
,0,0,)(l i m 10
0
故对上面的又 uxxx
,|| 0 10 时当 xx,|)(| || 00 uxuu
则取中设在 },,m i n {,)( ),(U? 21020 uxx
,))(( || 0,|| 0 000 uxuuxx 时当
,|)(|, auf从而综上所述：
,|| 0,0,0 0 时当 xx
|)(| |))((| aufaxf
,)(lim))((lim
00
aufxf uuxx即该定理可以推广到其它几种极限过程中去,
例
.,0
) (,,,
1
)(
为无理数为有理数即互质与设
x
xqp
q
p
x
q
xf
.0 0,
,0,1 )(
u
uug
0,) 0,(,0)(lim,0)(lim 0000 uxugxf ux
,))((l i m 0 不存在但 xfgx?
请课后想想,为什么?
解例 1,1)31)(21)(1(lim 0 x xxxx求
,,,0lim 0 不能直接用公式计算所以由于 xx
x
xxx
x
1)31)(21)(1(lim
0
x
xxx
x
161161l i m 32
0
,6)6116(l i m 20 xxx
初等展开解例 2,22
325lim
2?
x
x
x
求
,,0)22(l i m 2 故不能直接用公式计算由于 xx
)22)(22)(325(
)22)(325)(325(lim
22
325lim
22
xxx
xxx
x
x
xx
)42)(325(
)22)(42(l i m
2
xx
xx
x
,
3
2
)325(l i m
)22(l i m
325
22l i m
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x有理化解例 3,)2( 1l i m xxxx求 ) )( (
)2( 1l i m xxxx
xx
xxxxx
x
2
)2)(2( 1lim
xx
x
x
2
12l i m
,1
1
11
1
11
2lim?
xx
x
有理化解例 4 )14 135115131(lim 2 nn?求
)12)(12( 114 1 2 nnn?
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
14
1
35
1
15
1
3
1
2 nnn
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
11
2
1
nn?
12 1121 n
12 112 121 nn
,2112 1121l i m)14 135115 131(l i m 2 nn nn?故部分分式法例 5
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
,
,
,0
l i m
0
0
1
10
1
10
证明
)(
)(lim
1
10
1
10
n
n
n
m
m
m
x xbxbbx
xaxaax
原式 )(l i m xGx nm
x
由
，
0
0)(lim
b
axG
x
，
mn
mn
mn
x nm
x
,
,1
,0
lim
即得所证,
证解例 6,
35
123lim
2
23
2
xx
xxx
x
求
35
123lim
2
23
2
xx
xxx
x
3
16
3252
122223
2
23
求有理分式函数 x? x0 的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算,
解例 7,)12(l i m 3 xxx求
12
1l i m
3 xxx?
)12(lim 3 xxx
0
11
2
1
lim
32
3
xx
x
x
或者用下面的方法
)12(l i m 3 xxx
)112(lim 323 xxx
x
利用无穷小量与无穷大量的关系涉及到两个无穷大量的差解例 8,lim s in0 xx e?求
,0s i n,0 而时因为 xux
,1lim 0 uu e
所以,由复合函数求极限法则
,1lim s in0 xx e
这类复合函数的极限通常可写成
,1l i m 0s i nlims i n0 0 eee xxx x
解例 9,lim c o s xx x求
xx
x
x
x ex
lnc o sc o s limlim
,1lnlnc o sl i m ee xxx
这是求幂指函数极限常用的方法,
},)(ln)(lim e x p {)(lim )( xfxxf x
.l i m)(l i m )(ln)(lim)(ln)()( xfxxfxx eexf即解例 10,1
2
1
1lim
31
x
x
xx求这是两个无穷大量相减的问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限,
1
1lim
1
2
1
1lim
3
2
131?
x
x
x
x
x xx
,3211l i m 2
1
xx
x
x
( 通分 )
解例 11
,
0,
0,1)(
xbx
xexf x 问 b 取何值时,
)(lim0 xfx?
存在,并求其值,
若
由函数的极限与其左、右极限的关系,得
,2)(l i m 0 xfxb = 2,
)(l i m 0 xfx? 2)1(lim 0 xx e
,
)(l i m0 xfx bbxx )(l im0
,
解例 12,Nn
x
x n
x
,1)1(lim
0
并由此证明
,1)1(l im
0 m
n
x
x m
n
x
其中,n,m?N.
求
x
x n
x
1)1(lim
0
x
xxnnnx n
x
1)
!2
)1(1(
lim
2
0
nxxnnn n
x
)2 )1((l i m 1
0
第二问怎么做？
令,11 m xy则
，1)1( myx
，yx m 1)1(
1
,)1()1( nm
n
yx
当 x? 0 时,y? 0,故
1)1(
1)1(lim1)1(lim
00 m
n
y
m
n
x y
y
x
x
m
n
y
y
y
y
m
n
y
1)1(
1)1(
lim
0
下面证明
m
n
x
x m
n
x
1)1(lim
0
.
变量代换例 13
解
,0)1(lim
:,
23 6
baxx
ba
x
使下式成立确定常数
),1(1 23 6223 6 bxaxxbaxx因为
,0)1(lim,lim 23 62 baxxx xx 要而
,0)1(l i m 23 6 bxaxx必须
,,1,有代回原式由上式可得a
,0)1(lim 23 6 bxxx
)1(l i m 23 6 xxb x故
01)1( 1l i m 43 62
3 26
xxxxx
,0
,1
b
a
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第九讲 函数极限的运算脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第三节 极限运算法则极限运算法则的理论依据
)(lim axf )()( xaxf
) 0)( (?x?
依据无穷小量的运算法则定理法则
,)(l i m,)(l i m 则存在设 bxgaxf
,) 0,(,)(,)( bxgaxf
在该极限过程中
,)()()()( baxgxf
,)())(()()( baabbaxgxf
,)0(,)()( )( bbb abbababababaxg xf
由此你能不能写出极限四则运算公式？
一,极限运算法则和的极限等于极限的和,
乘积的极限等于极限的乘积,
商的极限等于极限的商 (分母不为零 ).
差一点 !
结论成立的条件,
设在某极限过程中,函数 f (x),g(x) 的极限
lim f (x),lim g(x) 存在,则
) 0)(lim ( )(lim )(lim)( )(lim,4 xgxg xfxg xf
)( )(l i m)(l i m,2 为常数kxfkxfk?
)(lim)(lim)()(lim,3 xgxfxgxf?
)(lim)(lim)]()(l i m [,1 xgxfxgxf
)]([ l i m)](l i m [,5 nn xfxf?
)(lim)(lim
,)()(,6
xgxf
xgxf
则若在极限过程中法则 1,3 可推广至有限个函数的情形,
法则 6 中 )()( xgxf? )()( xgxf?换成其极限仍为,)(lim)(lim xgxf?
注：
由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的运算法则,容易证明上述各公式,
证明请同学们课后看书中的复合函数的极限
,)( )( ))(( 复合而成及是由设 xuufyxfy
,由极限的概念可知
,),U( 0?uu?有
,),(U?,0,0,)(l i m 0
0
时当即 uuaufuu
,),U(?ay?有
,),(U?,0,0,)(lim 00
0
时当即 xxuxxx
),U( ),(U? 0,0 00 uuxx
,),U(?ay 有什么问题没有？
7,复合函数的极限计算定理
,)( )( ))(( 复合而成及是由设 xuufyxfy
,)( )(U?,)(l i m 000
0
又有内且在若 uxxuxxx
,)(lim))((lim,)(lim
000
aufxfauf uuxxuu则注意这个条件,缺了它定理不一定成立,
,
,)(
0 在定义域内的值是的“自变量”是函数
uu
ufu
证 由极限的定义,即要证明：
,|| 0,0,0 0 有时使当 xx
,|)(| |))((| aufaxf
,0,0,)(l i m
0
故由 aufuu
,|| 0 0 时当 uu,|)(| auf
,0,0,)(l i m 10
0
故对上面的又 uxxx
,|| 0 10 时当 xx,|)(| || 00 uxuu
则取中设在 },,m i n {,)( ),(U? 21020 uxx
,))(( || 0,|| 0 000 uxuuxx 时当
,|)(|, auf从而综上所述：
,|| 0,0,0 0 时当 xx
|)(| |))((| aufaxf
,)(lim))((lim
00
aufxf uuxx即该定理可以推广到其它几种极限过程中去,
例
.,0
) (,,,
1
)(
为无理数为有理数即互质与设
x
xqp
q
p
x
q
xf
.0 0,
,0,1 )(
u
uug
0,) 0,(,0)(lim,0)(lim 0000 uxugxf ux
,))((l i m 0 不存在但 xfgx?
请课后想想,为什么?
解例 1,1)31)(21)(1(lim 0 x xxxx求
,,,0lim 0 不能直接用公式计算所以由于 xx
x
xxx
x
1)31)(21)(1(lim
0
x
xxx
x
161161l i m 32
0
,6)6116(l i m 20 xxx
初等展开解例 2,22
325lim
2?
x
x
x
求
,,0)22(l i m 2 故不能直接用公式计算由于 xx
)22)(22)(325(
)22)(325)(325(lim
22
325lim
22
xxx
xxx
x
x
xx
)42)(325(
)22)(42(l i m
2
xx
xx
x
,
3
2
)325(l i m
)22(l i m
325
22l i m
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x有理化解例 3,)2( 1l i m xxxx求 ) )( (
)2( 1l i m xxxx
xx
xxxxx
x
2
)2)(2( 1lim
xx
x
x
2
12l i m
,1
1
11
1
11
2lim?
xx
x
有理化解例 4 )14 135115131(lim 2 nn?求
)12)(12( 114 1 2 nnn?
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
14
1
35
1
15
1
3
1
2 nnn
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
11
2
1
nn?
12 1121 n
12 112 121 nn
,2112 1121l i m)14 135115 131(l i m 2 nn nn?故部分分式法例 5
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
,
,
,0
l i m
0
0
1
10
1
10
证明
)(
)(lim
1
10
1
10
n
n
n
m
m
m
x xbxbbx
xaxaax
原式 )(l i m xGx nm
x
由
，
0
0)(lim
b
axG
x
，
mn
mn
mn
x nm
x
,
,1
,0
lim
即得所证,
证解例 6,
35
123lim
2
23
2
xx
xxx
x
求
35
123lim
2
23
2
xx
xxx
x
3
16
3252
122223
2
23
求有理分式函数 x? x0 的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算,
解例 7,)12(l i m 3 xxx求
12
1l i m
3 xxx?
)12(lim 3 xxx
0
11
2
1
lim
32
3
xx
x
x
或者用下面的方法
)12(l i m 3 xxx
)112(lim 323 xxx
x
利用无穷小量与无穷大量的关系涉及到两个无穷大量的差解例 8,lim s in0 xx e?求
,0s i n,0 而时因为 xux
,1lim 0 uu e
所以,由复合函数求极限法则
,1lim s in0 xx e
这类复合函数的极限通常可写成
,1l i m 0s i nlims i n0 0 eee xxx x
解例 9,lim c o s xx x求
xx
x
x
x ex
lnc o sc o s limlim
,1lnlnc o sl i m ee xxx
这是求幂指函数极限常用的方法,
},)(ln)(lim e x p {)(lim )( xfxxf x
.l i m)(l i m )(ln)(lim)(ln)()( xfxxfxx eexf即解例 10,1
2
1
1lim
31
x
x
xx求这是两个无穷大量相减的问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限,
1
1lim
1
2
1
1lim
3
2
131?
x
x
x
x
x xx
,3211l i m 2
1
xx
x
x
( 通分 )
解例 11
,
0,
0,1)(
xbx
xexf x 问 b 取何值时,
)(lim0 xfx?
存在,并求其值,
若
由函数的极限与其左、右极限的关系,得
,2)(l i m 0 xfxb = 2,
)(l i m 0 xfx? 2)1(lim 0 xx e
,
)(l i m0 xfx bbxx )(l im0
,
解例 12,Nn
x
x n
x
,1)1(lim
0
并由此证明
,1)1(l im
0 m
n
x
x m
n
x
其中,n,m?N.
求
x
x n
x
1)1(lim
0
x
xxnnnx n
x
1)
!2
)1(1(
lim
2
0
nxxnnn n
x
)2 )1((l i m 1
0
第二问怎么做？
令,11 m xy则
，1)1( myx
，yx m 1)1(
1
,)1()1( nm
n
yx
当 x? 0 时,y? 0,故
1)1(
1)1(lim1)1(lim
00 m
n
y
m
n
x y
y
x
x
m
n
y
y
y
y
m
n
y
1)1(
1)1(
lim
0
下面证明
m
n
x
x m
n
x
1)1(lim
0
.
变量代换例 13
解
,0)1(lim
:,
23 6
baxx
ba
x
使下式成立确定常数
),1(1 23 6223 6 bxaxxbaxx因为
,0)1(lim,lim 23 62 baxxx xx 要而
,0)1(l i m 23 6 bxaxx必须
,,1,有代回原式由上式可得a
,0)1(lim 23 6 bxxx
)1(l i m 23 6 xxb x故
01)1( 1l i m 43 62
3 26
xxxxx
,0
,1
b
a
