高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第一讲 集合与映射脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第一章 集合与函数本章学习要求：
正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。
掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。
正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。
会求函数（包括分段函数）的反函数。
了解“取整函数”和“符号函数”。
能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。
第一 节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于 1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。
康托尔将集合定义为：
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。
1,集合
,
。或，记为集合不属于；元素，记为属于集合元素
。哪些元素不属于集合属于集合，也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。简言之，把考察的对象
AxAxA
xAxAx
A
AA
关于集合的几点注意：
集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。
集合中的元素互不相同。
当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合中的 元素一律平等。
2,集合的表示法
(1) 列举法：将集合 A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。
表示集合的方法有两种,
} )( | {
)( )2(
。具有特性来表示如下列出所具有的特性中元素将集合描述法：
xpxxA
xpxA
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。
} 01 | {} 1 1,{
) ( } 1 | ),( {
} {
},3,2,1 {
2
22
。；平面上的单位圆周；东，南，西，北；
xxH
xyyxyxG
B
A?
有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据需要选择其中的一种方法例 1
3,子集、集合相等
)1( 。的子集，记为为，则称若 BABABaAa
)2( 。相等，记为与，则称集合且若 BABAABBA
) (
)3(
的元素。中至少存在一个不属于此时，
的真子集。为，则称且若
AB
BABABA
规定：空集是不含任何元素的集合，记为?。
空集是任何一个集合的子集,。，则 AA
)( 2
)4(
。或记为的幂集，称为的所有子集组成的集合非空集合
AP
AA
A
} 5 3 1 {} 4 2 {} 4 3 2 1 {,，，，，，，，, BAG
} 086 | { 2,则 xxxC；，,CAGAGG
);5 ( GGB 因为但
) 2 (
}}4,3,2,1{
},4,3,2{ },4,3,1{ },4,2,1{ },3,2,1{
},4,3{ },4,2{ },3,2{ },4,1{ },3,1{ },2,1{
},4{ },3{ },2{ },1{,{2
4
项共计
。
G
想到什么没有？
例 2
4,有限集、无限集：
含有有限个元素的集合称为有限集；
含有无限个元素的集合成为无限集。
2 2 项。含有个元素，则它的幂集含有如果有限集 nAnA
空集是任何一个非空集合的幂集的元素：
2 。，则 AA
二、集合的基本运算
。成的集合，称之为全集象（元素）的全体所构来表示所考虑的某种对或便，我们常常用记号为了研究和叙述上的方
X
也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。
在 wen图中，用矩形表示全集。
1,集合运算的概念
,则，设有集合 BA
) (
} | {\
} | {
} | {
。或记为的补集（或余集）：；且－的差：与；且的交：与；或的并：与
C
AAAA
BxAxxBABABA
BxAxxBABA
BxAxxBABA
)( ABBA
A BBA? A BBA?
A
B ABA
)AB(?
} | { BxAxxBABA 或的并：与?
A B
A B
A
B
BA?
BBA
BA?
)AB(?
} | { BxAxxBABA 且的交：与?
互斥与称 BA
A B
A
A
CABBAAB ＝时,
)BA(ABA
BA? B BA?
B
BA?
} | {\ BxAxxBABABA 且－的差：与
) ( 的余对称为 AB
一般说来,ABB)(A
ABA? B ABB)(A
仅当 B?A 时,才有 ABB)(A
A
B
BA?
ABB)(A
A
A
AA?
) ( CAAAA 或记为的补集（或余集）,
= { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } 。
B = { 4,5,6,7,8,9 }，
设 A = { 1,2,3,4,5 }，
则
BA?
例 3
B = { 6,7,8 },
= { 0,1,2,6,7,8 },
设 A = { 0,1,2 },
则
BA?
例 4
A = { x | x2? 2x? 3 < 0 }，
= { x |? 1? x? 3 },
B = { x | x =? 1,3 },
设则
BA?
例 5
} 6,5,4,3 {} 3,2,1 {,则，设 BA
},2,1 { BA
} 6,5,4,3 {} 2,1 {)( BBA
。A } 6,5,4,3,2,1 {
例 6
解
= { x |? 1< x < 1 或 2 < x < 3 } 。故
B = { x | x < 1 或 x > 2 },
解不等式得
,}023|{B 2 xxx
A = { x |? 1< x < 3 },
BA?
例 7 0 },32|{A 2 xxx设
,BA?求交换律结合律分配律对偶律
2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合 A,B,C 及全集?,则交换律：
ABBA
ABBA
结合律：
CB)(AC)B(A
CB)(AC)B(A
分配律：
C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA
对偶律：
BABA
BABA
AAAA AA
幂等律：
吸收律：
AB)A(AA B)A(A
AA A
AA A
AA ΩAA
C)(BC)(ACB)(A
B)(ACBA)(C
其它：
三、映射的基本概念
1,映射
，按照某种是两个非空集合，若，设 AxBA
fByf 与之对应，则称有唯一确定的确定的法则?
，或记为：的一个引映射，记为到为从 BAfBA?
。，，习惯上也记为，,AxxfyAxyxf )(?
下在映射称为下的像，在映射称为其中,fyxfxy
中记为的定义域称为映射的一个原像 AfDfA );(,,
的值域，为的全体所构成的集合称的像所有元素 fyx
，即或记为 )( )( AffR
} ),( | {)()(;)(
。AxxfyyAffR
AfD
注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系,集合 X,Y
中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个 x?X,只有唯一的一个 y?Y 值与之对应关系不一定就是映射。
对应，这一点很重要，它说明集合间元素的
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个 y 值对应。
Rf
X Yf
y2
x1
x2
x3
y1...
.
.
设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。
如果? x? X,存在唯一的 y = f ( x )? Y 与之对应；
反过来,若? y? Y,存在唯一的 x? X 使得 y = f ( x ),
则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
2,一一对应一一对应的实质是什么？
一一对应的实质的一一对应，则到是如果 YXf
)()( )1( 22112121 ；，则，若,yxfxfyxxXxx
) )( ( )2( 。或 YXfYR f
其它内容请同学们自己看书
1,实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并,
实数具有稠密性和连续性,
a?R,必? n?Z,使 n? a < n+1.
实数与数轴上的点一一对应,
四、实数、区间、邻域
2,绝对值、距离任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：
。 0,
,0,||
aa
aa
a
数轴上任意两点 a,b 之间的距离为
d = | a? b | 。
绝对值常用的性质：;||||,|| )1 2 aaaaa;0)( || ||,|||||| )2 a ababbaba
,||||||||,||||||)3 babababa
3,区间
(1) 闭区间 [a,b] = { x | a? x? b }
a b xO
(2) 开区间 (a,b) = { x | a < x < b }
a bO x
。 。
[ ]
( )
(a,b] = { x | a < x? b }
(称为左开右闭区间 )
[a,b) = { x | a? x < b }
(称为右开左闭区间 )
(3) 半开闭区间
a bO x
。[ )
(4) 无穷区间
[a,+?) = { x | x? a },(a,+?) = { x | x > a },
(,b] = { x | x? b },(,b) = { x | x < b },
(,+? ) = { x | < x < +? }= { x | x?R }
a (+?)O x
[
[a,+?)
(5) 区间长度有限区间的长度 = 右端点值－左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，
其长度计算均按此式进行。
所有无穷区间的长度 = +∞
区间 (－ ∞,2 ] 与 (?1,+∞) 的区间长度均为 +∞.
区间 [? 1,4] 与 (? 1,4) 的区间长度均为
4? (? 1) = 5
例 8
U( x0,? ) = { x | | x? x0 | <?,x? R,? > 0 }
x0+?o
( )
x0 x0 x
x? U( x0,? ) | x? x0 | <
00 xxx
),( U 00,邻域的点 xx
4,邻 域
U( x0,? ) = { x | 0 < | x? x0 | <?,x? R,? > 0 }
x0 +?o
( )
x0 x0 x
x? U( x0,? ) 0 < | x? x0 | <
000 xxxxx 且
),(U? 00,邻域的去心点 xx
点 的某邻域，
记为 U(x0),
0x
点 的某去心邻域，
记为? (x0),
0x
U ( 3,0.1 ) = ( 3? 0.1,3 + 0.1 )
点 x0 = 3 的? = 0.1 邻域为点 x0 = 3 的去心? = 0.1 邻域为
( 3,0.1 ) = ( 2.9,3 ) ( 3,3.1 )?
= ( 2.9,3.1 )
例 9
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第一讲 集合与映射脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第一章 集合与函数本章学习要求：
正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。
掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。
正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。
会求函数（包括分段函数）的反函数。
了解“取整函数”和“符号函数”。
能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。
第一 节 集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域一、集合的基本概念集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于 1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。
康托尔将集合定义为：
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。
1,集合
,
。或，记为集合不属于；元素，记为属于集合元素
。哪些元素不属于集合属于集合，也就是规定哪些元素定义一个集合放在一起就构成集合。简言之，把考察的对象
AxAxA
xAxAx
A
AA
关于集合的几点注意：
集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。
集合中的元素互不相同。
当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合中的 元素一律平等。
2,集合的表示法
(1) 列举法：将集合 A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。
表示集合的方法有两种,
} )( | {
)( )2(
。具有特性来表示如下列出所具有的特性中元素将集合描述法：
xpxxA
xpxA
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。
} 01 | {} 1 1,{
) ( } 1 | ),( {
} {
},3,2,1 {
2
22
。；平面上的单位圆周；东，南，西，北；
xxH
xyyxyxG
B
A?
有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据需要选择其中的一种方法例 1
3,子集、集合相等
)1( 。的子集，记为为，则称若 BABABaAa
)2( 。相等，记为与，则称集合且若 BABAABBA
) (
)3(
的元素。中至少存在一个不属于此时，
的真子集。为，则称且若
AB
BABABA
规定：空集是不含任何元素的集合，记为?。
空集是任何一个集合的子集,。，则 AA
)( 2
)4(
。或记为的幂集，称为的所有子集组成的集合非空集合
AP
AA
A
} 5 3 1 {} 4 2 {} 4 3 2 1 {,，，，，，，，, BAG
} 086 | { 2,则 xxxC；，,CAGAGG
);5 ( GGB 因为但
) 2 (
}}4,3,2,1{
},4,3,2{ },4,3,1{ },4,2,1{ },3,2,1{
},4,3{ },4,2{ },3,2{ },4,1{ },3,1{ },2,1{
},4{ },3{ },2{ },1{,{2
4
项共计
。
G
想到什么没有？
例 2
4,有限集、无限集：
含有有限个元素的集合称为有限集；
含有无限个元素的集合成为无限集。
2 2 项。含有个元素，则它的幂集含有如果有限集 nAnA
空集是任何一个非空集合的幂集的元素：
2 。，则 AA
二、集合的基本运算
。成的集合，称之为全集象（元素）的全体所构来表示所考虑的某种对或便，我们常常用记号为了研究和叙述上的方
X
也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。
在 wen图中，用矩形表示全集。
1,集合运算的概念
,则，设有集合 BA
) (
} | {\
} | {
} | {
。或记为的补集（或余集）：；且－的差：与；且的交：与；或的并：与
C
AAAA
BxAxxBABABA
BxAxxBABA
BxAxxBABA
)( ABBA
A BBA? A BBA?
A
B ABA
)AB(?
} | { BxAxxBABA 或的并：与?
A B
A B
A
B
BA?
BBA
BA?
)AB(?
} | { BxAxxBABA 且的交：与?
互斥与称 BA
A B
A
A
CABBAAB ＝时,
)BA(ABA
BA? B BA?
B
BA?
} | {\ BxAxxBABABA 且－的差：与
) ( 的余对称为 AB
一般说来,ABB)(A
ABA? B ABB)(A
仅当 B?A 时,才有 ABB)(A
A
B
BA?
ABB)(A
A
A
AA?
) ( CAAAA 或记为的补集（或余集）,
= { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } 。
B = { 4,5,6,7,8,9 }，
设 A = { 1,2,3,4,5 }，
则
BA?
例 3
B = { 6,7,8 },
= { 0,1,2,6,7,8 },
设 A = { 0,1,2 },
则
BA?
例 4
A = { x | x2? 2x? 3 < 0 }，
= { x |? 1? x? 3 },
B = { x | x =? 1,3 },
设则
BA?
例 5
} 6,5,4,3 {} 3,2,1 {,则，设 BA
},2,1 { BA
} 6,5,4,3 {} 2,1 {)( BBA
。A } 6,5,4,3,2,1 {
例 6
解
= { x |? 1< x < 1 或 2 < x < 3 } 。故
B = { x | x < 1 或 x > 2 },
解不等式得
,}023|{B 2 xxx
A = { x |? 1< x < 3 },
BA?
例 7 0 },32|{A 2 xxx设
,BA?求交换律结合律分配律对偶律
2.集合的运算性质幂等律吸收律设有集合 A,B,C 及全集?,则交换律：
ABBA
ABBA
结合律：
CB)(AC)B(A
CB)(AC)B(A
分配律：
C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA
对偶律：
BABA
BABA
AAAA AA
幂等律：
吸收律：
AB)A(AA B)A(A
AA A
AA A
AA ΩAA
C)(BC)(ACB)(A
B)(ACBA)(C
其它：
三、映射的基本概念
1,映射
，按照某种是两个非空集合，若，设 AxBA
fByf 与之对应，则称有唯一确定的确定的法则?
，或记为：的一个引映射，记为到为从 BAfBA?
。，，习惯上也记为，,AxxfyAxyxf )(?
下在映射称为下的像，在映射称为其中,fyxfxy
中记为的定义域称为映射的一个原像 AfDfA );(,,
的值域，为的全体所构成的集合称的像所有元素 fyx
，即或记为 )( )( AffR
} ),( | {)()(;)(
。AxxfyyAffR
AfD
注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系,集合 X,Y
中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个 x?X,只有唯一的一个 y?Y 值与之对应关系不一定就是映射。
对应，这一点很重要，它说明集合间元素的
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个 y 值对应。
Rf
X Yf
y2
x1
x2
x3
y1...
.
.
设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。
如果? x? X,存在唯一的 y = f ( x )? Y 与之对应；
反过来,若? y? Y,存在唯一的 x? X 使得 y = f ( x ),
则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
2,一一对应一一对应的实质是什么？
一一对应的实质的一一对应，则到是如果 YXf
)()( )1( 22112121 ；，则，若,yxfxfyxxXxx
) )( ( )2( 。或 YXfYR f
其它内容请同学们自己看书
1,实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并,
实数具有稠密性和连续性,
a?R,必? n?Z,使 n? a < n+1.
实数与数轴上的点一一对应,
四、实数、区间、邻域
2,绝对值、距离任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：
。 0,
,0,||
aa
aa
a
数轴上任意两点 a,b 之间的距离为
d = | a? b | 。
绝对值常用的性质：;||||,|| )1 2 aaaaa;0)( || ||,|||||| )2 a ababbaba
,||||||||,||||||)3 babababa
3,区间
(1) 闭区间 [a,b] = { x | a? x? b }
a b xO
(2) 开区间 (a,b) = { x | a < x < b }
a bO x
。 。
[ ]
( )
(a,b] = { x | a < x? b }
(称为左开右闭区间 )
[a,b) = { x | a? x < b }
(称为右开左闭区间 )
(3) 半开闭区间
a bO x
。[ )
(4) 无穷区间
[a,+?) = { x | x? a },(a,+?) = { x | x > a },
(,b] = { x | x? b },(,b) = { x | x < b },
(,+? ) = { x | < x < +? }= { x | x?R }
a (+?)O x
[
[a,+?)
(5) 区间长度有限区间的长度 = 右端点值－左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，
其长度计算均按此式进行。
所有无穷区间的长度 = +∞
区间 (－ ∞,2 ] 与 (?1,+∞) 的区间长度均为 +∞.
区间 [? 1,4] 与 (? 1,4) 的区间长度均为
4? (? 1) = 5
例 8
U( x0,? ) = { x | | x? x0 | <?,x? R,? > 0 }
x0+?o
( )
x0 x0 x
x? U( x0,? ) | x? x0 | <
00 xxx
),( U 00,邻域的点 xx
4,邻 域
U( x0,? ) = { x | 0 < | x? x0 | <?,x? R,? > 0 }
x0 +?o
( )
x0 x0 x
x? U( x0,? ) 0 < | x? x0 | <
000 xxxxx 且
),(U? 00,邻域的去心点 xx
点 的某邻域，
记为 U(x0),
0x
点 的某去心邻域，
记为? (x0),
0x
U ( 3,0.1 ) = ( 3? 0.1,3 + 0.1 )
点 x0 = 3 的? = 0.1 邻域为点 x0 = 3 的去心? = 0.1 邻域为
( 3,0.1 ) = ( 2.9,3 ) ( 3,3.1 )?
= ( 2.9,3.1 )
例 9
