高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十六讲 求导法则脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四章 一元函数的导数与微分第二节 求导法则一,基本初等函数的导数二,导数的四则运算法则三,反函数的导数四,复合函数的导数五,隐函数的求导法则六,参数方程求导法则七,取对数求导法一,基本初等函数的导数推导一些基本公式啊 ！
1,y = C x? R ( C为常数 )
Q
x
y
x 0
l i m?
x
CC
x 0
lim 00l im
0 x
0)(C
通常说成：常数的导数为零,
2,幂函数
x
x
x
x
x?
0
lim
x
xxx
x?
)(
lim
0
Q
）（ Rxy
x
y
x 0
l i m
x
x
x
x
x?
11
l im
0
11
0lim
xx
x
)( 1 xx
等价无穷小替代
.11)'( 011 xxx
自变量对其本身的导数为 1
)(1dd 1
x
xx 211)1( xx,12x
.3)( 23 xx
)()( 2
1?
xx 2
11
2
1
2
1
2
1 xx,
2
1
x?
例 1
3,指数函数
x
aa
x
y xxx
xx?
00
limlim
Q
x
axa
x
x
lnlim
0
)0( aay x
x
aa x
x
x
1l im
0
aa x ln?
ln)( aaa xx )( xx ee
)4( x
)( xba
bxb aa ln)(? aba xb ln?
4ln4 x
))((?xba
) 0 ( 为常数,ba?
例 2
4,对数函数
x
xxx
x?
ln)l n (lim
0
Q
xx
x
x
x
1
lim
0
)0( ln xxy
x
y
x 0
l i m
x
x
x
x?
1ln
l i m
0
1)( ln
x
x
等价无穷小替代
xy alo g?,)0,0( xa 求 y?.
Q axxy a lnlnlog
x
xxx aa
x?
l o g)(l o gl im
0
ln
1)( log
axxa
x
x
x
a x?
1ln
l i m
ln
1
0 ax ln
1?
等价无穷小替代故解例 3
5ln
1)( lo g
5 xx
2
1
ln
1
)( l o g
2
1
x
x 2ln
1
x
1)( ln xx ln1)( l o g axxa
ea
例 4
或重要极限
5,三角函数
(1)
x
xxx
x
y
xx?
s i n)s i n (limlim
00
Q
x
xx
x
x?
2
s i n
2
c o s2
lim
0
2
c o slim
0
xx
x
xy s in?
c o s)( s in xx
xco s?
和差化积等价无穷小
(2) 其它三角函数的导数
xxxx 222 t a n1s e cc o s1)t a n(
)c o t1(c s c
s in
1)( c o t 22
2 xxxx
xx s i n)c o s(
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导,
（仿照正弦函数的推导方法）
二,导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x) 均可导,则
),()())()(( )1( xvxuxvxu
)()()()())()(( )2( xvxuxvxuxvxu
)(
)()()()(
)(
)(
)3( 2
xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
n
i
ni
n
i
i xuxuxuxuxu
1
21
1
)()()()())((
n
i
n
i
n
i
i xux
xuxuxuxu
x 1 211 )(d
)(d)( )()(
d
d
)()()()( 21
1
xuxuxuxu n
n
i
i
n
i
i
n
i
i xuxu
11
,)())((
.d )(d)(d d
11
n
i
i
n
i
i x xuxux
推广至有限个可导函数的情形,
在证明这些公式时,用到下列表达式：
)()( xuxxuu
uxuxxu )()(
1,证明 )()())()(( xvxuxvxu
x
xvxuxxvxxuxvxu
x?
))()(())()((lim ))()((
0
xx
lim
0
x
xuxxu
x?
)()(l i m
0
)()( xvxu
x
xvxxv
x?
)()(lim
0
))()(( xuxxu ))()(( xvxxv
解
0)s i n(c o s2 xxx
xxx s inc o s2
。求,1c o ss i n2 yxxxy
)( 2 xy )( s in x )( c o s x )1(
例 5
，设 nnnnn axaxaxaxay 121110?
)()()()()( 122110 nnnnn axaxaxaxay?
10 nxna
。求 y?
解 由和的求导公式
21 )1( nxna xa
n 22? 1 na
通常说,多项式的导数仍是多项式,其次数降低一次,系数相应改变,
例 6
2,证明证
)()()()())()(( xvxuxvxuxvxu
x
xvxuxxvxxuxvxu
x?
)()()()(lim))()((
0
x
xvxuvxvuxu
x?
)()())()()((lim
0
x
vuuxvvxu
x?
)()(lim
0
x
vxu
x?
)(l i m
0
)()()()( xvxuxvxu
因为可导必连续,所以 。时,0 0 vx
x
uxv
x?
)(l i m
0 vx
u
x
0
lim
设 u? C ( C为常数 ),v = v(x) 可导,则通常说成,常数因子可以提到导数符号外面
))(()()())(( xvCxvCxvC
))(( xvC
例 7
设
bxay
)( bxay则直线上任意一点处的切线就是它本身,
)()( bxa
axa )(
线性函数的导数为一个常数,
例 8
)( l o g xy a
。求,l o g yxy a
解?
a
x
ln
ln
)( l nln 1 xa
ax ln
1?
ln1)( log axxa
例 9
已知
)3()2)(1()3)(2()1( xxxxxxy
)2)(1()3)(1()3)(2( xxxxxx
2)23)(13()33)(13()33)(23(| 3xy故
。求,)3)(2)(1( 3 xyxxxy
解
)3)(2)(1( xxx
′ ′
′
例 10
3,证明故
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
,)( )()( xv xux令
)()()()()( xvxxvxxu
)(
)()()()(
xv
xvxxux
)0)((?xv
,)( 可导则 x? ),()()( xvxxu且
)(
)()()()(
2 xv
xvxuxvxu
用乘法公式证明除法公式
)( c o t xy
x
xx
2
22
s in
c o ss in
解?
x
x
s in
co s?
x2sin
1
x2c sc )co t1( 2 x
。求 yxy,c o t
xx s in)( c o s? )( s i nc o s xx
x2sin
xx 2s in
1)( c o t x2c sc )c o t1( 2 x
例 11
设函数 v(x) 可导,且 v(x)? 0,证明令 u(x) =1,
)( )()(1 2 xv xvxv
证 由商的导数公式,得
)(
)(1)()1(
)(
1
2 xv
xvxv
xv
)(
)(
2 xv
xv
例 12
)( xey
x
x
e
e
2
解
.,yey x 求
xe1
2)(
)(1)1(
x
xx
e
ee
x
x ee
1
例 13
)( s e c xy
x
x
2c o s
s i n
.,s e c yxy 求解
xc o s
1
x
x
2c o s
)( c o s
xx s e ct a n?
s e ct a n)( s e c xxx
例 14
点 (x,y) 处的切线相同,
y
T
A(x,y)
x xO
y
若 y =? (x) 的反函数 x = f (y) 存在,则 x = f (y)
与 y =? (x) 的图形相同,故 x = f (y) 与 y =? (x) 在
是 y =? (x)
的图形与 x 轴正向的夹角,
是 x = f (y)
的图形与 x 轴正向的夹角,
)('t a n yf 2
三,反函数的导数
)2t an (t an)(yf
) 0)(( x?
反函数的导数是其直接函数导数的倒数,
)(
1
ta n
1c o t
x
)(
1)(
yxf
定理设单调函数 x =? (y) 在区间 I 内可导,
(x)? 0,
某区间 J 内单调、可导,且该定理说明：一个函数单调、连续、可导,
则它的反函数存在,且单调、连续、可导,
则它的反函数 y = f (x) 在相应的
( 该定理的证明较简单,由学生自己阅读,)
这里仍指严格单调它是 x = sin y
的反函数 22 )( y
且导数不为 0,
上单调、连续、可导,又
y
xx
y
xy
d
d
1
d
d
)( a r c s i n
故
。求 yxxy,)11( a r c s i n
解
sin 在yx =
2,2 )(
yy c o s
1
)( s i n
1?
你觉得做完了吗？
例 15
而于是
22 1s i n1c o s xyy
21
1
c o s
1)( a r c s in
xy
xy
)11( x
1)1(
1
1)( a r c s i n
2
x
x
x
。求 ' ),11(,a r c c o s yxxy
它是 x = cos y,,),0( 的反函数y
,),0( c o s 且内单调、连续、可导在又?y x?
0s in)( c o s
d
d yy
y
x
解例 16
故
)( c o s
1
d
d
1
d
d
)( a r c c o s
y
y
xx
y
xy
)11(
1
1)( a r c c o s
2
x
x
x
22 1
1
c o s1
1
s i n
1
xyy?
)11( x
,2,2,t an )( 的反函数它是 yy x
又 0ta n1)( ta n 2 yy
故
)( t a n
1)( a r c t a n
y
xy
),(x
解
。求 yxxy ),(,a r c t a n
,t a n 满足定理的条件且 yx?
y2t a n1
1
21 1x
例 17
),( 1 1)( a r c t a n 2 xxx
类似可得
),( 1 1)a r c c o t( 2 xxx
四,复合函数的导数且
)())(()))((( xxfxf
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d?
或定理设 u =? (x) 在点 x 处可导,y = f (u) 在对应点 u ( u =? (x) ) 处也可导,复合函数 y = f (? (x))
在 U(x) 内有定义,则 y = f (? (x)) 在点 x 处可导,
Q y = f (u) 在相应点 u 处可导,
uuufuuufy)()o()(
( 当?u? 0, 0 )
以?x 除上式,得
x
u
x
uuf
x
y
)(
证 给 x 以增量?x,相应地 u =? (x) 有增量?u,
对于?u,y = f (u) 有增量?y.
对上式两边取?x? 0 的极限,
由 u =? (x) 在点 x 处可导,得
)()(l iml iml im)(l im
0000
xufxuxuufxy
xxxx
即 )())(()()()))((( xxfxufxf
或
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d?
例如,
，，,)()(,))](([ xhvvuuyxhfy
则在各函数可导且 f [? (h(x))] 在 U(x) 有定义 时,
)()()()))](([ ( xhvufxhfy
或 xvvuuyxy dddddddd?
)())(())](([ xhxhxhf
该定理可推广到任意有限次复合的情形,
有
)()( s i n)( s i n axuaxy u
au c o s
解
.,s i n yaxy 求
Q axuuy,s i n
axa c o s?
)( s in axy
一般按,由外向里层层求导” 法求导
c o s ax? )( ax c o s axa?
例 18
)( 5 xey解
.,5 yey x 求
)5(5 xe x
xe 55
例 19
)0(,1)||ln( xxx证明：
证
0,)l n (
0,ln
||ln
xx
xx
xy
xxxx
1)( l n) ||ln (,0 时当
xxxxxx
1)(1))( l n () ||ln (,0
时当综上所述,,)0(,1)||ln( xxx
例 20
.,)l n ( 22 yaxxy 求
)( l n ( 22 axxy
)1(
1
2222 ax
x
axx?
)(1 22
22
axx
axx
22
1
ax
解
1) )l n ((
22
22
ax
axx
例 21
.,2 2s in yy x 求
2s i n2 xy
)( s in2ln2 2s i n 2 xx
)(c o s2ln2 22s i n 2 xxx
xxx 2c o s2ln2 2s i n 2
解 )0 ( ln)( aaaa xx
例 22
',1a r c ta n yxy 求?
1
a r c t a n )(
x
y
.1 1 2x
)1(
1 22
2
xx
x
) (
) (
1
1
1
1
2
x
x
解例 23
.,2c o t yxy 求
)(
2
)
2
c s c(
2
c o t2
1
)
2
( c o t
2
c o t2
1 2?
xx
x
x
x
y
2
1
)
2
c s c(
2
c o t2
1 2
x
x
2t a n2c s c4
1 2 xx
解例 24
.,1 ||,1ln 2 yxxy 求设按复合函数求导法则
) 1ln ( 2 xy
) 1|| ( 12 xx x
1
2
2
1
2 x
x
)( )1( ln21 2 x
解注意利用函数的性质例 25
.,)1,1(,11lnc o s 2 yxxxy
求设
xxxxy 11lnc o s11lnc o s2
xxxxxx 11ln11lns i n11lnc o s2
))'1ln ()1( ln (
1
1ln2s in xx
x
x
解例 26
xxx
x
1
1
1
1
1
1ln2s in
x
x
x 1
1ln2s in
1
2
2
并不难设 y = f (x) 可导,则
))(( s in xf )()(c o s xfxf
))( s in( xf xxf c o s)( s i n
))(( l n xf
)(
)(
xf
xf? )0)((?xf
))( l n( xf
x
xf 1)(l n
)( )( xfe )()( xfe xf
))(( xef xx eef )(
例 27
证明：在 (–a,a)内可导的奇函数的导数是偶函数；
偶函数的导数是奇函数。
设 f (x) 为 (– a,a) 内的偶函数,则 f (?x) = f (x).
)()()())(( xfxxfxfQ
)()( xfxf
即偶函数的导数是奇函数,
同理可证,奇函数的导数是偶函数,
证
)()( xfxf
例 28
))(()( xfxf而五,隐函数的求导法则
F ( x,f (x) )? 0
对上式两边关于 x 求导：
0),(dd?yxFx
然后,从这个式子中解出 y?,就得到隐函数的导数,
方法：
则将 y = f (x) 代入方程中,得到如果由方程 F(x,y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,
求由方程 0),( yx eexyyxF ( x? 0 )
所确定的隐函数的导数 y?,并求,
0 xy
方程两边关于 x 求导：
0 yeeyxy yx
故 xe yey y
x
由原方程可得,F(0,y) = 0?y? e0 + ey = 0
从而
00xy
解例 29
1
0
0
x
y
x
x xe
yey故求椭圆,),( 1 002
2
2
2
处的切线方程在点 yxbyax
对方程两边关于 x 求导 得,
022 22 b yya x
ya
xby
2
2
故所求切线的方程为,)( 0
0
2
0
2
0 xxya
xbyy
解整理后,切线方程为：
12020 b yya xx
例 30
选择一个适当的参数 t 后,
)(
)(
tyy
txx I?t
的形式,此式称为函数 y = f (x) 的参数方程,
y = f (x) 可表示为
1,参数方程的概念六,参数方程求导法则参数方程求导法则：
设
)(
)(
tyy
txx I?t
tx
ty
x
y
)(
d
d
则且存在若,0)(,)(
dt
d ),(
dt
d txtxxtyy
t
x
t
y
d
d
d
d
利用反函数求导法则可证明该法则由微分形式不变性更是一目了然
,
2
,
s i n
c o s
时的切线方程在求椭圆
t
tby
tax
椭圆上任意一点 x处的切线的斜率为
tabta tbta tbxyk c o ts inc o s)c o s( )s in(dd
02c o t
2
abk t故
,02c o s0ax
bby 2s in0?
从而,所求切线方程为,y = b,
解
)( 00 xxkyy
例 30
又的星形线 323232 ayx
])
2
,0[(
s i n
c o s
3
3?
t
tay
tax
.dd xy求 O x
y
t
aa?
参数方程为星形线是一种圆内摆线例 32
4dd?
小大
)c o s(
)s i n(
d
d
3
3
ta
ta
x
y
tta
tta
s inc o s3
c o ss in3
2
2
ttan ),2( Znnt?
解然后,对方程两边关于 x 求导：
))(( ln xf
y
y
方法,在条件允许的情况下,对 y = f (x) 两边同时取对数：
)(lnln xfy?
|)(|ln||ln xfy?或
))(( l n xfyy
注意,y 是 x
的函数,
七,取对数求导法或
)|)(|( ln xf
y
y )|)(|( l n xfyy
取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数,
,s in 的导数求 xxy?
运用取对数求导法
xxxy x lns inlnln s i n
两边关于 x 求导：
x
xxx
y
y s inlnc o s
故 )s i nlnc os(s i n x xxxxy x
解例 33
.,co ss i n1 1 2323 2 yxxx xxy 求设运用取对数求导法两边关于 x 求导：
xxxxxy c o sln2s inln3)1ln ()1ln (ln32ln 2
解
xy
y 1
3
2
x?
1
1
21
2
x
x
x
x
s i n
co s3?
x
x
c o s
s i n2
例 34
xx
x
xxy 23
2
3 2 c o ss in
1
1
t a n2c o t3
1
2
1
1
3
2
2 xxx
x
xx
整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！
.,
)1)(81)(51(
)1)(21)(1(
3 4
2
y
xxx
xxxy?
求设运用取对数求导法
)1l n ()21l n ()1l n ( {31ln 2xxxy
4
3
2 1
4
81
8
51
5
1
2
21
2
1
1
3
1
x
x
xxx
x
xxy
y
解
} )1l n ()81l n ()51l n ( 4xxx
例 35
y
3
4
2
)1)(81)(51(
)1)(21)(1(
3
1
xxx
xxx
4
3
2 1
4
81
8
51
5
1
2
21
2
1
1
x
x
xxx
x
xx
故基本初等函数的导数导数的四则运算法则反函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法参数方程求导法取对数求导法求导方法小结按定义求导
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十六讲 求导法则脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四章 一元函数的导数与微分第二节 求导法则一,基本初等函数的导数二,导数的四则运算法则三,反函数的导数四,复合函数的导数五,隐函数的求导法则六,参数方程求导法则七,取对数求导法一,基本初等函数的导数推导一些基本公式啊 ！
1,y = C x? R ( C为常数 )
Q
x
y
x 0
l i m?
x
CC
x 0
lim 00l im
0 x
0)(C
通常说成：常数的导数为零,
2,幂函数
x
x
x
x
x?
0
lim
x
xxx
x?
)(
lim
0
Q
）（ Rxy
x
y
x 0
l i m
x
x
x
x
x?
11
l im
0
11
0lim
xx
x
)( 1 xx
等价无穷小替代
.11)'( 011 xxx
自变量对其本身的导数为 1
)(1dd 1
x
xx 211)1( xx,12x
.3)( 23 xx
)()( 2
1?
xx 2
11
2
1
2
1
2
1 xx,
2
1
x?
例 1
3,指数函数
x
aa
x
y xxx
xx?
00
limlim
Q
x
axa
x
x
lnlim
0
)0( aay x
x
aa x
x
x
1l im
0
aa x ln?
ln)( aaa xx )( xx ee
)4( x
)( xba
bxb aa ln)(? aba xb ln?
4ln4 x
))((?xba
) 0 ( 为常数,ba?
例 2
4,对数函数
x
xxx
x?
ln)l n (lim
0
Q
xx
x
x
x
1
lim
0
)0( ln xxy
x
y
x 0
l i m
x
x
x
x?
1ln
l i m
0
1)( ln
x
x
等价无穷小替代
xy alo g?,)0,0( xa 求 y?.
Q axxy a lnlnlog
x
xxx aa
x?
l o g)(l o gl im
0
ln
1)( log
axxa
x
x
x
a x?
1ln
l i m
ln
1
0 ax ln
1?
等价无穷小替代故解例 3
5ln
1)( lo g
5 xx
2
1
ln
1
)( l o g
2
1
x
x 2ln
1
x
1)( ln xx ln1)( l o g axxa
ea
例 4
或重要极限
5,三角函数
(1)
x
xxx
x
y
xx?
s i n)s i n (limlim
00
Q
x
xx
x
x?
2
s i n
2
c o s2
lim
0
2
c o slim
0
xx
x
xy s in?
c o s)( s in xx
xco s?
和差化积等价无穷小
(2) 其它三角函数的导数
xxxx 222 t a n1s e cc o s1)t a n(
)c o t1(c s c
s in
1)( c o t 22
2 xxxx
xx s i n)c o s(
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导,
（仿照正弦函数的推导方法）
二,导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x) 均可导,则
),()())()(( )1( xvxuxvxu
)()()()())()(( )2( xvxuxvxuxvxu
)(
)()()()(
)(
)(
)3( 2
xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
n
i
ni
n
i
i xuxuxuxuxu
1
21
1
)()()()())((
n
i
n
i
n
i
i xux
xuxuxuxu
x 1 211 )(d
)(d)( )()(
d
d
)()()()( 21
1
xuxuxuxu n
n
i
i
n
i
i
n
i
i xuxu
11
,)())((
.d )(d)(d d
11
n
i
i
n
i
i x xuxux
推广至有限个可导函数的情形,
在证明这些公式时,用到下列表达式：
)()( xuxxuu
uxuxxu )()(
1,证明 )()())()(( xvxuxvxu
x
xvxuxxvxxuxvxu
x?
))()(())()((lim ))()((
0
xx
lim
0
x
xuxxu
x?
)()(l i m
0
)()( xvxu
x
xvxxv
x?
)()(lim
0
))()(( xuxxu ))()(( xvxxv
解
0)s i n(c o s2 xxx
xxx s inc o s2
。求,1c o ss i n2 yxxxy
)( 2 xy )( s in x )( c o s x )1(
例 5
，设 nnnnn axaxaxaxay 121110?
)()()()()( 122110 nnnnn axaxaxaxay?
10 nxna
。求 y?
解 由和的求导公式
21 )1( nxna xa
n 22? 1 na
通常说,多项式的导数仍是多项式,其次数降低一次,系数相应改变,
例 6
2,证明证
)()()()())()(( xvxuxvxuxvxu
x
xvxuxxvxxuxvxu
x?
)()()()(lim))()((
0
x
xvxuvxvuxu
x?
)()())()()((lim
0
x
vuuxvvxu
x?
)()(lim
0
x
vxu
x?
)(l i m
0
)()()()( xvxuxvxu
因为可导必连续,所以 。时,0 0 vx
x
uxv
x?
)(l i m
0 vx
u
x
0
lim
设 u? C ( C为常数 ),v = v(x) 可导,则通常说成,常数因子可以提到导数符号外面
))(()()())(( xvCxvCxvC
))(( xvC
例 7
设
bxay
)( bxay则直线上任意一点处的切线就是它本身,
)()( bxa
axa )(
线性函数的导数为一个常数,
例 8
)( l o g xy a
。求,l o g yxy a
解?
a
x
ln
ln
)( l nln 1 xa
ax ln
1?
ln1)( log axxa
例 9
已知
)3()2)(1()3)(2()1( xxxxxxy
)2)(1()3)(1()3)(2( xxxxxx
2)23)(13()33)(13()33)(23(| 3xy故
。求,)3)(2)(1( 3 xyxxxy
解
)3)(2)(1( xxx
′ ′
′
例 10
3,证明故
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xvxuxvxu
xv
xu
)0)((?xv
,)( )()( xv xux令
)()()()()( xvxxvxxu
)(
)()()()(
xv
xvxxux
)0)((?xv
,)( 可导则 x? ),()()( xvxxu且
)(
)()()()(
2 xv
xvxuxvxu
用乘法公式证明除法公式
)( c o t xy
x
xx
2
22
s in
c o ss in
解?
x
x
s in
co s?
x2sin
1
x2c sc )co t1( 2 x
。求 yxy,c o t
xx s in)( c o s? )( s i nc o s xx
x2sin
xx 2s in
1)( c o t x2c sc )c o t1( 2 x
例 11
设函数 v(x) 可导,且 v(x)? 0,证明令 u(x) =1,
)( )()(1 2 xv xvxv
证 由商的导数公式,得
)(
)(1)()1(
)(
1
2 xv
xvxv
xv
)(
)(
2 xv
xv
例 12
)( xey
x
x
e
e
2
解
.,yey x 求
xe1
2)(
)(1)1(
x
xx
e
ee
x
x ee
1
例 13
)( s e c xy
x
x
2c o s
s i n
.,s e c yxy 求解
xc o s
1
x
x
2c o s
)( c o s
xx s e ct a n?
s e ct a n)( s e c xxx
例 14
点 (x,y) 处的切线相同,
y
T
A(x,y)
x xO
y
若 y =? (x) 的反函数 x = f (y) 存在,则 x = f (y)
与 y =? (x) 的图形相同,故 x = f (y) 与 y =? (x) 在
是 y =? (x)
的图形与 x 轴正向的夹角,
是 x = f (y)
的图形与 x 轴正向的夹角,
)('t a n yf 2
三,反函数的导数
)2t an (t an)(yf
) 0)(( x?
反函数的导数是其直接函数导数的倒数,
)(
1
ta n
1c o t
x
)(
1)(
yxf
定理设单调函数 x =? (y) 在区间 I 内可导,
(x)? 0,
某区间 J 内单调、可导,且该定理说明：一个函数单调、连续、可导,
则它的反函数存在,且单调、连续、可导,
则它的反函数 y = f (x) 在相应的
( 该定理的证明较简单,由学生自己阅读,)
这里仍指严格单调它是 x = sin y
的反函数 22 )( y
且导数不为 0,
上单调、连续、可导,又
y
xx
y
xy
d
d
1
d
d
)( a r c s i n
故
。求 yxxy,)11( a r c s i n
解
sin 在yx =
2,2 )(
yy c o s
1
)( s i n
1?
你觉得做完了吗？
例 15
而于是
22 1s i n1c o s xyy
21
1
c o s
1)( a r c s in
xy
xy
)11( x
1)1(
1
1)( a r c s i n
2
x
x
x
。求 ' ),11(,a r c c o s yxxy
它是 x = cos y,,),0( 的反函数y
,),0( c o s 且内单调、连续、可导在又?y x?
0s in)( c o s
d
d yy
y
x
解例 16
故
)( c o s
1
d
d
1
d
d
)( a r c c o s
y
y
xx
y
xy
)11(
1
1)( a r c c o s
2
x
x
x
22 1
1
c o s1
1
s i n
1
xyy?
)11( x
,2,2,t an )( 的反函数它是 yy x
又 0ta n1)( ta n 2 yy
故
)( t a n
1)( a r c t a n
y
xy
),(x
解
。求 yxxy ),(,a r c t a n
,t a n 满足定理的条件且 yx?
y2t a n1
1
21 1x
例 17
),( 1 1)( a r c t a n 2 xxx
类似可得
),( 1 1)a r c c o t( 2 xxx
四,复合函数的导数且
)())(()))((( xxfxf
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d?
或定理设 u =? (x) 在点 x 处可导,y = f (u) 在对应点 u ( u =? (x) ) 处也可导,复合函数 y = f (? (x))
在 U(x) 内有定义,则 y = f (? (x)) 在点 x 处可导,
Q y = f (u) 在相应点 u 处可导,
uuufuuufy)()o()(
( 当?u? 0, 0 )
以?x 除上式,得
x
u
x
uuf
x
y
)(
证 给 x 以增量?x,相应地 u =? (x) 有增量?u,
对于?u,y = f (u) 有增量?y.
对上式两边取?x? 0 的极限,
由 u =? (x) 在点 x 处可导,得
)()(l iml iml im)(l im
0000
xufxuxuufxy
xxxx
即 )())(()()()))((( xxfxufxf
或
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d?
例如,
，，,)()(,))](([ xhvvuuyxhfy
则在各函数可导且 f [? (h(x))] 在 U(x) 有定义 时,
)()()()))](([ ( xhvufxhfy
或 xvvuuyxy dddddddd?
)())(())](([ xhxhxhf
该定理可推广到任意有限次复合的情形,
有
)()( s i n)( s i n axuaxy u
au c o s
解
.,s i n yaxy 求
Q axuuy,s i n
axa c o s?
)( s in axy
一般按,由外向里层层求导” 法求导
c o s ax? )( ax c o s axa?
例 18
)( 5 xey解
.,5 yey x 求
)5(5 xe x
xe 55
例 19
)0(,1)||ln( xxx证明：
证
0,)l n (
0,ln
||ln
xx
xx
xy
xxxx
1)( l n) ||ln (,0 时当
xxxxxx
1)(1))( l n () ||ln (,0
时当综上所述,,)0(,1)||ln( xxx
例 20
.,)l n ( 22 yaxxy 求
)( l n ( 22 axxy
)1(
1
2222 ax
x
axx?
)(1 22
22
axx
axx
22
1
ax
解
1) )l n ((
22
22
ax
axx
例 21
.,2 2s in yy x 求
2s i n2 xy
)( s in2ln2 2s i n 2 xx
)(c o s2ln2 22s i n 2 xxx
xxx 2c o s2ln2 2s i n 2
解 )0 ( ln)( aaaa xx
例 22
',1a r c ta n yxy 求?
1
a r c t a n )(
x
y
.1 1 2x
)1(
1 22
2
xx
x
) (
) (
1
1
1
1
2
x
x
解例 23
.,2c o t yxy 求
)(
2
)
2
c s c(
2
c o t2
1
)
2
( c o t
2
c o t2
1 2?
xx
x
x
x
y
2
1
)
2
c s c(
2
c o t2
1 2
x
x
2t a n2c s c4
1 2 xx
解例 24
.,1 ||,1ln 2 yxxy 求设按复合函数求导法则
) 1ln ( 2 xy
) 1|| ( 12 xx x
1
2
2
1
2 x
x
)( )1( ln21 2 x
解注意利用函数的性质例 25
.,)1,1(,11lnc o s 2 yxxxy
求设
xxxxy 11lnc o s11lnc o s2
xxxxxx 11ln11lns i n11lnc o s2
))'1ln ()1( ln (
1
1ln2s in xx
x
x
解例 26
xxx
x
1
1
1
1
1
1ln2s in
x
x
x 1
1ln2s in
1
2
2
并不难设 y = f (x) 可导,则
))(( s in xf )()(c o s xfxf
))( s in( xf xxf c o s)( s i n
))(( l n xf
)(
)(
xf
xf? )0)((?xf
))( l n( xf
x
xf 1)(l n
)( )( xfe )()( xfe xf
))(( xef xx eef )(
例 27
证明：在 (–a,a)内可导的奇函数的导数是偶函数；
偶函数的导数是奇函数。
设 f (x) 为 (– a,a) 内的偶函数,则 f (?x) = f (x).
)()()())(( xfxxfxfQ
)()( xfxf
即偶函数的导数是奇函数,
同理可证,奇函数的导数是偶函数,
证
)()( xfxf
例 28
))(()( xfxf而五,隐函数的求导法则
F ( x,f (x) )? 0
对上式两边关于 x 求导：
0),(dd?yxFx
然后,从这个式子中解出 y?,就得到隐函数的导数,
方法：
则将 y = f (x) 代入方程中,得到如果由方程 F(x,y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,
求由方程 0),( yx eexyyxF ( x? 0 )
所确定的隐函数的导数 y?,并求,
0 xy
方程两边关于 x 求导：
0 yeeyxy yx
故 xe yey y
x
由原方程可得,F(0,y) = 0?y? e0 + ey = 0
从而
00xy
解例 29
1
0
0
x
y
x
x xe
yey故求椭圆,),( 1 002
2
2
2
处的切线方程在点 yxbyax
对方程两边关于 x 求导 得,
022 22 b yya x
ya
xby
2
2
故所求切线的方程为,)( 0
0
2
0
2
0 xxya
xbyy
解整理后,切线方程为：
12020 b yya xx
例 30
选择一个适当的参数 t 后,
)(
)(
tyy
txx I?t
的形式,此式称为函数 y = f (x) 的参数方程,
y = f (x) 可表示为
1,参数方程的概念六,参数方程求导法则参数方程求导法则：
设
)(
)(
tyy
txx I?t
tx
ty
x
y
)(
d
d
则且存在若,0)(,)(
dt
d ),(
dt
d txtxxtyy
t
x
t
y
d
d
d
d
利用反函数求导法则可证明该法则由微分形式不变性更是一目了然
,
2
,
s i n
c o s
时的切线方程在求椭圆
t
tby
tax
椭圆上任意一点 x处的切线的斜率为
tabta tbta tbxyk c o ts inc o s)c o s( )s in(dd
02c o t
2
abk t故
,02c o s0ax
bby 2s in0?
从而,所求切线方程为,y = b,
解
)( 00 xxkyy
例 30
又的星形线 323232 ayx
])
2
,0[(
s i n
c o s
3
3?
t
tay
tax
.dd xy求 O x
y
t
aa?
参数方程为星形线是一种圆内摆线例 32
4dd?
小大
)c o s(
)s i n(
d
d
3
3
ta
ta
x
y
tta
tta
s inc o s3
c o ss in3
2
2
ttan ),2( Znnt?
解然后,对方程两边关于 x 求导：
))(( ln xf
y
y
方法,在条件允许的情况下,对 y = f (x) 两边同时取对数：
)(lnln xfy?
|)(|ln||ln xfy?或
))(( l n xfyy
注意,y 是 x
的函数,
七,取对数求导法或
)|)(|( ln xf
y
y )|)(|( l n xfyy
取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数,
,s in 的导数求 xxy?
运用取对数求导法
xxxy x lns inlnln s i n
两边关于 x 求导：
x
xxx
y
y s inlnc o s
故 )s i nlnc os(s i n x xxxxy x
解例 33
.,co ss i n1 1 2323 2 yxxx xxy 求设运用取对数求导法两边关于 x 求导：
xxxxxy c o sln2s inln3)1ln ()1ln (ln32ln 2
解
xy
y 1
3
2
x?
1
1
21
2
x
x
x
x
s i n
co s3?
x
x
c o s
s i n2
例 34
xx
x
xxy 23
2
3 2 c o ss in
1
1
t a n2c o t3
1
2
1
1
3
2
2 xxx
x
xx
整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！
.,
)1)(81)(51(
)1)(21)(1(
3 4
2
y
xxx
xxxy?
求设运用取对数求导法
)1l n ()21l n ()1l n ( {31ln 2xxxy
4
3
2 1
4
81
8
51
5
1
2
21
2
1
1
3
1
x
x
xxx
x
xxy
y
解
} )1l n ()81l n ()51l n ( 4xxx
例 35
y
3
4
2
)1)(81)(51(
)1)(21)(1(
3
1
xxx
xxx
4
3
2 1
4
81
8
51
5
1
2
21
2
1
1
x
x
xxx
x
xx
故基本初等函数的导数导数的四则运算法则反函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法参数方程求导法取对数求导法求导方法小结按定义求导
