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数字通信原理
（ 3）
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第五章 脉冲编码调制
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5.1 基本概念
1,调制：对信号作某种变换；
2,脉冲编码调制（ PCM）,将模拟信号抽样、量化后，
用数字脉冲的某种组合来表示的一种变换方式。
3,PCM 信号的是一种数字信号。
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5.2 低通与带通抽样定理
1,低通抽样定理信号,f(t)； 抽样后信号,f(nTs)
信号频谱,F(w); 抽样后信号频谱,Fs(w)
Fs(w)=(1/Ts)∑ n F(w - nws)
若信号最高频率 wH,抽样频率 ws > = 2wH，
则用截止频率 wH的为低通滤波器可无失真地恢复 f(t)。
注：利用低通抽样定理可从时间离散的模拟信号中无失真地恢复原信号。
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5.2 低通与带通抽样定理
2,带通抽样定理设带通信号,fB(t)； 频率范围,fL～ fH；
带宽,B ＝ fH－ fL
若抽样频率满足,fS = 2B(1+M/N),其中
N为小于等于 fH/B的最大正整数,M = fH/B – N,则用带通滤波器可无失真地恢复 fB(t)。
（显然，利用低通抽样定理也可恢复带通信号，此时要求,fS > = 2fH）
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明带通信号经抽样后,fS(t) = fB(t)∑ n?（ t－ nTs）
抽样信号 频谱：
FS(w)= FB(w)*?T（ w）＝ (1/TS)∑ n FB(w - nws)
要无失真地恢复 fB(t),要求各 FB(w - nws)成分在频谱上无混叠 。
一般地，有 fH ＝ NB＋ MB,其中 N为整数,0< = M < 1。
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明（接上页）
如图，要使混叠不发生，应满足：
NfS >＝ 2fH = 2(NB＋ MB) （ 1）
且 (N-1)fS + B < 2fH－ B （ 2）
f
H
Nf
S
( N - 1 ) f
S
0
B
B
f
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明（接上页）
如取满足（ 1）式的最小值，即
fS = 2fH/N = 2(B + MB/N),则
(N-1)fS = 2fH – fS
因为 fS >= 2B,所以 (N-1)fS < = 2fH - 2B
从而有 (N-1)fS＋ B < 2fH – B,即满足（ 2）式。
即当取 fS = 2(1 + M/N)B 时，抽样信号频谱不会发生混叠，因而原信号可用带通滤波器无失真地恢复。
证毕。
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5.3 实际抽样方法 （抽样脉冲序列为非理想冲激响应序列）
1,自然抽样抽样脉冲序列,c(t)= ∑ n p(t - nTs),
其中,p(t)为任意形状的脉冲。
抽样信号,fS(t) = f(t)∑ n p(t - nTs)
因为 c(t),是周期性信号，所以有 c(t)＝ ∑ n Cn exp(jnwst)
fS(t) = ∑ n f(t)Cn exp(jnwst)
相应地,FS(w) = ∑ n CnF(w-nws)
随着 n取值的变化,Cn相应地会发生变化，但频谱的形状不会发生变化，因此只要不发生混叠，即可无失真地恢复。
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 （一种电路上易于实现的方法）
电路实现：采样? 保持；
分析方法：理想抽样? 矩形脉冲形成
f(t) fSf(t)
t
f ( t )
0
T
S
H ( w )
矩形脉冲产生理想抽样
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 (接上页）
理想抽样信号：
fS(t) = f(t)?T（ t） = ∑ n f(nTs)?(t - nTs)
平顶抽样信号：
fsf(t) = fS(t)*h(t) = ∑ n f(nTs)h(t - nTs)
平顶抽样信号的频谱：
FSf(w) = FS(w)H(w) = (1/TS)∑ n F(w-nwS)H(w)
其中：
，其它0
,)(?tAth
2
)2()(
w
wS inAwH?
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 (接上页）
由于 H(w)对抽样信号频谱加权造成的失真称为,孔径失真,
孔径失真的校正：接收信号输出端用滤波器作补偿。
)2(
2
)(
1)(
wS in
w
wHwH
C
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5.4 标量量化与矢量量化量化：将一连续的无限数集映射成离散的有限数集的过程。
1,标量量化如图所示：
量化器特性,
Yk = Q( Xk < X ＝ < Xk+1)
其中，分层电平 (判决电平 ),Xk
量化电平,Yk
量化间隔,?k＝ Xk＋ 1 － Xk
Y kY k - 1 Y k + 1 Y k + 2
X
X k - 1 X k X k + 1 X k + 2
k
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5.4 标量量化与矢量量化量化误差（噪声）
q = X - Yk = X - Q(X),Xk < X ＝ < Xk+1
量化误差的常用度量方式－－量化均方误差根据量化间隔特性式中：
为输入信号幅度取值分布的概率密度函数；
L 为量化电平数。
dxxpXQXXQXE X )()(})({ 222q?
Lk XX Xkk
k
dxxpYX1 22q 1 )(?
)(xpX
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5.4 标量量化与矢量量化
2.矢量量化 （自行学习）
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器已知
PX(x)及量化电平数 L,和分层电平上下限 X1,XL＋ 1
求：
分层电平,X2,X3,X4，。。。,XL
量化电平,Y1,Y2,Y3，。。。,YL
使量化均方误差值达到最小。
由,取最小值的必要条件：
（ 1）
解得,(*1)
Lk XX Xkk
k
dxxpYX1 22q 1 )(?
Lk
k
,.,.,4,3,20X
2
q
LkYYX kkk,.,,,4,3,221 1
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器
（ 2）由解得：
(*2)
综上,Xk应取在 Yk,Yk+1间的中点；
Yk应取在 Xk,Xk＋ 1的质心上。
因为（ *1）和 （ *2） 两式互为条件，一般只能通过叠代法求解。
Lk
k
,.,.,4,3,20Y
2
q
1
1
)(
)(
k
k
k
k
X
X X
X
X X
k
dXXp
dXXXp
Y
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器叠代法求解步骤,
（ 1） X1为已知，选某一 Y1值为初始估计值，由 (*2)求 X2；
（ 2） 由 (*1),根据 X2,Y1求 Y2；
（ 3） 又由 (*2)，根据 X2,Y2求 X3；
重复上述步骤，可求出 {X1,X2,…,XL}及 {Y1,Y2,…,YL}
因为 XL+1为已知，可利用该值及 (*2)效验所得的 YL’与前面求得的 YL是否一致（误差小于某一预先设定的值）：
若是，前面的 {Xi},{Yj}即为所求；
若否，说明 Y1选择不合理，重选 Y1值重新进行叠代，直至满足要求。
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器当 L >> 1 时的简化叠代运算公式当量化电平数足够大时,(*2)的积分运算可作简化：
同理，量化噪声功率的计算也可简化为：
2)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
kk
X
XX
X
XX
X
X X
X
X X
k
XX
dXXp
X d XXp
dXXp
dXXXp
Y
k
k
K
k
k
k
K
k
Lk kkkXLk XX Xk XXYpdXXpYXk
k 1
3
1
1
22
q 12)()(
1?
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器
过载噪声若量化器输入的动态范围为：－ V < X < V。 当 X < － V 或
X > V 时，分别作 X＝－ V 和 X ＝ V 处理，定义过载噪声为：
总的量化噪声
V XV X dXXpVXdXXpVX )()( 222q0?
2q02q2qs
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5.6 均匀量化特点：量化间隔相等；
应用：除电信系统话音信号量化外的绝大多数场合；
1.量化间隔设量化范围为：－ V ～ ＋ V
量化间隔为常数：
2.均匀量化的量化噪声当信号不过载且 L 较大时，有
L
V
L
VV
k
2)(
L
k kX
L
k kX
L
k
kk
kX YpYp
XXYp
1
2
1
3
1
3
12
q )(12)(12
1
12)( ＝＝?
1)(1Lk kX Yp
2
22
2
q 312 L
V＝
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5.6 均匀量化
3.均匀量化的量化信噪比量化信噪比定义为信号 平均 功率与量化噪声 平均 功率之比。
(1)正弦信号的量化信噪比信号平均功率（ 非随机信号，时间平均等于统计平均 ）：
量化信噪比：
信号不过载时 (取 Am＝ V)的最大量化信噪比：
T mmT m AdtftC o sTAdtftS inATS 0 220 2 22 )4(1)2(1
2
22
22
2
2 2
3
3
2
V
LA
LV
ASS N R mm
q
2
2
3 LSNR?
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5.6 均匀量化若取,( n为相应的二进制位数 )
记,(用 V对正弦波有效值作归一化 )
则：
对信噪比用 dB值表示：
若取 Am＝ V,则 得：
每增加一位编码,SNR提高 6dB。（ 参见 P119,图 5－ 15）
nL 2?
VAD m 2?
223 nDS N R?
nndB DDS N R 2lg20lg203lg1023lg10 2
nD 02.6lg2077.4
21?D
nS N R dB 02.676.1m ax
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5.6 均匀量化
(2)语音信号语音信号的幅度取值分布特性：
信号功率 (一般随机信号的平均功率计算方法 )：
量化噪声 (均匀量化 )：
过载噪声 (从分布特性来看，过载噪声必须考虑。利用对称性可得 )：
X
X
X
eXp
2
2
1)(
22 )( XdXXpXS?
2
22
2
q 312 L
V＝
V
V
Xq
XedXXpVX
2
222
0 )(2
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5.6 均匀量化
(2)语音信号（接上页）
量化信噪比,
其中：
当 D < 0.2 时，过载噪声很小，信噪比：
当过载噪声起主要作用时，信噪比：
12
222
0
2 3
1
X
V
qq
eLDSS N R
VD X
nDLDS N R dB 02.6lg2077.43 1lg10 22 －
DeS N R
X
V
dB
1.6lg10 2－
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5.6 最佳非均匀量化
均匀量化的特点：
(1)简单；
(2)最大量化误差 ；
当信号电平下降时，信噪比随之降低。
非均匀量化器：量化间隔随输入信号幅度的改变而改变。
最佳非均匀量化器：使量化误差达到最小的量化器称之。
最佳非均匀量化器量化间隔的变化与信号幅度取值的分布特性有关。
当信号幅度的取值服从均匀分布时，均匀量化器为最佳量化器
（特例）。
2?
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5.6 非均匀量化
最佳语音信号量化器因,方差失配,的影响很大，健壮性不佳而未获得应用。
方差失配,对某一特定的信号，相应有一信号方差 。据此可获得最佳的信号变化特性（参见式 5－ 49）。当输入信号的方差变化时，信噪比会降低，这种现象称为方差失配。
X?
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5.7 对数量化及其折线近似
对数量化,对小信号予以放大，对大信号进行,压缩,,然后作均匀量化，使量化信噪比在信号的整个动态范围内保持不变。
编码：
解码：
f(x) 均匀量化 编码解码 f－ 1(x)
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5.7 对数量化及其折线近似设信号变化范围,－ V < X < V;
信号变换特性,Y = f(X);
量化间隔数,L；
当 L >> 1 时,有,得得：
（ *）
)(' XfdXdYXY )(' Xf YX
dXXf
XpdXXp
Xf
Y V
V
XV
V X
2'
22
'
2
q )(
)(
12)()(12
1?
dXXpXpYp V V XXLk XkXLk kX X )(121)(121)(121 21 31 32q?
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5.7 对数量化及其折线近似若取 f(X)=(1/B)ln(X),B为常数，则：
f’(X)＝ 1/(BX),代入（ *）式，得
,S为信号功率。
得：
,SNR为常数 。
由于 X -> 0 时,f(X)=(1/B)ln(X) ->?,物理上难以实现所以，一般采用修正的对数,压缩,特性：
欧洲、中国 －－－ A 律 变换特性；
北美、日本 －－－? 律 变换特性；
SBdXXpXB V V X 12)(12
22
2
22
2
q
22
2
22222
312
12 VB
L
BSB
SSS N R
q
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 1） A律对数压缩特性当 0 <= X < 1/A,f(X)=AX/(1+lnA),直线；
当 1/A <= X <= 1,f(X)=[1+ln(AX)]/(1+lnA),对数曲线；
A取不同值时，曲线的变化规律如下图（ 5－ 20）所示。
对 A律特性，
取 A＝ 87.56
X
f ( X )
A=1
A=2
A=87.56
0
1
1
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 1） A律对数压缩特性 (续前 )
归一化（ Xmax/V = 1） 的量化噪声功率值：
与信号的分布特性有关。
在小信号段，（归一化信号值满足,X < = 1/A )
Y = f(X) = [87.6/( 1 + ln(87.6))]X
YdB ＝ 20lg{[87.6/( 1 + ln(87.6))]X}
= 24 + 20lg(X) （ dB）
A律变换对小信号有 24dB的增益 。
dXXpXdX
A
Xp
L
AdX
Xf
Xp
L A X
A XX 1
/1
2/1
0 22
21
0 2'2
2
q )(
)(
3
ln12
)(
)(
3
2?
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 2）?律对数压缩特性
Y = f(X) = [ln（ 1＋?X） /( 1 + ln(?))]
律对数压缩特性与 A律变换有近似相同的特性。
在小信号段,?律变换对小信号有 33.5dB的增益 。
A律变换一般用于 PCM32基群（ E1） 系统；
律变换一般用于 PCM24基群（ T1） 系统；
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似将 A律变换特性近似地用 13段折线 (包括 X负半轴 )表示：
其中 X取值
0～ 1/128与
1/128～ 1/64
段斜率相同，
连成一段。
X
f( X)
0
1
11/ 21/ 41/ 8
1/ 8
2/ 8
3/ 8
4/ 8
5/ 8
6/ 8
7/ 8
1
2
3
4
5
6
7
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
a） A律 PCM编码规则,采用 8位编码 M1M2M3M4M5M6M7M8，
M1 M2M3M4 M5M6M7M8
极性码,段落码,电平码：
0：负极性信号； 表示信号处于那 表示段内 16级均匀
1：正极性信号。 一段折线上。 量化电平值。
b） 最小量化间距
7位均匀量化,?’ min ＝? ＝ 1/27 ＝ 1/127;
13折线法,?min ＝ (1/27)(1/24) = 1/2048;
’ min /?min = 24 = 16（ dB）,对小信号,SNR改善 24dB。
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
13折线法的有关参数：
段落号,
1（ 000） 1（ 001） 2（ 010） 3（ 011） 4（ 100） 5（ 101） 6（ 110） 7（ 111）
（ X） 0 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21
～ 1/27 ～ 1/26 ～ 1/25 ～ 1/24 ～ 1/23 ～ 1/22 ～ 1/21 ～ 1
量化台阶,
2 2 4 8 16 32 64 128
起始电平,
0 32 64 128 256 512 1024 2048
终止电平,
32 64 128 256 512 1024 2048 4096
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
例：设输入信号幅度,X＝ 1250*(?min/2)
信号值为正,符号为取,1
因为 1024 < X < 2048,处于第 6段：段落号,110
量化台阶,?＝ 64
因为 （ 1250－ 1024） / 64 = 3.53
取整后得,3，对应段内电平码,0011
编码后输出 为,1 110 0011
解码后输出 值,Y＝＋（ 1024 ＋ 3*64） + 64/2 =1248
实际 量化误差,X－ Y = 1250 － 1248 ＝ 2
注,64/2 为第 6段内量化阶距的二分之一。
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5.8 对数 PCM与线 PCM之间的变换
实现变换的必要性对数 PCM不能直接进行算术运算，当需作信号处理时（如语音信号压缩），
要求作对数 PCM到线性 PCM间的变换。
线性 PCM采用 折叠二进制码 （ FBC,特性参见 P130） 表示：
信号为正值时：符号为,1” ；
信号为负值时：符号为,0” 。
变换方法
（ 1）直接计算 对数 PCM -> Y -> 线性 PCM；
线性 PCM -> Y -> 对数 PCM。
因为对数 PCM最大值共有 4096个单位，采用线性 PCM表示时，连符号位共需 13位。
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5.8 对数 PCM与线 PCM之间的变换
变换方法 (续前 )
（ 2）查表换算 设 X > 0时,?＝ 1； X < 0时,?＝ 0；,*” 表示任意 0或
1
根据线性 PCM与对数 PCM间的关系，可列表如下：
信号取值范围 线性 PCM 对数 PCM
当 1X1 < 32时,?0000000WXYZ1?000WXYZ
当 32 <= 1X1 < 64时,?0000001WXYZ1?001WXYZ
当 64 <= 1X1 < 128时,?000001WXYZ1*?010WXYZ
当 128 <= 1X1 < 256时,?00001WXYZ1**?011WXYZ
当 256 <= 1X1 < 512时,?0001WXYZ1***?100WXYZ
当 512 <= 1X1 < 1024时,?001WXYZ1****?101WXYZ
当 1024 <= 1X1 < 2048时,?01WXYZ1*****?110WXYZ
当 2048 <= 1X1 <＝ 4096时,?1WXYZ1******?111WXYZ
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5.9 信道误码对信噪比的影响
量化误差和误码的影响设量化误差为,eq,其概率密度函数,p(eq)；
误码造成的误差,et,其概率密度函数,p(et)；
由 eq和 et的统计独立性，并利用 eq和 et均值为零的特点，可得即量化误差与 误码造成的误差对噪声功率的影响可分别计算 。
（ 1） 均匀量化噪声功率
2222n )( tqtqtqtq dedeeepee＋－ ＋
12
2
2
q
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5.9 信道误码对信噪比的影响
量化误差和误码的影响（续前）
（ 2） 误码噪声功率设误码的影响使量化电平由 Yi变为 Yj,则若一个码组中两位及两位以上的误码可以忽略，则假定采用二进制码组，则码组长 n=log2L,上式变为
iijLi Lj jijiLi Lj jit yPyypyyyypyyeE 1 1 21 1 222t?
eij Pyyp?
iLi Lj eji ypPyy 1 l o g1 22t 2?
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5.9 信道误码对信噪比的影响对自然二进码（ NBC）,设输入信号均匀分布，则量化电平等概当第 k位发生误码：
0 -> 1,yi – yj = -2k-1?
1 -> 0,yi – yj = 2k-1?
从而信号功率：
L keLi L ekLi L eki PPLPyp 222 l o g 1k 121 l o g 1k 211 l o g 1k 212t 4412?
3
1
41
41 2212
LPP
e
k
e
－
32
1)( 222 VdX
VXdXXpXS
V
V
V
V X
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5.9 信道误码对信噪比的影响由均匀分布时量化噪声功率的分析，得：
从而信噪比
2
22
2
q 312 L
V＝
4
22
2 LV?＝
12
L 22S
3
1
12
2
2
2
222
n
LP
etq
en PLLSS N R 141 2
2
2
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5.9 信道误码对信噪比的影响特殊情况：
当 Pe很小时，量化噪声起主要作用，
L 增大 -> SNR增大；
当 Pe很大时，误码引起的噪声起主要作用，
SNR? 1/Pe
数字通信原理
（ 3）
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第五章 脉冲编码调制
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5.1 基本概念
1,调制：对信号作某种变换；
2,脉冲编码调制（ PCM）,将模拟信号抽样、量化后，
用数字脉冲的某种组合来表示的一种变换方式。
3,PCM 信号的是一种数字信号。
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5.2 低通与带通抽样定理
1,低通抽样定理信号,f(t)； 抽样后信号,f(nTs)
信号频谱,F(w); 抽样后信号频谱,Fs(w)
Fs(w)=(1/Ts)∑ n F(w - nws)
若信号最高频率 wH,抽样频率 ws > = 2wH，
则用截止频率 wH的为低通滤波器可无失真地恢复 f(t)。
注：利用低通抽样定理可从时间离散的模拟信号中无失真地恢复原信号。
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5.2 低通与带通抽样定理
2,带通抽样定理设带通信号,fB(t)； 频率范围,fL～ fH；
带宽,B ＝ fH－ fL
若抽样频率满足,fS = 2B(1+M/N),其中
N为小于等于 fH/B的最大正整数,M = fH/B – N,则用带通滤波器可无失真地恢复 fB(t)。
（显然，利用低通抽样定理也可恢复带通信号，此时要求,fS > = 2fH）
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明带通信号经抽样后,fS(t) = fB(t)∑ n?（ t－ nTs）
抽样信号 频谱：
FS(w)= FB(w)*?T（ w）＝ (1/TS)∑ n FB(w - nws)
要无失真地恢复 fB(t),要求各 FB(w - nws)成分在频谱上无混叠 。
一般地，有 fH ＝ NB＋ MB,其中 N为整数,0< = M < 1。
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明（接上页）
如图，要使混叠不发生，应满足：
NfS >＝ 2fH = 2(NB＋ MB) （ 1）
且 (N-1)fS + B < 2fH－ B （ 2）
f
H
Nf
S
( N - 1 ) f
S
0
B
B
f
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5.2 低通与带通抽样定理
3,带通抽样定理的证明（接上页）
如取满足（ 1）式的最小值，即
fS = 2fH/N = 2(B + MB/N),则
(N-1)fS = 2fH – fS
因为 fS >= 2B,所以 (N-1)fS < = 2fH - 2B
从而有 (N-1)fS＋ B < 2fH – B,即满足（ 2）式。
即当取 fS = 2(1 + M/N)B 时，抽样信号频谱不会发生混叠，因而原信号可用带通滤波器无失真地恢复。
证毕。
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5.3 实际抽样方法 （抽样脉冲序列为非理想冲激响应序列）
1,自然抽样抽样脉冲序列,c(t)= ∑ n p(t - nTs),
其中,p(t)为任意形状的脉冲。
抽样信号,fS(t) = f(t)∑ n p(t - nTs)
因为 c(t),是周期性信号，所以有 c(t)＝ ∑ n Cn exp(jnwst)
fS(t) = ∑ n f(t)Cn exp(jnwst)
相应地,FS(w) = ∑ n CnF(w-nws)
随着 n取值的变化,Cn相应地会发生变化，但频谱的形状不会发生变化，因此只要不发生混叠，即可无失真地恢复。
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 （一种电路上易于实现的方法）
电路实现：采样? 保持；
分析方法：理想抽样? 矩形脉冲形成
f(t) fSf(t)
t
f ( t )
0
T
S
H ( w )
矩形脉冲产生理想抽样
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 (接上页）
理想抽样信号：
fS(t) = f(t)?T（ t） = ∑ n f(nTs)?(t - nTs)
平顶抽样信号：
fsf(t) = fS(t)*h(t) = ∑ n f(nTs)h(t - nTs)
平顶抽样信号的频谱：
FSf(w) = FS(w)H(w) = (1/TS)∑ n F(w-nwS)H(w)
其中：
，其它0
,)(?tAth
2
)2()(
w
wS inAwH?
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5.3 实际抽样方法
2.平顶抽样 (接上页）
由于 H(w)对抽样信号频谱加权造成的失真称为,孔径失真,
孔径失真的校正：接收信号输出端用滤波器作补偿。
)2(
2
)(
1)(
wS in
w
wHwH
C
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5.4 标量量化与矢量量化量化：将一连续的无限数集映射成离散的有限数集的过程。
1,标量量化如图所示：
量化器特性,
Yk = Q( Xk < X ＝ < Xk+1)
其中，分层电平 (判决电平 ),Xk
量化电平,Yk
量化间隔,?k＝ Xk＋ 1 － Xk
Y kY k - 1 Y k + 1 Y k + 2
X
X k - 1 X k X k + 1 X k + 2
k
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5.4 标量量化与矢量量化量化误差（噪声）
q = X - Yk = X - Q(X),Xk < X ＝ < Xk+1
量化误差的常用度量方式－－量化均方误差根据量化间隔特性式中：
为输入信号幅度取值分布的概率密度函数；
L 为量化电平数。
dxxpXQXXQXE X )()(})({ 222q?
Lk XX Xkk
k
dxxpYX1 22q 1 )(?
)(xpX
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5.4 标量量化与矢量量化
2.矢量量化 （自行学习）
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器已知
PX(x)及量化电平数 L,和分层电平上下限 X1,XL＋ 1
求：
分层电平,X2,X3,X4，。。。,XL
量化电平,Y1,Y2,Y3，。。。,YL
使量化均方误差值达到最小。
由,取最小值的必要条件：
（ 1）
解得,(*1)
Lk XX Xkk
k
dxxpYX1 22q 1 )(?
Lk
k
,.,.,4,3,20X
2
q
LkYYX kkk,.,,,4,3,221 1
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器
（ 2）由解得：
(*2)
综上,Xk应取在 Yk,Yk+1间的中点；
Yk应取在 Xk,Xk＋ 1的质心上。
因为（ *1）和 （ *2） 两式互为条件，一般只能通过叠代法求解。
Lk
k
,.,.,4,3,20Y
2
q
1
1
)(
)(
k
k
k
k
X
X X
X
X X
k
dXXp
dXXXp
Y
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器叠代法求解步骤,
（ 1） X1为已知，选某一 Y1值为初始估计值，由 (*2)求 X2；
（ 2） 由 (*1),根据 X2,Y1求 Y2；
（ 3） 又由 (*2)，根据 X2,Y2求 X3；
重复上述步骤，可求出 {X1,X2,…,XL}及 {Y1,Y2,…,YL}
因为 XL+1为已知，可利用该值及 (*2)效验所得的 YL’与前面求得的 YL是否一致（误差小于某一预先设定的值）：
若是，前面的 {Xi},{Yj}即为所求；
若否，说明 Y1选择不合理，重选 Y1值重新进行叠代，直至满足要求。
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器当 L >> 1 时的简化叠代运算公式当量化电平数足够大时,(*2)的积分运算可作简化：
同理，量化噪声功率的计算也可简化为：
2)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
kk
X
XX
X
XX
X
X X
X
X X
k
XX
dXXp
X d XXp
dXXp
dXXXp
Y
k
k
K
k
k
k
K
k
Lk kkkXLk XX Xk XXYpdXXpYXk
k 1
3
1
1
22
q 12)()(
1?
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5.5 最佳量化器－－均方误差最小的量化器
过载噪声若量化器输入的动态范围为：－ V < X < V。 当 X < － V 或
X > V 时，分别作 X＝－ V 和 X ＝ V 处理，定义过载噪声为：
总的量化噪声
V XV X dXXpVXdXXpVX )()( 222q0?
2q02q2qs
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5.6 均匀量化特点：量化间隔相等；
应用：除电信系统话音信号量化外的绝大多数场合；
1.量化间隔设量化范围为：－ V ～ ＋ V
量化间隔为常数：
2.均匀量化的量化噪声当信号不过载且 L 较大时，有
L
V
L
VV
k
2)(
L
k kX
L
k kX
L
k
kk
kX YpYp
XXYp
1
2
1
3
1
3
12
q )(12)(12
1
12)( ＝＝?
1)(1Lk kX Yp
2
22
2
q 312 L
V＝
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5.6 均匀量化
3.均匀量化的量化信噪比量化信噪比定义为信号 平均 功率与量化噪声 平均 功率之比。
(1)正弦信号的量化信噪比信号平均功率（ 非随机信号，时间平均等于统计平均 ）：
量化信噪比：
信号不过载时 (取 Am＝ V)的最大量化信噪比：
T mmT m AdtftC o sTAdtftS inATS 0 220 2 22 )4(1)2(1
2
22
22
2
2 2
3
3
2
V
LA
LV
ASS N R mm
q
2
2
3 LSNR?
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5.6 均匀量化若取,( n为相应的二进制位数 )
记,(用 V对正弦波有效值作归一化 )
则：
对信噪比用 dB值表示：
若取 Am＝ V,则 得：
每增加一位编码,SNR提高 6dB。（ 参见 P119,图 5－ 15）
nL 2?
VAD m 2?
223 nDS N R?
nndB DDS N R 2lg20lg203lg1023lg10 2
nD 02.6lg2077.4
21?D
nS N R dB 02.676.1m ax
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5.6 均匀量化
(2)语音信号语音信号的幅度取值分布特性：
信号功率 (一般随机信号的平均功率计算方法 )：
量化噪声 (均匀量化 )：
过载噪声 (从分布特性来看，过载噪声必须考虑。利用对称性可得 )：
X
X
X
eXp
2
2
1)(
22 )( XdXXpXS?
2
22
2
q 312 L
V＝
V
V
Xq
XedXXpVX
2
222
0 )(2
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5.6 均匀量化
(2)语音信号（接上页）
量化信噪比,
其中：
当 D < 0.2 时，过载噪声很小，信噪比：
当过载噪声起主要作用时，信噪比：
12
222
0
2 3
1
X
V
eLDSS N R
VD X
nDLDS N R dB 02.6lg2077.43 1lg10 22 －
DeS N R
X
V
dB
1.6lg10 2－
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5.6 最佳非均匀量化
均匀量化的特点：
(1)简单；
(2)最大量化误差 ；
当信号电平下降时，信噪比随之降低。
非均匀量化器：量化间隔随输入信号幅度的改变而改变。
最佳非均匀量化器：使量化误差达到最小的量化器称之。
最佳非均匀量化器量化间隔的变化与信号幅度取值的分布特性有关。
当信号幅度的取值服从均匀分布时，均匀量化器为最佳量化器
（特例）。
2?
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5.6 非均匀量化
最佳语音信号量化器因,方差失配,的影响很大，健壮性不佳而未获得应用。
方差失配,对某一特定的信号，相应有一信号方差 。据此可获得最佳的信号变化特性（参见式 5－ 49）。当输入信号的方差变化时，信噪比会降低，这种现象称为方差失配。
X?
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5.7 对数量化及其折线近似
对数量化,对小信号予以放大，对大信号进行,压缩,,然后作均匀量化，使量化信噪比在信号的整个动态范围内保持不变。
编码：
解码：
f(x) 均匀量化 编码解码 f－ 1(x)
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5.7 对数量化及其折线近似设信号变化范围,－ V < X < V;
信号变换特性,Y = f(X);
量化间隔数,L；
当 L >> 1 时,有,得得：
（ *）
)(' XfdXdYXY )(' Xf YX
dXXf
XpdXXp
Xf
Y V
V
XV
V X
2'
22
'
2
q )(
)(
12)()(12
1?
dXXpXpYp V V XXLk XkXLk kX X )(121)(121)(121 21 31 32q?
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5.7 对数量化及其折线近似若取 f(X)=(1/B)ln(X),B为常数，则：
f’(X)＝ 1/(BX),代入（ *）式，得
,S为信号功率。
得：
,SNR为常数 。
由于 X -> 0 时,f(X)=(1/B)ln(X) ->?,物理上难以实现所以，一般采用修正的对数,压缩,特性：
欧洲、中国 －－－ A 律 变换特性；
北美、日本 －－－? 律 变换特性；
SBdXXpXB V V X 12)(12
22
2
22
2
q
22
2
22222
312
12 VB
L
BSB
SSS N R
q
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 1） A律对数压缩特性当 0 <= X < 1/A,f(X)=AX/(1+lnA),直线；
当 1/A <= X <= 1,f(X)=[1+ln(AX)]/(1+lnA),对数曲线；
A取不同值时，曲线的变化规律如下图（ 5－ 20）所示。
对 A律特性，
取 A＝ 87.56
X
f ( X )
A=1
A=2
A=87.56
0
1
1
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 1） A律对数压缩特性 (续前 )
归一化（ Xmax/V = 1） 的量化噪声功率值：
与信号的分布特性有关。
在小信号段，（归一化信号值满足,X < = 1/A )
Y = f(X) = [87.6/( 1 + ln(87.6))]X
YdB ＝ 20lg{[87.6/( 1 + ln(87.6))]X}
= 24 + 20lg(X) （ dB）
A律变换对小信号有 24dB的增益 。
dXXpXdX
A
Xp
L
AdX
Xf
Xp
L A X
A XX 1
/1
2/1
0 22
21
0 2'2
2
q )(
)(
3
ln12
)(
)(
3
2?
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 2）?律对数压缩特性
Y = f(X) = [ln（ 1＋?X） /( 1 + ln(?))]
律对数压缩特性与 A律变换有近似相同的特性。
在小信号段,?律变换对小信号有 33.5dB的增益 。
A律变换一般用于 PCM32基群（ E1） 系统；
律变换一般用于 PCM24基群（ T1） 系统；
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似将 A律变换特性近似地用 13段折线 (包括 X负半轴 )表示：
其中 X取值
0～ 1/128与
1/128～ 1/64
段斜率相同，
连成一段。
X
f( X)
0
1
11/ 21/ 41/ 8
1/ 8
2/ 8
3/ 8
4/ 8
5/ 8
6/ 8
7/ 8
1
2
3
4
5
6
7
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
a） A律 PCM编码规则,采用 8位编码 M1M2M3M4M5M6M7M8，
M1 M2M3M4 M5M6M7M8
极性码,段落码,电平码：
0：负极性信号； 表示信号处于那 表示段内 16级均匀
1：正极性信号。 一段折线上。 量化电平值。
b） 最小量化间距
7位均匀量化,?’ min ＝? ＝ 1/27 ＝ 1/127;
13折线法,?min ＝ (1/27)(1/24) = 1/2048;
’ min /?min = 24 = 16（ dB）,对小信号,SNR改善 24dB。
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
13折线法的有关参数：
段落号,
1（ 000） 1（ 001） 2（ 010） 3（ 011） 4（ 100） 5（ 101） 6（ 110） 7（ 111）
（ X） 0 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21
～ 1/27 ～ 1/26 ～ 1/25 ～ 1/24 ～ 1/23 ～ 1/22 ～ 1/21 ～ 1
量化台阶,
2 2 4 8 16 32 64 128
起始电平,
0 32 64 128 256 512 1024 2048
终止电平,
32 64 128 256 512 1024 2048 4096
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5.7 对数量化及其折线近似
（ 3） A律对数压缩特性的十三折线法近似（续前）
例：设输入信号幅度,X＝ 1250*(?min/2)
信号值为正,符号为取,1
因为 1024 < X < 2048,处于第 6段：段落号,110
量化台阶,?＝ 64
因为 （ 1250－ 1024） / 64 = 3.53
取整后得,3，对应段内电平码,0011
编码后输出 为,1 110 0011
解码后输出 值,Y＝＋（ 1024 ＋ 3*64） + 64/2 =1248
实际 量化误差,X－ Y = 1250 － 1248 ＝ 2
注,64/2 为第 6段内量化阶距的二分之一。
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5.8 对数 PCM与线 PCM之间的变换
实现变换的必要性对数 PCM不能直接进行算术运算，当需作信号处理时（如语音信号压缩），
要求作对数 PCM到线性 PCM间的变换。
线性 PCM采用 折叠二进制码 （ FBC,特性参见 P130） 表示：
信号为正值时：符号为,1” ；
信号为负值时：符号为,0” 。
变换方法
（ 1）直接计算 对数 PCM -> Y -> 线性 PCM；
线性 PCM -> Y -> 对数 PCM。
因为对数 PCM最大值共有 4096个单位，采用线性 PCM表示时，连符号位共需 13位。
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5.8 对数 PCM与线 PCM之间的变换
变换方法 (续前 )
（ 2）查表换算 设 X > 0时,?＝ 1； X < 0时,?＝ 0；,*” 表示任意 0或
1
根据线性 PCM与对数 PCM间的关系，可列表如下：
信号取值范围 线性 PCM 对数 PCM
当 1X1 < 32时,?0000000WXYZ1?000WXYZ
当 32 <= 1X1 < 64时,?0000001WXYZ1?001WXYZ
当 64 <= 1X1 < 128时,?000001WXYZ1*?010WXYZ
当 128 <= 1X1 < 256时,?00001WXYZ1**?011WXYZ
当 256 <= 1X1 < 512时,?0001WXYZ1***?100WXYZ
当 512 <= 1X1 < 1024时,?001WXYZ1****?101WXYZ
当 1024 <= 1X1 < 2048时,?01WXYZ1*****?110WXYZ
当 2048 <= 1X1 <＝ 4096时,?1WXYZ1******?111WXYZ
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5.9 信道误码对信噪比的影响
量化误差和误码的影响设量化误差为,eq,其概率密度函数,p(eq)；
误码造成的误差,et,其概率密度函数,p(et)；
由 eq和 et的统计独立性，并利用 eq和 et均值为零的特点，可得即量化误差与 误码造成的误差对噪声功率的影响可分别计算 。
（ 1） 均匀量化噪声功率
2222n )( tqtqtqtq dedeeepee＋－ ＋
12
2
2
q
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5.9 信道误码对信噪比的影响
量化误差和误码的影响（续前）
（ 2） 误码噪声功率设误码的影响使量化电平由 Yi变为 Yj,则若一个码组中两位及两位以上的误码可以忽略，则假定采用二进制码组，则码组长 n=log2L,上式变为
iijLi Lj jijiLi Lj jit yPyypyyyypyyeE 1 1 21 1 222t?
eij Pyyp?
iLi Lj eji ypPyy 1 l o g1 22t 2?
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5.9 信道误码对信噪比的影响对自然二进码（ NBC）,设输入信号均匀分布，则量化电平等概当第 k位发生误码：
0 -> 1,yi – yj = -2k-1?
1 -> 0,yi – yj = 2k-1?
从而信号功率：
L keLi L ekLi L eki PPLPyp 222 l o g 1k 121 l o g 1k 211 l o g 1k 212t 4412?
3
1
41
41 2212
LPP
e
k
e
－
32
1)( 222 VdX
VXdXXpXS
V
V
V
V X
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5.9 信道误码对信噪比的影响由均匀分布时量化噪声功率的分析，得：
从而信噪比
2
22
2
q 312 L
V＝
4
22
2 LV?＝
12
L 22S
3
1
12
2
2
2
222
n
LP
etq
en PLLSS N R 141 2
2
2
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5.9 信道误码对信噪比的影响特殊情况：
当 Pe很小时，量化噪声起主要作用，
L 增大 -> SNR增大；
当 Pe很大时，误码引起的噪声起主要作用，
SNR? 1/Pe
