第一章 资金的时间价值理论一、基本概念
1.资金的时间价值
——指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，
即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息。
资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而变化，其变化的主要原因有：
（ 1）通货膨胀、资金贬值
（ 2）承担风险
（ 3）投资增值
通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，
我们在经济分析时就主要着眼于方案在 整个寿命期内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为现金流量 (Cash Flow)。
例如,有一个总公司面临两个投资方案 A,B，
寿命期都是 4年，初始投资也相同，均为 10000元。
实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表 1一 1。
如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢?
年末 A方案 B方案
0 -10000 -10000
1 +7000 +1000
2 +5000 +3000
3 +3000 +5000
4 +1000 +7000
表 1一
1
另有两个方案 C和 D,其他条件相同，仅现金流量不同。
3000 3000 3000
方案 D
3000 3000 3000
6000
1 2 3 4 5 6
方案 C
0
1 2 3 4 5 60
3000 3000
货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的 大小 有关，而且与发生的 时间 有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。
以下图为例，从现金流量的 绝对数 看，方案 E比方案 F好 ;但从货币的 时间价值 看，方案 F似乎有它的好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。
0 1 2 3 4
400
0 1 2 3 4
方案 F
方案 E
200 200 200
100200 200
300
300
400
2.现金流量图（ cash flow diagram)
——描述现金流量作为时间函数的图形，它 能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。
是资金时间价值计算中常用的工具。
大 小流 向时间点现金流量图的三大要素
300
400
时间
200 200 200
1 2 3 4
现金流入现金流出
0
说明,1,水平线是时间标度，时间的推移是 自左向右,
每一格代表一个时间单位（年、月、日）；
2,箭头表示现金流动的方向：
向上 ——现金的流入，
向下 ——现金的流出；
3,现金流量图与立脚点有关。
注意：
1,第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。
2,立脚点不同,画法刚好相反。
3,净现金流量 = 现金流入 － 现金流出
4,现金流量只计算 现金收支 (包括现钞、转帐支票等凭证 ),不计算项目内部的现金转移 (如折旧等 )。
3.利息 ——一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用,I”表示。
4.利率 ——利息递增的比率，用,i”表示 。
每单位时间增加的利息原金额（本金） × 100%利率 (i%)=
计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、
季度来计算，用,n” 表示。
广义的利息 信贷利息经营利润二,利息公式
（一） 利息的种类设,I——利息
P——本金
n ——计息期数
i——利率
F ——本利和单利复利
1,单利 ——每期均按原始本金计息（利不生利）
I = P · i · n
F=P（ 1+ i · n）
则有例题 1：假如以年利率 6%借入资金 1000元,共借 4年,其偿还的情况如下表年 年初欠款 年末应付利息 年末欠款 年末偿还
1 1000 1000 × 0.06=60 1060 0
2 1060 1000 × 0.06=60 1120 0
3 1120 1000 × 0.06=60 1180 0
4 1180 1000 × 0.06=60 1240 1240
2 复利 ——利滚利
F=P(1+i)n
I=F-P=P[(1+i)n-1]
公式的推导 如下,
年份 年初本金 P 当年利息 I 年末本利和 F
P(1+i)2
… … … …
P(1+i)n-1
P(1+i)n
1 P P·i P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i) ·i
n－ 1 P(1+i)n-2 P(1+i)n-2 ·i
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1 ·i
年 初欠 款年 末应 付 利 息年 末欠 款年 末偿 还
1
2
3
4
例题 2,假如以年利率 6%借入资金 1000元,共借 4
年,其偿还的情况如下表年
1000 1000 × 0.06=60 1060 0
1060 1060 × 0.06=63.60 1123.60 0
1123.60 1191.02 0
1191.02 1262.48 1262.48
1123.60 × 0.06=67.42
1191.02 × 0.06=71.46
（二）复利计息利息公式以后采用的符号如下
i ——利率；
n ——计息期数；
P ——现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值；
F —— 将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值；
A —— n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末实现。
G——等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或收入的差额。
1.一次支付复利公式
0 1 2 3 n –1 n
F=？
P (已知）
…
(1+i)n ——一次支付复利系数
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
例如在第一年年初，以年利率 6%投资 1000元，
则到第四年年末可得之本利和
F=P(1+i)n
=1000 (1+6%)4
=1262.50元例,某投资者购买了 1000元的债券，限期 3年，年利率 10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，则 3
年后该投资者可获得的利息是多少？
I=P[(1+i)n－ 1]=1000[(1+10%)3－ 1]=331 元解：
0 1 2 3 年
F=?
i=10%
1000
2.一次支付现值公式
),,/(
)1(
1
niFPF
i
FP
n
0 1 2 3 n –1 n
F (已知）
P =？
…
例如年利率为 6%，如在第四年年末得到的本利和为 1262.5元，则第一年年初的投资为多少？
1000
7921.05.1262
%61
1
5.1262
)1(
1
4
n
i
FP
3.等额支付系列复利公式
),,/(
1)1(
niAFA
i
i
AF
n
0 1 2 3 n –1 n
F =？
…
A (已知）
A1
累 计 本 利 和 （ 终 值 ）等额支付值年末
… …
2
3
A
A
n A
A
…
A+A(1+i)
A+A(1+i)+A(1+i)2
A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i) n-1]=F
0 1 2 3 n –1 n
F =？
…
A (已知）
即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i) n-1 (1)
以 (1+i)乘 (1)式,得
F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i) n-1 +A(1+i)n (2)
(2) － (1),得 F(1+i) –F= A(1+i)n – A
),,/(
1)1(
niAFA
i
i
AF
n
例如连续 5年每年年末借款 1000元，按年利率
6%计算，第 5 年年末积累的借款为多少？
解：
)(1.5 6 3 7
6 3 7 1.51 0 0 0
%6
1%61
1 0 0 0
),,/(
1)1(
5
元?
niAFA
i
i
AF
n
4.等额支付系列积累基金公式
),,/(
1)1(
niFAF
i
i
FA
n
0 1 2 3 n –1 n
F (已知）
…
A =？
5.等额支付系列资金恢复公式
),,/(
1)1(
)1(
niPAP
i
ii
PA
n
n
0 1 2 3 n –1 n
P(已知）
…
A =？
根据
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
F =A [ (1+i)
n － 1
i ]
),,/(
1)1(
)1(
niPAP
i
ii
PA
n
n
P(1+i)n =A [ (1+i)
n － 1
i ]
6.等额支付系列资金恢复公式
),,/(
)1(
1)1(
niAPA
ii
i
AP
n
n
0 1 2 3 n –1 n
P=？
…
A (已知）
7.均匀梯度系列公式均匀增加支付系列
A1+(n-1)G
A1
A1+G
A1+2G
A1+(n-2)G
…
0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
＋
A1
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 1）
A2
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 3）
（ n－ 2） G
G
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
2G 3G
4G
（ n－ 1） G
（ 2）
A2= G 1 n ] i i－ （ A/F,i,n）[
图（ 2）的将来值 F2为,
F2=G（ F/A,i,n－ 1） +G（ F/A,i,n－ 2） + … + G（ F/A,i,2） + G（ F/A,i,1）
=G[ ]（ 1+i） n－ 1 － 1i （ 1+i） n－ 2 － 1i＋ G ][ ＋ G（ 1+i） 2 － 1i[ ]… ＋
i
（ 1+i） 1 － 1[ ]G+ （ ） －
[（ 1+i） n-1+（ 1+i） n-2 + +（ 1+i） 2+（ 1+i） 1－（ n－ 1） × 1 ]= Gi
…
[（ 1+i） n-1+（ 1+i） n-2 + +（ 1+i） 2+（ 1+i） 1+1] －= iG n Gi
= iG （ 1+i） n － 1i n Gi－
i G （ 1+i） n － 1 n G iA
2= F2 （ 1+i） n－ 1[ ] =[ i i i－ ] （ 1+i） n－ 1[ ]
G n G i G n G=
i i－ （ 1+i） n－ 1[ ] = i i－ （ A/F,i,n）
= G 1 n ] i i－ （ A/F,i,n）[ 梯度系数（ A/G,i,n）
＋
A1
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 1）
A2
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 3）
A=A1+A2
…
0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
（ 4）
注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1－ A2
等值计算公式表,
运用利息公式应 注意的问题,
1,为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；
2,方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；
3,本年的年末即是下一年的年初；
4,P是在当前年度开始时发生；
5,F是在当前以后的第 n年年末发生；
6,A是在考察期间各年年末发生。当问题包括 P和
A时，系列的第一个 A是在 P发生一年后的年末发生；
当问题包括 F和 A时，系列的最后一个 A是和 F同时发生；
7,均匀梯度系列中，第一个 G发生在系列的第二年年末。
例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为 i 。
0 1 2 3 n-1 n
A
0 1 2 3 n-1 n
A’=A（ 1+ i ）
解：
1
1
11
1
111,,/
n
n
n
n
ii
iA
ii
iiAniAPAP,
]111[111,,/
1
i
iA
i
iiAniAFAF nn，
例,有如下图示现金流量，解法正确的有 ( )
LB:
答案,AC
0 1 2 3 4 5 6 7
8
A
F=?
A,F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)
B,F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)
C,F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)
D,F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)
E,F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)
例：下列关于时间价值系数的关系式,表达正确的有 （ ）
A,（ F/A,i,n） = (P/A,i,n)× (F/P,i,n)
B,（ F/P,i,n） =(F/P,i,n1)× (F/P,i,n2),其中 n1+n2=n
C,（ P/F,i,n） =(P/F,i,n1)＋ (P/F,i,n2),其中 n1+n2=n
D,（ P/A,i,n） =(P/F,i,n)× (A/F,i,n)
E,1/（ F/A,i,n） =(F/A,i,1/n)
答案,A B
例：若 i1=2i2； n1=n2/2,则当 P 相同时有 ( ) 。
A （ F/P,i1,n1） <（ F/P,i2,n2）
B （ F/P,i1,n1） >（ F/P,i2,n2）
C （ F/P,i1,n1） =（ F/P,i2,n2）
D 无法确定两者的关系答案,A
三、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。
当 利率的时间单位 与 计息期 不一致时，
有效利率 ——资金在计息期发生的实际利率。
例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为 3%，
则 3%——（半年）有效利率如上例为 3%× 2=6% ——（年）名义利率
（年）名义利率 = 每一计息期的有效利率 × 一年中计息期数
1.离散式复利
—— 按期（年、季、月和日）计息的方法。
如果名义利率为 r,一年中计息 n次，每次计息的利率为 r/ n,根据一次支付复利系数公式，
年末本利和为,F=P[1+r/n]n
一年末的利息为,P[1+r/n]n － P
按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率 i
为：
11
1
n
n
n
r
p
p
n
r
P
i
例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为 16%，计息每年一次。乙银行年利率为
15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？
解：
%0 7 5 5.161
12
15.0
1
11
%16
12
n
n
r
i
i
乙甲因为 i乙 >i甲,所以甲银行贷款条件优惠些。
例：现投资 1000元，时间为 10年，年利率为 8%，
每季度计息一次，求 10年末的将来值。
F=？
1000
… 0 1 2 3 40 季度每 季度 的有效利率为 8%÷ 4=2%，
用年实际 利率求解,
年有效利率 i为,i=（ 1+ 2%） 4－ 1=8.2432%
F=1000（ F/P,8.2432%,10） =2208（ 元）
用季度 利率求解,
F=1000（ F/P,2%,40） =1000× 2.2080=2208（ 元）
解：
例,某企业向银行借款 1000元,年利率为 4%,如按季度计息,则第 3年应偿还本利和累计为 ( )元。
A.1125 B.1120 C,1127 D.1172
F=1000(F/P,1%,4× 3)
=1000(F/P,1%,12)
=1127元答案,C
F=？
1000
… 0 1 2 3 12 季度解,
例,已知某项目的计息期为月,月利率为 8‰,则项目的名义利率为 ( ) 。
A,8% B,8‰ C,9.6% D,9.6‰
解,
（年）名义利率 = 每一计息期的有效利率 × 一年中计息期数所以 r=12× 8‰ =96‰ =9.6%
例：假如有人目前借入 2000元，在今后 2年中每月等额偿还，每次偿还 99.80元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。
解,99.80＝ 2000（ A/P,i,24)
（ A/P,i,24)＝ 99.8/2000=0.0499
查表，上列数值相当于 i’＝ 1.5％ ——月有效利率则 名义利率 r＝ 1.5％?12＝ 18％
年有效利率 i＝（ 1＋ 1.5％ )12－ 1＝ 19.56％
2.连续式复利 ——按瞬时计息的方式。
在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：
1
11lim
11lim
r
r
r
n
n
n
n
e
n
r
n
r
i
式中,e自然对数的底，其数值为 2.71828
下表给出了名义利率为 12%分别按不同计息期计算的实际利率：
复利周期 每年计息数期 各期实际利率 实际年利率一年半年一季一月一周一天连续
1
2
4
12
52
365
∞
12.0000%
6.0000%
3.0000%
1.0000%
0.23077%
0.0329%
0.0000
12.0000 %
12.3600 %
12.5509 %
12.6825 %
12.7341 %
12.7475 %
12.7497 %
名义利率的 实质,当计息期小于一年的利率化为年利率时,忽略了时间因素,没有计算利息的利息 。
4.名义利率和有效（年）利率的应用：
1) 计息期与支付期相同 ——可直接进行换算求得
2) 计息期短于支付期 ——运用多种方法求得
3) 计息期长于支付期 ——按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。
四、等值的计算
（一）等值的概念
——在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。
例如，在年利率 6%情况下，现在的 300元等值于 8
年末的 300 × (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。
478.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 年
300
i=6%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 年
i=6%
同一利率下不同时间的货币等值货币等值是考虑了货币的时间价值。
即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；
反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。
货币的等值包括 三个因素金额金额发生的时间利率在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，
在方案评价、比较中广泛应用。
从利息表上查到，当 n=9,1.750落在 6%和 7%之间。
%41.6%1)
8 3 8.16 8 9.1
7 5 0.16 8 9.1(%6
i
6%的表上查到 1.689
7%的表上查到 1.839从 用直线内插法可得
(二 )计息期为一年的等值计算相同有效利率 名义利率 直接计算例：当利率为多大时，现在的 300元等值于第 9年年末的 525元？
解,F=P(F/P,i,n) 525=300(F/P,i,9)
(F/P,i,9)=525/300=1.750
计算表明，当利率为 6.41%时，现在的 300元等值于第 9年年末的 525元。
例：当利率为 8%时，从现在起连续 6年的年末等额支付为多少时与第 6年年末的 10000 等值？
A=F（ A/F,8%,6） =10000 (0.1363) =1363 元 /年计算表明，当利率为 8%时，从现在起连续 6年
1363 元的年末等额支付与第 6年年末的 10000 等值。
解,10000
0 1 2 3 4 5 6 年
i=8%
0 1 2 3 4 5 6 年
A=？ i=8%
例：当利率为 10%时，从现在起连续 5年的年末等额支付为 600元，问与其等值的第 0
年的现值为多大？
解：
P=A(P/A,10%,5)=2774.59元计算表明，当利率为 10%时，从现在起连续 5年的 600元年末等额支付与第 0年的现值
2274.50元是等值的。
(三 )计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：
1.计息期 和 支付期 相同
例：年利率为 12%，每半年计息一次，从现在起，
连续 3年，每半年为 100元的等额支付，问与其等值的第
0年的现值为多大？
解：每计息期的利率
%62 %12i
（每半年一期）
n=(3年 ) × (每年 2期 )=6期
P=A（ P/A,6%,6） =100 × 4.9173=491.73元计算表明，按年利率 12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续 3年每半年支付 100元的等额支付与第 0年的现值 491.73元的现值是等值的。
例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入
2000元，在今后两年中分 24次等额偿还，每次偿还
99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。
解：现在 99.80=2000（ A/P,i,24）
（ A/P,i,24） =99.80/2000=0.0499
查表，上列数值相当于 i=1.5%。 因为计息期是一个月，所以月有效利率为 1.5%。
名义利率,
r=(每月 1.5%） ×（ 12个月） =18%
年有效利率：
%56.191
12
18.0
111
12
n
n
r
i
2.计息期短于支付期例：按年利率为 12%，每季度计息一次计算利息，
从现在起连续 3年的等额年末支付借款为 1000元，问与其等值的第 3年年末的借款金额为多大？
解,其现金流量如下图
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度
F=？
1000 1000 1000
第一种方法,取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：
0 1 2 3 4
239 239 239 239
0 1 2 3 4
1000
将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）
A=F （ A/F,3%,4） =1000 × 0.2390=239元
（ A/F,3%,4）
239
F=？
季度
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
经转变后计息期与支付期重合（单位：元）
F=A（ F/A,3%,12） =239 × 14.192=3392元第二种方法,把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，
这个和就是等额支付的实际结果。
F=1000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000
=3392元
%55.121
4
12.0111 4
n
n
ri
F=A(F/A,12.55%,3)=1000 × 3.3923=3392元第三种方法,将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。
年有效利率是通过三种方法计算表明，按年利率 12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的 1000元等额年末借款与第三年年末的 3392元等值。
例 4:假定现金流量是：第 6年年末支付 300元，
第 9,10,11,12年末各支付 60元，第 13年年末支付 210元，第 15,16,17年年末各获得 80元。按年利率 5％计息，与此等值的现金流量的现值 P为多少？
P=?
0
300
6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17
210
60
80
解,P=－ 300(P/F,5%,6) － 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) －
210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)
=－ 300?0.7162－ 60?3.5456?0.6768－ 210?0.5303
+80?2.7232?0.5051
=－ 369.16
也可用其他公式求得
P=－ 300(P/F,5%,6) － 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) －
210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)
=－ 300?0.7462－ 60?4.3101?0.5568－ 210?0.5303
+80?3.153?0.4363
=－ 369.16
例,求每半年向银行借 1400元，连续借 10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按,
1）年利率为 12％；
2）年利率为 12％，每半年计息一次
3）年利率 12％，每季度计息一次，这三种情况计息。
0 1 2 10年
28002800
14001400
2800
解,1）计息期长于支付期
F=1400?2（ F/A,12％,10）＝ 49136 （ 元）
2）计息期等于支付期
F=1400(F/A,12%÷ 2,10?2）＝ 51500 （ 元）
3）计息期短于支付期
F=1400(A/F,3%,2)(F/A,3%,4?10）
＝ 52000 （ 元）
0 1 2 3 4
1400 1400i＝ 12％÷ 4＝ 3％
A=1400(A/F,3%,2)
季度
1.资金的时间价值
——指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，
即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息。
资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而变化，其变化的主要原因有：
（ 1）通货膨胀、资金贬值
（ 2）承担风险
（ 3）投资增值
通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，
我们在经济分析时就主要着眼于方案在 整个寿命期内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为现金流量 (Cash Flow)。
例如,有一个总公司面临两个投资方案 A,B，
寿命期都是 4年，初始投资也相同，均为 10000元。
实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表 1一 1。
如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢?
年末 A方案 B方案
0 -10000 -10000
1 +7000 +1000
2 +5000 +3000
3 +3000 +5000
4 +1000 +7000
表 1一
1
另有两个方案 C和 D,其他条件相同，仅现金流量不同。
3000 3000 3000
方案 D
3000 3000 3000
6000
1 2 3 4 5 6
方案 C
0
1 2 3 4 5 60
3000 3000
货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的 大小 有关，而且与发生的 时间 有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。
以下图为例，从现金流量的 绝对数 看，方案 E比方案 F好 ;但从货币的 时间价值 看，方案 F似乎有它的好处。如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和可靠。
0 1 2 3 4
400
0 1 2 3 4
方案 F
方案 E
200 200 200
100200 200
300
300
400
2.现金流量图（ cash flow diagram)
——描述现金流量作为时间函数的图形，它 能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。
是资金时间价值计算中常用的工具。
大 小流 向时间点现金流量图的三大要素
300
400
时间
200 200 200
1 2 3 4
现金流入现金流出
0
说明,1,水平线是时间标度，时间的推移是 自左向右,
每一格代表一个时间单位（年、月、日）；
2,箭头表示现金流动的方向：
向上 ——现金的流入，
向下 ——现金的流出；
3,现金流量图与立脚点有关。
注意：
1,第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。
2,立脚点不同,画法刚好相反。
3,净现金流量 = 现金流入 － 现金流出
4,现金流量只计算 现金收支 (包括现钞、转帐支票等凭证 ),不计算项目内部的现金转移 (如折旧等 )。
3.利息 ——一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用,I”表示。
4.利率 ——利息递增的比率，用,i”表示 。
每单位时间增加的利息原金额（本金） × 100%利率 (i%)=
计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、
季度来计算，用,n” 表示。
广义的利息 信贷利息经营利润二,利息公式
（一） 利息的种类设,I——利息
P——本金
n ——计息期数
i——利率
F ——本利和单利复利
1,单利 ——每期均按原始本金计息（利不生利）
I = P · i · n
F=P（ 1+ i · n）
则有例题 1：假如以年利率 6%借入资金 1000元,共借 4年,其偿还的情况如下表年 年初欠款 年末应付利息 年末欠款 年末偿还
1 1000 1000 × 0.06=60 1060 0
2 1060 1000 × 0.06=60 1120 0
3 1120 1000 × 0.06=60 1180 0
4 1180 1000 × 0.06=60 1240 1240
2 复利 ——利滚利
F=P(1+i)n
I=F-P=P[(1+i)n-1]
公式的推导 如下,
年份 年初本金 P 当年利息 I 年末本利和 F
P(1+i)2
… … … …
P(1+i)n-1
P(1+i)n
1 P P·i P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i) ·i
n－ 1 P(1+i)n-2 P(1+i)n-2 ·i
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1 ·i
年 初欠 款年 末应 付 利 息年 末欠 款年 末偿 还
1
2
3
4
例题 2,假如以年利率 6%借入资金 1000元,共借 4
年,其偿还的情况如下表年
1000 1000 × 0.06=60 1060 0
1060 1060 × 0.06=63.60 1123.60 0
1123.60 1191.02 0
1191.02 1262.48 1262.48
1123.60 × 0.06=67.42
1191.02 × 0.06=71.46
（二）复利计息利息公式以后采用的符号如下
i ——利率；
n ——计息期数；
P ——现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值；
F —— 将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值；
A —— n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末实现。
G——等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或收入的差额。
1.一次支付复利公式
0 1 2 3 n –1 n
F=？
P (已知）
…
(1+i)n ——一次支付复利系数
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
例如在第一年年初，以年利率 6%投资 1000元，
则到第四年年末可得之本利和
F=P(1+i)n
=1000 (1+6%)4
=1262.50元例,某投资者购买了 1000元的债券，限期 3年，年利率 10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，则 3
年后该投资者可获得的利息是多少？
I=P[(1+i)n－ 1]=1000[(1+10%)3－ 1]=331 元解：
0 1 2 3 年
F=?
i=10%
1000
2.一次支付现值公式
),,/(
)1(
1
niFPF
i
FP
n
0 1 2 3 n –1 n
F (已知）
P =？
…
例如年利率为 6%，如在第四年年末得到的本利和为 1262.5元，则第一年年初的投资为多少？
1000
7921.05.1262
%61
1
5.1262
)1(
1
4
n
i
FP
3.等额支付系列复利公式
),,/(
1)1(
niAFA
i
i
AF
n
0 1 2 3 n –1 n
F =？
…
A (已知）
A1
累 计 本 利 和 （ 终 值 ）等额支付值年末
… …
2
3
A
A
n A
A
…
A+A(1+i)
A+A(1+i)+A(1+i)2
A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i) n-1]=F
0 1 2 3 n –1 n
F =？
…
A (已知）
即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i) n-1 (1)
以 (1+i)乘 (1)式,得
F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i) n-1 +A(1+i)n (2)
(2) － (1),得 F(1+i) –F= A(1+i)n – A
),,/(
1)1(
niAFA
i
i
AF
n
例如连续 5年每年年末借款 1000元，按年利率
6%计算，第 5 年年末积累的借款为多少？
解：
)(1.5 6 3 7
6 3 7 1.51 0 0 0
%6
1%61
1 0 0 0
),,/(
1)1(
5
元?
niAFA
i
i
AF
n
4.等额支付系列积累基金公式
),,/(
1)1(
niFAF
i
i
FA
n
0 1 2 3 n –1 n
F (已知）
…
A =？
5.等额支付系列资金恢复公式
),,/(
1)1(
)1(
niPAP
i
ii
PA
n
n
0 1 2 3 n –1 n
P(已知）
…
A =？
根据
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
F =A [ (1+i)
n － 1
i ]
),,/(
1)1(
)1(
niPAP
i
ii
PA
n
n
P(1+i)n =A [ (1+i)
n － 1
i ]
6.等额支付系列资金恢复公式
),,/(
)1(
1)1(
niAPA
ii
i
AP
n
n
0 1 2 3 n –1 n
P=？
…
A (已知）
7.均匀梯度系列公式均匀增加支付系列
A1+(n-1)G
A1
A1+G
A1+2G
A1+(n-2)G
…
0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
＋
A1
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 1）
A2
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 3）
（ n－ 2） G
G
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
2G 3G
4G
（ n－ 1） G
（ 2）
A2= G 1 n ] i i－ （ A/F,i,n）[
图（ 2）的将来值 F2为,
F2=G（ F/A,i,n－ 1） +G（ F/A,i,n－ 2） + … + G（ F/A,i,2） + G（ F/A,i,1）
=G[ ]（ 1+i） n－ 1 － 1i （ 1+i） n－ 2 － 1i＋ G ][ ＋ G（ 1+i） 2 － 1i[ ]… ＋
i
（ 1+i） 1 － 1[ ]G+ （ ） －
[（ 1+i） n-1+（ 1+i） n-2 + +（ 1+i） 2+（ 1+i） 1－（ n－ 1） × 1 ]= Gi
…
[（ 1+i） n-1+（ 1+i） n-2 + +（ 1+i） 2+（ 1+i） 1+1] －= iG n Gi
= iG （ 1+i） n － 1i n Gi－
i G （ 1+i） n － 1 n G iA
2= F2 （ 1+i） n－ 1[ ] =[ i i i－ ] （ 1+i） n－ 1[ ]
G n G i G n G=
i i－ （ 1+i） n－ 1[ ] = i i－ （ A/F,i,n）
= G 1 n ] i i－ （ A/F,i,n）[ 梯度系数（ A/G,i,n）
＋
A1
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 1）
A2
…0 1 2 3 4 5 n－ 1 n（ 3）
A=A1+A2
…
0 1 2 3 4 5 n－ 1 n
（ 4）
注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1－ A2
等值计算公式表,
运用利息公式应 注意的问题,
1,为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；
2,方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；
3,本年的年末即是下一年的年初；
4,P是在当前年度开始时发生；
5,F是在当前以后的第 n年年末发生；
6,A是在考察期间各年年末发生。当问题包括 P和
A时，系列的第一个 A是在 P发生一年后的年末发生；
当问题包括 F和 A时，系列的最后一个 A是和 F同时发生；
7,均匀梯度系列中，第一个 G发生在系列的第二年年末。
例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为 i 。
0 1 2 3 n-1 n
A
0 1 2 3 n-1 n
A’=A（ 1+ i ）
解：
1
1
11
1
111,,/
n
n
n
n
ii
iA
ii
iiAniAPAP,
]111[111,,/
1
i
iA
i
iiAniAFAF nn，
例,有如下图示现金流量，解法正确的有 ( )
LB:
答案,AC
0 1 2 3 4 5 6 7
8
A
F=?
A,F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)
B,F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)
C,F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)
D,F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)
E,F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)
例：下列关于时间价值系数的关系式,表达正确的有 （ ）
A,（ F/A,i,n） = (P/A,i,n)× (F/P,i,n)
B,（ F/P,i,n） =(F/P,i,n1)× (F/P,i,n2),其中 n1+n2=n
C,（ P/F,i,n） =(P/F,i,n1)＋ (P/F,i,n2),其中 n1+n2=n
D,（ P/A,i,n） =(P/F,i,n)× (A/F,i,n)
E,1/（ F/A,i,n） =(F/A,i,1/n)
答案,A B
例：若 i1=2i2； n1=n2/2,则当 P 相同时有 ( ) 。
A （ F/P,i1,n1） <（ F/P,i2,n2）
B （ F/P,i1,n1） >（ F/P,i2,n2）
C （ F/P,i1,n1） =（ F/P,i2,n2）
D 无法确定两者的关系答案,A
三、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。
当 利率的时间单位 与 计息期 不一致时，
有效利率 ——资金在计息期发生的实际利率。
例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为 3%，
则 3%——（半年）有效利率如上例为 3%× 2=6% ——（年）名义利率
（年）名义利率 = 每一计息期的有效利率 × 一年中计息期数
1.离散式复利
—— 按期（年、季、月和日）计息的方法。
如果名义利率为 r,一年中计息 n次，每次计息的利率为 r/ n,根据一次支付复利系数公式，
年末本利和为,F=P[1+r/n]n
一年末的利息为,P[1+r/n]n － P
按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率 i
为：
11
1
n
n
n
r
p
p
n
r
P
i
例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为 16%，计息每年一次。乙银行年利率为
15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？
解：
%0 7 5 5.161
12
15.0
1
11
%16
12
n
n
r
i
i
乙甲因为 i乙 >i甲,所以甲银行贷款条件优惠些。
例：现投资 1000元，时间为 10年，年利率为 8%，
每季度计息一次，求 10年末的将来值。
F=？
1000
… 0 1 2 3 40 季度每 季度 的有效利率为 8%÷ 4=2%，
用年实际 利率求解,
年有效利率 i为,i=（ 1+ 2%） 4－ 1=8.2432%
F=1000（ F/P,8.2432%,10） =2208（ 元）
用季度 利率求解,
F=1000（ F/P,2%,40） =1000× 2.2080=2208（ 元）
解：
例,某企业向银行借款 1000元,年利率为 4%,如按季度计息,则第 3年应偿还本利和累计为 ( )元。
A.1125 B.1120 C,1127 D.1172
F=1000(F/P,1%,4× 3)
=1000(F/P,1%,12)
=1127元答案,C
F=？
1000
… 0 1 2 3 12 季度解,
例,已知某项目的计息期为月,月利率为 8‰,则项目的名义利率为 ( ) 。
A,8% B,8‰ C,9.6% D,9.6‰
解,
（年）名义利率 = 每一计息期的有效利率 × 一年中计息期数所以 r=12× 8‰ =96‰ =9.6%
例：假如有人目前借入 2000元，在今后 2年中每月等额偿还，每次偿还 99.80元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。
解,99.80＝ 2000（ A/P,i,24)
（ A/P,i,24)＝ 99.8/2000=0.0499
查表，上列数值相当于 i’＝ 1.5％ ——月有效利率则 名义利率 r＝ 1.5％?12＝ 18％
年有效利率 i＝（ 1＋ 1.5％ )12－ 1＝ 19.56％
2.连续式复利 ——按瞬时计息的方式。
在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：
1
11lim
11lim
r
r
r
n
n
n
n
e
n
r
n
r
i
式中,e自然对数的底，其数值为 2.71828
下表给出了名义利率为 12%分别按不同计息期计算的实际利率：
复利周期 每年计息数期 各期实际利率 实际年利率一年半年一季一月一周一天连续
1
2
4
12
52
365
∞
12.0000%
6.0000%
3.0000%
1.0000%
0.23077%
0.0329%
0.0000
12.0000 %
12.3600 %
12.5509 %
12.6825 %
12.7341 %
12.7475 %
12.7497 %
名义利率的 实质,当计息期小于一年的利率化为年利率时,忽略了时间因素,没有计算利息的利息 。
4.名义利率和有效（年）利率的应用：
1) 计息期与支付期相同 ——可直接进行换算求得
2) 计息期短于支付期 ——运用多种方法求得
3) 计息期长于支付期 ——按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。
四、等值的计算
（一）等值的概念
——在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。
例如，在年利率 6%情况下，现在的 300元等值于 8
年末的 300 × (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。
478.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 年
300
i=6%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 年
i=6%
同一利率下不同时间的货币等值货币等值是考虑了货币的时间价值。
即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；
反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。
货币的等值包括 三个因素金额金额发生的时间利率在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，
在方案评价、比较中广泛应用。
从利息表上查到，当 n=9,1.750落在 6%和 7%之间。
%41.6%1)
8 3 8.16 8 9.1
7 5 0.16 8 9.1(%6
i
6%的表上查到 1.689
7%的表上查到 1.839从 用直线内插法可得
(二 )计息期为一年的等值计算相同有效利率 名义利率 直接计算例：当利率为多大时，现在的 300元等值于第 9年年末的 525元？
解,F=P(F/P,i,n) 525=300(F/P,i,9)
(F/P,i,9)=525/300=1.750
计算表明，当利率为 6.41%时，现在的 300元等值于第 9年年末的 525元。
例：当利率为 8%时，从现在起连续 6年的年末等额支付为多少时与第 6年年末的 10000 等值？
A=F（ A/F,8%,6） =10000 (0.1363) =1363 元 /年计算表明，当利率为 8%时，从现在起连续 6年
1363 元的年末等额支付与第 6年年末的 10000 等值。
解,10000
0 1 2 3 4 5 6 年
i=8%
0 1 2 3 4 5 6 年
A=？ i=8%
例：当利率为 10%时，从现在起连续 5年的年末等额支付为 600元，问与其等值的第 0
年的现值为多大？
解：
P=A(P/A,10%,5)=2774.59元计算表明，当利率为 10%时，从现在起连续 5年的 600元年末等额支付与第 0年的现值
2274.50元是等值的。
(三 )计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：
1.计息期 和 支付期 相同
例：年利率为 12%，每半年计息一次，从现在起，
连续 3年，每半年为 100元的等额支付，问与其等值的第
0年的现值为多大？
解：每计息期的利率
%62 %12i
（每半年一期）
n=(3年 ) × (每年 2期 )=6期
P=A（ P/A,6%,6） =100 × 4.9173=491.73元计算表明，按年利率 12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续 3年每半年支付 100元的等额支付与第 0年的现值 491.73元的现值是等值的。
例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入
2000元，在今后两年中分 24次等额偿还，每次偿还
99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。
解：现在 99.80=2000（ A/P,i,24）
（ A/P,i,24） =99.80/2000=0.0499
查表，上列数值相当于 i=1.5%。 因为计息期是一个月，所以月有效利率为 1.5%。
名义利率,
r=(每月 1.5%） ×（ 12个月） =18%
年有效利率：
%56.191
12
18.0
111
12
n
n
r
i
2.计息期短于支付期例：按年利率为 12%，每季度计息一次计算利息，
从现在起连续 3年的等额年末支付借款为 1000元，问与其等值的第 3年年末的借款金额为多大？
解,其现金流量如下图
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度
F=？
1000 1000 1000
第一种方法,取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：
0 1 2 3 4
239 239 239 239
0 1 2 3 4
1000
将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）
A=F （ A/F,3%,4） =1000 × 0.2390=239元
（ A/F,3%,4）
239
F=？
季度
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
经转变后计息期与支付期重合（单位：元）
F=A（ F/A,3%,12） =239 × 14.192=3392元第二种方法,把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，
这个和就是等额支付的实际结果。
F=1000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000
=3392元
%55.121
4
12.0111 4
n
n
ri
F=A(F/A,12.55%,3)=1000 × 3.3923=3392元第三种方法,将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。
年有效利率是通过三种方法计算表明，按年利率 12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的 1000元等额年末借款与第三年年末的 3392元等值。
例 4:假定现金流量是：第 6年年末支付 300元，
第 9,10,11,12年末各支付 60元，第 13年年末支付 210元，第 15,16,17年年末各获得 80元。按年利率 5％计息，与此等值的现金流量的现值 P为多少？
P=?
0
300
6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17
210
60
80
解,P=－ 300(P/F,5%,6) － 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) －
210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)
=－ 300?0.7162－ 60?3.5456?0.6768－ 210?0.5303
+80?2.7232?0.5051
=－ 369.16
也可用其他公式求得
P=－ 300(P/F,5%,6) － 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) －
210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)
=－ 300?0.7462－ 60?4.3101?0.5568－ 210?0.5303
+80?3.153?0.4363
=－ 369.16
例,求每半年向银行借 1400元，连续借 10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按,
1）年利率为 12％；
2）年利率为 12％，每半年计息一次
3）年利率 12％，每季度计息一次，这三种情况计息。
0 1 2 10年
28002800
14001400
2800
解,1）计息期长于支付期
F=1400?2（ F/A,12％,10）＝ 49136 （ 元）
2）计息期等于支付期
F=1400(F/A,12%÷ 2,10?2）＝ 51500 （ 元）
3）计息期短于支付期
F=1400(A/F,3%,2)(F/A,3%,4?10）
＝ 52000 （ 元）
0 1 2 3 4
1400 1400i＝ 12％÷ 4＝ 3％
A=1400(A/F,3%,2)
季度
