本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共
同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶
的方程来求解。
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其
求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥
当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可
用降阶法求解，一般都没有初等解法,
以二阶方程
0),,,( ???? yyyxF 为例展开讨论
重点讨论能将二阶导数解出的情况
),,( yyxfy ????
如果我们设法作变量代换把它从二阶降
至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法
来求解
一,型 )( xfy ???
特点,右端不含 yy ?,仅是 x 的函数
解法,将 y? 作为新的未知函数 降阶
令 yz ?? zy ????? 有
)( xfz ?? 变量可分离的一阶方程
积分 ? ?? 1)( cdxxfz
即 ? ??? 1)( cdxxfy
再积分 ? ? ??? 21])([ cxcdxdxxfy
对 n 阶方程 同理 )()( xfy n ?
令 )1( ?? nyz )( xfz ???
积分得 ? ??? 1)1( )( cdxxfy n
如此连续积分 n 次即得原方程的
含有 n个任意常数的通解
一般情况 ),,,( )1()()( ?? nkn yyxfy ?
特点,.,,)1( ?? kyyy ?及不显含未知函数
解法,zy k ?)(令
.,)()()1( knnk zyzy ?? ???则
).,,,( )1()( ??? ? knkn zzxfz ?
z 的 (n-k)阶方程
,z求得,)( 次连续积分将 kzy k ?
可得通解,
例 1 xy s in)4( ?
解 1c o s cxy ??????
21s in cxcxy ??????
32
2
12
1co s cxcxcxy ?????
43
2
2
3
1 2
1
6
1s i n cxcxcxcxy ?????
例 2,0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy
解 ),()4( xPy ?设 )()5( xPy ??
代入原方程,0??? PPx ）（ ?P
解线性方程,得 xCP 1?,1)4( xCy ?即
两端积分,得,2
1
2
2
1 CxCy ?????
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????
原方程通解为 54233251 dxdxdxdxdy ?????
二,型 ),( yxfy ????
特点,右端不含 y
解法,降阶
令 py ?? py ????? 代入原方程得
),( pxfdxdp ? 若已求得其通解为
),( 1cxp ?? 回代 py ?? 得
),( 1cxdxdy ?? 变量可分离的一阶方程
积分得 ? ?? 21 ),( cdxcxy ?
例 3 解方程 3,1,2)1( 002 ???????? ?? xx yyyxyx
解 令 py ?? xppx 2)1( 2 ????
分离变量得 2
1
2
x
x
p
dp
??
12 ln)1l n (ln cxp ????
即 )1( 21 xcp ?? )1( 2
1 xcy ????
由 得30 ?? ?xy 31 ?c
)1(3 2xy ???? 23 3 cxxy ????
由 11
20 ???? cy x
故 133 ??? xxy
解方程 2)(1 yy ?????
解 pypy ???????令 21 pdxdp ???
dxpdp ??? 21
1a r c t a n cxp ???
即 )t a n( 1cxp ??
? ??? dxcxy )t a n ( 1
21 )c o s (ln ccx ????
例 4
三,型 ),( yyfy ????
特点,右端不含 x
降阶 解法,
令 pdxdyy ??? dxdpy ????
由复合函数求导法则得
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ?????
dy
dpp?
代入原方程得 ),( pyfdy
dpp ?
这是一个关于 y, p 的一阶方程
若已求得它的通解为
),( 1cypy ???? 变量可分离的一阶方程
积分得
2
1 ),(
1 cxdy
cy ??? ?
即得原方程的通解
一般情况 ),,,( )1()()( ?? nkn yyyfy ?
特点,.x右端不显含自变量
解法,)( ypy ??设,dydPpdxdydydpy ?????则
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy ?????,??
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()( ?nyP
求得其解为 ),,,,()(
11 ???? nCCyyPdx
dy ?
原方程通解为
,),,,(
11
n
n
CxCCy dy ????
??
例 5 解方程 3)( yyy ??????
解 令 py ?? dydppy ????
)1( 2ppdydpp ???
若 0?p 21 pdydp ??? 1a r c t a n cyp ???
即 )t a n( 1cyp ?? dxcy
dy ?
?? )t a n ( 1
积分得
21 )s in (ln cxcy ???
即 xeccy 21 )s i n ( ??或 12 )a r c s i n ( cecy x ??
若 0?p 则 cy? 包含在通解中
如一方程既属于不含 x 型
又属于不含 y 型
则一般而言
若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）
来解较简单
若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）
来解较简单
注
例 6 解方程 2?????? yy
解 令 yz ??? 2?? dxdzz 4
2
?? dxdz
)(4 12 cxz ???
12 cxy ??????
2
2
3
1 )(3
4 ccxy ??????
32
2
5
1 )(15
8 cxccxy ??????
12 cxz ????
例 7,02 的通解求方程 ????? yyy
解一 ),( ypy ??设,dydPpy ???则
代入原方程得,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
，由 0??? PdydPy,1 yCP ?可得
,1 yCdxdy ?? 原方程通解为,12 xceCy ?
解二,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
??????? yydxdy yyy,1 yCy ??故
从而通解为,12 xCeCy ?
解三 原方程变为,
y
y
y
y ??
?
??
两边积分,得,
1lnlnln Cyy ???
，即 yCy 1??
原方程通解为,12 xCeCy ?
四、恰当导数方程
特点
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
???
??
?
?
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
?
?
即的导数对
左端恰为某一函数
解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n ??? ??
再设法求解这个方程,
例 8,02 的通解求方程 ????? yyy
解 将方程写成,0)( ??yydxd
,1Cyy ??故有,1 dxCy d y ?即
积分后得通解,212 CxCy ??
注意, 这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
五、齐次方程
特点,),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF ?? ???
次齐次函数k解法,?? z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
,??? z d xzey?,)( 2 ?????? z d xezzy,??
,),,,( )1()( ???? ? z d xnn ezzzy ?
,? z d xke代入原方程并消去
阶方程的得新函数 )1()( ?nxz
.0),,,,( )1( ?? ?nzzzxf ?
例 9,)( 22 的通解求方程 yxyyyx ?????
解,?? z d xey设 代入原方程,得,12 2xzxz ???
,1 21xCxz ??解其通解为
原方程通解为,121 2)
1(
x
Cdx
x
C
x xeCey ?? ?? ?
补充题,
解,?? z d xey设 代入原方程,得,zxz ??
,xCz ?解其通解为
原方程通解为,212 xCC x d x eCey ?? ?
.2 的通解求方程 yyyxyxy ??????例 10
六、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
思考题
已知 31 ?y,
2
2
3 xy ??,
x
exy ???
2
3
3
都是微分方程
? ? ? ? ? ? ? ?162222 22 ?????????? xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy ???,212 xyy ??
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
?
?? ?常数
所求通解为 ? ? ? ? ?122231 yyCyyCy ????
.221 xCeC x ??
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ???? ； 2,
2
1 yy ????? ；
3, yyy ??????
3
)( ； 4, 0
1
2
2
??
?
??? y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
0,1,01
11
3
???????
?? xx
yyyy；
2,
1,0,0
00
2
?????????
?? xx
yyyay；
3,
2,1,3
00
??????
?? xx
yyyy
.
三,试求
xy ???
的经过点 )1,0(M 且在此点与直线
1
2
??
x
y 相切的积分曲线,
练习题答案
一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
????? ；
2,
21
)c o s(ln CCxy ???? ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
?? ；
4,
xCxC
y
21
1
1
?
??,
二,1,
2
2 xxy ?? ； 2, )1l n (
1
??? ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( ?? xy,
三,1
2
1
6
1
3
??? xxy,
同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶
的方程来求解。
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其
求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥
当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可
用降阶法求解，一般都没有初等解法,
以二阶方程
0),,,( ???? yyyxF 为例展开讨论
重点讨论能将二阶导数解出的情况
),,( yyxfy ????
如果我们设法作变量代换把它从二阶降
至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法
来求解
一,型 )( xfy ???
特点,右端不含 yy ?,仅是 x 的函数
解法,将 y? 作为新的未知函数 降阶
令 yz ?? zy ????? 有
)( xfz ?? 变量可分离的一阶方程
积分 ? ?? 1)( cdxxfz
即 ? ??? 1)( cdxxfy
再积分 ? ? ??? 21])([ cxcdxdxxfy
对 n 阶方程 同理 )()( xfy n ?
令 )1( ?? nyz )( xfz ???
积分得 ? ??? 1)1( )( cdxxfy n
如此连续积分 n 次即得原方程的
含有 n个任意常数的通解
一般情况 ),,,( )1()()( ?? nkn yyxfy ?
特点,.,,)1( ?? kyyy ?及不显含未知函数
解法,zy k ?)(令
.,)()()1( knnk zyzy ?? ???则
).,,,( )1()( ??? ? knkn zzxfz ?
z 的 (n-k)阶方程
,z求得,)( 次连续积分将 kzy k ?
可得通解,
例 1 xy s in)4( ?
解 1c o s cxy ??????
21s in cxcxy ??????
32
2
12
1co s cxcxcxy ?????
43
2
2
3
1 2
1
6
1s i n cxcxcxcxy ?????
例 2,0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy
解 ),()4( xPy ?设 )()5( xPy ??
代入原方程,0??? PPx ）（ ?P
解线性方程,得 xCP 1?,1)4( xCy ?即
两端积分,得,2
1
2
2
1 CxCy ?????
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????
原方程通解为 54233251 dxdxdxdxdy ?????
二,型 ),( yxfy ????
特点,右端不含 y
解法,降阶
令 py ?? py ????? 代入原方程得
),( pxfdxdp ? 若已求得其通解为
),( 1cxp ?? 回代 py ?? 得
),( 1cxdxdy ?? 变量可分离的一阶方程
积分得 ? ?? 21 ),( cdxcxy ?
例 3 解方程 3,1,2)1( 002 ???????? ?? xx yyyxyx
解 令 py ?? xppx 2)1( 2 ????
分离变量得 2
1
2
x
x
p
dp
??
12 ln)1l n (ln cxp ????
即 )1( 21 xcp ?? )1( 2
1 xcy ????
由 得30 ?? ?xy 31 ?c
)1(3 2xy ???? 23 3 cxxy ????
由 11
20 ???? cy x
故 133 ??? xxy
解方程 2)(1 yy ?????
解 pypy ???????令 21 pdxdp ???
dxpdp ??? 21
1a r c t a n cxp ???
即 )t a n( 1cxp ??
? ??? dxcxy )t a n ( 1
21 )c o s (ln ccx ????
例 4
三,型 ),( yyfy ????
特点,右端不含 x
降阶 解法,
令 pdxdyy ??? dxdpy ????
由复合函数求导法则得
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ?????
dy
dpp?
代入原方程得 ),( pyfdy
dpp ?
这是一个关于 y, p 的一阶方程
若已求得它的通解为
),( 1cypy ???? 变量可分离的一阶方程
积分得
2
1 ),(
1 cxdy
cy ??? ?
即得原方程的通解
一般情况 ),,,( )1()()( ?? nkn yyyfy ?
特点,.x右端不显含自变量
解法,)( ypy ??设,dydPpdxdydydpy ?????则
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy ?????,??
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()( ?nyP
求得其解为 ),,,,()(
11 ???? nCCyyPdx
dy ?
原方程通解为
,),,,(
11
n
n
CxCCy dy ????
??
例 5 解方程 3)( yyy ??????
解 令 py ?? dydppy ????
)1( 2ppdydpp ???
若 0?p 21 pdydp ??? 1a r c t a n cyp ???
即 )t a n( 1cyp ?? dxcy
dy ?
?? )t a n ( 1
积分得
21 )s in (ln cxcy ???
即 xeccy 21 )s i n ( ??或 12 )a r c s i n ( cecy x ??
若 0?p 则 cy? 包含在通解中
如一方程既属于不含 x 型
又属于不含 y 型
则一般而言
若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）
来解较简单
若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）
来解较简单
注
例 6 解方程 2?????? yy
解 令 yz ??? 2?? dxdzz 4
2
?? dxdz
)(4 12 cxz ???
12 cxy ??????
2
2
3
1 )(3
4 ccxy ??????
32
2
5
1 )(15
8 cxccxy ??????
12 cxz ????
例 7,02 的通解求方程 ????? yyy
解一 ),( ypy ??设,dydPpy ???则
代入原方程得,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
，由 0??? PdydPy,1 yCP ?可得
,1 yCdxdy ?? 原方程通解为,12 xceCy ?
解二,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
??????? yydxdy yyy,1 yCy ??故
从而通解为,12 xCeCy ?
解三 原方程变为,
y
y
y
y ??
?
??
两边积分,得,
1lnlnln Cyy ???
，即 yCy 1??
原方程通解为,12 xCeCy ?
四、恰当导数方程
特点
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
???
??
?
?
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
?
?
即的导数对
左端恰为某一函数
解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n ??? ??
再设法求解这个方程,
例 8,02 的通解求方程 ????? yyy
解 将方程写成,0)( ??yydxd
,1Cyy ??故有,1 dxCy d y ?即
积分后得通解,212 CxCy ??
注意, 这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
五、齐次方程
特点,),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF ?? ???
次齐次函数k解法,?? z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
,??? z d xzey?,)( 2 ?????? z d xezzy,??
,),,,( )1()( ???? ? z d xnn ezzzy ?
,? z d xke代入原方程并消去
阶方程的得新函数 )1()( ?nxz
.0),,,,( )1( ?? ?nzzzxf ?
例 9,)( 22 的通解求方程 yxyyyx ?????
解,?? z d xey设 代入原方程,得,12 2xzxz ???
,1 21xCxz ??解其通解为
原方程通解为,121 2)
1(
x
Cdx
x
C
x xeCey ?? ?? ?
补充题,
解,?? z d xey设 代入原方程,得,zxz ??
,xCz ?解其通解为
原方程通解为,212 xCC x d x eCey ?? ?
.2 的通解求方程 yyyxyxy ??????例 10
六、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
思考题
已知 31 ?y,
2
2
3 xy ??,
x
exy ???
2
3
3
都是微分方程
? ? ? ? ? ? ? ?162222 22 ?????????? xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy ???,212 xyy ??
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
?
?? ?常数
所求通解为 ? ? ? ? ?122231 yyCyyCy ????
.221 xCeC x ??
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ???? ； 2,
2
1 yy ????? ；
3, yyy ??????
3
)( ； 4, 0
1
2
2
??
?
??? y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
0,1,01
11
3
???????
?? xx
yyyy；
2,
1,0,0
00
2
?????????
?? xx
yyyay；
3,
2,1,3
00
??????
?? xx
yyyy
.
三,试求
xy ???
的经过点 )1,0(M 且在此点与直线
1
2
??
x
y 相切的积分曲线,
练习题答案
一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
????? ；
2,
21
)c o s(ln CCxy ???? ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
?? ；
4,
xCxC
y
21
1
1
?
??,
二,1,
2
2 xxy ?? ； 2, )1l n (
1
??? ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( ?? xy,
三,1
2
1
6
1
3
??? xxy,
