一阶线性微分方程 的标准形式, )()( xQyxP
dx
dy ??
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
,0)( ?xQ当 上方程称为 非齐次的,
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ?? 线性的 ;
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy 非线性的,
一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的 解法
1,线性齐次方程,0)( ?? yxPdxdy
(使用分离变量法 )
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy ??
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
??
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxy xQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 )( xuC ?
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数 ?
作变换 ?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ? dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy ? ),()( )( xQexu dxxP ??? ?
积分得,)()(
)( CdxexQxu dxxP ??? ?
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解
非齐次方程特解
非齐次线性方程的通解 相应齐方程的通解 等于
与非齐次方程的一个特解之和
即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
—— 线性微分方程 解的结构,是很优良的性质。
例 1,
s i n1 的通解求方程
x
xy
xy ???
解,1)( xxP ?,s i n)(
x
xxQ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
???
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
?
?
??
?
? ? ??? ? Cdxe
x
xe xx lnln s i n
解方程
2
5
)1(12 ???? xx ydxdy
解 相应齐方程 12?? x ydxdy
解得 2)1( ?? xcy
令 2)1)(( ?? xxcy
例 2
代入非齐方程
)1)((2)1)(( 2 ???? xxcxxc
2
5
2 )1(
1
1)1)((2 ??
???? xxxxc
2
1
)1()( ???? xxc
解得 cxxc ??? 2
3
)1(32)(
故非齐次方程的通解为
])1(
3
2[)1( 232 cxxy ????
例 3 解方程 12)1( 2 ?????? yxyx
解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y
若令 yz ?? zy ?????
12)1( 2 ????? xzzx
化成一阶线性方程 其通解为 211 xcxz ???
即 211 xcxy ???? 再积分
21
2 a rct a n)1l n (
2
1 cxcxy ????
即为原二阶方程的通解
例 4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
解,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?两边求导得,3 2xyy ???
解此微分方程
23 xyy ???
??
?
??
? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
一阶线性微分方程的通解也可写成
dxexQCey
x
x
dxxPdxxP
x
x
x
x ?
?
?
?
?
?
0
00
)()(
)([
方程 )()()()( xQyfxPdxdyyf ???
令 )( yfz ? )()( xQzxPdxdz ???
即化为一阶线性微分方程
注
二、伯努利方程
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ??
)1,0( ?n
时，当 1,0?n 方程为 线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为 非线性微分方程,
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
，得两端除以 ny ),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
代入上式 ),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
例 5,
4 2 的通解求方程 yxy
xdx
dy ??
解,得两端除以 y,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
例 6 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
解,dxdyxydxdz ??则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
分离变量法得,42s i n2 Cxzz ???
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???
,xyz ?令;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
注
利用变量代换将一个微分方程化为变量
可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是
求解微分方程的一种最常用的思想方法
如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性
方程, Bernoulli 方程等
都是通过变量代换来求解方程的。
将 ),( yxfdxdy ? 变换为 ),( 1 yxfdydx ?
也是经常可以考虑的
三、小结
1.齐次方程 )( xyfy ?? ;xuy ?令
2.线性非齐次方程 ;)( )(?? ? dxxPexuy令
3.伯努利方程 ;1 zy n ??令
思考题
求微分方程 的通解, yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
???
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s ??,ta n2s i n yxy ??
? ?,2s i nt a n yxydydx ????
? ?? ??? ? Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
??
?
??
? ?? ? Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s ? ?
.c o s2c o s yCy ??
练 习 题
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
?
??? ；
2, 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ；
3, 02)6(
2
??? y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 4,5c o t
2
c o s
????
?
?
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
??
?
?
?x
yy
x
x
dx
dy
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正
比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受
一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
?
??? ；
2, 0)]ln1([
3
???? dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的
方程,然后求出通解,
1, 1
1
?
?
?
yxdx
dy；
2, 1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
???????? xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
??
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy ???
,其中
?
?
?
?
??
?
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy ?
,满
足条件
0)0( ?y
,且在区间
),0[ ??
满足上述方程,
练习题答案
一,1,
x
eCxy
s i n
)(
?
?? ；
2, Cyyx ??
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx ??,
二,1, 15s i n
c o s
??
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
?
??
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
?
???,
四,1, Cxxy ?? ；
2, )
3
2
(l n
3
2
3
2
2
??? xxC
y
x
,
五,1, Cxyx ???? 2)(
2；
2,
Cx
xy
?
???
1
s i n1 ；
3, Cxxyxy ??? 4)2s i n (2,
六、
?
?
?
??
???
??
?
?
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.
dx
dy ??
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
,0)( ?xQ当 上方程称为 非齐次的,
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ?? 线性的 ;
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy 非线性的,
一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的 解法
1,线性齐次方程,0)( ?? yxPdxdy
(使用分离变量法 )
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy ??
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
??
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxy xQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 )( xuC ?
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数 ?
作变换 ?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ? dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy ? ),()( )( xQexu dxxP ??? ?
积分得,)()(
)( CdxexQxu dxxP ??? ?
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解
非齐次方程特解
非齐次线性方程的通解 相应齐方程的通解 等于
与非齐次方程的一个特解之和
即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
—— 线性微分方程 解的结构,是很优良的性质。
例 1,
s i n1 的通解求方程
x
xy
xy ???
解,1)( xxP ?,s i n)(
x
xxQ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
???
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
?
?
??
?
? ? ??? ? Cdxe
x
xe xx lnln s i n
解方程
2
5
)1(12 ???? xx ydxdy
解 相应齐方程 12?? x ydxdy
解得 2)1( ?? xcy
令 2)1)(( ?? xxcy
例 2
代入非齐方程
)1)((2)1)(( 2 ???? xxcxxc
2
5
2 )1(
1
1)1)((2 ??
???? xxxxc
2
1
)1()( ???? xxc
解得 cxxc ??? 2
3
)1(32)(
故非齐次方程的通解为
])1(
3
2[)1( 232 cxxy ????
例 3 解方程 12)1( 2 ?????? yxyx
解 这是一个二阶线性方程 由于其中不含变量 y
若令 yz ?? zy ?????
12)1( 2 ????? xzzx
化成一阶线性方程 其通解为 211 xcxz ???
即 211 xcxy ???? 再积分
21
2 a rct a n)1l n (
2
1 cxcxy ????
即为原二阶方程的通解
例 4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
解,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?两边求导得,3 2xyy ???
解此微分方程
23 xyy ???
??
?
??
? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
一阶线性微分方程的通解也可写成
dxexQCey
x
x
dxxPdxxP
x
x
x
x ?
?
?
?
?
?
0
00
)()(
)([
方程 )()()()( xQyfxPdxdyyf ???
令 )( yfz ? )()( xQzxPdxdz ???
即化为一阶线性微分方程
注
二、伯努利方程
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ??
)1,0( ?n
时，当 1,0?n 方程为 线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为 非线性微分方程,
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
，得两端除以 ny ),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
代入上式 ),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
例 5,
4 2 的通解求方程 yxy
xdx
dy ??
解,得两端除以 y,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
例 6 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
解,dxdyxydxdz ??则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
分离变量法得,42s i n2 Cxzz ???
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???
,xyz ?令;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
注
利用变量代换将一个微分方程化为变量
可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是
求解微分方程的一种最常用的思想方法
如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性
方程, Bernoulli 方程等
都是通过变量代换来求解方程的。
将 ),( yxfdxdy ? 变换为 ),( 1 yxfdydx ?
也是经常可以考虑的
三、小结
1.齐次方程 )( xyfy ?? ;xuy ?令
2.线性非齐次方程 ;)( )(?? ? dxxPexuy令
3.伯努利方程 ;1 zy n ??令
思考题
求微分方程 的通解, yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
???
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s ??,ta n2s i n yxy ??
? ?,2s i nt a n yxydydx ????
? ?? ??? ? Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
??
?
??
? ?? ? Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s ? ?
.c o s2c o s yCy ??
练 习 题
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
?
??? ；
2, 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ；
3, 02)6(
2
??? y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 4,5c o t
2
c o s
????
?
?
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
??
?
?
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yy
x
x
dx
dy
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正
比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受
一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
?
??? ；
2, 0)]ln1([
3
???? dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的
方程,然后求出通解,
1, 1
1
?
?
?
yxdx
dy；
2, 1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
???????? xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
??
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy ???
,其中
?
?
?
?
??
?
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy ?
,满
足条件
0)0( ?y
,且在区间
),0[ ??
满足上述方程,
练习题答案
一,1,
x
eCxy
s i n
)(
?
?? ；
2, Cyyx ??
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx ??,
二,1, 15s i n
c o s
??
x
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2,
1
1
33
2
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三,)1(
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四,1, Cxxy ?? ；
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六、
?
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1,)1(2
10,)1(2
)(
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x
.
