常系数线性微分
方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组
称为微分方程组,
注意,这几个微分方程联立起来共同确定了几
个具有同一自变量的函数,
常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个
微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线
性微分方程组,
步骤,
１,从方程组中消去一些未知函数及其各阶导
数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性
微分方程,
二、常系数线性微分方程组的解法
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知
函数,
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，
不必经过积分就可求出其余的未知函数,
例 1 解微分方程组
?
?
?
?
?
??
??
)2(.2
)1(,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
由 (2)式得
)3(21 ?????? ?? zdxdzy
设法消去未知函数, y解
两边求导得,)4(,2
1
2
2
???
?
???
? ??
dx
dz
dx
zd
dx
dy
把 (3),(4)代入 (1)式并化简,得
022
2
??? zdxdzdx zd
解之得通解 )5(,)( 21 xexCCz ??
)6(.)22(21 221 xexCCCy ???再把 (5)代入 (3)式,得
原方程组的通解为
,
)(
)22(
2
1
21
221
??
?
?
?
??
???
x
x
exCCz
exCCCy
用 D表示对自变量 x求导的运算,dx
d
)(1)1(1)( xfyayayay nnnn ?????? ?? ?例如,
D用记号 可表示为
)()( 111 xfyaDaDaD nnnn ????? ?? ?
注意,
nnnn aDaDaD ???? ?? 111 ?是 D 的多项式
可进行相加和相乘的运算,
例 2 解微分方程组 ?
?
?
??
?
?
???
???
.0
2
2
2
2
y
dt
dx
dt
yd
ex
dt
dy
dt
xd t
用记号 D 表示 dtd,则方程组可记作解
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
?
?
?
???
???
0)1(
)1(
2
2
yDDx
eDyxD t(１ )
(２ )
:)2()1( D??,3 teyDx ??? (３ )
:)3()2( D??,)1( 24 tDeyDD ???? (４ )
teyDD ???? )1( 24 (５ ) 即
非齐线性方程
其特征方程为 0124 ???? rr
解得特征根为
,2 15,2 51 4,32,1 ???????????? irr
易求一个特解,tey ?? 于是通解为
.s inc o s 4321 ttt etCtCeCeCy ??????? ???(６ )
将 (６ )代入 (３ )得
.2s inc o s 43332313 ttt etCtCeCeCx ??????????? ???
? 方程组通解为
?
?
?
?
?
???????
????
???????
???
???
ttt
t
tt
etCtCeCeCy
etC
tCeCeCx
s inc o s
2s in
c o s
4321
4
3
3
3
2
3
1
3
注意,在求得一个未知函数的通解以后，再求另
一个未知函数的通解时，一般不再积分,
三、小结
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时
，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两
次积分后出现的任意常数间的关系,
１．注意微分算子 D的使用；
方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组
称为微分方程组,
注意,这几个微分方程联立起来共同确定了几
个具有同一自变量的函数,
常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个
微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线
性微分方程组,
步骤,
１,从方程组中消去一些未知函数及其各阶导
数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性
微分方程,
二、常系数线性微分方程组的解法
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知
函数,
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，
不必经过积分就可求出其余的未知函数,
例 1 解微分方程组
?
?
?
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由 (2)式得
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设法消去未知函数, y解
两边求导得,)4(,2
1
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把 (3),(4)代入 (1)式并化简,得
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2
??? zdxdzdx zd
解之得通解 )5(,)( 21 xexCCz ??
)6(.)22(21 221 xexCCCy ???再把 (5)代入 (3)式,得
原方程组的通解为
,
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D用记号 可表示为
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注意,
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可进行相加和相乘的运算,
例 2 解微分方程组 ?
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用记号 D 表示 dtd,则方程组可记作解
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
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2
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teyDD ???? )1( 24 (５ ) 即
非齐线性方程
其特征方程为 0124 ???? rr
解得特征根为
,2 15,2 51 4,32,1 ???????????? irr
易求一个特解,tey ?? 于是通解为
.s inc o s 4321 ttt etCtCeCeCy ??????? ???(６ )
将 (６ )代入 (３ )得
.2s inc o s 43332313 ttt etCtCeCeCx ??????????? ???
? 方程组通解为
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注意,在求得一个未知函数的通解以后，再求另
一个未知函数的通解时，一般不再积分,
三、小结
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时
，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两
次积分后出现的任意常数间的关系,
１．注意微分算子 D的使用；
