常微分方程
在力学、物理学及工程技术等领域中
为了对客观事物运动的规律性进行研究，
往往需要寻求变量间的函数关系，但根据
问题的性质，常常只能得到待求函数的导
数或微分的关系式，这种关系式在数学上
称之为微分方程。微分方程又分为常微分
方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容
十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动
控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自
然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用
由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包
含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降
阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次
线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方
法。
本章先从解决这类实际问题入手，引出微
分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊
类型的微分方程的求解方法。
重点
五种标准类型的一阶方程的求解
可降阶的高阶方程的求解
二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解
难点
求解全微分方程
求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求
① 明确微分方程的几个基本概念
② 牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可
分离变量的微分方程
③ 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式,
会将 Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④ 掌握全微分方程的解法
⑤ 会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥ 掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟
练地应用特征根法、待定系数法求解二阶
常系数线性方程
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点 ( 1,2),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2? 2,1 ?? yx 时其中
?? x d xy 2,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒
2
,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解 )(,tssst ?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
??dt sd,20,0,0 ????
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv ????
2122.0 CtCts ????
代入条件后知 0,20 21 ?? CC
,204.0 ???? tdtdsv
故,202.0 2 tts ???
开始制动到列车完全停住共需 ),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米??????s
二、微分方程的定义
微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??,32 xeyyy ??????
,0)( 2 ??? xdxdtxt,yxx
z ??
?
?
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
微分方程的阶, 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数,
分类 2,
一阶微分方程,0),,( ??yyxF );,( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ??? ;02)( 2 ????? xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
三、主要问题 -----求方程的解
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
微分方程的解的分类,
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且独
立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xcxcy ??通解
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
?
?
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶, 过定点的积分曲线 ;
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
例 3 验证, 函数 ktCktCx s inc o s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
dt
xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
0
??
?
?
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx ????
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd ???
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
0
0 ??
?
?
t
t dt
dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为
补充, 微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.c o s ktAx ?
四、小结
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
思考题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
练 习 题
一,填空题,
1, 02
2
???????? yxyyx 是 _____ _ 阶微分方程；
2, 0
2
2
???
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 ____ __ 阶微分方程；
3, ??
?
?
2
s i n??
d
d
是 ____ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 ___ _ 个任意常数,
二、确定函数关系式 )s i n ( 21 cxcy ?? 所含的参数,使其
满足初始条件 1???xy,0?? ??xy, 三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案
一,1, 3 ； 2, 2 ； 3, 1 ； 4, 2,
二,.
2
,1
21
?
?? CC
三,02 ??? xyy,
四,xyy ????? 1,
在力学、物理学及工程技术等领域中
为了对客观事物运动的规律性进行研究，
往往需要寻求变量间的函数关系，但根据
问题的性质，常常只能得到待求函数的导
数或微分的关系式，这种关系式在数学上
称之为微分方程。微分方程又分为常微分
方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容
十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动
控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自
然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用
由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包
含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降
阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次
线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方
法。
本章先从解决这类实际问题入手，引出微
分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊
类型的微分方程的求解方法。
重点
五种标准类型的一阶方程的求解
可降阶的高阶方程的求解
二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解
难点
求解全微分方程
求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求
① 明确微分方程的几个基本概念
② 牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可
分离变量的微分方程
③ 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式,
会将 Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④ 掌握全微分方程的解法
⑤ 会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥ 掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟
练地应用特征根法、待定系数法求解二阶
常系数线性方程
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点 ( 1,2),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2? 2,1 ?? yx 时其中
?? x d xy 2,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒
2
,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解 )(,tssst ?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
??dt sd,20,0,0 ????
dt
dsvst 时
14.0 Ctdt
dsv ????
2122.0 CtCts ????
代入条件后知 0,20 21 ?? CC
,204.0 ???? tdtdsv
故,202.0 2 tts ???
开始制动到列车完全停住共需 ),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米??????s
二、微分方程的定义
微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy ??,32 xeyyy ??????
,0)( 2 ??? xdxdtxt,yxx
z ??
?
?
实质, 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数 (或微分 )之间的关系式,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
微分方程的阶, 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数,
分类 2,
一阶微分方程,0),,( ??yyxF );,( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ??? ;02)( 2 ????? xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
三、主要问题 -----求方程的解
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
微分方程的解的分类,
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且独
立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,yy ??例 ;xcey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xcxcy ??通解
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
?
?
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶, 过定点的积分曲线 ;
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
例 3 验证, 函数 ktCktCx s inc o s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
dt
xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
0
??
?
?
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx ????
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd ???
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
0
0 ??
?
?
t
t dt
dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为
补充, 微分方程的初等解法, 初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.c o s ktAx ?
四、小结
微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
思考题
函数 xey 23? 是微分方程 04 ???? yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey ???,12 2 xey ???
???? yy 4,03412 22 ??? xx ee
xey 23?? 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
练 习 题
一,填空题,
1, 02
2
???????? yxyyx 是 _____ _ 阶微分方程；
2, 0
2
2
???
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 ____ __ 阶微分方程；
3, ??
?
?
2
s i n??
d
d
是 ____ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 ___ _ 个任意常数,
二、确定函数关系式 )s i n ( 21 cxcy ?? 所含的参数,使其
满足初始条件 1???xy,0?? ??xy, 三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案
一,1, 3 ； 2, 2 ； 3, 1 ； 4, 2,
二,.
2
,1
21
?
?? CC
三,02 ??? xyy,
四,xyy ????? 1,
