)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程,0?????? qyypy
通解结构,yYy ??
常见类型 ),( xPm,)( xm exP ?
,c o s)( xexP xm ??,s i n)( xexP xm ??
难点, 如何求特解？ 方法, 待定系数法,
自由项为
二阶常系数非齐次线性微分方程
一,型 )()( xPexf mx??
设非齐方程特解为 xexQy ?)(? 代入原方程
)()()()()2()().( 2 xPxQqpxQpxQ m?????????? ???
不是特征方程的根，若 ?)1(,02 ??? qp ?
),()( xQxQ m?可设 ;)( xm exQy ??
是特征方程的单根，若 ?)2(
,02 ??? qp ??,02 ?? p
),()( xxQxQ m?可设 ;)( xm exxQy ??
是特征方程的重根，若 ?)3(
,02 ??? qp ??,02 ?? p?
),()( 2 xQxxQ m?可设,)(2 xm exxy ??
综上讨论
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性
微分方程（ k是重根次数）,
特别地 xAeqyypy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
是特征方程的重根
是特征方程的单根
不是特征方程的根
?
?
?
?
??
?
?
?
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
例 1,23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????
解 特征方程,0232 ??? rr
特征根,,21 21 ?? rr
对应齐次方程通解,221 xx ececY ??
是单根，2???,)( 2 xeBAxxy ??设
代入方程,得 xABAx ??? 22
,
1
2
1
??
?
?
?
??
?
?
B
A
xexxy 2)1
2
1( ??于是
原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy ????
求通解 xxeyyy 3596 ???????
解 特征方程 0962 ??? rr
特征根 321 ??? rr
齐通解 xexccY 321 )( ???
是重根3???? xeBAxxy 32 )( ???? 可设
即 23)( BxAxxQ ?? BxAxxQ 23)( 2 ???
BAxxQ 26)( ???? 代入（ *）式
xBAx 526 ?? 0,
6
5 ??? BA xexy 33
6
5 ???
非齐通解为 xexxccy 3321 )65( ????
例 2
型二,xexPxf xm ?? co s)()( ?
型型及其组合xexPxf xm ?? si n)()( ?
xexPxf xm ?? c o s)()( ? xexPxf xm ?? s in)()( ?
分别是 xjm exP )()( ?? ?的实部和虚部
,)( )( xjm exPqyypy ?? ???????考虑方程
可设 xjmk exQxy )()( ?? ??
次复系数多项式是 mxQ m )(
)()()( 21 xjQxQxQ m ??记
次实系数多项式均是 mxQxQ )(),( 21
辅助方程
)s i n( c o s)]()([ 21 xjxexjQxQxy xk ??? ???
)]co s)(s i n)((
)s i n)(co s)([(
21
21
xxQxxQj
xxQxxQex xk
??
???
??
??
??
?
?
??
是特征方程的单根
不是特征方程的根
??
??
j
jk
,1
,0
由分解定理
]s i n)(c o s)([Re 21 xxQxxQexy xk ??? ??
]c o s)(s i n)([Im 21 xxQxxQexy xk ??? ??
分别是以 xexPxf xm ?? c o s)()( ?
xexPxf xm ?? s in)()( ? 为自由项的非齐次线性微分方程的特解
注意
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程
例 3,s i n4 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,4 jxeyy ????
,是单根j???,* jxA x ey ?故
代入上式,42 ?Aj,2 jA ???
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx ?????
所求非齐方程特解为,co s2 xxy ?? （取虚部）
原方程通解为,c o s2s inc o s
21 xxxCxCy ???
这种方法称为复数法
例 4,2co s 的通解求方程 xxyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,2 jxxeyy ????
,2 不是特征方程的根j???
,)( 2* jxeBAxy ??设 代入辅助方程
?
?
?
??
??
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA ?????,
,)9431( 2* jxejxy ????
)2s i n2)(co s9431( xjxjx ????
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx ?????
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy ???
（取实部）
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy ????
注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe ?? ?
例 5,t a n 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方程通解,s inc o s 21 xCxCY ??
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy ??设
,1)( ?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
?
?
?
???
????
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy ?????
例 6 求通解 xeyy x c o s?????
解 相应齐方程 0???? yy
特征方程 jrr ????? 2,12 01
齐通解 xcxcY s inc o s 21 ??
先求 xeyy ???? 的特解
设 xAey ?*1 代入方程
2
1?A xey
2
1*
1 ??
再求 xyy c o s???? 的特解
考虑辅助方程
jxeyy ????
是单根j??? 可设 jxA xey ?
jxjx A j xeAey ??? jxjx A xeA j ey ???? 2
代入方程得
jA 2
1?
xxjxxxejy jx c o s21s in212 1 ????
取实部得 xxy s i n21*2 ?
原方程的特解 )s i n(21*2*1* xxeyyy x ????
所求通解为 )s i n(21s i nco s 21 xxexcxcy x ????
例 7 设 )( 22 yxfu ?? 具有连续的二阶偏导数
且满足
22
2
2
2
2 1
yxuxuxy ux u ????????????
求 u 的表达式
解 记 22 yxr ?? 则 )( rfu ?
r
x
dr
du
x
u
dr
du
x
u ??
?
???
?
?
dr
du
r
y
dr
ud
r
x
x
u ????
?
?
3
2
2
2
2
2
2
)(
同理 drdurxdr udryy u ?????? 3
2
2
2
2
2
2
)( ?
udr uduxuxy ux u ???????????? 2
2
2
2
2
2 1
22
2
2
yxudr ud ????
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
解得 2s i nc o s 221 ???? rrcrcu
222221 s inc o s yxcyxcu ?????
2
2
2
rudr ud ??即
一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离
钉子 8米，另一端离钉子 12米，若不计摩
擦力，求此链条滑过钉子所需的时间
下段重为
解 设时刻 t 链条下落了 x 米
另设链条单位长重为 )(
mkgw
则上段重为 )12( xw ?
)8( xw ?
由 Newton第二定律
2
2
20)]8()12([ dt xdwgxwxw ????
例 8
0,0 00 ?? ?? tt dtdxx
特征方程 0102 ?? gr 特征根 102,1
gr ??
齐通解 tgtg ececX 10
2
10
1
???
特解 2* ??x
故 2)( 102101 ??? ? t
gtg
ecectx
代入初始条件
解得 121 ?? cc
2)( 1010 ??? ? t
gtg
eetx 时当 8?x
)(3.2)625l n (10 sgt ???
三、小结 (待定系数法 )
可以是复数）?? (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk ??
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??
只含上式一项解法, 作辅助方程,求特解,取
特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题
写出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????
的待定特解的形式,
思考题解答
设 的特解为 2644 xyyy ?????? *1y
xeyyy 2844 ??????设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy ?则所求特解为
0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?
CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根）
*2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2,22 xeDx?
练 习 题
一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay ????
2；
2,
x
xeyyy
?
?????? 323 ；
3, xxyy c o s4 ???? ；
4, xyy
2
s i n????,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,
0,1,54
00
????????
?? xx
yyyy；
2,
xx
exeyyy ??????? 2,1,1
11
???
?? xx
yy；
3,
)2c o s(
2
1
4 xxyy ?????
,
0,0
00
???
?? xx
yy
.
三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对
电 充电容器 C, 已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电
及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
?? ???
xx
x
dttxdtttex
00
)()()( ???,
)( x?求,
练习题答案
一,1,
221
1
s i nc o s
a
e
axCaxCy
x
?
??? ；
2, )3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
????
???；
3, xxxxCxCy s i n
9
2
c o s
3
1
2s i n2c o s
21
???? ；
4,
2
1
2c o s
10
1
21
????
?
xeCeCy
xx
.
二,1, xey
x
4
5
)511(
16
1
4
??? ；
2,
xxx
e
x
e
x
ex
ee
y
26
])
1
2
1
(
6
12
[
23
??????；
3, )2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy ????,
三,)105si n (104)(
31052
3
teti
t
???
???
( 安 ),
]105si n ()105[ c o s(2020)(
33105
3
ttetu
t
c
?????
??
( 伏 ),
四,)s i n(c o s
2
1
)(
x
exxx ????,
对应齐次方程,0?????? qyypy
通解结构,yYy ??
常见类型 ),( xPm,)( xm exP ?
,c o s)( xexP xm ??,s i n)( xexP xm ??
难点, 如何求特解？ 方法, 待定系数法,
自由项为
二阶常系数非齐次线性微分方程
一,型 )()( xPexf mx??
设非齐方程特解为 xexQy ?)(? 代入原方程
)()()()()2()().( 2 xPxQqpxQpxQ m?????????? ???
不是特征方程的根，若 ?)1(,02 ??? qp ?
),()( xQxQ m?可设 ;)( xm exQy ??
是特征方程的单根，若 ?)2(
,02 ??? qp ??,02 ?? p
),()( xxQxQ m?可设 ;)( xm exxQy ??
是特征方程的重根，若 ?)3(
,02 ??? qp ??,02 ?? p?
),()( 2 xQxxQ m?可设,)(2 xm exxy ??
综上讨论
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性
微分方程（ k是重根次数）,
特别地 xAeqyypy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
是特征方程的重根
是特征方程的单根
不是特征方程的根
?
?
?
?
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?
?
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x
x
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y
2
2
2
,
2
,
例 1,23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????
解 特征方程,0232 ??? rr
特征根,,21 21 ?? rr
对应齐次方程通解,221 xx ececY ??
是单根，2???,)( 2 xeBAxxy ??设
代入方程,得 xABAx ??? 22
,
1
2
1
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?
?
?
??
?
?
B
A
xexxy 2)1
2
1( ??于是
原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy ????
求通解 xxeyyy 3596 ???????
解 特征方程 0962 ??? rr
特征根 321 ??? rr
齐通解 xexccY 321 )( ???
是重根3???? xeBAxxy 32 )( ???? 可设
即 23)( BxAxxQ ?? BxAxxQ 23)( 2 ???
BAxxQ 26)( ???? 代入（ *）式
xBAx 526 ?? 0,
6
5 ??? BA xexy 33
6
5 ???
非齐通解为 xexxccy 3321 )65( ????
例 2
型二,xexPxf xm ?? co s)()( ?
型型及其组合xexPxf xm ?? si n)()( ?
xexPxf xm ?? c o s)()( ? xexPxf xm ?? s in)()( ?
分别是 xjm exP )()( ?? ?的实部和虚部
,)( )( xjm exPqyypy ?? ???????考虑方程
可设 xjmk exQxy )()( ?? ??
次复系数多项式是 mxQ m )(
)()()( 21 xjQxQxQ m ??记
次实系数多项式均是 mxQxQ )(),( 21
辅助方程
)s i n( c o s)]()([ 21 xjxexjQxQxy xk ??? ???
)]co s)(s i n)((
)s i n)(co s)([(
21
21
xxQxxQj
xxQxxQex xk
??
???
??
??
??
?
?
??
是特征方程的单根
不是特征方程的根
??
??
j
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,1
,0
由分解定理
]s i n)(c o s)([Re 21 xxQxxQexy xk ??? ??
]c o s)(s i n)([Im 21 xxQxxQexy xk ??? ??
分别是以 xexPxf xm ?? c o s)()( ?
xexPxf xm ?? s in)()( ? 为自由项的非齐次线性微分方程的特解
注意
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程
例 3,s i n4 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,4 jxeyy ????
,是单根j???,* jxA x ey ?故
代入上式,42 ?Aj,2 jA ???
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx ?????
所求非齐方程特解为,co s2 xxy ?? （取虚部）
原方程通解为,c o s2s inc o s
21 xxxCxCy ???
这种方法称为复数法
例 4,2co s 的通解求方程 xxyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,2 jxxeyy ????
,2 不是特征方程的根j???
,)( 2* jxeBAxy ??设 代入辅助方程
?
?
?
??
??
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA ?????,
,)9431( 2* jxejxy ????
)2s i n2)(co s9431( xjxjx ????
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx ?????
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy ???
（取实部）
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy ????
注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe ?? ?
例 5,t a n 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方程通解,s inc o s 21 xCxCY ??
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy ??设
,1)( ?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
?
?
?
???
????
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy ?????
例 6 求通解 xeyy x c o s?????
解 相应齐方程 0???? yy
特征方程 jrr ????? 2,12 01
齐通解 xcxcY s inc o s 21 ??
先求 xeyy ???? 的特解
设 xAey ?*1 代入方程
2
1?A xey
2
1*
1 ??
再求 xyy c o s???? 的特解
考虑辅助方程
jxeyy ????
是单根j??? 可设 jxA xey ?
jxjx A j xeAey ??? jxjx A xeA j ey ???? 2
代入方程得
jA 2
1?
xxjxxxejy jx c o s21s in212 1 ????
取实部得 xxy s i n21*2 ?
原方程的特解 )s i n(21*2*1* xxeyyy x ????
所求通解为 )s i n(21s i nco s 21 xxexcxcy x ????
例 7 设 )( 22 yxfu ?? 具有连续的二阶偏导数
且满足
22
2
2
2
2 1
yxuxuxy ux u ????????????
求 u 的表达式
解 记 22 yxr ?? 则 )( rfu ?
r
x
dr
du
x
u
dr
du
x
u ??
?
???
?
?
dr
du
r
y
dr
ud
r
x
x
u ????
?
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3
2
2
2
2
2
2
)(
同理 drdurxdr udryy u ?????? 3
2
2
2
2
2
2
)( ?
udr uduxuxy ux u ???????????? 2
2
2
2
2
2 1
22
2
2
yxudr ud ????
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
解得 2s i nc o s 221 ???? rrcrcu
222221 s inc o s yxcyxcu ?????
2
2
2
rudr ud ??即
一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离
钉子 8米，另一端离钉子 12米，若不计摩
擦力，求此链条滑过钉子所需的时间
下段重为
解 设时刻 t 链条下落了 x 米
另设链条单位长重为 )(
mkgw
则上段重为 )12( xw ?
)8( xw ?
由 Newton第二定律
2
2
20)]8()12([ dt xdwgxwxw ????
例 8
0,0 00 ?? ?? tt dtdxx
特征方程 0102 ?? gr 特征根 102,1
gr ??
齐通解 tgtg ececX 10
2
10
1
???
特解 2* ??x
故 2)( 102101 ??? ? t
gtg
ecectx
代入初始条件
解得 121 ?? cc
2)( 1010 ??? ? t
gtg
eetx 时当 8?x
)(3.2)625l n (10 sgt ???
三、小结 (待定系数法 )
可以是复数）?? (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk ??
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??
只含上式一项解法, 作辅助方程,求特解,取
特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题
写出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????
的待定特解的形式,
思考题解答
设 的特解为 2644 xyyy ?????? *1y
xeyyy 2844 ??????设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy ?则所求特解为
0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?
CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根）
*2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2,22 xeDx?
练 习 题
一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay ????
2；
2,
x
xeyyy
?
?????? 323 ；
3, xxyy c o s4 ???? ；
4, xyy
2
s i n????,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,
0,1,54
00
????????
?? xx
yyyy；
2,
xx
exeyyy ??????? 2,1,1
11
???
?? xx
yy；
3,
)2c o s(
2
1
4 xxyy ?????
,
0,0
00
???
?? xx
yy
.
三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对
电 充电容器 C, 已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电
及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
?? ???
xx
x
dttxdtttex
00
)()()( ???,
)( x?求,
练习题答案
一,1,
221
1
s i nc o s
a
e
axCaxCy
x
?
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2, )3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
????
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3, xxxxCxCy s i n
9
2
c o s
3
1
2s i n2c o s
21
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4,
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10
1
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????
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xx
.
二,1, xey
x
4
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16
1
4
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2,
xxx
e
x
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y
26
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1
2
1
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6
12
[
23
??????；
3, )2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy ????,
三,)105si n (104)(
31052
3
teti
t
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( 安 ),
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33105
3
ttetu
t
c
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