欧 拉 方 程
一、欧拉方程
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ?????? ??? ?
的方程 (其中 nppp ?21,
形如
叫 欧拉方程, 为常数 )
特点, 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自
变量的方次数相同,
解法, 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变
量代换可化为常系数微分方程,
作变量变换,ln xtex t ?? 或
,1 dtdyxdxdtdtdydxdy ??
,1 2
2
22
2
?????? ?? dtdydt ydxdx yd
将自变量换为,t
,231 2
2
3
3
33
3
?????? ??? dtdydt yddt ydxdx yd ??
用 D 表示对自变量 t 求导的运算,dtd
上述结果可以写为
,Dyyx ??
,)1()( 22
2
2 yDDyDD
dt
dy
dt
ydyx ????????
,)2)(1()23(
23
23
2
2
3
3
3
yDDDyDDD
dt
dy
dt
yd
dt
yd
yx
??????
??????
??
.)1()1()( ykDDDyx kk ???? ?
将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量 t
的常系数 线性微分方程, 求出这个方程的解后
,t把 换为, xln 即得到原方程的解,
一般地,
例 求欧拉方程
223 34 xyxyxyx ?????????的通解,
解 作变量变换,ln xtex t ?? 或
原方程化为
,34)1()2)(1( 2 teDyyDDyDDD ??????
即,332 223 teDyyDyD ???
或,332 22
2
3
3
te
dt
dy
dt
yd
dt
yd ??? (1)
方程 (1)所对应的齐次方程为
,032 2
2
3
3
??? dtdydt yddt yd
其特征方程,032 23 ??? rrr
特征方程的根为,3,1,0 321 ???? rrr
所以齐次方程的通解为
.33213321 xCxCCeCeCCY tt ????? ?
设特解为,22 bxbey t ???
代入原方程，得,21??b
所给欧拉方程的通解为,21 23321 xxCxCCy ????
,2
2x
y ???即
二、小结
欧拉方程解法思路
变系数的线
性微分方程
常系数的线
性微分方程
变量代换
注意：欧拉方程的形式,
xtex t ln?? 或
一、欧拉方程
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ?????? ??? ?
的方程 (其中 nppp ?21,
形如
叫 欧拉方程, 为常数 )
特点, 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自
变量的方次数相同,
解法, 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变
量代换可化为常系数微分方程,
作变量变换,ln xtex t ?? 或
,1 dtdyxdxdtdtdydxdy ??
,1 2
2
22
2
?????? ?? dtdydt ydxdx yd
将自变量换为,t
,231 2
2
3
3
33
3
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用 D 表示对自变量 t 求导的运算,dtd
上述结果可以写为
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2
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将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量 t
的常系数 线性微分方程, 求出这个方程的解后
,t把 换为, xln 即得到原方程的解,
一般地,
例 求欧拉方程
223 34 xyxyxyx ?????????的通解,
解 作变量变换,ln xtex t ?? 或
原方程化为
,34)1()2)(1( 2 teDyyDDyDDD ??????
即,332 223 teDyyDyD ???
或,332 22
2
3
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方程 (1)所对应的齐次方程为
,032 2
2
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其特征方程,032 23 ??? rrr
特征方程的根为,3,1,0 321 ???? rrr
所以齐次方程的通解为
.33213321 xCxCCeCeCCY tt ????? ?
设特解为,22 bxbey t ???
代入原方程，得,21??b
所给欧拉方程的通解为,21 23321 xxCxCCy ????
,2
2x
y ???即
二、小结
欧拉方程解法思路
变系数的线
性微分方程
常系数的线
性微分方程
变量代换
注意：欧拉方程的形式,
xtex t ln?? 或
