)()()(2
2
xfyxQdxdyxPdx yd ???二阶线性微分方程
时，当 0)( ?xf 二阶线性齐次微分方程
时，当 0)( ?xf 二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?
特点 未知函数及其各阶导数都是一次幂
高阶线性微分方程
本节只讨论二阶线性微分方程
)()()( xfyxQyxPy ??????
所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形
一、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( ?????? yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个
解,那末 2211 yCyCy ?? 也是 (1) 的解, （ 21,CC 是常
数）
问题, 一定是通解吗？2211 yCyCy ??
定义：设
n
yyy,,,
21
? 为定义在区间 I 内的 n 个
函数．如果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
0
2211
????
nn
ykykyk ?,
那么称这
n
个函数在区间
I
内 线性相关,否则称
线 性无关
例如 时，当 ),( ?????x xxx eee 2,?,线性无关
xx 22 sin,co s1, 线性相关
若在 I 上有 常数，?
)(
)(
2
1
xy
xy
则函数 )(1 xy 与 )(2 xy 在 I 上 线性无关,
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 (1) 的两个线性
无关的特解,那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 (1) 的
通解,
例如,0???? yy,s i n,c o s 21 xyxy ??
,t a n
1
2 常数且 ?? x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy ??
特别地,
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy ??????
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通
解,那么
*
yYy ?? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函
数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy ???????
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy ??????
)()()(
2
xfyxQyxPy ??????
的特解,那么
*
2
*
1
yy ? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
是若 *2*1* jyyy ??
)()()()( 21 xjfxfyxQyxPy ???????
的特解 则
的特解是 )()()( 1*1 xfyxQyxPyy ??????
的特解是 )()()( 2*2 xfyxQyxPyy ??????
即 特解的实部是实部方程的特解
特解的虚部是虚部方程的特解
定理 5
二、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解 ------降阶法
的一个非零特解，是方程设 )1(1y
12 )( yxuy ?令 代入 (1)式,得
,0))()(())(2( 111111 ????????????? uyxQyxPyuyxPyuy
,0))(2( 111 ??????? uyxPyuy即,uv ??令
则有,0))(2( 111 ????? vyxPyvy
0))(2( 111 ????? vyxPyvy 的一阶方程 v
降阶法
解得,1 )(2
1
?? ? dxxPe
yv dxeyu
dxxP??? ?? )(
2
1
1
,1 )(2
1
12 dxeyyy
dxxP??? ??
Liouville公式 齐次方程通解为
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP?????
2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法
设对应齐次方程通解为 2211 yCyCy ?? (3)
设非齐次方程通解为 2211 )()( yxcyxcy ??
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ?????????
设 0)()( 2211 ???? yxcyxc (4)
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ??????????????
得代入方程将 ),2(,,yyy ???
)())()()((
))()()(()()(
2222
11112211
xfyxQyxPyxc
yxQyxPyxcyxcyxc
???????
???????????
)()()( 2211 xfyxcyxc ?????? (5)
(4),(5)联立方程组 ??
?
??????
????
)()()(
0)()(
2211
2211
xfyxcyxc
yxcyxc
,0)(
21
21 ?
??? yy
yyxw系数行列式?
,)( )()( 21 xw xfyxc ????,)(
)()( 1
2 xw
xfyxc ??
积分可得,)( )()( 211 ? ??? dxxw xfyCxc
,)( )()( 122 ??? dxxw xfyCxc
非齐次方程通解为
.)( )()( )( 12212211 ?? ???? dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
例,11
1
1 的通解求方程 ????????? xyxyx
xy
解,01 111 ????? xxx?
对应齐方程一特解为,1 xey ? 由刘维尔公式
? ?? ?? dxeeey dxx
x
x
x 1
22
1,x?
对应齐方通解为,21 xeCxCY ??
设原方程的通解为,)()( 21 xexcxxcy ??
应满足方程组,)()( 21 xcxc ??
?
?
?
?????
????
1)()(
0)()(
21
21
xxcexc
xcexcx
x
x
解得
?
?
?
??
???
? xxexc
xc
)(
1)(
2
1
，11 )( Cxxc ??? 22 )( Cexexc xx ???? ??
原方程的通解为,1221 ????? xxeCxCy x
补充内容 0)()( ?????? yxQyxPy 可观察出
一个特解
,0)()()1( ?? xxQxP若 ;xy ?特解
,0)()(1)2( ??? xQxP若 ;xey ?特解
,0)()(1)3( ??? xQxP若,xey ??特解
0)()4( ?xQ若 特解 y = 1
0)()()1()5( 2 ???? xQxxm xPmm若
特解 y = xm
0)()()6( 2 ??? xQxP??若 xey ??特解
三、小结
主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
练 习 题
一,验证
2
1
x
ey ? 及
2
2
x
xey ? 都是方程
0)24(4
2
??????? yxyxy 的解,并写出该方程的通
解,
二,证明下列函数是相应的微分方程的通解,
1, ),(ln
21
2
2
2
1
是任意常数ccxxcxcy ?? 是方程
043
2
?????? yyxyx 的通解；
2, ),(
2
)(
1
2121
是任意常数cc
e
ecec
x
y
x
xx
???
?
是
方程
x
exyyyx ?????? 2 的通解,
三、已知
x
exy ?)(
1
是齐次线性方程
02)12()12( ???????? yyxyx 的一个解,求此方程
的通解,
四、已知齐次线性方程 0
2
?????? yyxyx 的通解为
xxcxcxY ln)(
21
??,求非齐次线性方程
xyyxyx ??????
2
的通解,
练习题答案 一、
2
)(
21
x
exCCy ??,
三,)12(21 ??? xCeCy
x
,
四、
2
21
)(l n
2
1
ln xxxxCxCy ???,
2
xfyxQdxdyxPdx yd ???二阶线性微分方程
时，当 0)( ?xf 二阶线性齐次微分方程
时，当 0)( ?xf 二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn ?????? ?? ?
特点 未知函数及其各阶导数都是一次幂
高阶线性微分方程
本节只讨论二阶线性微分方程
)()()( xfyxQyxPy ??????
所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形
一、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( ?????? yxQyxPy
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个
解,那末 2211 yCyCy ?? 也是 (1) 的解, （ 21,CC 是常
数）
问题, 一定是通解吗？2211 yCyCy ??
定义：设
n
yyy,,,
21
? 为定义在区间 I 内的 n 个
函数．如果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
0
2211
????
nn
ykykyk ?,
那么称这
n
个函数在区间
I
内 线性相关,否则称
线 性无关
例如 时，当 ),( ?????x xxx eee 2,?,线性无关
xx 22 sin,co s1, 线性相关
若在 I 上有 常数，?
)(
)(
2
1
xy
xy
则函数 )(1 xy 与 )(2 xy 在 I 上 线性无关,
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 (1) 的两个线性
无关的特解,那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 (1) 的
通解,
例如,0???? yy,s i n,c o s 21 xyxy ??
,t a n
1
2 常数且 ?? x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy ??
特别地,
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy ??????
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通
解,那么
*
yYy ?? 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函
数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy ???????
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy ??????
)()()(
2
xfyxQyxPy ??????
的特解,那么
*
2
*
1
yy ? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
是若 *2*1* jyyy ??
)()()()( 21 xjfxfyxQyxPy ???????
的特解 则
的特解是 )()()( 1*1 xfyxQyxPyy ??????
的特解是 )()()( 2*2 xfyxQyxPyy ??????
即 特解的实部是实部方程的特解
特解的虚部是虚部方程的特解
定理 5
二、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解 ------降阶法
的一个非零特解，是方程设 )1(1y
12 )( yxuy ?令 代入 (1)式,得
,0))()(())(2( 111111 ????????????? uyxQyxPyuyxPyuy
,0))(2( 111 ??????? uyxPyuy即,uv ??令
则有,0))(2( 111 ????? vyxPyvy
0))(2( 111 ????? vyxPyvy 的一阶方程 v
降阶法
解得,1 )(2
1
?? ? dxxPe
yv dxeyu
dxxP??? ?? )(
2
1
1
,1 )(2
1
12 dxeyyy
dxxP??? ??
Liouville公式 齐次方程通解为
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP?????
2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法
设对应齐次方程通解为 2211 yCyCy ?? (3)
设非齐次方程通解为 2211 )()( yxcyxcy ??
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ?????????
设 0)()( 2211 ???? yxcyxc (4)
22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy ??????????????
得代入方程将 ),2(,,yyy ???
)())()()((
))()()(()()(
2222
11112211
xfyxQyxPyxc
yxQyxPyxcyxcyxc
???????
???????????
)()()( 2211 xfyxcyxc ?????? (5)
(4),(5)联立方程组 ??
?
??????
????
)()()(
0)()(
2211
2211
xfyxcyxc
yxcyxc
,0)(
21
21 ?
??? yy
yyxw系数行列式?
,)( )()( 21 xw xfyxc ????,)(
)()( 1
2 xw
xfyxc ??
积分可得,)( )()( 211 ? ??? dxxw xfyCxc
,)( )()( 122 ??? dxxw xfyCxc
非齐次方程通解为
.)( )()( )( 12212211 ?? ???? dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
例,11
1
1 的通解求方程 ????????? xyxyx
xy
解,01 111 ????? xxx?
对应齐方程一特解为,1 xey ? 由刘维尔公式
? ?? ?? dxeeey dxx
x
x
x 1
22
1,x?
对应齐方通解为,21 xeCxCY ??
设原方程的通解为,)()( 21 xexcxxcy ??
应满足方程组,)()( 21 xcxc ??
?
?
?
?????
????
1)()(
0)()(
21
21
xxcexc
xcexcx
x
x
解得
?
?
?
??
???
? xxexc
xc
)(
1)(
2
1
，11 )( Cxxc ??? 22 )( Cexexc xx ???? ??
原方程的通解为,1221 ????? xxeCxCy x
补充内容 0)()( ?????? yxQyxPy 可观察出
一个特解
,0)()()1( ?? xxQxP若 ;xy ?特解
,0)()(1)2( ??? xQxP若 ;xey ?特解
,0)()(1)3( ??? xQxP若,xey ??特解
0)()4( ?xQ若 特解 y = 1
0)()()1()5( 2 ???? xQxxm xPmm若
特解 y = xm
0)()()6( 2 ??? xQxP??若 xey ??特解
三、小结
主要内容 线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
练 习 题
一,验证
2
1
x
ey ? 及
2
2
x
xey ? 都是方程
0)24(4
2
??????? yxyxy 的解,并写出该方程的通
解,
二,证明下列函数是相应的微分方程的通解,
1, ),(ln
21
2
2
2
1
是任意常数ccxxcxcy ?? 是方程
043
2
?????? yyxyx 的通解；
2, ),(
2
)(
1
2121
是任意常数cc
e
ecec
x
y
x
xx
???
?
是
方程
x
exyyyx ?????? 2 的通解,
三、已知
x
exy ?)(
1
是齐次线性方程
02)12()12( ???????? yyxyx 的一个解,求此方程
的通解,
四、已知齐次线性方程 0
2
?????? yyxyx 的通解为
xxcxcxY ln)(
21
??,求非齐次线性方程
xyyxyx ??????
2
的通解,
练习题答案 一、
2
)(
21
x
exCCy ??,
三,)12(21 ??? xCeCy
x
,
四、
2
21
)(l n
2
1
ln xxxxCxCy ???,
