一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法 0?????? qyypy
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
特征根,2 4
2
2,1
qppr ????
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 0
即函数和其各阶导数只相差常数因子
猜想 有特解 rxey ?
? 有两个不相等的实根
特征根为,2 4
2
1
qppr ????,
2
42
2
qppr ????
两个线性无关的特解
,11 xrey ?,22 xrey ?
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
)0( ??
? 有两个相等的实根
特征根为,
221
prr ??? 一特解为,
11 xrey ?
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
)0( ??
? 有一对共轭复根
特征根为,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
)0( ??
由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
方法步骤
① 写出特征方程 02 ??? qprr
② 求出特征根 21,rr
③ 按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解
特征根 齐通解
)(21 实rr ? xrxr ececY 21 21 ??
21 rr ? xrexccY 1)( 21 ??
?? jr ??2,1 )s i nc o s( 21 xcxceY x ??? ??
例 1 求通解 032 ?????? yyy
解 特征方程为 0322 ??? rr
特征根为 3,1 21 ??? rr
齐通解为 xx ececY 321 ?? ?
例 2,044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 3,052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 4 设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，铅直放
在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒
在水中振动的周期为 2 秒，求浮筒的质量
解 设浮筒的质量为 m
平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 glR ?? 2?? 重力 mg?
mgglR ??2??
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时
浮力 gxlR )(2 ?? ?? 重力 mg?
由 Newton第二定律
mggxlRdt xdm ??? )(22
2
??
glRgxlR ???? 22 )( ????
gxR 2????
0
2
2
2
??? xm gRdt xd ??
记
m
gR 22 ??? ? 02
2
2
??? xdt xd ?
tctcx ?? s inc o s 21 ??? ??? ??? T2
)(25.1 9 5
2
kggRm ??? ??
3310 m
kg??
28.9 smg ? mR 25.0? 14.3??
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各含一
个任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
实重根 复单根 复重根 实单根 几种情况
每个根对应通解中的一项
其写法与二阶方程的情形完全类似
具体分为
例 5 0)4( ?? yy
解 特征方程为 014 ??r
解得 jrr ???? 4,32,1,1
故所求通解为
xcxcececy xx s inc o s
4321 ???? ?
例 6,022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy
解 特征方程为,0122 2345 ?????? rrrrr
0)1)(1( 22 ??? rr
,0)1)(1( 22 ??? rr
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
0?????? qyypy 2 ??? qprr
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
思考题
求微分方程 的通解, ? ? yyyyy ln22 ?????
思考题解答
,0?y?
? ?,ln
2
2
yy yyy ??????
,ln y
y
y ???
?
??
?
? ?
? ?,ln yyy x ???? ? ?,lnln yy ???
令 yz ln? 则,0???? zz 特征根 1???
通解 xx eCeCz ??? 21,ln 21 xx eCeCy ????
练 习 题
一,求下列微分方程的通解,
1, 04 ????? yy ； 2, 025204 2
2
??? x
dt
dx
dt
xd；
3, 0136 ?????? yyy ； 4, 0365)4( ????? yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0,2,044
00
?????????
?? xx
yyyyy ；
2, 3,0,0134
00
?????????
?? xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1 ?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练习题答案
一,1,
x
eCCy
4
21
?? ； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ?? ；
3, )2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
x
??
?；
4, xCxCeCeCy
xx
3s i n3c o s
43
2
2
2
1
????
?
,
二,1, )2(
2
xey
x
??
?； 2, xey
x
3s i n
2
?,
三,0????? yy, ( 提示, 为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,195?M kg,
n阶常系数线性微分方程的标准形式
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
0?????? qyypy
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
)( xfqyypy ??????
二阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法 0?????? qyypy
,rxey ?设 将其代入上方程,得
0)( 2 ??? rxeqprr,0?rxe?
故有 02 ??? qprr 特征方程
特征根,2 4
2
2,1
qppr ????
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于 0
即函数和其各阶导数只相差常数因子
猜想 有特解 rxey ?
? 有两个不相等的实根
特征根为,2 4
2
1
qppr ????,
2
42
2
qppr ????
两个线性无关的特解
,11 xrey ?,22 xrey ?
得齐次方程的通解为 ;21 21 xrxr eCeCy ??
)0( ??
? 有两个相等的实根
特征根为,
221
prr ??? 一特解为,
11 xrey ?
,)( 12 xrexuy ?设另一特解为
代入原方程并化简，，，将 222 yyy ???
,0)()2( 1211 ????????? uqprrupru
,0???u知,)( xxu ?取,12 xrxey ?则
得齐次方程的通解为 ;)( 121 xrexCCy ??
)0( ??
? 有一对共轭复根
特征根为,1 ?? jr ??,2 ?? jr ??
,)(1 xjey ?? ??,)(2 xjey ?? ??
重新组合 )(2
1
211 yyy ??,c o s xe x ???
)(21 212 yyjy ??,s i n xe x ???
得齐次方程的通解为
).s i nc o s( 21 xCxCey x ???? ?
)0( ??
由常系数齐次线性方程的特征方程的根
确定其通解的方法称为 特征方程法,
方法步骤
① 写出特征方程 02 ??? qprr
② 求出特征根 21,rr
③ 按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解
特征根 齐通解
)(21 实rr ? xrxr ececY 21 21 ??
21 rr ? xrexccY 1)( 21 ??
?? jr ??2,1 )s i nc o s( 21 xcxceY x ??? ??
例 1 求通解 032 ?????? yyy
解 特征方程为 0322 ??? rr
特征根为 3,1 21 ??? rr
齐通解为 xx ececY 321 ?? ?
例 2,044 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0442 ??? rr
解得,221 ??? rr
故所求通解为,)( 221 xexCCy ???
例 3,052 的通解求方程 ?????? yyy
解 特征方程为,0522 ??? rr
解得,2121 jr ???，
故所求通解为
).2s i n2c o s( 21 xCxCey x ?? ?
例 4 设圆柱形浮筒，直径为 0.5 米，铅直放
在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒
在水中振动的周期为 2 秒，求浮筒的质量
解 设浮筒的质量为 m
平衡时 圆柱浸入水中深度为 l
浮力 glR ?? 2?? 重力 mg?
mgglR ??2??
设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时
浮力 gxlR )(2 ?? ?? 重力 mg?
由 Newton第二定律
mggxlRdt xdm ??? )(22
2
??
glRgxlR ???? 22 )( ????
gxR 2????
0
2
2
2
??? xm gRdt xd ??
记
m
gR 22 ??? ? 02
2
2
??? xdt xd ?
tctcx ?? s inc o s 21 ??? ??? ??? T2
)(25.1 9 5
2
kggRm ??? ??
3310 m
kg??
28.9 smg ? mR 25.0? 14.3??
三,n阶常系数齐次线性方程解法
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
注意
n次代数方程有 n个根,而特征方程的每一个
根都对应着通解中的一项,且每一项各含一
个任意常数,
nn yCyCyCy ???? ?2211
实重根 复单根 复重根 实单根 几种情况
每个根对应通解中的一项
其写法与二阶方程的情形完全类似
具体分为
例 5 0)4( ?? yy
解 特征方程为 014 ??r
解得 jrr ???? 4,32,1,1
故所求通解为
xcxcececy xx s inc o s
4321 ???? ?
例 6,022 )3()4()5( 的通解
求方程
????????? yyyyyy
解 特征方程为,0122 2345 ?????? rrrrr
0)1)(1( 22 ??? rr
,0)1)(1( 22 ??? rr
特征根为,,,1 54321 jrrjrrr ???????
故所求通解为
.s in)(c o s)( 54321 xxCCxxCCeCy x ????? ?
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,
（ 1）写出相应的特征方程 ;
（ 2）求出特征根 ;
（ 3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,
0?????? qyypy 2 ??? qprr
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
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2
)(
21
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)s i nc o s(
21
xCxCey
x
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思考题
求微分方程 的通解, ? ? yyyyy ln22 ?????
思考题解答
,0?y?
? ?,ln
2
2
yy yyy ??????
,ln y
y
y ???
?
??
?
? ?
? ?,ln yyy x ???? ? ?,lnln yy ???
令 yz ln? 则,0???? zz 特征根 1???
通解 xx eCeCz ??? 21,ln 21 xx eCeCy ????
练 习 题
一,求下列微分方程的通解,
1, 04 ????? yy ； 2, 025204 2
2
??? x
dt
dx
dt
xd；
3, 0136 ?????? yyy ； 4, 0365)4( ????? yyy,
二,下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0,2,044
00
?????????
?? xx
yyyyy ；
2, 3,0,0134
00
?????????
?? xx
yyyyy,
三,求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使
3,2,,1 ?
xxx
eee 都是它的解,
四,设圆柱形浮筒,直径为 m5.0,铅直放在水中,当稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的
s2周期为,求浮筒的质量,
练习题答案
一,1,
x
eCCy
4
21
?? ； 2,
t
etCCx
2
5
21
)( ?? ；
3, )2s i n2c o s(
21
3
xCxCey
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4, xCxCeCeCy
xx
3s i n3c o s
43
2
2
2
1
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,
二,1, )2(
2
xey
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?； 2, xey
x
3s i n
2
?,
三,0????? yy, ( 提示, 为两个
x
e,1 线性无关的解 )
四,195?M kg,
