微分方程的幂级数解法
一、问题的提出
,22 yxdxdy ??例如
解不能用初等函数或其积分式表达,
寻求近似解法, 幂级数解法 ;
数值解法,
雅卡比逐次逼近法 ;
二,特解求法 ),( yxfdx
dy ?
问题,),( 00 的特解满足求 yyyxfdxdy xx ?? ?
.)()(
)()(),(
00
00101000
ml
lm yyxxa
yyaxxaayxf
????
?????
?
其中
,0 的幂级数假设所求特解可展开为 xx ?
??????? 202010 )()( xxaxxayy
.,,,,21 为待定的系数其中 ?? naaa
.0| 02 的特解满足求 ??? ?xyyxdxdy
解,00 ?x?,00 ?y
,33221 ?? ?????? nn xaxaxaxay设
方程的幂级数展开式带入原将 yy ?,
????? 342321 432 xaxaxaa
24433221 )( ??????? xaxaxaxax
,32 123121 ?? ??????? ?nn xnaxaxaay
例 1
,,201,0,0,21,0 54321 ?????? aaaaa
.20121 52 ???? xxy所求解为
??????? 43122321221 )2(2 xaaaxaaxax
比较恒等式两端 x的同次幂的系数,得
小结, 无初始条件求解
??
?
??
1n
n
n xaCy可设 (C是任意常数 )
如果方程 0)()( ?????? yxQyxPy 中的系数
)( xP 与 )( xQ 可在 RxR ??? 内展为 x 的幂级数,
那么在 RxR ??? 内原方程必有形如
n
n
n
xay ?
?
?
?
0
的解,
定理
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
作法,
0
??
?
?
n
n
n xay设解为
的幂级数，展开为将 0)(),(),( xxxfxQxP ?
比较恒等式两端 x的同次幂的系数,确定 y,
.0 的解求方程 ?????? yyxy
,
0
n
n
n xay ?
?
?
?设方程的解为解
例 2
,1
0
?
?
?
??? n
n
n xnay则
2
1
)1( ?
?
?
? ???? n
n
n xanny
,0,,????????? yyxyyyy 带入将
,)1)(2(
0
2
n
n
n xann?
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n
n
n xa
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n
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nn xanann
,22 ??? n aa nn ?,2,1,0?n
,313 aa ?,1515 aa ? ?,!)!12( 112 ??? k aa k
?,3,2,1?k
,202 aa ?,804 aa ? ?,2! 02 kk k
aa ?
原方程的通解
??
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0
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1
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2
0 !)!12(!2
n
n
n
n
n
n
xa
n
xay
),( 10 是任意常数aa
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解
微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分
表达时,常用幂级数解法,
一、问题的提出
,22 yxdxdy ??例如
解不能用初等函数或其积分式表达,
寻求近似解法, 幂级数解法 ;
数值解法,
雅卡比逐次逼近法 ;
二,特解求法 ),( yxfdx
dy ?
问题,),( 00 的特解满足求 yyyxfdxdy xx ?? ?
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,32 123121 ?? ??????? ?nn xnaxaxaay
例 1
,,201,0,0,21,0 54321 ?????? aaaaa
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如果方程 0)()( ?????? yxQyxPy 中的系数
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四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解
微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分
表达时,常用幂级数解法,
