1.定义, 若有全微分形式
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
则 0),(),( ?? dyyxQdxyxP
全微分方程
或恰当方程
例如,0?? yd yxdx ),(21),( 22 yxyxu ???
,),( yd yx d xyxdu ??? 所以是全微分方程,
.xQyP ??????全微分方程
全微分方程
一、全微分方程及其解法
2.解法,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP 全微分方程
?应用曲线积分与路径无关, x
Q
y
P
?
??
?
??
通解为
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ?? ;),( Cyxu ?
? 用直接凑全微分的方法,
?? ?? yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
其中 x0,y0 是在 G中适当选定的点 M0 (x0,y0 )
的坐标，起点坐标选择的不同，至多使 u( x,y)
相差一个常数
例 1
.
0)3()3( 2323
的通解
求方程 ???? dyyxydxxyx
解,6 xQxyyP ??????? 是全微分方程,
?? ??? yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
,4234
4
22
4 y
yxx ???
原方程的通解为,4234
4
22
4
Cyyxx ???
例 2,0
32
4
22
3 的通解求方程 ?
?? dy
y
xydx
y
x
解,6 4 xQy xyP ??????? 是全微分方程,
将左端重新组合 )32(1 4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y ??
)()1( 3
2
y
xd
yd ??? ),
1(
3
2
y
x
yd ???
原方程的通解为,
1
3
2
Cyxy ???
二、积分因子法
0),( ?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( ???? dyyxQyxdxyxPyx 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
问题, 如何求方程的积分因子?
定义,
1.公式法,,)()( xQyP ????? ???
xQx
Q
yPy
P
?
??
?
??
?
??
?
? ????,两边同除 ?
x
Q
y
P
yPxQ ?
??
?
??
?
??
?
? ?? lnln
求解不容易
特殊地,;,有关时只与当 xa ?,0??
?
y
?,
dx
d
x
?? ?
?
?
)(1ln xQyPQdxd ??????? ? )( xf?
.)( )(??? dxxfex?;,有关时只与当 yb ?,0??
?
x
?,
dy
d
y
?? ?
?
?
)(1ln yPxQPdyd ??????? ? )( yg?
.)( )(??? dyygey?
2.观察法, 凭观察凑微分得到 ),( yx?
常见的全微分表达式
)2(
22 yx
dy d yxdx ??? )( xydxdyyd x ??
)(2 xydx yd xx d y ?? )(2 yxdy yd xx d y ???
)( ln
x
yd
xy
yd xx d y ?? )( a rc t a n
22 x
yd
yx
y d xxdy ?
?
?
)( ln 2222 yxdyx y d yx d x ????
可选用的积分因子有
.,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx ??
例 3,0)()3( 22 的通解
求微分方程
???? dyxyxdxyxy
解,1)(1 xxQyPQ ??????? ??? dxxex
1
)(?
则原方程成为
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
.x?
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx ???
可积组合法 ))(
2
1( 23 xyyxd ??,0?
原方程的通解为
.)(21 23 Cxyyx ?? (公式法 )
例 4 求微分方程
.0)1(2 22 的通解????? dyyxdxyxx
解,022 22 ????? dyyxdxyxxx d x
,0)()( 2222 ????? dyyxxdyxxd
将方程左端重新组合,有
,0)()( 222 ???? yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx ???
例 5 求微分方程,0)1(ln2
222 的通解???? dyyyxyd xxy
解 将方程左端重新组合,有
,01)ln2 222 ???? dyyydyxyd xxy（
,1),( yyx ??易知
,01)ln2( 2
2
???? dyyydyyxydxx则
可积组合法,0)1(
3
1)ln( 2322 ??? ydyxd即
原方程的通解为,)1(3
1ln 2322 Cyyx ???
例 6,1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy ? ????
解 1 整理得,1 1 2xyxdxdy ????
A 常数变易法,,1 xCy ??对应齐方程通解
.1 )( xxCy ??设,43)(
43
CxxxC ????
B 公式法, ],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx ????? ? ???
.43
43
Cxxxyy ????通解为
解 2 整理得,0)1()( 32 ????? dyxdxyxx
,1 xQyP ???????,是全微分方程?
A 用曲线积分法,
,)1()(),( 00 32 ?? ???? yx dyxdxxxyxu
B 凑微分法,
,0)( 32 ????? dxxdxxy d xxdydy
，043)(
43
???? xdxdxyddy
.0)43(
43
???? xxxyyd
C 不定积分法,,32 yxxxu ??????
? ??? dxyxx )( 32 ),(43
43
yCxyxx ????
),( yCxyu ??????,1 xyu ????又
,1)( xyCx ?????,1)( ?? yC,)( yyC ?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy ????
三、一阶微分方程小结
分离变量法 常数变易法 全微分方程
一阶微分方程
思考题
方程 032
4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x
是否为全微分方程？
思考题解答
?
?
??
?
?
?
??
?
?
3
2
y
x
yy
P?
,6 4yx??
?
?
??
?
? ?
?
??
?
?
4
22 3
y
xy
xx
Q
,6 4yx??
x
Q
y
P
?
??
?
?? 原方程 是 全微分方程,
练 习 题
一,判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方
程的通解,
1, 0)2( ??? dyyxedxe
yy；
2, 0)(
22
??? x y d ydxyx ；
3, 02)1(
22
??? ???
??
dede,
二,利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通
解,
1, 0
2
??? x d xyx d yy d x ；
2, dxyxy d yx d x )(
22
??? ；
3,
0)1()1( ???? x d yxyy d xxy
.
三,验证
)]()([
1
xygxyfxy ?
是微分方程
0)()( ?? dyxyxgdxxyyf 的积分因子,并求方程
0)22()2(
2222
???? dyyxxdxyxy 的通解,
四,已知
2
1
)0( ?f,试确定
)( xf
,使
0)()]([ ??? dyxfy d xxfe
x
为全微分方程,并求此
全微分方程的通解,
练习题答案
一,1, Cyxe
y
??
2； 2,不是全微分方程；
3, Ce ?? )1(
2 ?
?,
二,1, C
x
y
x
??
2
2； 2,
x
Ceyx
222
?? ；
3,
xy
Ce
y
x
1
?,
三、
22
1
2 yx
eCyx ?, ( 或 C
yxy
x
???
222
1
1ln )
四,Cyxexexf
xx
???? )
2
1
(,)
2
1
()(,