一阶方程的一般形式为 0),,( ??yyxF
本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
),( yxfdxdy ?
的解法
这个方程虽然简单，也常常很难求
出解的有限表达式
几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
所以本节只讨论
特殊类型的一阶方程的求解
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
0),(),( ?? yxQdxyxP
它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程
),(
),(
yxQ
yxP
dx
dy ??
也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程
),(
),(
yxP
yxQ
dx
dy ?? 很重要的观点
考虑方程 xdxdy 2? 或写成 xdxdy 2?
两边积分得 cxy ?? 2
但并不是所有的一阶方程都能象上面
那样采取两边积分的方法来求它的通解
如 22 xydxdy ? 困难就在于方程的右端含有未知函数
积分 ? dxxy 22 求不出来
为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dxy21
使方程变为 xdxdy
y 2
1
2 ?
这样变量 x,y 已经分离在等式的两端
两边积分得 cx
y ???
21 或
cxy ??? 2
1
可以验证 cxy ??? 2 1是方程的通解
注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中
称为 奇解
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
这类方程的 特点 是
经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和
其微分
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,? ?
? dxxfdyyg )()( 分离变量法
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
求解步骤
分离变量 两边积分
得到 隐式通解 或 通积分
二、典型例题
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xcey ??
.0)()(2 通解求方程例 ?? xdyxygyd xxyf
解,xyu ?令,y d xx d ydu ??则
,0)()( ???? x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ ??? duugdxxuuguf
,0)]()([ )( ??? duugufu ugxdx
通解为,)]()([ )(||ln Cduugufu ugx ??? ?
例 3 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
dM ???
,?? ??? dtMdM,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
00 MM t ??代入 00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量,03.02 0 0 0 ??? dt
2CO 的排出量 ),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量 2CO 的改变量 ? ?
03.02 0 0 01 2 0 0 0 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
三、小结
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别
是写成对称形式的方程（因为要同除须保证
分母不等于 0）
思考题
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思考题解答
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy ?,co s2 Cx ?? 为所求解,
练 习 题
一、求下列微分方程的通解,
1, 0ta ns e cta ns e c
22
?? xdyyy d xx ；
2, 0)()( ????
??
dyeedxee
yyxxyx；
3, 0)1(
32
??? x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
xdxyy d yx si nc o ssi nc o s ?
,
4
0
?
?
?x
y ；
2,
0s i n)1(c o s ???
?
y d yey d x
x
,
4
0
?
?
?x
y,
三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力
和时间成正比,和质点运动的速度成反比, 在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克 ?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离
的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路
线,
练习题答案
一,1, Cyx ?t a nt a n ； 2, Cee
yx
??? )1)(1( ；
3, Cxy ???
43
3)1(4,
二,1, xy c o sc o s2 ? ； 2, ye
x
c o s221 ??,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对
岸,则所求航线 为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x ??,
本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
),( yxfdxdy ?
的解法
这个方程虽然简单，也常常很难求
出解的有限表达式
几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
所以本节只讨论
特殊类型的一阶方程的求解
一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
0),(),( ?? yxQdxyxP
它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程
),(
),(
yxQ
yxP
dx
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也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程
),(
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yxQ
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考虑方程 xdxdy 2? 或写成 xdxdy 2?
两边积分得 cxy ?? 2
但并不是所有的一阶方程都能象上面
那样采取两边积分的方法来求它的通解
如 22 xydxdy ? 困难就在于方程的右端含有未知函数
积分 ? dxxy 22 求不出来
为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dxy21
使方程变为 xdxdy
y 2
1
2 ?
这样变量 x,y 已经分离在等式的两端
两边积分得 cx
y ???
21 或
cxy ??? 2
1
可以验证 cxy ??? 2 1是方程的通解
注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中
称为 奇解
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
这类方程的 特点 是
经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和
其微分
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,? ?
? dxxfdyyg )()( 分离变量法
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
求解步骤
分离变量 两边积分
得到 隐式通解 或 通积分
二、典型例题
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xcey ??
.0)()(2 通解求方程例 ?? xdyxygyd xxyf
解,xyu ?令,y d xx d ydu ??则
,0)()( ???? x yd xduxugyd xuf
,0)()]()([ ??? duugdxxuuguf
,0)]()([ )( ??? duugufu ugxdx
通解为,)]()([ )(||ln Cduugufu ugx ??? ?
例 3 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
dM ???
,?? ??? dtMdM,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
00 MM t ??代入 00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量,03.02 0 0 0 ??? dt
2CO 的排出量 ),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量 2CO 的改变量 ? ?
03.02 0 0 01 2 0 0 0 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
三、小结
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别
是写成对称形式的方程（因为要同除须保证
分母不等于 0）
思考题
求解微分方程,2co s2co s yxyxdxdy ????
思考题解答
,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
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2
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?? ?? dx
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2c o t2c s cln
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练 习 题
一、求下列微分方程的通解,
1, 0ta ns e cta ns e c
22
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2, 0)()( ????
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32
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二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
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三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力
和时间成正比,和质点运动的速度成反比, 在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克 ?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设 a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离
的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路
线,
练习题答案
一,1, Cyx ?t a nt a n ； 2, Cee
yx
??? )1)(1( ；
3, Cxy ???
43
3)1(4,
二,1, xy c o sc o s2 ? ； 2, ye
x
c o s221 ??,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对
岸,则所求航线 为 )
3
1
2
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32
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