高阶微分方程 习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程 线性方程解的结构
二阶常系数线性
方程解的结构
特
征
根
法
特征方程的根
及其对应项
待
定
系
数
法
f(x)的形式及其
特解形式
微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
1、可降阶的高阶微分方程的解法
)()1( )( xfy n ? 型
解法 接连积分 n次，得通解,
),()2( yxfy ???? 型
特点,y不显含未知函数
解法 ),( xPy ??令,Py ????
代入原方程,得 )).(,( xPxfP ??
),()3( yyfy ???? 型
特点,x不显含自变量
解法 ),( xPy ??令,dy
dpPy ???
代入原方程,得 ).,( PyfdydpP ?
2、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( ?????? yxQyxPy形如
也是解则是解若 221121,,ycycyyy ??
是通解则是两无关解若 221121,,ycycyyy ??
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy ??????形如
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
2121 )()()( yyyxfxfxf ???? 则若
的特解分别是则
的特解是若
)(),(,
)()()(
2121
2121
xfxfyy
xjfxfxfyjyy ????
3、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?形如
n阶常系数线性微分方程
0?????? qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确
定其通解的方法称为 特征方程法,
0?????? qyypy
特征方程为 02 ??? qprr
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
推广,阶常系数齐次线性方程解法 n
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
解法 待定系数法,
型)()()1( xPexf mx??
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
?
?
?
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??设
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
??
?
?
??
.1;0
是特征方程的单根时
不是特征方程的根时
??
??
j
jk
二、典型例题
例 1,2
1 2
y
yy ?????求通解
解,x方程不显含
,,dydPPyPy ?????令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP ??
,1 12 yCP ??解得，
,11 ???? yCP,11 ??? yCdxdy即
故方程的通解为,12 21
1
CxyCC ????
例 2
.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx
求特解
解 特征方程,0122 ??? rr
特征根,121 ?? rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY ??
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy ??
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy ?????则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy ????????
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** ??? yyy
,21,61 ??? ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy ??
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy ????
,1)1( ?y?,1)31( 21 ???? eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy ??????
,1)1( ??y?,1)652( 21 ???? eCC
,31121 ??? eCC
,6512 21 ??? eCC
由 解得 ?
?
?
?
?
??
??
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey ??????
例 3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
xxyxxyxy c o s,s i n,321 ????? 求其通解
解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是
相应齐方程的解
故
xyy s in12 ?? xyy c o s13 ??
是齐方程的两个解
齐通解 xcxcY s inc o s 21 ??
且线性无关
非齐通解 xxcxcy ??? s inc o s 21
例 4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定 f (x)
使曲线积分
dyxfy d xxfxfxe
L
x )()]()(2[ ?????? ?
)( 常数?? 与路径无关
解 由曲线积分与路径无关的条件得
)()(2)( xfxfexf x ?????? ?
即 xexfxfxf ??????? )()(2)(
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解 xexccy ??? )( 21
时1??? xexy ?? 2* 21
xexxccxf ???? )
2()(
2
21
时1??? xey ?? 2* )1( 1??
xx eexccxf ?
? 221 )1(
1)()(
????
?
例 5 ).2c o s(2
12 xxyyy ???????求解方程
解 特征方程,042 ??r
特征根,22,1 ir ??
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY ??
设原方程的特解为,*2*1* yyy ??
,)1( *1 baxy ??设,)( *1 ay ??则,0)( *1 ???y
，得代入 xyy 214 ????,xbax 2144 ??
由
，04 ?b
，214 ?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy ??
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????
，得代入 xyy 2co s214 ????
,2co s212s i n42co s4 xxcxd ??
由
，04 ?? c
，214 ?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy ??
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy ????
例 6
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy ?????
解 （１） 由题设可得,
??
?
?
?
???
??
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp ???
（２） 原方程为,31 3xyxy ?????
，的两个线性无关的特解
程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy ??
是原方程的一个特解，又 xy 1* ?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy ???
测 验 题
一,选择题,
1, 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通
解是 ( ).
(A)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
?
??
?
?
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
?
?
? dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx ????
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
3, 2)1(,0
22
??? y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
?? yx ； (B) 93
3
?? yx ；
(C) 1
33
?? yx ； (D) 1
33
33
??
yx
.
4,方程
xy si n????
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
c o s CxCxCxy ???? ；
(B)
32
2
1
2
1
s i n CxCxCxy ???? ；
(C) 1
c o s Cxy ??；
(D)
xy 2si n2?
.
5,方程 0?????? yy 的通解是 ( ).
(A)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ??? ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(D) 1
si n Cxy ??
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( ?????? yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy ??
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
???? yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy ?????? 则,；
(B)
dy
dP
PyPy ????? 则,；
(C)
dx
dP
PyPy ????? 则,；
(D)
dy
dP
PyPy ?????? 则,.
8,已知方程 0
2
?????? yyxyx 的一个特解为 xy ?,于
是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ?? ； ( B )
x
CxCy
1
21
?? ；
( C )
x
eCxCy
21
?? ； ( D )
x
eCxCy
?
??
21,
9,已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2c o s23 ?????? 的一个特解形式是
( ),
(A) xeAy
x
2c o s
1
? ；
(B) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(C) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
??,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1, )1( l nln ???? xaxyxyx ；
2, 0
33
??? yxxy
dx
dy；
3, 0
22
?
?
?
??
yx
xdyy d x
y d yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1, 01
2
?????? yyy ；
2, )4(2 ??????????
x
exyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0)(2
223
??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；
2, xyyy c o s2 ??
????
,
2
3
,00 ???? yyx 时,.
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
???
?
xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰, 设敌舰以
0
v常数 沿正北方向
直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷
的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击
中?
测验题答案
一,1, A ； 2, A ； 3, B ； 4, A ； 5, B ；
6, B ； 7, B ； 8, B ； 9, A ； 1 0, C.
二,1,
x
c
axy
ln
?? ；
2, 1
2
1
2
2
???
?
xeCy
x；
3, C
x
y
yx ??? a r c ta n2
22
.
三,1, )c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ?? ；
2, xxexxeCeCCy
xxx
???????
? 222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1, 0)ln21(
2
??? yyx ；
2, xxey
x
s i n
2
1
??
?
.
五,xxxy ln??,
六、
xxx si nc o s)( ???
.
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
???????? xxxy,
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程 线性方程解的结构
二阶常系数线性
方程解的结构
特
征
根
法
特征方程的根
及其对应项
待
定
系
数
法
f(x)的形式及其
特解形式
微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
1、可降阶的高阶微分方程的解法
)()1( )( xfy n ? 型
解法 接连积分 n次，得通解,
),()2( yxfy ???? 型
特点,y不显含未知函数
解法 ),( xPy ??令,Py ????
代入原方程,得 )).(,( xPxfP ??
),()3( yyfy ???? 型
特点,x不显含自变量
解法 ),( xPy ??令,dy
dpPy ???
代入原方程,得 ).,( PyfdydpP ?
2、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( ?????? yxQyxPy形如
也是解则是解若 221121,,ycycyyy ??
是通解则是两无关解若 221121,,ycycyyy ??
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy ??????形如
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
2121 )()()( yyyxfxfxf ???? 则若
的特解分别是则
的特解是若
)(),(,
)()()(
2121
2121
xfxfyy
xjfxfxfyjyy ????
3、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?形如
n阶常系数线性微分方程
0?????? qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确
定其通解的方法称为 特征方程法,
0?????? qyypy
特征方程为 02 ??? qprr
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
推广,阶常系数齐次线性方程解法 n
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
??? j
k
复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
?
?
?????
????
]s in)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
解法 待定系数法,
型)()()1( xPexf mx??
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
?
?
?
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??设
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
??
?
?
??
.1;0
是特征方程的单根时
不是特征方程的根时
??
??
j
jk
二、典型例题
例 1,2
1 2
y
yy ?????求通解
解,x方程不显含
,,dydPPyPy ?????令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP ??
,1 12 yCP ??解得，
,11 ???? yCP,11 ??? yCdxdy即
故方程的通解为,12 21
1
CxyCC ????
例 2
.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx
求特解
解 特征方程,0122 ??? rr
特征根,121 ?? rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY ??
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy ??
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy ?????则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy ????????
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** ??? yyy
,21,61 ??? ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy ??
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy ????
,1)1( ?y?,1)31( 21 ???? eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy ??????
,1)1( ??y?,1)652( 21 ???? eCC
,31121 ??? eCC
,6512 21 ??? eCC
由 解得 ?
?
?
?
?
??
??
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey ??????
例 3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
xxyxxyxy c o s,s i n,321 ????? 求其通解
解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是
相应齐方程的解
故
xyy s in12 ?? xyy c o s13 ??
是齐方程的两个解
齐通解 xcxcY s inc o s 21 ??
且线性无关
非齐通解 xxcxcy ??? s inc o s 21
例 4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定 f (x)
使曲线积分
dyxfy d xxfxfxe
L
x )()]()(2[ ?????? ?
)( 常数?? 与路径无关
解 由曲线积分与路径无关的条件得
)()(2)( xfxfexf x ?????? ?
即 xexfxfxf ??????? )()(2)(
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解 xexccy ??? )( 21
时1??? xexy ?? 2* 21
xexxccxf ???? )
2()(
2
21
时1??? xey ?? 2* )1( 1??
xx eexccxf ?
? 221 )1(
1)()(
????
?
例 5 ).2c o s(2
12 xxyyy ???????求解方程
解 特征方程,042 ??r
特征根,22,1 ir ??
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY ??
设原方程的特解为,*2*1* yyy ??
,)1( *1 baxy ??设,)( *1 ay ??则,0)( *1 ???y
，得代入 xyy 214 ????,xbax 2144 ??
由
，04 ?b
，214 ?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy ??
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????
，得代入 xyy 2co s214 ????
,2co s212s i n42co s4 xxcxd ??
由
，04 ?? c
，214 ?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy ??
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy ????
例 6
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy ?????
解 （１） 由题设可得,
??
?
?
?
???
??
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp ???
（２） 原方程为,31 3xyxy ?????
，的两个线性无关的特解
程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy ??
是原方程的一个特解，又 xy 1* ?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy ???
测 验 题
一,选择题,
1, 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通
解是 ( ).
(A)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
?
??
?
?
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
?
?
? dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx ????
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
3, 2)1(,0
22
??? y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
?? yx ； (B) 93
3
?? yx ；
(C) 1
33
?? yx ； (D) 1
33
33
??
yx
.
4,方程
xy si n????
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
c o s CxCxCxy ???? ；
(B)
32
2
1
2
1
s i n CxCxCxy ???? ；
(C) 1
c o s Cxy ??；
(D)
xy 2si n2?
.
5,方程 0?????? yy 的通解是 ( ).
(A)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ??? ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(D) 1
si n Cxy ??
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( ?????? yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy ??
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
???? yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy ?????? 则,；
(B)
dy
dP
PyPy ????? 则,；
(C)
dx
dP
PyPy ????? 则,；
(D)
dy
dP
PyPy ?????? 则,.
8,已知方程 0
2
?????? yyxyx 的一个特解为 xy ?,于
是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ?? ； ( B )
x
CxCy
1
21
?? ；
( C )
x
eCxCy
21
?? ； ( D )
x
eCxCy
?
??
21,
9,已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2c o s23 ?????? 的一个特解形式是
( ),
(A) xeAy
x
2c o s
1
? ；
(B) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(C) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
??,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1, )1( l nln ???? xaxyxyx ；
2, 0
33
??? yxxy
dx
dy；
3, 0
22
?
?
?
??
yx
xdyy d x
y d yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1, 01
2
?????? yyy ；
2, )4(2 ??????????
x
exyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0)(2
223
??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；
2, xyyy c o s2 ??
????
,
2
3
,00 ???? yyx 时,.
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
???
?
xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰, 设敌舰以
0
v常数 沿正北方向
直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷
的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击
中?
测验题答案
一,1, A ； 2, A ； 3, B ； 4, A ； 5, B ；
6, B ； 7, B ； 8, B ； 9, A ； 1 0, C.
二,1,
x
c
axy
ln
?? ；
2, 1
2
1
2
2
???
?
xeCy
x；
3, C
x
y
yx ??? a r c ta n2
22
.
三,1, )c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ?? ；
2, xxexxeCeCCy
xxx
???????
? 222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1, 0)ln21(
2
??? yyx ；
2, xxey
x
s i n
2
1
??
?
.
五,xxxy ln??,
六、
xxx si nc o s)( ???
.
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
???????? xxxy,
