一阶微分方程 习题课
基本概念 一阶方程
类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次
方程
5.全微分方程
6.线性方程
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程
解的结构
定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
欧拉方程
二阶常系数线性
方程解的结构
特征方程的根
及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程
待
定
系
数
法
特征方程法
一、主要内容
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?形如
解法 ? ?? dxxfdyyg )()(
分离变量法
(2) 齐次型方程 )( xyfdxdy ?形如
解法 作变量代换 x
yu ?
一、主要内容
可化为齐次的方程
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???形如
解法
，
令
kYy
hXx
??
??,
化为齐次方程,
（其中 h和 k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
)()( xQyxPdxdy ??形如
,0)( ?xQ当 齐次,
,0)( ?xQ当 非齐次,
解法 齐次方程的通解为
.)(?? ? dxxPCey （使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法） (4) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()( ??形如 )1,0( ?n
时，当 1,0?n 方程为线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为非线性微分方程,
解法 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
?
???
?
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
(5) 全微分方程
形如 0),(),( ?? dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
注意,x
Q
y
P
?
??
?
??全微分方程
解法 ?应用曲线积分与路径无关,
?? ?? yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ??
通解为,),( cyxu ?
? 用直接凑全微分的方法,
可化为全微分方程
形如 0),(),( ?? dyyxQdxyxP
).( xQyP ?????非全微分方程 若 0),( ?yx? 连续可微函数，且可使方程
0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ?? 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
?公式法,
)(1 xQyPQ ?????若 )( xf? ;)( )(?? dxxfex?则
)(1 yPxQP ?????若 )( yg?,)( )(?? dyygey?则
?观察法,
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出
积分因子,
2。 各类方程的内在联系
x
Q
y
P
Qd yP d x
?
??
?
?
?? 0
)()( yNxMdxdy ?
)(
1
yN??
N
M
x
y
dx
dy ??? )(?
x
yu?
yNxM ??
1?
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
kyY
hxX
??
??
)()( xQyxPdxdy ??
?? ? dxxPexcy )()(
?? dxxPe )(?
nyxQyxPy )()( ???
nyz ?? 1
?? ? dxxPn
n ey
)()1(1?
三种 基本类型
变量可分离 一阶线性 全微分方程
其余类型的方程可借助于变量代换或积
分因子化成基本类型
三种基本类型代表三种 典型解法
分离变量法 常数变易法 全微分法
变量代换 是解微分方程的重要思想和重要方法
微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
3、一阶方程解题程序
0?? Q d yP d x
分离变量
Y 解方程
N
x
Q
y
P
?
??
?
?Y 解方程
N
积分因子 Y
N
),( yxfy ??
齐次型 一阶线性 Bernoulli
二、典型例题
例 1 求一微分方程使其通解为
3
21
cx
cxcy
?
??
解 由
3
21
cx
cxcy
?
??
213 )( cxcycx ????
求导得 13 )( cycxy ????
再求导 0)(2 3 ?????? ycxy
y
ycx
??
????? 2
再求导
2
2
)(
2)(21
y
yyy
??
?????????
2)(32 yyy ????????
例 2,)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy ???
求通解
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
?
?
?
,xyu ?令,,uxuyuxy ????? 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu ????? 分离变量
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu ??两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,co s 2x
Cuu ??
,co s 2xCxyxy ?? 所求通解为,co s Cxyxy ?
例 3,32 3
43 yxyyx ???求通解
解 原式可化为,32 342 yxy
xy ??? 伯努利方程
,32 23
1
3
4
xyxyy ??? ??即,31?? yz令
原式变为,323 2xz
xz ????
,3 2 2xzxz ????即 一阶线性非齐方程
对应齐方通解为,32Cxz ?
利用常数变易法,)( 32xxCz ?设
代入非齐方程得,)( 232 xxxC ???
,73)( 3
7
CxxC ????? 原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy ?????
例 4,0
32
4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x求通解
解 )2( 3y xyyP ??????,6 4yx??
)3( 4
22
y
xy
xx
Q ?
?
??
?
?,6
4y
x?? )0( ?y
,xQyP ?????? 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu ???则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu ????,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u ? ??????
?
?,1)(
2yy ???解得
,1)( yy ??? ?
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,01)32( 24
2
3 ??? dyydyy
xdx
y
x
,0)1()( 3
2
??? ydyxd即得
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx ?????
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx ??? ??即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy ????
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
例 5
.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx
求通解
解,22 ???
?
? y
y
P?,22 ??
?
? x
x
Q
,xQyP ????? 非全微分方程,
利用积分因子法,
原方程重新组合为
),(2))(( 22 x d yy d xdydxyx ????
222 yx
x d yyd xdydx
?
???
,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
?
?
,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx ?
?
?
???
故方程的通解为,
yx
yxCe yx
?
???
例 6 解方程 0)( 22 ???? y d ydxxyx
[分析 ] 本题看起来简单 但具体求解时发现
不是变量可分离 也不是齐次型
不是一阶线性 也不是全微分方程
怎么办？ 必须对方程进行 变形
解一 分项组合 0)()( 22 ???? y dyxdxdxyx
0)(21)( 2222 ????? yxdyx
0)(2 22
22
????? yx yxddx
cyxx ln)l n (2 22 ????
通解为 xceyx 222 ???
解二 变量代换 )( 22 xxydxdyy ????
令 uy ?2 )(22 2 xxudxdu ???? 一阶非齐次线性微分方程
相应齐方程 02 ?? u
dx
du xceu 2???
令 xexcu 2)( ?? xexxxc 22 )(2)( ?????
cexxc x ???? 22)( 22 xceu x ??? ?
222 xcey x ??? ?
解三 由
2?
?
?
?
?
?
?
Q
y
P
x
Q
存在关于 x 的积分因子 xe 2??
0)( 2222 ????? y dyedxxyxe xx 为全微分方程
? ???
x y
dyyxQdxxPyxu
0 0
),()0,(),(
?? ???
y
x
x
x yd yedxxxe
0
2
0
22 )(
xeyx 222 )(
2
1 ?? 通解为 cyxu ?),(
积分因子法
例 7 设曲线积分 ? ??L dyxxxfdxxyf ])(2[)( 2
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导
且 f(1)=1 求 f (x)
解 由曲线积分与路径无关的条件知
])(2[)]([ 2xxxfxxyfy ??????
)(2)(2)(2 xfxxfxxf ?????
即 1)(2 1)( ??? xfxxf 一阶线性微分方程
)32(1)( 2
3
xcxxf ???
代入 f(1)=1 得 31?c
故 2
1
3
1
3
2)( ??? xxxf
例 8 解方程 0,1 0
2 ???
?xyydx
dy
并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0,x = 1
三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体
的体积
解 dx
y
dy ?
? 21 cxyy ????? )1ln(
2
特解为 )1ln ( 2yyx ???
xeey
xx
s in h2 ????
?
??
1
0
2 dxyV ? dxee xx ]2[
4
1
0
22? ???? ?
)4(8 22 ??? ?ee?
基本概念 一阶方程
类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次
方程
5.全微分方程
6.线性方程
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程
解的结构
定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
欧拉方程
二阶常系数线性
方程解的结构
特征方程的根
及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程
待
定
系
数
法
特征方程法
一、主要内容
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?形如
解法 ? ?? dxxfdyyg )()(
分离变量法
(2) 齐次型方程 )( xyfdxdy ?形如
解法 作变量代换 x
yu ?
一、主要内容
可化为齐次的方程
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???形如
解法
，
令
kYy
hXx
??
??,
化为齐次方程,
（其中 h和 k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
)()( xQyxPdxdy ??形如
,0)( ?xQ当 齐次,
,0)( ?xQ当 非齐次,
解法 齐次方程的通解为
.)(?? ? dxxPCey （使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法） (4) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()( ??形如 )1,0( ?n
时，当 1,0?n 方程为线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为非线性微分方程,
解法 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
?
???
?
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
(5) 全微分方程
形如 0),(),( ?? dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
注意,x
Q
y
P
?
??
?
??全微分方程
解法 ?应用曲线积分与路径无关,
?? ?? yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ??
通解为,),( cyxu ?
? 用直接凑全微分的方法,
可化为全微分方程
形如 0),(),( ?? dyyxQdxyxP
).( xQyP ?????非全微分方程 若 0),( ?yx? 连续可微函数，且可使方程
0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ?? 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
?公式法,
)(1 xQyPQ ?????若 )( xf? ;)( )(?? dxxfex?则
)(1 yPxQP ?????若 )( yg?,)( )(?? dyygey?则
?观察法,
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出
积分因子,
2。 各类方程的内在联系
x
Q
y
P
Qd yP d x
?
??
?
?
?? 0
)()( yNxMdxdy ?
)(
1
yN??
N
M
x
y
dx
dy ??? )(?
x
yu?
yNxM ??
1?
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
kyY
hxX
??
??
)()( xQyxPdxdy ??
?? ? dxxPexcy )()(
?? dxxPe )(?
nyxQyxPy )()( ???
nyz ?? 1
?? ? dxxPn
n ey
)()1(1?
三种 基本类型
变量可分离 一阶线性 全微分方程
其余类型的方程可借助于变量代换或积
分因子化成基本类型
三种基本类型代表三种 典型解法
分离变量法 常数变易法 全微分法
变量代换 是解微分方程的重要思想和重要方法
微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
3、一阶方程解题程序
0?? Q d yP d x
分离变量
Y 解方程
N
x
Q
y
P
?
??
?
?Y 解方程
N
积分因子 Y
N
),( yxfy ??
齐次型 一阶线性 Bernoulli
二、典型例题
例 1 求一微分方程使其通解为
3
21
cx
cxcy
?
??
解 由
3
21
cx
cxcy
?
??
213 )( cxcycx ????
求导得 13 )( cycxy ????
再求导 0)(2 3 ?????? ycxy
y
ycx
??
????? 2
再求导
2
2
)(
2)(21
y
yyy
??
?????????
2)(32 yyy ????????
例 2,)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy ???
求通解
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
?
?
?
,xyu ?令,,uxuyuxy ????? 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu ????? 分离变量
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu ??两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,co s 2x
Cuu ??
,co s 2xCxyxy ?? 所求通解为,co s Cxyxy ?
例 3,32 3
43 yxyyx ???求通解
解 原式可化为,32 342 yxy
xy ??? 伯努利方程
,32 23
1
3
4
xyxyy ??? ??即,31?? yz令
原式变为,323 2xz
xz ????
,3 2 2xzxz ????即 一阶线性非齐方程
对应齐方通解为,32Cxz ?
利用常数变易法,)( 32xxCz ?设
代入非齐方程得,)( 232 xxxC ???
,73)( 3
7
CxxC ????? 原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy ?????
例 4,0
32
4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x求通解
解 )2( 3y xyyP ??????,6 4yx??
)3( 4
22
y
xy
xx
Q ?
?
??
?
?,6
4y
x?? )0( ?y
,xQyP ?????? 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu ???则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu ????,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u ? ??????
?
?,1)(
2yy ???解得
,1)( yy ??? ?
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,01)32( 24
2
3 ??? dyydyy
xdx
y
x
,0)1()( 3
2
??? ydyxd即得
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx ?????
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx ??? ??即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy ????
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
例 5
.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx
求通解
解,22 ???
?
? y
y
P?,22 ??
?
? x
x
Q
,xQyP ????? 非全微分方程,
利用积分因子法,
原方程重新组合为
),(2))(( 22 x d yy d xdydxyx ????
222 yx
x d yyd xdydx
?
???
,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
?
?
,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx ?
?
?
???
故方程的通解为,
yx
yxCe yx
?
???
例 6 解方程 0)( 22 ???? y d ydxxyx
[分析 ] 本题看起来简单 但具体求解时发现
不是变量可分离 也不是齐次型
不是一阶线性 也不是全微分方程
怎么办？ 必须对方程进行 变形
解一 分项组合 0)()( 22 ???? y dyxdxdxyx
0)(21)( 2222 ????? yxdyx
0)(2 22
22
????? yx yxddx
cyxx ln)l n (2 22 ????
通解为 xceyx 222 ???
解二 变量代换 )( 22 xxydxdyy ????
令 uy ?2 )(22 2 xxudxdu ???? 一阶非齐次线性微分方程
相应齐方程 02 ?? u
dx
du xceu 2???
令 xexcu 2)( ?? xexxxc 22 )(2)( ?????
cexxc x ???? 22)( 22 xceu x ??? ?
222 xcey x ??? ?
解三 由
2?
?
?
?
?
?
?
Q
y
P
x
Q
存在关于 x 的积分因子 xe 2??
0)( 2222 ????? y dyedxxyxe xx 为全微分方程
? ???
x y
dyyxQdxxPyxu
0 0
),()0,(),(
?? ???
y
x
x
x yd yedxxxe
0
2
0
22 )(
xeyx 222 )(
2
1 ?? 通解为 cyxu ?),(
积分因子法
例 7 设曲线积分 ? ??L dyxxxfdxxyf ])(2[)( 2
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导
且 f(1)=1 求 f (x)
解 由曲线积分与路径无关的条件知
])(2[)]([ 2xxxfxxyfy ??????
)(2)(2)(2 xfxxfxxf ?????
即 1)(2 1)( ??? xfxxf 一阶线性微分方程
)32(1)( 2
3
xcxxf ???
代入 f(1)=1 得 31?c
故 2
1
3
1
3
2)( ??? xxxf
例 8 解方程 0,1 0
2 ???
?xyydx
dy
并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0,x = 1
三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体
的体积
解 dx
y
dy ?
? 21 cxyy ????? )1ln(
2
特解为 )1ln ( 2yyx ???
xeey
xx
s in h2 ????
?
??
1
0
2 dxyV ? dxee xx ]2[
4
1
0
22? ???? ?
)4(8 22 ??? ?ee?
