1
第一章 集合及其基数
集与集的运算是测度与积分理论的基础 . 本章先介绍集论的一些基本
知识 , 包括集与集的运算 , 可数集和基数 , 具有一定运算封闭性的集类如
环与 ?σ 代数等 . 然后介绍
n
R 中的一些常见的点集 .
§ 1.1 集合及其运算
教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算
规律.
本节要点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系
是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一
种新型的运算, 学生应理解其概念.
集是数学的基本概念之一 . 它不能用其它更基本的数学概念严格定义
之 , 只能给予一种描述性的说明 . 例如 , 数学分析中的实数集 , 有理数集 ,
函数的定义域和值域 , 满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等
都是常用的集 . 几何学中的曲线和曲面都可以 看成是由平面或空间的点所
构成的集 .
一般用大写字母如 A, B, C 等表示集 , 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的
元素 . 若 a 是集 A的元素 , 则用记号 Aa∈ 表示 (读作 a 属于 A). 若 a 不是集
A的元素 , 则用记号 Aa? 表示 (读作 a 不属于 A).
不含任何元素的集称为空集 , 用符号 ?表示 . 约定分别用 ,
1
R Q , N 和
Z 表示实数集 , 有理数集 , 自然数集和整数集 .
集的表示方法
第一种方法 : 列举法 , 即列出给定集的全部元素 . 例如
}.,12,,5,3,1{
}.,,{
LL ?=
=
nB
cbaA
第二种方法 : 描述法 . 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构
成时 , 用下面的方式表示集 A:
2
}.:{ PxxA 具有性质=
例如 , 设 f 是定义在
1
R 上的实值函数 , 则 f 的零点所成的集 A可表示成
}.0)(:{ == xfxA
集的相等与包含 设 A 和 B 是两个集 . 如果 A 和 B 具有完全相同的元
素 , 则称 A 与 B 相等 , 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素 , 则称 A 是 B
的子集 , 记为 BA ? (读作 A 包含与 B), 或 AB ? (读作 B 包含 A). 若 BA ?
并且 ,BA ≠ 则称 A 为 B 的真子集 . 按照这个定义 , 空集 ?是任何集的子集 .
由定义知道 当且仅当BA = BA ? 并且 .AB ?
集的运算
并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集 . 由 A 和 B 的所有元素构成的集
称为 A 与 B 的并集 , 简称为并 (图 1— 1), 记为 .BA∪ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∪ 或者
由同时属于 A 和 B 的元素构成的集称为 A 与 B 的交集 , 简称为交 (图 1— 2),
记为 .BA∩ 即
}.:{ BxAxxBA ∈∈=∩ 并且
若 ,?=∩ BA 则称 A 与 B 不相交 .此时称 BA∪ 为 A 与 B 的不相交并 .
图 1— 1 图 1— 2
3
设 T 是一非空集 (T 可以是有限集或无限集 ),
Ttt
A
∈
}{ 是一族集 . 这一族
集的并集和交集分别定义为
I
U
Tt
tt
Tt
tt
AxTtxA
AxTtxA
∈
∈
∈∈=
∈∈=
}.,:{
},,:{
对每个
使得存在某个
当 T=N 为自然数集时 ,
U
N∈n
n
A 和
I
N∈n
n
A 分别记成
U
∞
=1n
n
A 和 ,
1
I
∞
=n
n
A 分别称为
}{
n
A 的可数并和可数交 .
并与交的运算性质
(1) ., AAAAAA =∩=∪ (幂等性 )
(2) ., ?=?∩=?∪ AAA
(3) ., ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (交换律 )
(4) ),()( CBACBA ∪∪=∪∪
).()( CBACBA ∩∩=∩∩ (结合律 )
(5) ),.()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩
).()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (分配率 ).
分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形 :
( )
II
UU
UU
TtTt
tt
TtTt
tt
BABA
BABA
∈∈
∈∈
=
∩=∩
).()(
,)(
差运算与余运算 设 A 和 B 是两个集 . 由 A 中的不属于 B 的那些元素
所构成的集称为 A 与 B 的差集 (图 1— 3), 记为 BA? 或 A\B. 即
}.:{ BxAxxBA ?∈=? 并且
图 1— 3 图 1— 4
4
通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集 , X 称为全空间 . 我们
称全空间 X 与子集 A的差集 AX ? 为 A 的余集 (图 1— 4), 记为
C
A . 设 A 和
B 是两个集 . 称集 )()( ABBA ?∪? 为 A与 B 的对称差集 , 记为 .BA?
容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 :
.)8(
.,)7(
.,)6(
C
CC
CC
BABA
XX
AAXAA
∩=?
=??=
?=∩=∪
关于余运算还成立下面重要的运算法则 .
定理 1 (De Morgan 公式 )设
Ttt
A
∈
)( 是一族集 . 则
),(.)().i( 并的余集等于余集的交
IU
Tt
C
t
C
Tt
t
AA
∈∈
=
证明 ).i( 设 ,)(
C
Tt
t
Ax
U
∈
∈ 则 .
U
Tt
t
Ax
∈
? 故对任意 ,Tt ∈ .
t
Ax? 即对
任意 ,Tt ∈ .
c
t
Ax∈ 因此 .
I
Tt
c
t
Ax
∈
∈ 这表明 .)(
IU
Tt
c
t
C
Tt
t
AA
∈∈
? 上述推理可以
反过来 , 即从
I
Tt
c
t
Ax
∈
∈ 可以推出 .)(
C
Tt
t
Ax
U
∈
∈ 这表明 .)(
C
Tt
t
Tt
c
t
AA
UI
∈∈
? 因
此 )i( 成立 . 类似地可以证明 ).ii( ■
定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法 .
例 1 设 }{
n
f 是定义在集 X 上的一列实值函数 . 令
.}.0)(lim:{ ==
∞→
xfxA
n
n
则成立
.}
1
)(:{
11
IUI
∞
=
∞
=
∞
=
<=
km mn
n
k
xfxA (1)
证明 由于 0)(lim =
∞→
xf
n
n
当且仅当对任意 ,1≥k 存在 ,1≥m 使得对任
意 mn ≥ 成立 .
1
)(
k
xf
n
< 因此我们有
.)(.)().ii(
UI
tT
C
t
C
Tt
t
AA 交的余集等于余集的并=
∈
5
I
∞
=
<∈≥?≥??
<∈≥?≥?≥??∈
mn
n
n
k
xfxxmk
k
xfxxmnmkAx
}
1
)(:{,1,1
}
1
)(:{,,1,1
使得
使得
.}
1
)(:{
}
1
)(:{,1
11
1
IUI
UI
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
<∈?
<∈≥??
km mn
n
mmn
n
k
xfxx
k
xfxxk
因此 (1)成立 . ■
在例 1 中 , 集 A的表达式 (1)看起来较复杂 , 但它是通过比较简单的集
}
1
)(:{
k
xfx
n
< 的运算得到的 , 以后会看到集的这种表示方法是很有用的 .
乘积集 设
n
AA ,,
1
L 为 n 个集 . 称集
},,1,:),,{(
1
niAxxx
iin
LL =∈
为
n
AA ,,
1
L 的乘积集 (简称为乘积 ), 记为
n
AA ××L
1
或者 .
1
∏
=
n
i
i
A 注意即使
n
AA ,,
1
L 都是 X 的子集 ,
n
AA ××L
1
已经不是 X 的子集 , 它是 XX ××L
的子集 .
例如 , 二维欧氏空间
2
R 可以看作是
1
R 与
1
R 的乘积 , 即 .
112
RRR ×=
又例如 , ],[],[ dcbaE ×= 就是平面上的长方形 .
集列的极限 设 }{
n
A 是一列集 . 称集
}1,:{ ≥nAxx
n
属于无穷多个
为集列 }{
n
A 的上极限 , 记为 .lim
n
n
A
∞→
称集
}1,:{ ≥nAxx
n
至多不属于有限个
为集列 }{
n
A 的下极限 ,记为 .lim
n
n
A
∞→
显然 ?
∞→
n
n
Alim .lim
n
n
A
∞→
若 =
∞→
n
n
Alim ,lim
n
n
A
∞→
则称集列 }{
n
A 存在极限 , 并称 =A =
∞→
n
n
Alim
n
n
A
∞→
lim 为集列 }{
n
A 的极限 , 记为
.lim
n
n
A
∞→
定理 2 设 }{
n
A 是一列集 . 则
6
UIIU
∞
=
∞
=
∞→
∞
=
∞
=
∞→
==
11
.lim,lim
nnk
kn
n
nnk
kn
n
AAAA
证明 我们有
.},1:{
},,1:{
}1,:{lim
1
IUU
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
=∈≥=
∈≥≥=
≥=
nnk
k
nk
k
k
nn
n
AAxnx
Axnknx
nAxxA
对任意
使得存在对任意
属于无穷多个
类似地可证明第二式 . ■
设 }{
n
A 是一列集 . 若对每个 ,1≥n 均有
1+
?
nn
AA (相应地
nn
AA ?
+1
),
则称 }{
n
A 是单调增加的 , 记为
↑n
A (相应地 , 单调减少的 , 记为
↓
n
A ). 单调
增加和单调减少的集列统称为单调集列 .
定理 3 单调集列必存在极限 . 并且
.lim,).ii(
.lim,).i(
1
1
I
U
∞
=
∞→
∞
=
∞→
=
↓
=
↑
n
nn
n
n
n
nn
n
n
AAA
AAA
则若
则若
证明 ).i( 因为
↑n
A , 故对任意 ,1≥n 有 ,
n
nk
k
AA =
∞
=
I
.
1
UU
∞
=
∞
=
=
k
k
nk
k
AA 因
此由定理 2 得到
.lim
11
UUI
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
==
n
n
nnk
kn
n
AAA
.lim
1111
UIUIU
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
===
k
k
nk
k
nnk
kn
n
AAAA
所以 .limlim
1
U
∞
=
∞→
∞→
==
n
nn
n
n
n
AAA 这表明
n
n
A
∞→
lim 存在 , 并且 .lim
1
U
∞
=
∞→
=
n
nn
n
AA 类似可
证明结论 ).ii( ■
例 2 设 ].
1
1,0(],
1
1,0(
n
B
n
A
nn
+=?= 则 ,,
↓↑ nn
BA 并且
7
),1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
U
n
nn
n
AA ].1,0(lim
1
==
∞
=
∞→
I
n
nn
n
BB
集的特征函数 设 A是 X 的子集 . 令
?
?
?
?
∈
=
.0
1
)(
Ax
Ax
xI
A
若
若
则 )(xI
A
为定义在 X 上的函数 , 称之为 A的特征函数 .
小结 本节介绍了集的基本概念 , 运算和运算性质 . 这些知识是本课程
的基础 . 证明两个集的相等是经常会遇到的 , 应掌握其证明方法 . De
Morgan 公式很重要 , 以后也会经常用到 . 例 1 中把一个集分解为一些较简
单的集的运算 , 是应该掌握的有用的技巧 . 集列的极限与数列的极限不同 ,
应正确理解 .
习 题 见 P11 习题第 1 题—第 8 题 .
