第二章 n 维空间中的点集 教学目的 欧氏空间 n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本章讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念, 特别 要熟悉欧氏空间上的开集,闭集和 Borel 集,Cantor 集等常见集的构造. 本章要点 由 n R 上的距离给出邻域,内点,聚点 的定义,从而给出开集, 闭集 的定义.由开集生成一个 ο-代数引入 Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有 一些很特别的性质. 充分利用几何图形的直观,以帮助学生理解. 本章先介绍R n 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定 义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭 集的性质及其构造。最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理、距离可达定理、隔离 性定理。 §２.１ R n 空间 数学分析中的极限概念是以距离为基础的，由此可见，距离是一相当重要的 概念，在高等代数中已对R n 规定过距离，且有以下三种： 设x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n )，y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n )∈R n d 1 (x,y)＝[ ∑ = n i 1 (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 d 2 (x,y)＝ bta ≤≤ max |ξ i -η i | d 3 (x,y)＝ ∑ = n i 1 |ξ i -η i | 距离的定义方法可以是多种多样的，甚至对抽象的集合也可以规定距离，但 必须满足常识性的两点基本要求：距离不能为负，两边之和不小于第三边。用公 理化形式表述如下： 定义２.１.１ 设 X 是一非空集合，且存在 d：X×X→[0,∞)满足 1) d(x,y)≥0，且d(x,y)＝0 <＝> x=y (正定性) 2) d(x,y)≤d(x,z)＋d(y,z) (三角不等式) 则称(X,d)为度量空间或距离空间，X中的元素称为点，d(x,y)为点x,y之间的 距离。 注２.１.１ “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理d(y,x)≤d(x,y),故 d(x,y)＝d(y,x). 上述R n 按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足1）， 2））。 例２.１.１ 2 l ＝{(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)| +∞< ∑ +∞ =1 2 i i ξ }，按d(x,y)＝ [ ∑ ∞ =1i (ξ i -η i ) ] 2 ] 2 1 成为距离空间．其中x＝(ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)，y＝ (η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)∈ 2 l 。满足1)显然，对2)只须验证对任意的x＝ (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,...)， y＝(η 1 ,η 2 ,...,η n ,...)， z＝(ζ 1 ,ζ 2 ,...,ζ n ,...) 有 [ ∑ ∞ =1i (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 ≤ [ ∑ ∞ =1i (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 ＋ [ ∑ ∞ =1i (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 事实上，由R n 中的三角不等式: [ ∑ = n i 1 (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 ≤ [ ∑ = n i 1 (ξ i -η i ) 2 ] 2 1 ＋ [ ∑ = n i 1 (ξ 1 -η i ) 2 ] 2 1 令n→＋∞即得所证不等式。 例２.１.２ C[a,b]按d(x,y)＝ bta ≤≤ max |x(t)-y(t)|成为距离空间。容易验证 它满足距离条件1)、2)。 有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。 定义２.１.２ 设 P m ∈R n (m＝1,2,3,...)，如果 ∞→m lim d(P m ,P 0 )＝0，则称点 列{P m }收敛于P 0 ， 记为 ∞→m lim P m ＝P 0 ,或 P m →P 0 (m→＋∞)， 即对任意ε＞0， 存在N， 当m＞N时有：d(P m ,P 0 )＜ε. 在距离空间(R n ,d 1 )中P m →P 0 (m→＋∞)<＝>x mk →x k0 (m→＋∞)， k=1,2,...,n，其中P m ＝(x 1m ,x 2m ,...,x mn )，P 0 ＝(x 01 ,x 02 ,...,x n0 ). 同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。. 定义２.１.３ 称集合{P|d(P,P 0 )＜δ}为P 0 的δ邻域，并记为 U(P 0 ,δ)。P 0 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么 样的半径时，也简称为P 0 的邻域，并记为U(P 0 )。 在R n (n＝1,2,3)中，v距离按d 1 定义时，所谓以P 0 为中心，δ为半径的 邻域分别是P 0 为中点、 2δ为长度的开区间；P 0 为圆心、δ为半径的开圆；P 0 为球心，δ为半径的开球。但距离按d 2 定义时，所谓以P 0 为中心，δ为半径 的邻域分别是P 0 为中点、 2δ为长度的开区间，P 0 为正方形中心、2δ为边长 的开正方形，P 0 为正方体中心，2δ为边长的开正方体。 不难看出：点列{P m }收敛于P 0 的充分必要条件是对任意ε＞0，存在N，当 m＞N时有：P m ∈U(P 0 )。 容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) p∈U(P)； 2) 对于 ? U(P 1 )和U(P 2 )， 如果存在P∈U 1 (P)∩U 2 (P)，则存在U 3 (P) ? U 1 (P)∩U 2 (P)； 3) 对于 ? Q∈U(P)，存在U(Q) ? U(P)； 4) 对于 ? Q≠P，存在U(Q)和U(P)满足U(Q)∩U(P)＝ф 定义２.１.４ 两个非空的点集 A、B 间的距离定义为 d(A,B)＝ BqAp ∈∈ , inf d(P,Q) 如果A、B中至少有一个是空集，则规定d(A,B)＝0；若B＝{x}，则记d(A,B)＝ d(A,x)。 显然，若A∩B≠ф，则d(A,B)＝0。 定义２.１.５ 一个非空的点集E的直径定义为： δ(E)＝ Eqp ∈, sup d(P,Q) 当E＝ф时，规定δ(ф)＝0。显然，δ(E)＝0<＝>E至多只有一个元素。 若δ(E)＜＋∞，则称E为有界集。 定义２.１.６ 称｛(x 1 ,x 2 ,...,x n )｜x i ∈A i ,i=1,2,...,n｝为集合A i 的 直积，记为A 1 ×A 2 ×...×A n 或 C n i 1= A i 。 定义２.１.６ 若 I＝ C n i 1= I i ，其中 I i ＝<a i ,b i >为直线上的区间，则称 I 为n维欧氏空间R n 中的区间；如果所有I i 都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区 间，则称I是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的I i 都是直线上的 有界区间，则 称I是R n 中的有界区间；如果至少有一个I i 是直线上的无界区间， 则称I是R n 中的无界区间。 注２.１.２ R 2 中的有界区间即矩形，R 3 中的区间即长方体，因此R n 中 的区间有时也称为“长方体”。 显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间I ? E或E为有界集的充要条 件是存在有界邻域 E 0 ? U(x 0 ,δ) 定义２.１.７ I＝ C n i 1= I i ，其中I i ＝<a i ,b i >，称|I|＝ C n i 1= (b i －a i )为 区间I的“体积”，即|I|＝ C n i 1= |I i |。当然，这里须约定0×∞＝∞×0＝0， 当a≠0时，a×∞＝∞×a＝∞。 注２.１.３ R 1 中的区间体积即区间的长度，R 2 中的区间体积即矩形面积 ＝长×宽，R 3 中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定R n 中的区间 体积＝n个边长的乘积，既是合理的又是自然的。