§３.３ 开集的可测性 定义３.３.１ 若E可以表成至多可列个闭集之并，则 称E为F σ 型集；若 E可以表成至多可列个开集之交，则 称E为G δ 型集；若E 可以看成由区间出发 经至多可列次交并余差运算的结果，则称 E 为Borel集。 由开集与闭集的对偶性可直接得到F σ 型集与G δ 型集的对偶性：F为 F σ 型 集<＝>CF是G δ 型集,G为 G δ 型集<＝>CG是F σ 型集。 证明留作习题。 推论３.３.１ : 一切F σ 集、G δ 集、Borel集均为可测集。 反过来， 可测集不一定是F σ 集、 G δ 集、 Borel集但与这些集合非常接近， 下 述三个定理将给出具体描述。 定理３.３.１ 以下三命题是等价的 1) E可测 2) 对任意ε＞0存在开集G满足G ? E，且m * (G-E)＜ε。 3) 存在G δ 集G 0 满足G 0 ? E，且m * (G 0 -E)＝0。 证明：1)＝>2)因为E可测，若mE＜＋∞，对由外测度定义知，对任意ε＞ 0存在开集G ? E满足mG＜mE+ε，即m(G-E)＜ε；若mE＝＋∞，则存在E n 满足 m * E n ＜＋∞， 且E＝ U ∞ =1n E n ， 对任意ε＞0存在开集O n ? E n 满足mO n ＜mE n + n 2 ε ， 令G＝ U ∞ =1n O n ， 则开集G ? E，从而m * (G-E)≤ ∑ ∞ =1m m * (O n -E n )＜ ∑ ∞ =1m n 2 ε ＝ε. 2)＝>3) 对任意ε＝ n 1 存在开集G n 满足G n ? E，且m * (G n -E)＜ n 1 ，令 G 0 = I ∞ =1n G n 则G 0 为G δ 集，且G 0 满足G 0 ? E，且m * (G 0 -E)＜m * (G n -E)＜ n 1 →0， 故m * (G 0 -E)＝0。 3)＝>1) 因为存在G δ 集G 0 满足G 0 ? E，且m * (G 0 -E)＝0，所以G 0 -E可测， 从而E＝G 0 -(G 0 -E) 可测。证毕 利 用E与E c 可测的等价性，开集与闭集、G δ 集与 F σ 的对偶性不难得到下 述定理： 定理３.３.２ 以下三命题是等价的 1) E可测 2) 对任意ε＞0存在闭集F满足E ? F，且m * (E-F)＜ε。 3) 存在F σ 集F 0 满足E ? F 0 ，且m * (E-F 0 )＝0。 证明留给读者。 将定理３.３.１与定理３.３.２相结合即得： 定理３.３.３ 以下三命题是等价的 1) E可测 2)对任意ε＞0存在开集G，闭集F满足F ? E ? G，且m(G-F)＜ε。 3)存在G δ 集G 0 ，F σ 集满足F 0 ? E ? G 0 ，且m(G 0 -F 0 )＝0。