§４.4 依测度收敛 改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“f n (x)在E 上一致收敛于f(x)”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收 敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。 从集合论的角度讲：“f n (x)在E上一致收敛于f(x)”是指 ? σ＞0，ョN 0 ＞0，当n＞N 0 时，E[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为“一致收敛” 条件苛刻，就在于它要求E[|f n (x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。能否 改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足 mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞) 呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生。 定义４.３.１ 设f(x)，f n (x)(n＝1,2,...)为在E上几乎处处有限的可测 函数，并对 ? σ＞0， ? ε＞0，ョN 0 ＞0，当n＞N 0 时，mE[|f n (x)－f(x)|≥σ] ＜ε， 即对 ? σ＞0，有 ∞→n limmE[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝0，则称函数列{f n (x)} 在E 上依测度收敛于f(x)，记为f n (x) ? ∞→n f(x)于E。 显然，若f n (x) ??→? 一致 f(x)于E，则f n (x) ? ∞→n f(x)于E。 定理４.4.１ (Lebesgue定理)设mE＜＋∞，f(x)，f n (x)(n＝1,2,... )为 在E上几乎处处有限的可测函数，且f n (x) ??→? ∞→n f(x) a.e于E，则 f n (x) ? ∞→n f(x)于E。 证明 因为E[f n (x) a? f(x)]＝ U ∞ =1k I ∞ =1N U ∞ =Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 又因为f n (x)在E上几乎处处收敛于f(x)，所以mE[f n (x) a? f(x)]＝0，于 是对 ? k 1 ,m｛ I ∞ =1N U ∞ =Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]｝＝0，由内极限定理 ∞→N lim m U ∞ =Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝0 (４.３.１) 对 ? σ＞0，ョ k 1 ＜σ,则E[|f n (x)－f(x)|≥σ] ? E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]， 即0≤mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]≤mE[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]─→0(n→+∞)，所以 f n (x) ? ∞→n f(x)于E。 证毕 反过来，若f n (x)在 E 上依测度收敛于 f(x)，不能保证 f n (x)在E上几乎处 处收敛于f(x)，请看下述反例： 例４.4.１ f i n (x)＝ ( ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∈ ? ? ? ? ? ? ? ∈ n i n i x n i n i x , 1 1,0,0 , 1 ,1 i=1,2,...,n. 显然f i n (x) ? ∞→n 0于(0,1)，但对任意的x∈(0,1)，对每一个n，都存在f i n (x)＝1同时对每 一个n，都存在f i n (x)＝0，从而对任意的x∈(0,1)，f i n ( x)都不收敛于任何实 数。 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系，著名的F.Riesz 定理反映了它们的内在联系。 定理４.4.２ （F.Riesz定理）若f n (x) ? ∞→n f(x)于E，则ョ子列 f i n (x) ??→? ∞→ i n f(x) a.e于E。 证明 因为E[f i n (x) →+? f(x)]＝ U ∞ =1k I ∞ =1N U ∞ =Ni E[|f i n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 于是只须选取f i n (x)满足mE[|f i n (x)－f(x)|≥ i 1 ]＜ i 2 1 即可保证对 ? k 当i ＞k时有： i 1 ＜ k 1 ，E[|f i n (x)－f(x)|≥ k 1 ] ? E[|f i n (x)－f(x)|≥ i 1 ]， 0≤m I ∞ =1N U ∞ =Ni E[|f i n (x)－f(x)|≥ k 1 ]≤ ∞→N lim m U ∞ =Ni E[|f i n (x)－f(x)|≥ k 1 ], ≤ ∑ ∞ = ∞→ Ni N lim mE[|f i n (x)－f(x)|≥ i 1 ]≤ ∑ ∞ = ∞→ Ni N lim i 2 1 ＝0，从而mE[f i n (x) →+? f(x)]＝0，即f i n (x) ??→? ∞→ i n f(x) a.e于E。证毕 推论４.4.１ 若mE＜＋∞，{f n (x)}在E上几乎处处有限且可测，则f n (x) ? ∞→n f(x)于E ? 对任意子列f i n (x)ョ该子列的子列f j i n (x) ??→? ∞→ ji n f(x) a.e于 E。 证明 “＝>”因为f n (x) ? ∞→n f(x)于E，所以f i n (x) ? ∞→ i n f(x)于E，从而ョ 该子列的子列f j i n (x) ??→? ∞→ ji n f(x) a.e于E。 “<＝” 若不然， 则ヨσ 0 ,ε 0 及f i n (x)满足E[|f i n (x)-f(x)|≥σ 0 ]≥ε 0 ， 由条件知：对此f i n (x)也ョ子列f j i n (x) ??→? ∞→ ji n f(x) a.e于E，即 mE[|f j i n (x)-f(x)|≥σ 0 ]→0(n j i →∞)，这与mE[|f i n (x)-f(x)|≥σ 0 ]≥ε 0 矛 盾。 作为Lebesgue定理的应用，我们来进一步研究直线上可测函数的结构。 定理４.4.３ 设E ? (-∞,+∞) 且f在E上几 乎处处有限， 则f在E上可测 ? ョ g n ∈C(-∞,+∞)，g n (x) ??→? ∞→n f(x) a.e 于E。且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜ x∈E｝ 证明 “＝>” 由鲁津定理知：对任意n有 f n ∈C(-∞,+∞)满足mE[f n ≠f] ＜ n 1 ，且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝，则f n (x)＝>f(x)于E，由F.Riesz 定理知：ョ子列f i n (x) ??→? ∞→ i n f(x) a.e于E，取g i (x)＝f i n (x)即可。 “<＝”显然。证毕 第四章 习 题 1.证明：f(x)在E上可测<＝>对任意有理数r E[f＞r]可测。如果任意有理数r， E[f＝r]可测，问f(x)是否在E上一定可测？ 2.若f在[a,b]上单调，则f在[a,b]上可测。 3.设 ｛f n (x)｝ 为E上的可测函数列， 证明它的收敛点集和发散点集都是可测集。 4.设不可测集E ? [0,1]，令f(x)＝ [] ? ? ? ?∈? ∈ ,1,0,1 ,1 Ex Ex ， 问f(x)是否在[0,1]上可 测？|f(x)|是否在[0,1]上可测？ 5.设mE＜＋∞， f n (x)(n=1,2,...,)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数列， 而f n (x)几乎处处收敛于有限函数f(x)，则对 ?ε＞0，ョ常数c与可测子集 E 0 ? E满足 m(E－E 0 )＜ε，|f n (x)|≤C (x∈E,n=1,2,...,) 6.设f(x)是(－∞， ＋∞)上的连续函数， g(x)为[a,b]上的可测函数， 则f[g(x)] 为 [a,b]上的可测函数。 7.设f n (x)(n=1,2,...,)，且f n (x) ? ∞→n f(x)于E，且 f n (x)≤g(x)(n=1,2,...,)， 则f(x)≤g(x) a.e于E 8.证明鲁金定理的逆定理。 9.设f n (x) ? ∞→n f(x)于E，且f n (x)≤f n+1 (x) a.e于E (n=1,2,...,)， 证明 f n (x)→f(x)(n→＋∞) a.e于E。 10.设f n (x) ? ∞→n f(x)于E，且f n (x)＝g n (x) a.e于E (n=1,2,...,)， 证明 g n (x) ? ∞→n f(x)于E。 11.设mE＜＋∞，f n (x)、g n (x)(n=1,2,...,)为E上几乎处处有限的可测函数 列， 且f n (x) ? ∞→n f(x)于E，g n (x) ? ∞→n g(x)于E，则 1) f n (x)g n (x) ? ∞→n f(x)g(x)于E， 2) f n (x)±g n (x) ? ∞→n f(x)±g(x)于E 3) |f n (x)| ? ∞→n f(x)于E 4) min｛f n (x),g n (x)｝ ? ∞→n min｛f(x),g(x)｝于E。 5) max｛f n (x),g n (x)｝ ? ∞→n max｛f(x),g(x)｝于E。 12.设f n (x)(n=1,2,...,)在任意集E上“近一致收敛”于f(x)，证明f n (x)→f(x) a.e于E。(即证明叶果落夫定理的逆定理)