§４.2 ЕгОРОВ 定理 在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致 收敛， 因此， 对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言， 更谈不上一致收敛。 例如f n (x)=x n +∞→ ??→? n 处处 0于 [ )01 ，却不一致收敛。究其原因是自变量越靠近0越收 敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一 个以1为右端点的小区间（1-δ，1）后就有收敛最慢点x=1-δ了，从而可以保 证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有 类似结果，即有下述定理成立。 定理４.2.1 (ЕгОРОВ)若mE＜＋∞，f n (x)，f(x)在E上几乎处处限 且可测， 并f n (x) ea n .. ???→? +∞→ f(x)于E， 则对任意δ＞0， ョ可测集F δ ? E， m(E-F δ ) ＜δ，满足f n (x) 一致 ??→? ∞→n f(x)于F δ 。 证明 第一步：对给定δ＞0，构造F δ 由定理４.３.１中(４.３.１)式知： 对 ? k 1 有 ∞→N lim m U ∞ =Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝0，对 ?δ＞0， ョN k ＞ 0， m U ∞ = k Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]≤ k 2 δ ，于是对任意δ＞0，ョF δ ＝E－ U ∞ =1k U ∞ = k Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝ I ∞ =1k I ∞ = k Nn E[|f n (x)－f(x)|< k 1 ] ，E-F δ ＝ U ∞ =1k U ∞ = k Nn E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 故m(E-F δ )＜ ∑ ∞ =1n n 2 δ ＝δ 第二步：证明f n (x) 一致 ??→? ∞→n f(x)于F δ 对 ?ε＞0，ョk满足 k 1 ＜ε，即ョN k ，对任意的x∈F，即 x∈F δ ＝ I ∞ =1k I ∞ = k Nn E[|f n (x)－f(x)|< k 1 ] ， 当n≥N k 时， |f n (x)－f(x)|＜ k 1 ＜ε， 即f n (x) 一致 ??→? ∞→n f(x)于F δ 。 定义４.2.1 若对任意δ＞0，ョ可测集F δ ? E满足m(E-F δ )＜δ， f n (x) 一致 ??→? ∞→n f(x)于F δ ，则称f n (x)在E上近一致收敛于f(x)。记为 f n (x) 近一致 ??→? ∞→n f(x)于E，或f n (x) a.u ??→? ∞→n f(x)于E。 叶果落夫定理说明在mE＜＋∞条件下，几乎处处收敛的函数列是近一致收 敛的，下述逆定理则说明近一致收敛无条件地保证几乎处处收敛。 定理４.2.2 若f n (x) a.u ??→? ∞→n f(x)，则f n (x) ??→? ∞→n f(x) a.e于E。 证明留给读者自己完成。