第四章 可测函数 本章先介绍可测函数定义及其等价描述、简单性质，然后讨论可测函数与简 单函数、连续函数三者之间的相互关系，最后引入依测度收敛概念，并研究依测 度收敛与几乎处处收敛、一致收敛之间的相互关系。引入可测函数概念的目的是 探讨哪些函数才有可能按新思路改造积分定义， 引入依测度收敛概念的目的在于 为新积分号下取极限时，削弱“一致收敛”这个苛刻条件作铺垫。 §４.１ 可测函数定义及其简单性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质. 本节要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且 有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性 特征. 先作一下特别申明，今后凡提到的函数都是允许函数值取＋∞，－∞的实函 数；±∞也称为广义实数，通常的实数称为有限实数. 函数值都是有限实数的函数称为有限函数；若ョM＞0，对任意x∈E，有 |f(x)|≤M， 则称f为E 上的有界函数；显然有界函数是有限函数， 反之则不然。 关于包括±∞在内的实数运算作如下规定： ＋∞＝ 1 sup Rx∈ {x}， －∞＝ 1 inf Rx∈ {x}， －∞＜a＜＋∞ 其中a为有限实数，从而对于上(下)方无界的单调增(减)数列{ a n }总存在 极限，且 ∞→n lima n ＝＋∞ (－∞) 对于任何有限实数a， a＋(±∞)＝(±∞)＋a＝(±∞)－a＝a－( m ∞)＝±∞ (±∞)＋(±∞)＝±∞，a/(±∞)＝0，0×(±∞)＝(±∞)×0＝0 对任何有限实数a＞0 (＜0) a×(±∞)＝(±∞)×a＝(±∞)/a＝(±∞) ( m ∞) (±∞)×(±∞)＝＋∞，(±∞)×( m ∞)＝-∞ 反之(±∞)－(±∞)，(±∞)＋( m ∞)，(±∞)/( m ∞)，(±∞)/(±∞)， (±∞)/0，a/0，都认为无意义。 以上规定除了0×(±∞)＝(±∞)×0＝0与数学分析中0，∞作为变化趋势 无穷小、无穷大时，0×(±∞)、(±∞)×0为不定型表面看来不一致以外，其 余规定均与数学分析中的相应结果完全统一。 那么这不一致的地方是否有欠妥之 处呢？其实没有， 因为这里的0是数， 而不仅仅是一个变化趋势为0的无穷小量， 如果要将此0 看成无穷小量，那么只有认为对任意n， α n ＝0，当β n ??→? +∞→n ＋∞，则α n β n ＝0 ??→? +∞→n 0。 由于建立Lebesgue积分的思路是：作分划时将函数值接近的分在一起，这 就涉及求形如E[a≤f<b]的测度问题。然而，令人遗憾的是第三章的研究使我们 意识到： 并非所有的集合都可测， 那么在实施通过对值域分划反过来分定义域时， 有可能出现E[a≤f<b]不可测，因此有必要专门研究哪些函数才能保证形如 E[a≤f＜b]的集合都可测。由于 E[a≤f<b]＝E[f≥a]－E[f≥b]， 所以只须研究哪些函数能保证形如E[f≥a]的集合可测。 定义４.１.１ 设f定义在可测集E上的函数，若对任意的实数a有 E[f≥a]可测，则 称f在E上 Lebesgue可测,简 称f在E 上可测。 定理４.１.１ 设f定义在可测集E上的函数，则以下四命题等价 1) f在E上可测(对任意的实 数a有E[f≥a]可测) 2) 对任意的实 数a有E[f＞a]可测 3) 对任意的实 数a有E[f≤a]可测 4) 对任意的实 数a有E[f<a]可测 证明 1) ? 2) 因为E[f＞a]＝ U ∞ =1n E[f≥a＋ n 1 ]，由于f在E 上可测， 所 以对任意n，E[f≥a＋ n 1 ]为可测集，故E[f＞a]可测。 2) ? 3) 因为对任意的实数a有E[f≤a]＝E－E[f＞a]， 而已知E[f＞a] 可 测，所以E－E[f＞a]可测，即E[f≤a]可测。 3) ? 4)与1) ? 2)同理，4) ? 1)与2) ? 3)同理. 推论４.１.１ f在E上可测 ? 对任意的a，b有E[a≤f＜b]，E[f＝＋∞] 可测。 证明 “ ? ”因为对任意a， n有E[a≤f＜a+n]可测， 且E[f＝+∞]可测， 则 对任意a， E[f≥a]＝ U ∞ =1n E[] U bfa <≤ E[f＝＋∞]可测， 故f在E 上可测 “ ? ”因为f在E 上可测，则对任意的a，b有E[f≥a]，E[f≥b]均可测， 则E []bfa <≤ ＝E[f≥a]－E[f≥b]可测，E[f＝＋∞]＝ I ∞ =1n E[f≥n]可测。 推论４.１.２ 定义在零测度集上的任何函数f均在E上可测 事实上，对任意的实 数a有0≤m * E[f＞a]≤m * E＝0，故E[f＞a]可测，即f 在E上可测。 利用E 0 [f＞a]＝E[f＞a]∩E 0 即得： 推论４.１.３ 若f在E 上可测， 则f在E 的任一可测子集E 0 上可测。 定理４.１.２ 设E＝ U ∞ =1n E n ，且 E n 可测，则f在E上可测 ? 对 ? n，f在 E n 上可测. 证明 “ ? ”对任意的实数a，E[f＞a]＝ U ∞ =1n E n [f＞a]，因 为f在E n 上 可测，所以E n [f＞a]可测，从而E[f＞a]可测， 即f在E 上可测。 “ ? ”因为f在E 上可测，所 以f在E 的可测子集E n 上可测。 定理４.１.３ 设f n 是定义在可测集E上的可测函数列，则 1) h(x)＝ 1 sup ≥n f n (x) g(x)＝ 1 inf ≥n f n (x) 2) m(x)＝ ∞→n iml f n (x) M(x)＝ ∞→n limf n (x)均为E上的可测函数。 3) 若f n 存在极限，则f(x)＝ ∞→n limf n (x) 也为E上的可测函数。 证明 1) 对任意a 由于E[h＞a]＝ U ∞ =1n E[f n ＞a]，且f n 在E上可测, 所以E[f n ＞a]可测，从而E[h＞a]， 即h在E 上可测，同理可 证g在E 上可测。 2) m(x)＝ ∞→n iml f n (x)＝ Nn N ≥ ≥ infsup 1 f n (x)＝ 1 sup ≥N g N (x)， 其中g N (x)＝ Nn≥ inf f n (x) 在E上可测，故m(x)在E上可测，同理M(x)在E上可测。 3) 若 ∞→n limf n 存在，则f(x)＝m(x)＝M(x)在E上可测。 例４.１.１ 若f(x)在E上可测，则f + (x)，f ? (x)，|f(x)|均在E上 可测。其中 f + (x)＝ ( ) ( ) () ? ? ? <∈ ≥∈ 0,0 0, fEx fExxf ， f ? (x)＝ ( ) () ( ) ? ? ? <∈? ≥∈ 0, 0,0 fExxf fEx ， 分别称为f(x)的正部函数，负部函数。 证明 因为对任意a，E[-f＞a]＝E [ ]af ?< ，所以当f可测时，-f可测。 又因为f + (x)＝max{f(x),0}，f ? (x)＝max{-f(x),0}，|f(x)|＝max{f(x),n}, 故当f可测时，f + (x)、f ? (x)、|f(x)|均在E上可测。 例４.１.2 若f(x)在E上非负可测，则{f(x)} n 在E上可测。其中 {f(x)} n ＝ () () ( ) ? ? ? <∈ ≥∈ nfExxf nfExn , , 称为f(x)的n-截断函数。 证明 显然{f(x)} n =min{f(x),n}在E上可测。 定理４.１.４ 可测函数的和、差、积、商仍为可测函数。 此定理留到可测函数的结构后证明会简单得多(参见定理４.3.２)，故此处 从略。