绪 论 1.实变函数论的内容 顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学 都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微 分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说： 实函只做一件事，那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann 积分定义使得更多 的函数可积。 何以说明现有《数学分析》中 Riemann 积分范围小了呢？因为 D(x)＝ ? ? ? 为有理数时， 为无理数时 x x 1 ,0 这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。 如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成 这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析 知：对任意分划 T： a＝ bxxxx n =<<<< L 210 ， 由于任意一个正长度区间内 既有有理数又有无理数，所以恒有： S(T,D)－ s(T,D)≡ 1－ 0=1 如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定 要分成区间的话，还是有可能满 足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有 理数分在一起，将无理数分在一起， 那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着 眼点，首先让分化概念更加广泛，更 加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即 D:E＝ [] U n i ii yfyE 1 1 = ? <≤ ，其中 m≤f<M， m＝ Myyym n =<<<= L 10 时，要 Ｓ (D,f)-s(D,f)= [][ ][]ε<??≤<≤?? ? ≤≤ ? = ?∑ mEyyyfymEyy ii ni ii n i ii 1 1 1 1 1 max ，只须 [] mE yy ii ni ε <? ? ≤≤ 1 1 max ，这里 [] ii yfymE <≤ ?1 相当于集合 [ ] ii yfyE <≤ ?1 的长度。 Lebesgue 正是基于这个思路创立了 Lebesgue 积分理论。 思路非常简单，但实现起来并非易事，因为 [ ] ii yfyE <≤ ?1 可能很不规则，如何 求 [] ii yfymE <≤ ?1 呢？这就是一般集合的测度问题 (即第三章内容 )， 而测度理论所 度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间 R n 的子集。因此，必须先介绍 集合与点集知识 (即第一章、第二章内容 )。测度理论本来是为了推广长度、面积、 体积概念到一般 g 的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线 上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最 基本要求：一、落实到具体区间的测 度就是长度 (即测度确为长度概念的推广 )；二、总体测度等于部分测度之和 ( 即可 列可加性成立 )。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合 便是可测集合 (即第四章内容 )。那么哪些函数才能保证形如 [ ] ii yfyE <≤ ?1 的集合 可测呢？这就是可测函数理论问题 ( 即第四章内容 ) ，由于 [][][ ] iiii yfEyfEyfyE ≥?≥=<≤ ?? 11 ，所以我们采用对 a? ,有 E[f ≥ a]可测，作为 函数可测的定义。 有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大 （小）和 () [] ii n i i yfymEyfDS <≤= ? = ∑ 1 1 , ， （ () [] ii n i i yfymEyfDs <≤= ? = ?∑ 1 1 1 , ） 然后规定 () ()( )fDsfDS D D ,inf,sup = 为积分值，定义并讨论新积分的性质 (即第 五章内容 )。 以上所述， 既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路， 也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方 图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推 广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达 推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推 广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积 （体积） 了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值 （如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大 （小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论 积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。 2.实变函数论的特点 由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际 情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性 强。 抽象到什么程度呢？仅据两例说明之： 一是“似是而非”。 例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生， 任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能： 或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至 多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无 理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个 数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一 个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理 告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？ 有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与 实数一样多。 二是“似非而是” 例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说 自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而《实变函数论》通过严密论证该结论 无可非议。 理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改 造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理 论上的准备，很少有应用、例题的原因。 3.学习实变函数论的方法 针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。 由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能 简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例１、 例２类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证 明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其 合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。 ４．对课程内容的几点特色处理 简化①在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体 积概念，为简化测度定义奠定了基础。 ②用 m * E=inf {|G|｜Ｇ开且 G ? E}取代 m * E=inf { EII i i i i ? +∞ = +∞ = ∑ U 11 ; }不仅使测 度概念形式上得到简化、直观化，更重要的是使得诸如 m * Ｉ = I 等一系列命题的 证明过程得到大大简化。 ③将大部分教材留到讲Ｆ ubini 定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接 着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可 测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。 ④直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念 简单、直观、明了，让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求 和、 Levi 定理等一系列命题的证明过程得到大大简化。 ⑤在本教材中不依赖Ｒ iemann 积分定义，直接从 Lebesgue 积分定义出发证 明计算积分的重要工具牛顿——莱布尼兹公式，为将来实现 Lebesgue 积分取代 Ｒ iemann 积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了Ｒ iemann 积分的事实，研究了Ｒ iemann 积分和广义Ｒ iemann 积分与 Lebesgue 积分关系。 ⑥将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为 “不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集” ，从而使概念直观 化， 学生易于理解其实质， 开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、 思路直观化。 ⑦既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部 分例子说明之。 如在引入依测度收敛时， 先讲 “改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围， 二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言，积分与极限交换顺序需要一个苛刻 的条件： ‘ f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)’ 。从集合论的角度讲： ‘ f n (x)在 E 上 一致收敛于 f(x)’是 指 ? σ＞ 0，ョ N 0 ＞ 0，当 n＞ N 0 时， E[|f n (x)－ f(x)|≥σ ] ＝φ，之所以我们认为‘一致收敛’条件苛刻，就在于它要求 E[|f n (x)－ f(x)| ≥σ ]从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必 须满足 mE[|f n (x)－ f(x)|≥σ ]→ 0(n→＋∞ )呢？ 这就导致了依测度收敛这个 新概念的产生” 。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。 又如在引入叶果落夫定理时，通过实例 f(x)=x n +∞→ ??→? n 处处 0 于 [ )01 ，却不一致收 敛出发究其原因是自变量越靠近 0 越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可 能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以 1 为右端点的小区间（ 1-δ， 1）后 就有收敛最慢点 x=1-δ了，从而可以保证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果 落夫（ЕгОРОВ）发现任何可测函数都有类似结果，这就是著名的叶果落夫 定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发，即将特例 抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。 再如对 Lebesgue 积分定义，先在绪论中指出 Riemann 积分的弊病，分析了产生 弊病的原因，提出了解决此弊病的方法，即对 Lebesgue 改造积分定义的思路概括性 作了介绍，当我们在第五章通过几何意义直接定义 Lebesgue 积分时，唯恐掩盖 Lebesgue 原始创新思路，及时指出“ ( )EmG n ,Φ 便是 f 在分划 n T :E＝ U 12 1 + = n n k k E 下的小 和 s(f, n T )， 即 ( ) ( ) n n n nE TfsEmGfdx ,lim,lim ∞→∞→ =Φ= ∫ 。 这与定义(R)积分的分割、 求和、 取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可 能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不 仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、 分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。