实变函数：§５.２ 可积函数

§５.２ 可积 函数 定理５.２.１ (levi定理)若φ n (x)为可测集E上的非负可测函数列， 且满足 φ n (x)≤φ 1+n (x)，φ n (x)→f(x) (n→＋∞)，则 ∫ E fdx＝ ∞→n lim ∫ E φ n dx 证明 G ()Ef , ＝｛(x,y)｜0≤y<f(x)｝，G ( )E n ,Φ ＝｛(x,y)｜0≤y<φ n ｝然 而G ()E n ,Φ ? G()E n , 1+ Φ ，且G ( )Ef , ＝ U ∞ =1n G( )E n ,Φ ，由外极限定理知： ∫ E fdx ＝mG ()Ef , ＝ ∞→n limmG()E n ,Φ ＝ ∞→n lim ∫ E φ n dx. 证毕 定理５.２.２ (Fatou引理)若φ n (x)为可测集E上的非负可测函数列， 则 ∫ E ∞→n limφ n (x)dx≤ ∞→n lim ∫ E φ n dx 证明 因为 ∞→n limφ n (x)＝ 1 sup ≥N Nn≥ inf φ n (x)，令ψ N (x)＝ Nn≥ inf φ n (x)，则 ψ n (x)≤ψ 1+n (x)， ∞→n limφ n (x)＝ ∞→n limψ n (x)，于是 ∫ E ∞→n limφ n (x)dx＝ ∫ E ∞→N lim ψ N (x)dx＝ ∞→N lim ∫ E ψ N dx＝ ∞→N lim ∫ E ψ N dx≤ ∞→n lim ∫ E φ n dx，证毕。 定理５.２.３ （控制收敛定理） 若f n (x)为可测集E上的可测函数列， 存 在E上可积函数F(x)满足|f n (x)|≤F(x)，f n (x)─→f(x) a.e于E，则 ∫ E fdx ＝ ∞→n lim ∫ E f n dx 证明 F(x)＋f n (x)≥0且在E上可测，则由定理５.２.２知 ∫ E ∞→n lim [F(x)＋f n (x)]dx≤ ∞→n lim ∫ E [F(x)＋f n (x)]dx ∫ E F(x)dx＋ ∫ E ∞→n limf n (x)dx≤ ∫ E F(x)dx＋ ∞→n lim ∫ E f n dx 即 ∫ E ∞→n limf n (x)dx≤ ∞→n lim ∫ E f n dx。同理F(x)－f n (x)≥0且在E上可测，则由 定理５.２.２知 ∫ E ∞→n lim[F(x)－f n (x)]dx≤ ∞→n lim ∫ E [F(x)－f n (x)]dx， ∫ E F(x)dx－ ∫ E ∞→n limf n (x)dx≤ ∫ E F(x)dx－ ∞→n lim ∫ E f n dx，即 ∫ E ∞→n limf n (x)dx≥ ∞→n lim ∫ E f n dx， ∫ E ∞→n limf n (x)dx≤ ∞→n lim ∫ E f n dx≤ ∞→n lim ∫ E f n dx≤ ∫ E ∞→n limf n (x)dx，而 f n (x)─→f(x) a.e于E，故 ∫ E fdx＝ ∞→n lim ∫ E f n dx 注 5.2.1 ：将定理５.２.３中条件f n (x)─→f(x) a.e于E，改为 f n (x) ∞→ ? n f(x)于E后，结论仍成立。 事实上，若 ∫ E ∞→n limf n (x)dx≠ ∞→n lim ∫ E f n dx，令α＝ ∫ E fdx， 则ョε 0 及f i n 满足 | ∫ E f i n dx－α|≥ε 0 ，显然f 0 n (x)＝>f(x)于E，由 Lebesgues定理知：ョ f j n 0 (x)─→f(x) a.e于E，从而 ∫ E f(x)dx＝ ∞→j lim ∫ E f j n 0 dx矛盾。证毕 推论５.２.１ 若φ n (x)为可测集E上的非负可测函数列，其中至少有一 个φ 0 n (x)在E上可积且满足φ n (x)≥φ 1+n (x)，φ n (x)→f(x) (n→＋∞)， 则 ∫ E fdx＝ ∞→n lim ∫ E φ n dx 证明：令F(x)＝φ 0 n (x)，由定理５.２.３即得结果。 定理５.２.４ 若f n (x)为可测集E上的非负可测函数列，则 ∫ E ∑ ∞ =1n f n dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ E f n dx 证明 令φ N ＝ ∑ = N n 1 f n ,f＝ ∑ ∞ =1n f n 则φ n (x)为可测集E 上的非负可测函 数列，且满足 φ N (x)≤φ 1+N (x)，φ N (x)→f(x) (N→＋∞)，从而由Levi 定理知： ∫ E fdx＝ ∞→N lim ∫ E φ N dx＝ ∞→n lim ∫ E f n dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ E f n dx， 证毕。 定理５.２.５ ：设f(x)在E上有积分值，若E＝ U ∞ =1n E n ，且互不相交， 则f在每一个E n 上有积分值，且 ∫ E fdx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E fdx 证明 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，令 ? ? ? ? ∈ = n n n Ex Exxf xf 当 当 0 )( )( ， 由定理５.２.４知： ∫ E fdx＝ ∫ E ∑ ∞ =1n f n dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E fdx，若f(x)为可测集E 上的一般可测函数，则f＝f + －f ? ， ∫ E f + dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E f + dx 与 ∫ E f ? dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E f ? dx至少有一个有限， ∫ E fdx＝ ∫ E f + dx－ ∫ E f ? dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E f + dx － ∑ ∞ =1n ∫ n E f ? dx＝ ∑ ∞ =1n ∫ n E fdx，证毕。 定理５.２.６ f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数， 在[a,b] 上关 于x可积，在[c,d]上关于t处处可微，且存在[a,b]上的可积函数F(x)满足 |f t '(x,t)|≤F(x) ( ?t∈[c,d]), dt d [] ∫ ba, f(x,t)dx＝ [] ∫ ba, f t '(x,t)dx 证明 dt d [] ∫ ba, fdx＝ ( ) ( ) [][] t dxtxfdxtxxf baba t ? ??+ ∫∫ →? ,, 0 ,, lim ＝ ()( ) [] dx t txftxxf bat ∫ ? ??+ →? ,0 ,, lim ＝ ()( ) [] dx txfxxf ba n n n ∫ ?+ ∞→ , ,, lim α α （ 0→ n α ，n→∞） 则由微分中值定理知：ョ0≤θ n ≤1满足 f n (x,t)＝ ()() n n txfxxf α α ,, ?+ ＝|f t '(x,t＋θ n α n )|≤F(x)，由控制收敛定 理知 ()( ) [] dx txfxxf ba n n n ∫ ?+ ∞→ , ,, lim α α ＝ ()( ) [] dx txfxxf ba n n n ∫ ?+ ∞→, ,, lim α α 即 dt d [] ∫ ba, f(x,t)dx＝ [] ∫ ba, f t '(x,t)dx，证毕。 本来，（L）积分定义已经给出了计算积分的具体步骤，然而对大部分积分 而言，沿着此步骤非常繁琐，在此我们介绍一些有用的工具和技巧。 例 5．2．1 设R（x）＝ [] () [] ? ? ? ? ? ==∈ 中的无理数。为 且 1,0,0 ,1,,1,0, 1 x mn m n xx m ，求 [] ∫ 1,0 R（x）dx ＝？ 解：因为R（x）＝0a.e于［0，１］，于是 [] ∫ 1,0 R（x）dx＝ [] ∫ 1,0 0dx＝0。 定理５.2.7 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积且 1）存在 ∈ξ [a,b]满足 [] ∫ ba, fdx＝（b-a）f( ξ) 2) [] ∫ ba, fdx＝F（b）- F(a),其中F（x）为f(x)的任一原函数。 证明 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f在测度有限集[a,b]上有界可测，所 以可积。 1）设M= []bax , max ∈ f(x)，m= []bax , min ∈ f(x),则m(b-a)≤ [] ∫ ba, fdx≤M(b-a),即 m≤ [] ab fdx ba ? ∫ , ≤M，由连续函数介值定理知：存在 ∈ξ [a,b]满足 [] ab fdx ba ? ∫ , ＝f( ξ)， 即 [] ∫ ba, fdx＝（b-a）f( ξ)。 2）令G（x）＝ [] ∫ xa, fdx，则 ( ) ( ) [][] x dttfdttf xxaxa ? ? ∫∫ ?+,, ＝ () [] x dttf xxx ? ∫ ?+, 由1）知：存在 []xxx x ?+∈ ? ,ξ 满足 ( ) [] x dttf xxx ? ∫ ?+, = f( x? ξ ),故 () () [][] x dttfdttf xxaxa x ? ? ∫∫ ?+ →? ,, 0 lim ＝ 0 lim →?x ( ) [] x dttf xxx ? ∫ ?+, ＝ 0 lim →?x f( x? ξ )=f(x)， 即G ’(x + )＝f(x),同理G ’(x ? )＝f(x)，所以G ’(x)=f(x),即F（x）＝G(x)+C, 其中C=F(a)。证毕 例５．2．２ 设f(x)＝ [ ] [] ? ? ? 中的有理数为 中的无理数为 1,0,arctan 1,0,sin 2 xx xx ，求 [] ∫ 1,0 f（x）dx ＝？ 解 因为f（x）＝sin x a.e于［０，１］， [] ∫ 1,0 f（x）dx＝ [] ∫ 1,0 sinxdx ＝-[cos1-cos0]＝1-cos1。 定理５.2.8 设f(x)在[a,b]上(R)可积， 则f(x)在[a,b]上(L)可积， 且 (L) [] ∫ ba, fdx＝(R) ∫ b a fdx。 证明 记E＝[a,b]，由f(x)在E上(R)可积知：存在实数M 1 ，M 2 使得 M 1 ≤f(x)≤M 2 ，相应于每个自然数n，将[a,b]分成2 n 等份，得到分划 T n ：a＝ ()n x 0 ＜ ()n x 1 ＜ ( )n x 2 ＜...＜ ( )n n x 2 ＝b, ∥T n ∥＝ n i 21 max ≤≤ [x i -x 1?i ]─→0 (n→∞) 作相应的简单函数 g n (x)＝ () () () () ( ] ? ? ? ∈ = ? n i n i n i xxxm axaf ,, ,, 1 k=1,2,...,2 n h n (x)＝ () () () () ( ] ? ? ? ∈ = ? n i n i n i xxxM axaf ,, ,, 1 k=1,2,...,2 n 其中 ()n i m ＝inf{f(x)｜x∈[ ( ) ( )n i n i xx , 1? ]}， ( )n i M ＝sup{f(x)｜x∈[ () ()n i n i xx , 1? ]} 则在分划T n 下的Darboux小和、大和分别为： s(f,T n )＝ ∑ = n i 2 1 ()n i m [ ( )n i x - ( )n i x 1? ]＝ ∫ E g n dx， S(f,T n )＝ ∑ = n i 2 1 ()n i M [ ( )n i x - ( )n i x 1? ]＝ ∫ E h n dx 显然，g n ≤g 1+n ≤...≤f(x)≤...≤h 1+n ≤h n ，令 g(x)＝ ∞→n limg n (x)，h(x)＝ ∞→n limh n (x)，则g(x)≤f(x)≤h(x)且 s n (f,T n )＝ ∫ E g n dx≤(R) ∫ b a fdx ≤ ∫ E h n dx＝S n (f,T n ) 于是 0≤ [] ∫ ba, [h－g]dx≤ ∫ b a [h n －g n ]dx＝S(f,T n )－s(f,T n )─→0(n→∞), g(x)＝h(x) a.e于[a,b]，所以f(x)＝h(x) a.e于[a,b]，从而f(x)在E 上 有界可测， (L) [] ∫ ba, fdx＝(L) [] ∫ ba, gdx＝ ∞→n lim (L) [] ∫ ba, g n dx ＝ ∞→n lims(f,T n )＝(R) ∫ b a fdx,证毕. 定理５.2.9 设f(x)在[a,＋∞)上定义的函数，当t∈(a,＋∞)时，f(x) 在[a,t]上(R)可积，则f(x)在[a,＋∞]上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞]上广义 (R)可积，且 (L) [ ) ∫ ∞,a fdx＝(广义R) [ ) ∫ ∞,a fdx 证明 1)若f(x)在[a,＋∞]上的非负函数，则 令 () () [ ] [ ) ? ? ? ?+∞∈ +=∈ = ,,,0 ,,, n n n Eax naaExxf xf 当 当 , 则Levi定理知： (L) [ ) ∫ ∞,a fdx＝ ∞→n lim (L)∫ [ ) ∫ ∞,a f n dx ＝ ∞→n lim(R) [] ∫ +naa, f n dx＝(广义R) [ ) ∫ ∞,a fdx 从而f(x)在[a,＋∞)上(L)可积<＝>f(x)在[a,＋∞)上广义(R) 可积 2)若f(x)在[a,＋∞)上的一般函数，则因为当t∈(a,＋∞)时，f(x)在 [a,t]上(R)可积，则f(x)在[a,t]上可测，即f(x)在[a,＋∞)＝ U ∞ =1n [a,a+n]上 可测，而f(x)在[a,＋∞)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞)上(L)可积，又由1] 知：|f(x)|在[a,＋∞)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞)上广义(R)可积，而 |f n (x)|≤|f(x)|由控制收敛定理知： (L) [ ) ∫ ∞,a fdx＝ ∞→n lim (L) [ ) ∫ ∞,a f n dx ＝ ∞→n lim(R) [] ∫ +naa, fdx＝(广义R) [ ) ∫ ∞,a fdx,证毕. 对于瑕积分，同理可证类似的下述结果： 定理５.2.10 设f(x)在[a,b)上定义的函数，b为f的暇点，当t∈(a,b) 时， f(x)在[a,t]上(R)可积， 则f(x)在[a,b)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,b)上(R) 瑕积分有限，且 (L) [ ) ∫ ba, fdx＝(R瑕) [ ) ∫ ba, fdx 例５．2．３ 设f(x)＝ ( ] () ( ] ()[]() ? ? ? ? ? ? ? ? ? +∞+ +∞ 中的有理数，为 中的有理数，，为 中的无理数，为 中的无理数，，为 ,1,1lnsin 10,arctan ,1, 1 10, 1 2 2 2 xxe xx x x x x x ， 求 () ∫ +∞,0 f（x）dx＝？ 解 设g(x)＝ ( ] () ? ? ? ? ? ? ? +∞∈ ∈ ,1, 1 1,0, 1 2 x x x x ，则f(x)＝g(x)a.e于（０，＋ ∞ ），所以 () ∫ +∞,0 f（x）dx＝ () ∫ +∞,0 g（x）dx＝ ? ? ? ? ? ? + ∫∫ ∞→ 1 1 1 2 11 lim n n n dx x dx x ＝３。 由此可见例5．2．１的方法与定理３．３．１相结合是威力无穷的． 定理 5.2.11 设f(x)定义在[a,b]上的有界函数，则f(x)在[a,b]上(R) 可 积<＝>f(x)在[a,b]上几乎处处连续。 证明 此处凡未加申明的记号均与定理5.2.8证明过程中相应记号意义相 同。 “＝>”，由定理5.2.6知：令E＝[a,b]，mE[h≠g]＝0，记T n 的分点全体 为E n ，则mE n ＝0，对 ? x∈E－E[h≠g]－ U ∞ =0n E n ，对 ? ε＞0， ? n，|h n －g n | ＜ε， ? i 0 ，x∈(x n i 1 0 ? ,x n i 0 )，令δ＝min(x-x n i 1 0 ? ,x n i 0 -x)， 当|x－x'|＜δ时，|f(x)－f(x')|≤|h n (x)－g n (x)|＜ε，故f在x处连续， 从而f(x)在[a,b]上几乎处处连续。 “<＝”令E 0 ＝ ｛x｜x∈[a,b]， 且f 在x 处间断｝ ， 则mE 0 ＝0， 对任意x∈E － U ∞ =1n E n ，对任意ε＞0，存在δ＞0，|x－x'|＜δ时，|f(x)－f(x')|＜ε， 对此δ＞0，ョN，∥T N ∥＜δ，存在i 0 ，x∈(x N i 1 0 ? ,x N i 0 )，所以对任意 x'∈(x N i 1 0 ? ,x N i 0 )有|f(x)－f(x')|＜ε， 即f(x)－ε＜f(x')＜f(x)＋ε， |h N (x) －g N (x)|≤ε，当n＞N时，更有|h n (x)－g n (x)|≤ε，则h(x)＝f(x)=g(x)， 即h＝f=g a.e与E，由有界控制收敛定理知： ∞→n lims n (f,T n )＝ ∞→n lim(L) ∫ E g n dx＝(L) ∫ E gdx ＝(L) ∫ E hdx＝ ∞→n lim(L) ∫ E h n dx＝ ∞→n limS n (f,T n ) 故f(x)在[a,b]上(R)可积。证毕 在此我们欣慰地看到我们成功地应用Lebesgue测度与积分这块他山之石， 攻破了Rieman积分本身无法回答的“函数Rieman可积的本质特征是什么？”这 块玉。