§５.3 Fubini 定理 我们定义Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形G ( )Ef , (以非负函数 为例)的测度，然而到目前为止，我们只定义了可测函数的积分，是否有下方图 形G ),( Ef 是可测集，因本身不是可测函数的 f 而未定义积分值呢？下述截面定理 将让我们打消此顾虑。为此，我们先引入截面概念。 定义５.3.１ 设E是R qp+ 中一点集，x 0 ∈R p ，y 0 ∈R q ， 则将｛y｜y∈R q ， (x 0 ,y)∈E｝ ? R q ，｛x｜x∈R p ，(x,y 0 )∈E｝ ? R p ，分别称为 E 关于 x 0 的截 面和E关于y 0 的截面。并分别用 E 0 x ，E 0 y 记之。 容易验证：截面具有下列简单性质： (1) 如果 A 1 ? A 2 ，则(A 1 ) x ? (A 2 ) x (2) 如果 A 1 ∩A 2 ＝φ，则(A 1 ) x ∩(A 2 ) x ＝φ (3) (∪A i ) x ＝∪(A i ) x ，则(∩A i ) x ＝∩(A i ) x (4) (A 1 －A 2 ) x ＝(A 1 ) x －(A 2 ) x 定理５.3.１ (截面定理) 设E是R qp+ 中一可测点集，则 (1) 对于 R p 中几乎所有点 x，E x 是R q 中可测集； (2) mE x 作为 x 的函数，是在 R p 上几乎处处有定义的可测函数； (3) mE＝ ∫ n R mE x dx 证明 (一)当 E 为有界可测集时。 (1) E 为 R qp+ 中左开右闭(开、闭)区间的情形：设 E＝△ 1 ×△ 2 ，其中△ 1 ， △ 2 分别为 R p ，R q 中相应的左开右闭(开、闭)区间，则 E x ＝ ? ? ? ??Φ ?∈? 1 12 , , x x ，故 E x 是R q 中可测集；mE x ＝ ? ? ? ?? ?∈? 1 12 ,0 , x x 故 mE x 是R p 上定义的简单函数；且 mE＝|△ 1 |×|△ 2 |＝ ∫ n R mE x dx。 (2) 设 E 为开集的情形：设 E＝ U ∞ =1i I i ，其 中 I i 是R qp+ 中互不相交的左开右 闭区间，则 E x ＝ U ∞ =1i (I i ) x ，由(1)知(I i ) x 是R q 中可测集，所以 E x 也可测。 又因(I i ) x 互不相交，所以 mE x ＝ ∑ ∞ =1i m(I i ) x 。由(1)知各 m(I i ) x 是R p 上的可 测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数，且 mE＝ ∑ ∞ =1i mI i ＝ ∑ ∞ =1i ∫ n R m(I i ) x dx ＝ ∫ n R ∑ ∞ =1i m(I i ) x dx＝ ∫ n R mE x dx。 (3) E 为 G δ 集的情形：设 E＝ I ∞ =1i G i ，其中 G i 是R qp+ 中的开集，且可要求 G 1 ? G 2 ? ,..., ? G n ? ,... (若不然， 令O n ＝ I n i 1= G i 即可),则E x ＝ I ∞ =1i (G i ) x ， 由(2)知(G i ) x 是R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因为 m(G 1 ) x ＜＋∞，且 (G 1 ) x ? (G 2 ) x ? ,..., ? (G n ) x ? ,...由内极限定理知 mE x ＝ ∞→n lim m(G n ) x 。由 (2)知各 m(G n ) x 是R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的可测函数。且 mE＝ ∞→n lim mG n (由内极限定理) ＝ ∞→n lim ∫ n R m(G n ) x dx (由(2)) ＝ ∫ n R ∞→n lim m(G n ) x dx (由控制收敛定理) ＝ ∫ n R mE x dx。 (由内极限定理) (4) E 为零测度情形： 设E是R qp+ 中零测度集，ョ G δ 型集 G ? E 满足 mE＝mG ＝0，由(3)知 0＝mG＝ ∫ n R mG x dx，据积分唯一性定理得 mG x ＝0 a.e 于 R p ，又 G x ? E x 从而更有 mE x ＝0 a.e 于 R p ， 所以 mE x 在R p 上可测， 且 mE＝ ∫ n R mE x dx。 (5) E 为一般有界可测集的情形：设 E＝G－N，其 中G为G δ 型集，N 为零测 度集(可测集的构造定理)。由于 E x ＝G x －N x 。所以由(4)得 mE x ＝mG x －mN x ＝ mG x a.e 于 R p ，从而 mE x 在R p 上可测，且 mE＝mG＝ ∫ n R mG x dx＝ ∫ n R mE x dx (二) 当 E 为无界可测集时 设E＝ U ∞ =1i E i ，其中 mE i ＜＋∞，且 E i 彼此互不相交，则 E x ＝ U ∞ =1i (E i ) x ， 由(一)知(E i ) x 是R q 中可测集，所以 E x 也可测。又因(E i ) x 互不相交，所以 mE x ＝ ∑ ∞ =1i m(E i ) x 。由(一)知各 m(E i ) x 是R p 上的可测函数，所以 mE x 也是 R p 上的 可测函数，且 mE＝ ∑ ∞ =1i mE i ＝ ∑ ∞ =1i ∫ n R m(E i ) x dx＝ ∫ n R ∑ ∞ =1i m(E i ) x ＝ ∫ n R mE x dx。 证毕. 推论５.3.１ 设f是定义在E上的非负函数， 且下方图形G ()Ef , 是可测集， 则f在E 上可测。 证明 显然 m(G ()Ef , ) x ＝f(x)，由定理５.3.１ 2)知结论成立。证毕 对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算， 对(L)重积分可以化为累次 积分来计算吗？Fubini 不仅对此作出了肯定的回答，而且还去掉了许多繁琐的 条件限制。 定理５.3.２ (Fubini) (1)设 f(P)＝f(x,y)为 A×B ? R qp+ (其中 A ? R p ， B ? R q 且均为可测集)上的非负可测函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可测， ∫ B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可测，且 ∫ ×BA f(p)dp＝ ∫ A dx ∫ B f(x,y)dy (2) 设 f(P)＝f(x,y)为 A×B ? R qp+ (其中 A ? R p ，B ? R q 且均为可测集)上 的可积函数，则对几乎所有的 x∈A，f(x,y)作为 y 的函数在 B 上可积， ∫ B f(x,y)dy 作为 x 的函数在 A 上可积，且 ∫ ×BA f(p)dp＝ ∫ A dx ∫ B f(x,y)dy 证明 (1) 由第四章定理知：G ( )BAf ×, 是 R 1++qp 中的可测集，则几乎对所 有的 x，（G ()BAf ×, ） x 为可测集，函数 m（G ( )BAf ×, ） x 是 a.e 于 A×B 有定 义的非负可测函数， 又由积分值定义得 mG()BAf ×, ＝ ∫ ×BA f(p)dp (积分定义) ＝ ∫ p R mG()BAf ×, x dx (由定理５.４.１知) 由于 R 1+q ? （G ()BAf ×, ） x ＝ ( ) ( ){ } ? ? ? ?Φ ∈<≤∈ ,, ,,0,, Ax AxyxfzByzy ,所以对于 x∈A，这截面实际上是将 x 固定后，f(x,y)看成是 y 的函数时在 B 上的下方图 形,即 f(x,y) ＝m ),(B)(f, )G( yx = ，于是这截面可测，且由前述定理５.４.１有：m （G ()BAf ×, ） x ＝ ∫ B f(x,y)dy，故 ∫ ×BA f(p)d p ＝ ∫ A dx ∫ B f(x,y)dy。 (2) 设 f(p)在 A×B 上可积，则 f + (p)、f ? (p)均在 A×B 上可积，且 ∫ ×BA f(p)dp＝ ∫ ×BA f + (p)dp－ ∫ ×BA f ? (p)dp (积分定义) ＝ ∫ A dx ∫ B f + (x,y)dy－ ∫ A dx ∫ B f ? (x,y)dy (由(1)得) ＝ ∫ A dx[ ∫ B f + (x,y)dy－ ∫ B f ? (x,y)dy] (积分的线性) ＝ ∫ A dx ∫ B f(x,y)dy。 (积分定义),证毕. 注５.3.１ 同理 ∫ ×BA f(p)dp＝ ∫ B dy ∫ A f(x,y)dx 成立，当然定理叙述及 证明过程中某些字母要作相应的对调，此处不赘述。 注５.3.２ 从 Fubini 定理可以看出，只要重积分有限， 则两个累次积分应 相等，这是否定可积性的一个重要方法。 例５.3.１ 设 f(x,y)＝ [] 2 22 22 yx yx + ? 定义在 E＝(0,1)×(0,1)，则 ∫ A dx ∫ B f(x,y)dy＝ [] ∫ 1,0 dx [] ∫ 1,0 [] 2 22 22 yx yx + ? dy ＝ [] ∫ 1,0 2 1 1 x+ dx＝ 4 π ∫ B dy ∫ A f(x,y)dx＝ [] ∫ 1,0 dy [] ∫ 1,0 [] 2 22 22 yx yx + ? dx ＝ [] ∫ 1,0 2 1 1 y+ ? dy＝- 4 π 故 f(x,y)在 E 上不可积。