§３.4 乘积空间 定理３.4.1 若A ? R p ， B ? R q ， 且均可测， 则A×B＝ ｛(a,b)｜a∈A， b∈B｝ ? R p ×R q 为可测集，且m(A×B)＝mA×mB 证明 1)若区间I 1 ? R p ，I 2 ? R q ，则显然I 1 ×I 2 为R p ×R q 中的区间，从 而可测。且|I 1 ×I 2 |＝|I 1 |×|I 2 |。 2)若开集G ? R p ，O ? R q ，则显然G×O为R p ×R q 中的开集，从而可测。 G＝ U ∞ =1n G n ，O＝ U ∞ =1n O n ，其中G n ，O n 分别为R p 、R q 中的左开右闭的互不相交 的区间,则G n ×O m 为R p ×R q 中的左开右闭的互不相交的区间，且 G×O＝ U ∞ =1n G n × U ∞ =1m O m ＝ U ∞ =1n U ∞ =1m (G n ×O m )，于是 m(G×O)＝ ∑ ∞ =1n ∑ ∞ =1m (mG n ×mO m ) ＝( ∑ ∞ =1n mG n )×( ∑ ∞ =1m mO m )＝mG×mO 3) 对一般可测集，且mA＜+∞，mB＜+∞，A ? R p ，B ? R q ，则对任意 ε＞0，存在开集G A 、G B ，闭集F A 、F A 满足F A ? A ? G A ，且 m(G A -F A )＜ε，F B ? B ? G B ，且m(G B -F B )＜ε，即存在开集 G A ×G B ，闭集F A ×F B 满足F A ×F B ? A×B ? G A ×G B ，且 [G A ×G B -F A ×F B ] ? [(G A -F A )×G B ] U [F A ×(G B -F B )] ? [(G A -F A )×G B ] U [G A ×(G B -F B )] 这里[G A ×G B -F A ×F B ]、[(G A -F A )×G B ] U [G A ×(G B -F B )]、(G A -F A )、 (G B -F B )均为开集。 m(G A ×G B -F A ×F B )≤m[(G A -F A )×G B ]＋m[G A ×(G B -F B )] ＜ε×(mB＋ε)＋（mA+ε）×ε= ( )εα 0 0 ??→? →ε 由ε的任意性和定理３.３.３的2〕知：A×B可测。而 m(A×B)≤m(G A ×G B )＝mG A ×mG B ≤(mA＋ε)(mB＋ε)， 由ε的任意性知m(A×B)≤mA×mB。同理，因为A×B ? F A ×F B ，所以 m(A×B)≥m(F A ×F B )≥m[(G A ×G B )]－ ( )εα ＝mG A ×mG B － ()εα ≥mA×mB- ( )εα ， 由ε的任意性知m(A×B)≥mA×mB，故m(A×B)＝mA×mB。 4) 当mA、mB至少有一个无限时，A＝ U ∞ =1n A n ，B＝ U ∞ =1n B n ，其中 mA n ＜+∞，mB n ＜+∞，仿2)即可证明结论成立。证毕 第三章 习 题 1.证明若E有界，则m * E＜＋∞。 2.证明可数集的外测度为0。 3.设E是直线上一有界集，m * E＞0，则对满足0＜c＜m * E的任意c，恒ョE 0 ? E 满足 m * E 0 ＝c. 4.设S 1 ，S 2 ，...，S n 是一些互不相交的可测集合，E i ? S i (i=1,2,...,n) 求证 ： m * ( U n i 1= E i )＝ ∑ ∞ =1n m * E i 5．证明：F为 F σ 型集<＝>CF是G δ 型集,G为 G δ 型集<＝>CG是F σ 型集。 6．证明：开集、闭集均既是 F σ 型集又是G δ 型集。 7．验证： ( ]1,0 既是 F σ 型集，又是G δ 型集。有理数集只 F σ 型集而不是G δ 型集, 无理数集是 G δ 型集而不是F σ 型集。 8.证明直线上所有可测集合作成集合类的基数等于直线上所有集合类的基数。 9.若 ∑ ∞ =1n m * E n ＜＋∞，则 ∞→n limE n 为可测集，且m( ∞→n limE n )＝0