§２.4 有限覆盖定理与点集间的距离 是否每一个集合都有极限点呢？ 定理２.4.１ (Weierstrass 聚点原理) 设E为R n 中有界无限集，则 E'≠ф。 证明 取互异点列M k ＝(x k 1 ，x k 2 ,...,x k n )∈E，由于E有界，所以｛M k ｜ k=1,2,...｝有界，从而｛x k 1 ｜k=1,2,...,...｝是有界集， 由数学分析中已证 明的直线上的聚点原理知：ョx 0 1 及x k 1 的子列x i k 1 →x 0 1 。这时 M i k 满足第一个坐标 收敛，对于第二个坐标x i k 2 可能不收敛，但有界，由直线上的聚点原理知：ョx 0 2 及x i k 2 的子列x i k 2 →x 0 2 ，则 M i k 满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去，第 n次找到的子列M l m 便满足所有坐标都收敛，即M l m →M 0 。其中M 0 ＝ (x 0 1 ,x 0 2 ,...,x 0 n )，即M 0 为E中的聚点。 证毕 推论２.4.１ 有界点列必有收敛子列。 作为聚点原理的应用，可以证明著名的Borel有限覆盖定理和距离可达定 理。 定理２.4.２ (Borel有限覆盖定理) 设开集族{U α |α∈I}是一有界闭集F 的覆盖，即 F ? U I∈α U α 则在此开集族中存在有限个开集{U i α |i=1,2,...,n}同样 覆盖F，即 F ? U n i 1= U i α 引理２.4.１ (Lindloff 可列覆盖定理)：设开集族{U α ｜α∈I}(这里I 至少为可数集)是R n 中一有界闭集F的覆盖，即F ? U I∈α U α ，则存在其中的可数 个开集同样覆盖F，即F ? U ∞ =1i U i α 证明 对任意x∈F， 存在U α x满足x∈U α x， 而对U α x存在有理坐标点p x ， 及半径r x 满足x∈U(p x ，r x ) ? U α x(事实上， δ? >0，U（x， δ ） ? U α x,取有 理坐标点p x ∈U （x， 3 δ ） ， 3 δ < r x < 3 2δ 即可)， 由定理１.２.６知： {U(p x ， r x )|p x ， r x ∈Q,x∈F}全体为至多可数集。从而可以简记为U i ，由U(p x ，r x ) 的选取方 法可知：存在相应的U i α 满足U i ? U i α ,于是 F ? U ∞ =1i U i ? U ∞ =1i U i α 定理２.4.２ 的证明：即在已知 F ? U ∞ =1i U i 的条件下证存在n满足 F ? U n i 1= U i 。若不然，则对任意n，存在x n 满足x n ∈F- U ∞ =1i U i ，由聚点原理知存 在x 0 及x i n 满足x i n →x 0 (n i →∞)， 又因为F是闭集所以x 0 ∈F， 从而存在U 0 i 满 足x 0 ∈U 0 i ， 于是存在M，当n i ＞M时有x i n ∈U 0 i ；另一方面，对任意n i ＞i 0 ， x i n ? U 0 i , 矛盾。 定理２.4.３ (距离可达定理)设 A、B 为互不相交的非空闭集，且至少有 一个有界，则存在x 0 ∈A，y 0 ∈B使得d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)＞0。 证明 由集合距离的定义知：存在x n ∈A，y n ∈B使得 d(A,B)＜d(x n ,y n )＜d(A,B)＋ n 1 ， 不妨假定A有界由聚点原理知存在x 0 及x i n 满 足x i n →x 0 ∈A，因为d(x 0 ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(x i n ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(A,B) ＋ i n 1 ， 所以这时{y i n }有界，又由聚点原理知存在y 0 及y ij n 满足y ij n →y 0 ， 于 是存在x 0 ∈A，y 0 ∈B使得d(x 0 ,y 0 ) ≤ d(A,B)，d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)。 推论２.4.２ 设A为非空闭集，则对 ?x∈R n ，ョx 0 ∈A满足d(x,A)＝ d(x,x 0 ). 证明 若x∈A，取x 0 ＝x∈A即可。若x∈A，令B=｛x｝有界闭，由定理２ . ３.３即得。 定义２.4.１ 设A、 B ? R n ， 若存在开集U 1 ， U 2 满足U 1 ∩U 2 ＝ф， 且A ? U 1 ， B ? U 2 ，则称A、B是可隔离的。 定理２.4.４ (隔离性定理) A、 B是可隔离的<＝> __ A ∩B＝ф, A∩ B ＝ф. 证明 “＝>”反证：若不然，不妨假定ョx 0 ∈ __ A ∩B，由于 A、B 是可隔离 的，所以存在开集U 1 ，U 2 满足U 1 ∩U 2 ＝ф，且A ? U 1 ，B ? U 2 ，由x 0 ∈B得 x 0 ∈U 2 ，而x 0 ∈ __ A ，则存在点列x n ∈A ? U 1 满足x n →x 0 ，因为U 2 开，所以ョ N 当n＞N时 x n ∈U 2 与U 1 ∩U 2 ＝ф相矛盾，故 __ A ∩B＝ф,同理A∩ B ＝ф。 “<＝”因为A∩ B ＝ф， A ∩B＝ф，所以由推论２.３.２知：对 ? x∈A 有d(x, B )＞0， ? y∈B 有d( __ A ,y)＞0， 于是令r x ＝d(x, B )， r y ＝d( __ A ,y)， U 1 ＝ U Ax∈ U(x, 2 x r )，U 2 ＝ U By∈ U(y, 2 y r )即可。显然U 1 ，U 2 是开集，且A ? U 1 ， B ? U 2 剩下的只须证： U 1 ∩U 2 ＝ф。 若不然， ョz∈U 1 ∩U 2 ， 则ョx 0 ∈A， y 0 ∈B d(z,x 0 )＜ 2 0 x r ，d(z,y 0 )＜ 2 0 y r ，不妨设r x 。＝max｛r x 。,r y 。｝，则r x 。＝ d(x 0 , _ B )≤d(x 0 ,y 0 )≤d(x 0 ,z)＋d(z,y 0 )＜r x 。，矛盾。 推论２.4.３ 若A、 B均为闭集， 且A∩B＝φ， 则ョ开集U 1 ， U 2 满足U 1 ∩U 2 ＝φ，且A ? U 1 ，B ? U 2 。 推论２.4.４ 若d(A,B)＞0， 则ョ开集U 1 ， U 2 满足U 1 ∩U 2 ＝φ， 且A ? U 1 ， B ? U 2 。 小结 本章由 n R 上自然的距离, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而开集, 闭集的定义. 由开集生成一个 ο-代数即 Borel ο-代数, 进而引入了 Borel 集. 本章讨论了这些集的性质和相互关系,给出了直线上开集的构造定理. Cantor 集 是一个重要的集.它具有一些特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本章 的内容应充分利用几何图形的直观, 以便理解本章的内容.