§２.２ 几类特殊点和集---聚 点、内点、边界点、开集、闭集与完备集 本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。 对 ? E ? R n ，我们可以通过看是否有x的完整邻域含于E中将R n 中点x分 为三类： ? ? ? ? ? ? ? ?? Φ≠∩Φ≠∩? ?? CExUxUc CExUExUxUb ExUxUa ),(),( . ),(,),(),( . ),(),( . δδ δδδ δδ 满足 满足 满足 定义２.２.１ 我们称 a 类点为 E 的内点，记其全体为 E 0 ；b类点为E的边 界点，记其全体为 ? E；c类点为E的外点。 显然外点全体为(CE) 0 ，R n ＝E 0 ∪ ? E∪(CE) 0 （图２.２.１） 如图２.２.１所示：M 1 是E的内点，M 2 、M 3 、M 4 、M 5 是E的边界点，M 6 是E 的外点。 注２.２.１： E 的边界点既有可能属于E(如M 2 、M 3 、M 5 )，又有可能不属于 E(如M 4 )。 注２.２.２： E 的边界与 CE 的边界相同，即 ? E＝ ? (CE) 注２.２.３ ：不受“[a,b]的边界只有 a,b 两点 ”这个具体结论的直观约 束而得出错误的一般结论：“E的边界 ? E相对集合E而言只是很少一部分”。 事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。 对 ? E ? R n ，我们也可以通过看x的邻域含E中点的多少将R n 中点x分 为三类： ? ? ? ? ? ? ? Φ=∩? =∩? Φ≠?∩>? )( ),(),( . } {),(),( . }{),(0, . 显然此类点即外点满足 满足 对 ExUxUg xExUxUf xExUe δδ δδ δδ 定义２.２.２ 我们称 e 类点为 E 的聚点(或极限点)，记其全体为 E'，并 称为E的导集；f类点为E的孤立点，显然其全体为E-E'。 即R n ＝E'∪(E- E')∪(CE) 0 在图２.２.１中，M 1 、M 2 、M 3 、M 4 是E的极限点，M 5 是E的孤立点。 按第一种分类法的内点， 是第二种分类法的聚点， 按第一种分类法的边界点， 按第二种分类法既有可能是聚点如M 2 、M 3 、M 4 ，又有可能是孤立点如M 5 。同样 按第二种分类法的孤立点，是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点， 按第一种分类法既有可能是内点M 1 ，又有可能是边界点M 2 、M 3 、M 4 。对外点而 言，两类分类方法所指的概念是完全一致的。 “极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪 里呢？下述两个定理将对此作出解释。 定理２.２.９： x∈E'<＝>ョ互异点列 x n ∈E， x n ≠x， 且x n →x(n→＋∞) 证明 “＝>”因为x∈E'，所以对δ n ＝min{ n 1 ,d(x,x 1?n )}，存在 x n ∈U(x,δ n ）∩E－{x}，显然x n ∈E互异，x n ≠x，且x n →x(n→＋∞)。 “<＝”若ョx n ∈E，且x n ≠x，但x n →x(n→＋∞)，则对任意δ>0，存在 N，当n＞N时，x n ∈U(x,δ)∩E－{x}，故x∈E'。 证毕 即之所以 称x为E 的“极限点”的原因是：x可以表成E中一串异于x的点 列x n 的极限。 定理２.２.１０： x∈E'<＝> ? δ＞0，U(x,δ)∩E为无限集。 证明 “<＝”显然。 “＝>”因为x∈E'，所以ョx n ∈E，且x n ≠x，但x n →x(n→＋∞)，则对任 意δ＞0，存在N，当n＞N时，x n ∈U(x,δ)∩E－{x}，故U(x,δ)∩E为无限 集。证毕 即之所以 称x为E 的“聚点”的原因是：在x 的任意一个小邻域内都“聚 集”着E的无限多个点。 定义２.２.３ 若对 ? δ＞0，U(x,δ)∩E≠ф，则 称x为E 的接触点。接 触点全体记为 _ E ，并称 _ E 为E的闭包。 显然， _ E ＝E 0 ∪ ? E＝E'∪ ｛x｜x为E的孤立点｝ ＝E'∪ ? E ＝E'∪E＝E∪ ? E ＝c(cE) 0 在数学分析中要看一个区间是开或闭， 只须看它是否将作为边界的两个端点 包含在内，对于R n 中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据， 于是我们给出如下定义。 定义２.２.４ 若 ? E∩E＝φ，则称E为开集；若 ? E ? E，则称E为闭集。 例２.２.１ ： 直线上的开区间， 平面上的开圆盘皆为开集， 直线上的闭区间， 平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b]既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又 是闭集。 定理２.２.１ 1) E 为开集<＝>E ? E 0 2) E为闭集<＝>E' ? E 证明 1)“＝>”因为 E 开，所以 ? E∩E＝φ，故E ? E 0 “<＝”因为E ? E 0 ，所以 ? E∩E＝φ，故E为开集。 2) “＝>”因为E为闭集，所以 ? E ? E，而E' ? ? E∪E ? E,从而E' ? E ; “<＝”若E' ? E，则 ? E ? E'∪｛x｜ x为E的孤立点｝ ? E，故E是闭集。 定理２.２.２ 对 ? E ? R n ，E 0 为开集。 证明 对 ? x∈E 0 ，ョδ＞0，U(x,δ) ? E，对 ? y∈U(x,δ)，ョδ 1 ＝δ －d(x,y)＞0， 对 ? z∈U(y,δ 1 )， d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)＜δ， 即Z ∈U(x,δ) ? E，即y∈E 0 ，从而U(x,δ) ? E 0 ，即E 0 ? (E 0 ) 0 ，故E 0 是开集。 定理２.２.３ ：(开集与闭集的对偶性) 1)若 E 为开集，则 CE 为闭集；2) 若E 为闭集，则CE为开集。 证明 1) 因为E是开集， 所以 ? E∩E＝ф， 则 ? E＝ ? CE ? CE， 故CE是闭集。 2) 因为E是闭集，所以 ? E ? E，而 ? E＝ ? CE，CE∩ ? CE＝ф，故CE是开 集。 证毕 定理２.２.４ 1)R n 、φ是开集 2)任意有限个开集之交是开集 3)任意多个开集之并是开集 证明：1)、3)显然 2)设E i 为开集(i=1,2,3,...,n)，对任意x∈ I n i 1= E i ，则x为每一个E i 的内 点，即存在δ i 满足U(x,δ i ) ? E i ，令δ＝ ni≤≤1 min δ i ，则U(x,δ) ? I n i 1= E i ， 即x为 I n i 1= E i 的内点，故 I n i 1= E i 为开集。若 I n i 1= E i ＝ф，则 I n i 1= E i 也是开集。证 毕 注２.２.４ ：不仅R n 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质， 在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。 定理２.２.５ ： 1) R n 、φ是闭集 2) 任意有限个闭集之并是闭集 3) 任意多个闭集之交是闭集 证明： 1) 显然 2)要证 U n i 1= E i 是闭集，只须证C U n i 1= E i 是开集，而c U n i 1= E i ＝ I n i 1= cE i , 因为E i 是闭集，所以由定理２.２.３知cE i 是开集， I n i 1= cE i 是开集，故 U n i 1= E i 是闭集。 3)同理可证。证毕 因为E 0 、(CE) 0 开，所以 ? E＝C[E 0 ∪(CE) 0 ]闭集。 定理２.２.６： 对任意集合 E， _ E 是闭集。 证明：由 _ E ＝C[(CE) 0 ]即得。 定理２.２.７： E为闭集<＝>E＝ _ E 证明 “<＝”由定理２.２.６即得。 “＝>”因为E是闭集，所以 ? E ? E，即E＝ ? E∪E＝ _ E . 证毕 定义２.２.５ 若 E ? E'，则称E为自密集；若E'＝E则称E为完备集。 显然，自密集即是没有孤立点的集合，完备集即是没有孤立点的闭集。 定理２.２.８ 对 ? E ? R n ，E'为闭集。 证明 只须证G＝C(E')是开集，事实上：对 ? x∈C(E')＝G，即x ? E',则 ョδ＞0满足 U(x,δ)∩E'－{x}＝ф，对 ? y∈U(x,δ)(y≠x)，ョδ 1 ＝ min{δ-d(x,y)，d(x,y)}＞0，U(y,δ 1 ) ? U(x,δ)满足U(y,δ)∩E'－{y}＝ф， 即y ? E'，所以y∈CE'＝G，即U(x,δ) ? G，故 G 是开集，从而 E'为闭集。 证 毕