§5.4 微分与不定积分 本节先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质；然后 引入了绝对连续概念，讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系； 最后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是f(x)绝对连续。 §5.4.1 单调函数与有界变差函数 定理 5.4.１.1 设F(x)是[a,b]上定义的单调函数，则 (1) f在[a,b]上间断点至多可数，从而F在[a,b]上(R)可积， (2) F在[a,b]上几乎处处可微. (3) f=F'在[a,b]上(L)可积，并有 [] ∫ xa, fdx= [] ∫ xa, F'dt≤F(x)－ F(a) (对 []bax ,∈? ) 证明 (1)不妨假定f(x)在[a,b]上单调增，由数学分析知：f(x)只有第一 类间断点。令 S(x)＝f(x + )－f(x ? )并称之 为f在x 处的跃度，则对任意 n 1 ＞0， 满足E n ＝{x|S(x)≥ n 1 }为有限集。（事实上， n E ≤n[F(b)－F(a)]），从而间 断点全体E＝ U ∞ =1n E n 至多可数，由(R)可积的充分必要条件知f在[a,b]上(R)可 积。 (2)关于F(x)几乎处处可微的证明，涉及维他利覆盖和导出数概念，已超 出本教材范围，故此处省去其严格的证明过程，但附录予本教材末供读者自学。 (3)为了叙述方便，我们补充规定：当x>b时，F(x)≡b。此时，F(x)在 [a，+∞)几乎处处可微，所以对于任意极限为0的数列{h n }，有 n h 1 [F(t+h n )－F(t)]─→F'(t) a.e于[a,b] 则 [] ∫ xa, F'(t)dt≤ ∞→n lim n h 1 [] ∫ xa, [F(t+h n )－F(t)]dt (Fatou引理) ＝ 0 lim →h h 1 [] ∫ xa, [F(t+h)－F(t)]dt (海涅极限定理) ＝ 0 lim →h h 1 [ [] ∫ ++ hxha , F(t)dt－ [] ∫ xa, F(t)dt] (R积分的变量替换) ＝ 0 lim →h h 1 [ [] ∫ + xha , F(t)dt+ [] ∫ +hxx, F(t)dt－ [] ∫ xa, F(t)dt] ＝ 0 lim →h h 1 [ [] ∫ +hxx, F(t)dt－ [] ∫ +haa, F(t)dt] ≤ 0 lim →h h 1 [F(x+h)×h－F(a)×h] (由F(x)的单调性及R积分的性质得,这里 h>0) ＝F(x)－F(a) ，证毕。 定义5.4.１.1 f在[a,b]上有定义，对任意分划T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b，称 b a V (f,T)＝ ∑ = n i 1 |f(x i )－f(x 1?i )|为f关于分划T的变差，称 b a V (f)＝ T sup b a V (f,T)为f在[a,b]上的全变差，若 b a V (f)＜＋∞，则称f是[a,b] 上的有界变差函数。 显然，有界变差函数是有界函数。事实上，|f(x)－f(a)|≤ b a V (f)，对任意 x∈[a,b]有 |f(x)|≤ b a V (f)＋|f(a)|＝M＜＋∞ 根据全变差定义求全变差较麻烦，对于单调函数而言确相当简单。 例 5.4.１.1 [a,b]上定义的任一单调函数f(x)都是有界变差函数，且 b a V (f)＝｜f(b) －f(a)| 证明 不妨假定f单调增，因为对任意的分划T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b有 b a V (f,T)＝ ∑ = n i 1 |f(x i )－f(x 1?i )|＝f(b)－f(a)，故 b a V (f)＝f(b)－f(a)＜ ＋∞，即f(x)是有界变差函数。证毕。 既然对于单调函数而言求全变差是如此简单， 那么是否对于较复杂的函数可 以分成若干个单调区间各个击破呢？答案是肯定的，有下述定理作为保证。 定理 5.4.1.２ 若f是[a,b]上的有界变差函数，则对任意c ∈(a,b)有 b a V (f)＝ c a V (f)＋ b c V (f) 证明 对任意ε＞0，存在分划T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b满足 b a V (f,T)＝ ∑ = n i 1 |f(x i )－f(x 1?i )|≥ b a V (f)-ε，如果此分划中没有分点c就添上 它， 因始终假定有分点c，从而存在n 1 ，n 2 满足 T 1 :a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c，T 2 :c＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x 2 n ＝b b a V (f,T)＝ c a V (f,T 1 )＋ b c V (f,T 2 )≥ b a V (f)-ε， 故 c a V (f)＋ b c V (f)≥ b a V (f) (1) 反过来， 对任意ε＞0，存在分划T 1 :a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c， T 2 :c＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x 2 n ＝b满足 c a V (f,T 1 )＝ ∑ = 1 1 n i |f(x i )－f(x 1?i )|≥ c a V (f)- 2 ε b c V (f,T 2 )＝ ∑ = 2 1 n i |f(y i )－f(y 1?i )|≥ b c V (f)- 2 ε , 取T 1 与T 2 的“合并” T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x 1 n ＝c=y 0 ＜y 1 ＜y 2 ＜,...,y 2 n ＝b， 则 b a V (f,T)＝ c a V (f,T 1 )＋ b c V (f,T 2 )≥ c a V (f)＋ b c V (f)-ε,故 b a V (f) ≥ c a V (f)＋ b c V (f) (2) 综合(1)、(2)即得 b a V (f)＝ c a V (f)＋ b c V (f)。证毕 例 5.4.1.２ f(x)＝ ( ] ? ? ? ? ? = ∈ .0,0 ,1,0, 1 sin x x x x 不是[0,1]上的有界变差函数，但 g(x)＝ ( ] ? ? ? ? ? = ∈ .0,0 ,1,0, 1 sin 2 x x x x 是[0,1]上的有界变差函数。 事实上，f(x)、g(x)的局部极大值、极小值点交替为 2 1 π π + ， 2 2 1 π π + , 2 3 1 π π + ，...， 2 1 π π +n ，...，... 1 0 V (f)≥ 1 2 1 π π+n V (f) ＝|sin1－ 2 π |＋ ∑ = n i 1 | 2 1 π π +i ＋ () 2 1 1 π π +?i | ?? →? ∞→n ＋∞，故 f(x)＝ ( ] ? ? ? ? ? = ∈ .0,0 ,1,0, 1 sin x x x x 不是[0,1]上的有界变差函数。 1 0 V (g)＝|sin1－( 2 π ) 2 |＋ ∑ ∞ =1i | 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + π πi － () 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? π πi |＜＋∞, 故g(x)＝ ( ] ? ? ? ? ? = ∈ .0,0 ,1,0, 1 sin 2 x x x x 是[0,1]上的有界变差函数。证毕。 注：将g(x)中x 2 处换为x α (α＞1)同样可证是[0,1]上的有界变差函数。 定理 5.4.1.３ 设f(x)，g(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)±g(x)、 f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数；如果存在δ＞0满足|g(x)|≥δ， () ()xg xf 也是[a,b]上的有界变差函数。 证明 对任意的分划划T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b,x n ＝b有 b a V [(f±g),T]＝ ∑ = n i 1 |[f(x i )±g(x i )]－[f(x 1?i )±g(x 1?i )]| ≤ ∑ = n i 1 |[f(x i )－[f(x 1?i )|＋ ∑ = n i 1 |g(x i )－g(x 1?i )| ≤ b a V (f,T)＋ b a V(g,T)≤ b a V (f)＋ b a V (g)，故 b a V [(f±g),T]≤ b a V (f,T)＋ b a V (g,T) ＜＋∞ 即f(x)±g(x)是[a,b]上的有界变差函数。 b a V [(fg),T]＝ ∑ = n i 1 |[f(x i )g(x i )]－[f(x 1?i )g(x 1?i )]| ≤ ∑ = n i 1 |[f(x i )－f(x 1?i )]g(x i )|＋ ∑ = n i 1 |[g(x i )－g(x 1?i )]f(x 1?i )| ≤M f b a V (f,T)＋M g b a V (g,T)≤M f b a V (f)＋M g b a V (g)， 故 b a V (fg)≤M f b a V (f)＋M g b a V (g)＜＋∞,其中M f ，M g 分别为函数f,g在[a,b]上 的界，即f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数。 如果存在δ＞0满足|g(x)|≥δ， b a V ( g 1 )＝ () () ∑ = ? ? n i ii xgxg 1 1 11 ≤ () ( ) ∑ = ? ? n i ii xgxg 1 2 1 δ ，即 b a V ( g 1 )≤ () 2 δ gV b a ＜＋∞，即 ()xg 1 也是 [a,b]上的有界变差函数，从而 ( ) ()xg xf 也是[a,b]上的有界变差函数。证毕。 定理 5.4.1.４ f(x)是[a,b]上的有界变差函数的充分必要条件是f可以表 成两个单调函数之差。 证明 “＝>”事实上，f(x)＝ x a V (f)－[ x a V (f)－f(x)]，其中 x a V (f)显然是单 调增函数，g(x)＝[ x a V (f)－f(x)]也可以证明是单调增函数。事实上，当x 1 ＜x 2 时,g(x 2 )－g(x 1 )＝│ 2 x a V (f)－f(x 2 )│－│ 1 x a V (f)－f(x 1 )│＝ 2 1 x x V (f)－[f(x 2 ) － f(x 1 )]≥0，故g(x)是单调增函数。 “<＝” 设f(x)＝f 1 (x)－f 2 (x)，其中f 1 (x)与f 2 (x)都是单调增函数。 从而f 1 (x)与f 2 (x)都是有界变差函数，故f(x)是有界变差函数。证毕。 §5.4.２ 绝对连续函数 定义5.4.2.1 f在[a,b]上有定义，对任意ε＞0,ョδ＞0，对任意有限数 n，当互不相交区间(α i ,β i )满足： ∑ = n i 1 |β i -α i |＜δ时，有 ∑ = n i 1 |f(β i )-f(α i )|＜ε，则称f(x)为E上的绝对连续函数。 定理 5.4.2.1 若f是在[a,b]上定义的绝对连续函数， f是连续的有界变差 函数。 证明 对任意ε＞0,ョδ＞0，对n=1，当|β-α|＜δ时，|f(β)-f(α)| ＜ε，即f在[a,b]上一致连续。对任意ε＞0,ョδ＞0，取a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b满足x i －x 1?i ＜δ，对任意有限数n i ，当互不相交区间 (α i j ,β i j ) ? (x 1?i ,x i )时有 ∑ = i n j 1 |β i j -α i j |＜δ,从而有 ∑ = i n j 1 |f(β i j )-f(α i j )| ＜ε， i i x x V 1? (f)≤ε＜＋∞， b a V (f)＝ ∑ = n i 1 i i x x V 1? (f) ≤nε＜＋∞ 即f是有界变差函 数。证毕。 推论 若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f可以表成两个单调函数之 差。 定理 5.4.２ .2 设f(x)，g(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)±g(x)、 f(x)g(x)是[a,b]上的绝对连续函数；如果g(x)≠0， ( ) ()xg xf 也是[a,b] 上的绝对 连续函数。 证明 f在[a,b]上有定义，对任意ε＞0,ョδ＞0，对任意有限数n，当 互不相交区间(α i ,β i )满足： ∑ = n i 1 |β i -α i |＜δ时， ∑ = n i 1 |f(β i )-f(α i )|＜ 2 ε ， ∑ = n i 1 |g(β i )-g(α i )|＜ 2 ε ， ∑ = n i 1 |[f(β i )±g(β i )]－[f(α 1?i )±g(α 1?i )]|＜ε， 故f(x)±g(x)是[a,b] 上的绝对连续函数。 其余证明留给读者。 (思考为什么此处未明文要求“存在δ＞0满足|g(x)|≥δ”？) 定理 5.4.２.３ 设f(x)是定义在[a,b]上的Lipschtz函数， 则f是绝对连 续函数。 证明 因为f(x)是定义在[a,b]上的Lipschtz函数，所以，存在M＞0， 对 任意x 1 ，x 2 ∈[a,b]有|f(x 1 )－f(x 2 )|≤M|x 1 －x 2 |，故对任意ε＞0,ョδ＝ M ε ， 对任意有限数n，当互不相交区间(α i ,β i )满足： ∑ = n i 1 |β i -α i |＜δ时， ∑ = n i 1 |f(β i )-f(α i )|＜M M ε × ＝ε 即f是绝对连续函数。 定理 5.4.２.４ 设f(x)是定义在[a,b]上Lebesgue可积函数，则f(x)的 不定积分F(x)＝ [] ∫ xa, fdt是绝对连续函数。 证明 由积分绝对连续性知:对任意ε＞0,ョδ＞0，当A ? [a,b]，mA＜ δ时| ∫ A fdt|≤ ∫ A |f|dt＜ε， 于是对任意有限数n， 当互不相交区间(α i ,β i ) 满足： 令A＝ U n i 1= [α i ,β i ]，则mA＝ ∑ = n i 1 |β i -α i |＜δ时，有 ∑ = n i 1 |F(β i )-F(α i )|＝ ∑ = n i 1 | [] ∫ ii βα , fdt| ≤ ∑ = n i 1 [] ∫ ii βα , |f|dt≤ ∫ A |f|dt＜ε， 故F(x)＝ [] ∫ xa, fdt是绝对连续函数。证毕。 §5.4.３ 微分与积分 引理 5.4.３.１ 若f(x)是定义在[a,b]上Lebesgue可积函数，且 F(x)＝ [] ∫ xa, fdt＝0，则f(x)＝0 a.e于[a,b]。 证明 1)对任意开区间(α， β) ? [a,b]有 () ∫ βα, fdt＝ [ ) ∫ β,a fdt－ [] ∫ α,a fdt ＝0。 2) 对任意开集G＝ U i (α i ，β i ) ? [a,b]有 ∫ G fdt＝ ∑ i () ∫ ii βα , fdt＝0。 3) 对任意闭集F ? [a,b]， 则G＝[a,b]－F开， 故 ∫ F fdt＝ [] ∫ ba, fdt－ ∫ G fdt ＝0。 4) 若f(x)＝0 a.e于[a,b]不真，不妨假定mE[f＞0]＞0，则存在n满足 mE[f＞ n 1 ]＝δ＞0， 由可测集的性质知： 存在闭集F 0 ? E[f＞ n 1 ]满足mF 0 ＞δ/2， 故 ∫ 0 F fd t ≥ n 1 mF 0 ＞0，矛盾。 定理 5.4.３.１ 若f(x)是定义在[a,b]上的Lebesgue可积函数，且 F(x)＝ [] ∫ xa, fdt，则F'(x)＝f(x) a.e于[a,b]。 证明 (分三步证明之) (1) 设f是有界函数，即|f(x)|≤K，x∈[a,b]，令F(x)＝ [] ∫ xa, fdt， 若 h≠0，则有 h 1 [F(x+h)－F(x)]│＝│ h 1 [] ∫ +hxx, fdt│≤K，因为 G(x)绝对连续， 几乎处处可微，所以对于任意极限为0的数列{h n }，有 n h 1 [F(x+h n )－F(x)]─→F'(x) a.e于[a,b]， 则 [] ∫ xa, F'(t)fdt＝ ∞→n lim n h 1 [] ∫ xa, [F(t+h n )－F(t)]dt (有界控制收敛定理) ＝ 0 lim →h h 1 [] ∫ xa, [F(t+h)－F(t)]dt (海涅极限定理) ＝ 0 lim →h h 1 [ [] ∫ ++ hxha , F(t)dt－ [] ∫ xa, F(t)dt] ( R积分的变量替换) ＝ 0 lim →h h 1 [ [] ∫ +hxx, F(t)dt－ [] ∫ +haa, F(t)dt] ＝ 0 lim →h h 1 {F[x+θ 1 (h)h] × h－F[a+θ 2 (h)h] × h} (0<θ 1 (h)<1,0<θ 2 (h)<1) ＝F(x)－F(a) ＝F(x) (因为F连续，且F（a）＝0) 即 [] ∫ xa, (F’-f)dt＝０,由引理5.4.3.1知F ’=f a.e于[0，1] (2) 设f是非负可积函数，则存在有界非负简单函数列满足 f n (t)≤f 1+n (t)≤f(t)，f n (t)→f(t) (n→＋∞)，于是 F n (x)＝ [] ∫ xa, f n dt，则F' n (x)＝f n (x) a.e于[a,b]。 F(x)＝ [] ∫ xa, f n dt＋ [] ∫ xa, [f(t)－f n (t)]dt ，其中 [] ∫ xa, [f(t)－f n (t) ]dt 关于x单调增，几乎处处存在非负导数，所以F'(x)≥f n (x)，令n→＋∞得 F'(x)≥f(x)，从而 [] ∫ xa, F'(t)dt≥ [] ∫ xa, f(t)dt。另一方面， [] ∫ xa, F'(t)dt≤F(x)－F(a)＝ [] ∫ xa, f(t)dt， 即 [] ∫ xa, F'(t)dt＝ [] ∫ xa, f(t)dt，由引理5.4.3.1知：F'(x)＝f(x) a.e于[a,b]。 (3) 设f是一般可积函数，则F(x)＝ [] ∫ xa, f + dt－ [] ∫ xa, f ? dt 由(2)知：F'(x)＝f + (x)－f ? (x) a.e于[a,b]。证毕 引理 5.4.３.２ 设F(x)是[a,b]上的绝对连续函数，且F'(x)＝0 a.e于 [a,b]，则F(x)为常值函数。 证明 我们把证明分成两步： 1 0 先证F(b)＝F(a)，对任意ε＞0，由假设：F(x)是[a,b] 上的绝对连续 函数，所以ョ δ＞0，对任意有限数n，当互不相交区间(α i ,β i )满足： ∑ = n i 1 |β i -α i |＜δ时，有 ∑ = n i 1 |F(β i )-f(α i )|＜ε (1) 记E 0 ＝｛x｜F'(x)＝0 ，x∈[a,b]｝，从而m([a,b]－E 0 )＝0，所以对上述δ ＞0，存在开集G ? [a,b]－E 0 且mG＜δ.设｛(α i ,β i )｝为G的构成区间族， 则 m U i (α i ，,β i )＝ ∑ i (β i -α i )＝mG＜δ 对任意ε＞0，y 0 ∈[a,b]－E 0 存在h＝h(ε，y 0 )＞0，使得y∈(y 0 －h，y 0 ＋h) 时 () ( ) ε< ? ? 0 0 yy yFyF ， (2) 这时开区间族｛(α i ，,β i )｝∪｛(y 0 －h，y 0 ＋h)｜y 0 ∈[a,b]－G ｝是[a,b] －G。的一个开覆盖，根据有限覆盖定理存在有限个开区间覆盖有界闭集[a,b] －G。 设它们是 ｛ (α i ， ,β i )｜i=1,2,...,n｝ ∪ ｛(y j －h， y j ＋h)｜j=1,2,...,m｝ 对有限点集｛α i ,β i ,y j ｜i=1,2,...,n,j=1,2,...,m｝作适当的增删处理，然 后按大小顺序排列，使之成为[a,b]的一个分划。 T:a＝x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜,...,x n ＝b 并且使得任何(x 1?k ，x k )必属于以下两种情形之一 (i)包含在某个(α i ，,β i )之中 (ii)包含在某个(y j －h，y j ＋h)之中，且有一端点刚好是y j 由此， |F(b)-F(a)|≤ ∑ = n i 1 |F(x k )-F(x 1?k )| ＝∑'|F(x k )-F(x 1?k )|＋∑''|F(x k )-F(x 1?k )| 其中∑'|F(x k )-F(x 1?k )|和∑''|F(x k )-F(x 1?k )|分别表示具有形式(i)和(ii) 的(x 1?k ，x k )求和，根据(1)有 ∑'|F(x k )-F(x 1?k )|＜ε，根据(2) 有 ∑''|F(x k )-F(x 1?k )|＜ε∑''|x k -x 1?k |≤ε(b－a)由ε的任意性,即得 F(b)=F(a). 2 0 对任意的x∈[a,b]，用[a,x]代替[a,b]重复1 0 的讨论，便得到F(x)＝ F(b).证毕。 定理 5.4.３.２ F(x)－F(a)＝ [] ∫ xa, F'(t)dt <＝> F(x)为绝对连续函数 证明 “＝>”由定理5.4.2.4即得。 “<＝”因为F(x)为绝对连续函数，所以F'(x) Lebesgues可积， 令φ(x)＝ [] ∫ xa, F'(t)dt，则φ(x)为绝对连续函数，再令ψ(x)＝F(x)－φ(x) 则ψ(x)也是绝对连续函数，且ψ'(x)＝F'(x)－φ'(x)＝F'(x)－F'(x)＝ 0 a.e于[a,b]， 由引理5.4.3.2知， ψ(x)为常值函数。 而ψ(a)＝F(a)－φ(a) ＝F(a)，即F(x)－φ(x)≡F(a)，故F(x)－F(a)＝ [] ∫ xa, F'(t)dt。证毕 定理 5.4.３.３ (分部积分公式)设f(x)、g(x)为[a,b]上的绝对连续函 数，则 [] ∫ ba, f(t)g'(t)dt＝f(t)g(t)│ b a － [] ∫ ba, g(t)f '(t)dt 证明 因为(f(t)g(t))'＝f'(t)g(t)＋f(t)g'(t) 所以f(t)g'(t)＝(f(t)g(t))'－f'(t)g(t) 于是 [] ∫ ba, f(t)g'(t)dt＝ [] ∫ ba, (f(t)g(t))'dt－ [] ∫ ba, f'(t)g(t)dt 由定理5.4.3.2知： [] ∫ ba, (f(t)g(t))'dt＝f(b)g(b)－f(a)g(a) 即 [] ∫ ba, f(t)g'(t)dt＝(f(t)g(t))| b a － [] ∫ ba, f'(t)g(t)dt，证毕。