§４.3 可测函数的结构 Lusin 定理 本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念，并从可测函数与 简单函数的关系，可测函数与连续函数的关系，可测函数与正、负部下方图形的 关系角度研究了可测函数的本质特征，从而把握可测函数的结构。 定义４.3.１ 若E＝ U N n 1= E n ，其中E n 可测且互不相交，则称φ(x)＝ ? ? ? ? ? ? ? ∈ ∈ ∈ N N 22 11 EC E C E C x x x 为E上的简单函数。 若φ、 ψ为E上的简单函数，则φ±ψ，φ×ψ，φ÷ψ，｜φ｜也为E 上的简单函数。 由于对 ?a，E[φ＞a]＝ U aC i > E i ，故定义在E上的简单函数均为定义E上的 可测函数。我们称 χ E (x)＝ ? ? ? ? ∈ Ex Ex .0 ,1 为集合E的特征函数。 显然函数χ E (x)可测的充分必要条件是集合E可测，这是之所以称χ E (x) 为E特征函数的原因。 显然 φ(x)＝ ()xC i E N n n χ ∑ =1 。 一般说来，可测函数不一定是简单函数，但都可以表成简单函数的极限。 定理４.3.１ f在E上非负可测<＝>存在E上的简单函数列{φ n }满足 0≤φ n (x)≤φ 1+n (x) ，且φ n (x)→f(x) ( ?x∈E ) 证明 “＝>”若f≥0且在E上可测，作 φ n (x)＝ [] ? ? ? ? ? ≥∈ ? ? ? ? ? ? <≤ ? ∈ ? nfExn i f i Ex i nnn , 22 1 , 2 1 i=1,2,...,n2 n 则显然有φ n (x)≤φ 1+n (x) ，且φ n (x)→f(x) ( ?x∈E )。 事实上，若f(x)＝+∞，则φ n (x)＝n→+∞＝f(x)； 若0≤f(x)＜+∞，则当n＞f(x)时，｜f(x)－φ n (x)｜＜ n 1 2 →0 (n→+∞), 恒有φ n (x)→f(x)。 “<＝”由定理４.１.３即得。 推论４.3.１ f在E上可测<＝>存在E上的简单函数列{φ n }满足 |φ n (x)|≤|φ 1+n (x)|，且φ n (x)→f(x) ( ?x∈E )。 证明 “＝>”f为一般可测函数时，f + ，f ? 在E上可测，则存在E上的简 单函数列{φ n }满足φ + n (x)≤φ + 1+n (x)，且φ + n (x)→f + (x)， φ ? n 满足φ ? n (x)≤φ ? 1+n (x)，且φ ? n (x)→f ? (x)，从而存在E上的 简单函数列{φ n }＝{φ + n (x)－φ ? n }满足 |φ + n (x)－φ ? n (x)|=|φ + n (x)|+|φ ? n （x）| ≤|φ + 1+n (x)|+|φ ? 1+n (x)|=|φ + 1+n (x)－φ ? 1+n (x)|， 且φ n (x)＝φ + n (x)－φ ? n (x)→f(x)＝f + (x)－f ? (x) (?x∈E)。 “<＝”由定理４.１.３直接可得。 定理４.3.２ 若φ、ψ为E上的可测函数，则φ±ψ，φ×ψ， φ÷ψ(ψ(x)≠0)，｜φ｜也为E上的可测函数。 证明 因为φ、 ψ为E上的可测函数，存在E上的简单函数φ n →φ， ψ n →ψ，即φ n ±ψ n →φ±ψ，故φ±ψ可测，其余同理可证。值得注意的 是当考虑φ÷ψ时， ψ n 有必要在定理４.3.１基础上按下述方式作适当的改动： ψ n (x)＝ [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥∈ ? ? ? ? ? ? <≤ ? ∈ ? ? ? ? ? ? ? <≤∈ ., , 22 1 , 2 1 , 2 1 0, 2 1 nfExn i f i Ex i fEx nnn nn 。 i=2,3,...,n2 n ， 其目的在于避免ψ n (x)＝0。 定义４.3.２ 若f(x)≥0，则称G ( )Ef , ＝｛(x,y)｜x∈E,0≤y＜f(x)}为f 的下方图形。 定理４.3.３ 若f在E 上可测，则G ( )Ef , + ，G ( )Ef , ? 均为可测集。 证明 1) 若f为E 上的非负简单函数，则G ( )Ef , ＝｛ U n i 1= E i ×[0,c i ]] 可测。 2) 若f为一般非负可测函数，则存在E上的简单函数列{φ n }满足 φ n (x)≤φ 1+n (x) ，且φ n (x)→f(x) ( ?x∈E ) G()Ef , ＝ U ∞ =1n G( )E n ,Φ 由于对任意的n，G ()E n ,Φ 是可测集，所以G ( )Ef , 是可测集。 3) 若f为一般可测函数，则f + 与f ? 均为可测函数，故G ( )Ef , + ， G( )Ef , ? 均为可测集。 其实，G ( )Ef , + ，G ( )Ef , ? 可测是f在E 上可测的本质特征。关于反过来， G( )Ef , + ，G ( )Ef , ? 可测能保 证f在E 上可测，将在下一章推论５．４．１证明． 定义４.3.３ f 在 E 上有定义的有限函数，若对 ?x 0 ∈E，对 ?ε＞0， ョ δ＞0，当x∈E∩U(x 0 ,δ)时，｜f(x)－f(x 0 )｜＜ε，则 称f在x 0 处相对于E 连续。若f在E 中每一点都相对于E连续，则 称f在E 上连续。 例４.3.１ D(x)在[0，1]中每一点相对于[0，1]皆不连续，但对[0，1] 中每一个无理数皆相对于[0，1]中的无理数集连续，对[0，1]中每一个有无理数 皆相对于[0，1]中的有理数集连续。 定理４.3.４ 若f在可测集E上连续， 则f在E 上可测。 证明 只须证明对 ?a，E[f＞a]为可测集。事实上，对 ?x 0 ∈E[f＞a]，令ε＝f(x 0 )－a＞0，ョδ 0 x ＞0， 当 x∈E∩U(x 0 ,δ 0 x )时，｜f(x)－f(x 0 )｜＜ε， 则f(x)＞a，即E∩U(x 0 ,δ 0 x ) ? E[f＞a]。故 E[f＞a]＝ [] U afEx >∈ 0 ｛E∩U(x 0 ,δ 0 x )｝＝E∩｛ [] U afEx >∈ 0 (x 0 ,δ 0 x )｝ 显然 [] U afEx >∈ 0 U(x 0 ,δ 0 x )是开集，从而可测，又因为E可测，故E[f＞a]可测。 注４.3.１ 由证明过程不难看出，当E是开集时，E[f＞a]也是开集。 定义４.3.４ 设Л是一个与集合E的点有关的命题，如果ョE的子集N满 足 mN＝0， 且Л在E－N上恒成立，则 称Л在E 上几乎处处成立，记为Л a.e 于E。 例４.3.2 |tgx|＜＋∞ a.e 于R 1 ； 例４.3.3 f n (x)＝x n →0 a.e 于[-1,1] 例４.3.4 设f(x)在[a,b]上单调，则f在[a,b]上几乎处处连续。 例４.3.5 Dinichni函数D(x)＝0 a.e于[0,1]，一般地，如果 mE[f≠g]＝0，则f＝g a.e于E。 定理４.3.５ 设f在E 上可测，且f＝g a.e于E，则g也在E上可测。 证明 因为mE[f≠g]＝0，所 以g在E[f≠g]上可测，又因为 E[f＝g]＝E－E[f≠g]是E的可测子集，所以g＝f在E[f＝g]上可测， 故g在E 上可测。证毕 我们已经知道可测函数Dinichni函数在[0，1]上处处间断，这是否意味着 这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相 对连续的。这就是著名的鲁津（лузин）定理 定理４.3.６ (лузин) 若f在E 上可测，且几乎处处有限，则对 ?δ＞ 0， ョ闭集F δ ? E，且m(E-F δ )＜δ，f在F δ 上连续。 证明 1. 若f(x)为E上的简单函数， 则f(x)＝C i x∈E i ， i＝1,2,...,n。 其中E＝ U n i 1= E i ， E i 互不相交且可测， 则对 ?δ＞0及i， ョ闭集F i ? E i ， m(E i -F i ) ＜ n δ ，i=1,2,3,...,n ， 则f在F δ ＝ U n i 1= F i 上连续(事实上，对任意x 0 ∈F，ョ F 0 i 满足x 0 ∈F 0 i ，对 ?ε＞0，ョd＝ 0 min ii≠ d(x 0 ，F i )＞0，当x∈F δ ∩U(x 0 ,d)时， 有｜f(x)－f(x 0 )｜＝0＜ε， 即f在F δ 上连续，且m(E-F δ )＜δ。 2.若f为E 上的一般可测函数，则存在E上的简单函数列{φ n }满足 φ n →f(不妨φ n 按定理４.3.１方法所构造) a) 若mE＜＋∞，因E[|f|＝＋∞]＝ I ∞ =1n E[|f|≥n]，由内极限定理知， 对 ? δ＞0,ョN满足 mE[f≥N]＜ 2 δ ，而φ n ??→? 一致 f于E[f<N] 由 1 知，对 ?δ＞0及n，ョ闭集F n ? E[f<N]， m [ ]( ) n FNfE ?< ＜ 1 2 +i δ ， n=1,2,3,...，φ n 在F n 上连续，从而所有φ n 在闭集 F＝ I ∞ =1n F n 上连续，且 m(E-F)≤m [ ]()NfEE <? ＋m [ ]()FNfE ?< ≤ 2 δ ＋m(E[f<N]- I ∞ =1n F n ) ＜ 2 δ ＋m U ∞ =1n (E[f<N] -F n )＜ 2 δ ＋ ∑ ∞ =1n 1 2 +i δ ＝δ，又因为φ n ??→? 一致 f于F，故 f在F上连续。 b) 若mE＝＋∞，则令I n ＝｛(x 1 ,x 2 ,...,x q )｜|x k |＜n k=1,2,...,q｝ E n ＝(I n －I 1?n )∩E，显然mE n ＜＋∞，E＝ U ∞ =1n E n ，由 a)知ョ闭集F n ? E n 满 足m(E n -F n )＜ 2 δ ，f在F n 上连续，令F＝ U ∞ =1n F n ，则m(E－F)＜ ∑ ∞ =1n m(E n -F n ) ＜ ∑ ∞ =1n n 2 δ ＝δ。由于此处F n 的特殊性，可以得到两个在一般情况下并不一定具 备的特殊性质：①F＝ U ∞ =1n F n 闭 ② f在F上连续。(事实上， x n ∈F，x n --→x 0 时， x n 一定有界， 即ョ M＞0， x n ∈ U M n 1= F n ， 而 U M n 1= F n 闭， 所以x 0 ∈ U M n 1= F n ? U ∞ =1n F n ＝F，即F闭；对 ? x 0 ∈ U ∞ =1n F n ＝F，ョi 0 满足x 0 ∈Fi 0 ，对 ? ε＞0 ，ョd ＝ 0 min ii≠ d(x 0 ,F i )＝min ｛d(x 0 ， F 1 0 ?i ),d(x 0 ,F 1 0 +i )｝ ＞0， 当x∈E∩N(x 0 ,d)时， 有｜ f(x)－f(x 0 )｜＜ε， 故f在F＝ U ∞ =1n F n 上连续。) 证毕 定理４.3.７ (鲁津定理的第二形式)若f是直线上的可测子集E上的几乎 处处有限的可测函数，则对 ? δ＞0，ョ g∈C(-∞,+∞)使得 mE[f≠g]＜δ， 且|g(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝ 证明 由定理４.3.６知：对 ? δ＞0，ョ闭集F δ ? E，且m(E-F δ )＜δ，f 在F δ 上连续。作g满足在闭集F δ 保持与f一致，在CF δ 上补充定义使其连续。 注意：CF δ 是开集， 设 CF δ ＝ U Ii∈ (a i ,b i ) （ I ≤a） 令 g(x)＝ () () ( ) () ( ) () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +∞∈ ∞?∈ ∈ 有限 iii ii ii i jj kk baax ab afbf af axaf bxbf Fxxf ,, ,,, ,,, ,, δ ，证毕 其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一 定是可测函数，证明留作习题。 可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征，为通过Lebesgue 大、小 和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图 形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、 负部函数下方图形测度之差定义积 分奠定了基础。 可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示 我们：尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹 公式计算积分仍为主渠道。