第五章 积分理论
本章定义了可测函数的Lebesgue积分，并讨论了新积分的性质、计算方法
及其与旧(Riemman)积分的关系，在条件相当弱(相对Riemman 相应定理条件中
的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理，并利用积分的极限定理获得
了Riemman可积的本质特征；最后研究了重积分与累次积分的关系。
§５.１ 非负函数 积分
有了第四章的准备之后，就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义
大、小和
Ｓ(D,f)＝
∑
=
n
i 1
y
i
mE[y
1?i
≤
f<y
i
]， s(D,f)=
∑
=
n
i 1
y
1?i
mE[y
1?i
≤
f<y
i
]
然后分别规定
D
supＳ(D,f)、
D
inf s(D,f)为上、下积分值，且进一步证明二者相等，
从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是Lebesgue创立新积分的原始思路，
也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。
然而在第四章研究可测函数的结构时，我们发现函数可测的实质是函数正、
负部下方图形可测，再加之由数学分析我们已经知道：对连续函数而言(R)积分
值是函数曲线与x轴，x＝a，x＝b所围的x轴上、下方图形面积的代数和，现
遵循此基本思路直接定义新积分概念。
定义５.１.１ 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则称mG ()Ef , 为f在
E 上的Lebesgue积分值， 记为(L)
∫
E
fdx,也简称mG ( )Ef , 为f在E 上的积分值，
并简记
∫
E
fdx。若f(x)为可测集E上的一般可测函数，且
∫
E
f
+
dx＝mG ( )Ef ,
+
，
∫
E
f
?
dx＝mG ( )Ef ,
?
至少有一个有限，则称f(x)在E上存在积分值，并规定积
分值为
∫
E
fdx＝
∫
E
f
+
dx－
∫
E
f
?
dx＝mG ( )Ef ,
+
－mG ( )Ef ,
?
；
如果－∞＜
∫
E
fdx＜＋∞，则 称f在E 上可积。
注５.１.１ 此处作“
∫
E
f
?
dx，
∫
E
f
+
dx至少有一个有限”的限制在于保
证不出现∞－∞的无意义表达式。
注５.１.2 (L)积分定义有三大优点：定义简洁、直观明了，不需大、 小
和概念，不必考虑函数是否有界，定义域测度是否有限。
如何具体计算积分值呢？
1) 若f为可测集E上的非负简单函数，则f(x)＝
c
i
,x∈E
i
(i=1,2,3,...,n)， E
i
∩E
j
≠φ(i≠j)，从 而f在E 上的积分值
为mG ()Ef , ＝
∑
=
n
i 1
c
i
mE
i
例５.１.１ Dinichni函数
D(x)＝
[ ]{}
[]
?
?
?
=∈
=∈
。中的无理数，为，
，中的有理数，为
10;0
10;,1
2
1
xxEx
xxEx
可积，且
∫
E
Ddx＝1×mE
1
＋0×mE
2
＝0。
2) 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列
{φ
n
(x)}满足0≤φ
n
(x)≤φ
1+n
(x)，φ
n
(x)→f(x) (n→+∞)，则显然
G()E
n
,Φ
?
G()E
n
,
1+
Φ ，且 G ()Ef , ＝
∞→n
limG( )E
n
,Φ ，从而由测度的外极限定理知：
f在E上的积分值为 mG ()Ef , ＝
∞→n
limmG( )E
n
,Φ ＝
∞→n
lim
∫
E
φ
n
dx
当我们按定理４.２.１方法构造简单函数列{φ
n
(x)}时， mG ()E
n
,Φ 便是f
在分划T
n
:E＝
U
12
1
+
=
n
n
k
E
k
下的小和s(f,T
n
)，即
∫
E
fdx＝
∞→n
limmG( )E
n
,Φ ＝
∞→n
lims(f,T
n
)。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似；区别
在于(R)积分直接将定义域分成区间， (L)积分可能是通过将值域分成区间后反过
来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。
3) 若f(x)为可测集E上的一般可测函数，则按2）分别求出
∫
E
f
+
dx，
∫
E
f
?
dx从而获得
∫
E
fdx，显然测度有限的可测集E上定义的有界
可测函数均为可积函数。
以上三大步骤，不仅说明了lebesgue积分的可操作性，也是在证明一系列
积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。
定理５.１.１ 设f(x)在E上有积分值，则对任意实数α，αf(x)在E上
也有积分值，且
∫
E
αfdx=α
∫
E
fdx (1)
证明 1
0
当α≥0时，分三种情形证明之。
a) 若f(x)为E上的非负简单函数，(1)式显然成立。
b) 若f(x)为E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列
{φ
n
(x)}满足 φ
n
(x)≤φ
n+1
(x)，φ
n
(x)→f(x) (n→＋∞)，
∫
E
αfdx＝
∞→n
lim
∫
E
αφ
n
dx＝
∞→n
limα
∫
E
φ
n
dx＝α
∞→n
lim
∫
E
φ
n
dx
＝α
∫
E
fdx，即(1)式成立。
c) 若f(x)为一般可测函数，利用b)及(αf)
+
＝αf
+
，(αf)
?
＝αf
?
即
得
∫
E
αfdx＝
∫
E
αf
+
dx－
∫
E
αf
?
dx＝α
∫
E
f
+
dx－α
∫
E
f
?
dx＝α
∫
E
fdx
2
0
当α＜0时，利用b)及(αf)
+
＝－αf
?
，(αf)
?
＝-αf
+
即得
∫
E
αfdx＝
∫
E
(-α)f
?
dx－
∫
E
(-α)f
+
dx＝(-α)
∫
E
f
?
dx－(-α)
∫
E
f
+
dx＝α
∫
E
fdx，证毕。
定理５.１.２ ：设f(x)，g(x)在E上可积，则f(x)±g(x)也在E上可积，
且
∫
E
[f+g]dx＝
∫
E
fdx＋
∫
E
gdx (2)
证明 a) 若f(x)，g(x)为E上非负简单函数，则(2)式显然成立。
b) 若f(x)，g(x)为E上的非负可测函数，则存在简单函数列
{φ
n
(x)}、{ψ
n
(x)}满足
0≤φ
n
(x)≤φ
1+n
(x)，φ
n
(x)→f(x) (n→＋∞)，
0≤ψ
n
(x)≤ψ
1+n
(x)，ψ
n
(x)→g(x) (n→＋∞)，
从而φ
n
(x)＋ψ
n
(x)≤φ
1+n
(x)＋ψ
1+n
(x)，
且 φ
n
(x)＋ψ
n
(x)→f(x)＋g(x) (n→＋∞)，
∫
E
[f+g]dx＝
∞→n
lim
∫
E
[φ
n
＋ψ
n
](x)dx
＝
∞→n
lim[
∫
E
φ
n
dx＋
∫
E
ψ
n
dx]
＝
∞→n
lim
∫
E
φ
n
dx＋
∞→n
lim
∫
E
ψ
n
dx
＝
∫
E
fdx＋
∫
E
gdx，即(2)式成立。
(值得注意的是：对非负函数而言，只须可测就足以保证(2)式成立。)
c) 若f(x)，g(x)为E上的一般可积函数，则[f+g]
+
≤f
+
＋f
?
＋g
+
＋g
?
从而G []( )Egf ,
+
+
?
G( )Eggff ,
?+?+
+++ ，故
mG []( )Egf ,
+
+ ≤mG ( )Eggff ,
?+?+
+++ ＜＋∞，即[f＋g]
+
在E上可积，同理
[f＋g]
?
在E上可积。 [f＋g]＝[f＋g]
+
－[f＋g]
?
＝(f
+
－f
?
)＋(g
+
－g
?
)，
移项得 [f＋g]
+
＋f
?
＋g
?
＝f
+
＋g
+
＋[f＋g]
?
由b)得
∫
E
[f＋g]
+
dx＋
∫
E
f
?
dx＋
∫
E
g
?
dx
＝
∫
E
f
+
dx＋
∫
E
g
+
dx＋
∫
E
[f+g]
?
dx
故
∫
E
[f＋g]
+
dx－
∫
E
[f＋g]
?
dx
＝
∫
E
f
+
dx－
∫
E
f
?
dx＋
∫
E
g
+
dx－
∫
E
g
?
dx
即
∫
E
[f＋g]dx＝
∫
E
fdx＋
∫
E
gdx，证毕。
推论５.１.１ ：设f(x)，g(x)在E上可积，则对任意α、β∈R，
αf(x)±βg(x)也在E上可积，且
∫
E
[αf±βg]dx＝α
∫
E
fdx±β
∫
E
gdx (3)
定理５.１.３ ：1)设f(x)在E上可积， 则f在E 的任意一个可测子集E
1
上
可积。
2)（有限可加性）若f(x)在E
1
，E
1
上均可积，其中E
1
、E
2
为E的互不
相交的可测子集，且E＝E
1
∪E
2
，则f(x)在E上可积，且
∫
E
fdx＝
∫
1
E
fdx＋
∫
2
E
fdx (4)
证明 1)因为G ( )Ef ,
+
＝{(x,y)｜x∈E,0≤y＜f
+
(x)
}
＝{(x,y)｜x∈E
1
,0≤y＜f
+
(x)}∪{(x,y)｜x∈E-E
1
,0≤y＜f
+
(x)}
＝G ( )
1
,Ef
+
∪G ( )
1
, EEf ?
+
，
于是
∫
i
E
f
+
dx＝mG ( )
1
,Ef
+
≤mG ( )Ef ,
+
＝
∫
E
f
+
dx＜+∞
同理
∫
i
E
f
?
dx＝mG ( )
1
,Ef
+
≤mG ( )Ef , ＝
∫
E
f
?
dx＜+∞，故f(x)在E
1
上可积。
2)若f(x)在E
1
，E
2
上均可积，则令
f
1
(x)＝
()
?
?
?
∈
∈
2
1
,0
,
Ex
Exxf
， f
2
(x)＝
()
?
?
?
∈
∈
2
1
,
,0
Exxf
Ex
显然，f
1
，f
2
均在在E上可积，由定理２知
∫
E
[f
1
(x)＋f
2
(x)]dx＝
∫
E
f
1
(x)dx＋
∫
E
f
2
(x)dx
即
∫
E
fdx＝
∫
1
E
fdx＋
∫
2
E
fdx。证毕
定理５.１.４ ：①若mE＝0，则在E上定义的函数皆可积，且
∫
E
fdx＝0
②设f(x)＝g(x) a.e于E，则f(x)与g(x) 有相同的可积性，且
∫
E
fdx＝
∫
E
gdx (4)
③ （单调性） 若f(x)， g(x)在E上可积， 且f(x)≤g(x) a.e于E， 则
∫
E
fdx≤
∫
E
gdx (5)
特别地，若m≤f≤M,mE<+∞,则mmE≤
∫
E
fdx≤MmE
④（绝对可积性）设f(x)在E上可积，则｜f(x)｜在E上可积，且
∫
E
fdx≤
∫
E
|f|dx (6)
证明：①设f(x)在E上非负，则由推论４.１.２知f(x)在E上可测，当
0≤φ
n
(x)≤φ
1+n
(x)，φ
n
(x)→f(x) (n→+∞)时，对任意n有
∫
E
φ
n
(x)dx=0， 故f在E 上可积且
∫
E
f(x)dx=0。
②不妨设f(x)在E上可积， 则f(x)在E
1
＝E[f＝g]， E
2
＝E[f≠g]上均可积。
则g在E[f＝g]上可积，又m
*
E[f≠g]＝0，故g(x)在E
2
＝E[f≠g]上可积，从
而g在E＝E
1
∪E
2
上可积。且
∫
E
fdx＝
∫
1
E
fdx＋
∫
2
E
fdx＝
∫
1
E
gdx＋
∫
2
E
gdx。
(正是由于此结论，有关积分的命题，遇到几乎处处成立的条件时， 都不妨当成
处处成立来证明)
③因为g(x)＝f(x)＋(g(x)－f(x))，由定理５.１.２知
∫
E
gdx＝
∫
E
fdx＋
∫
E
(g－f)dx≥
∫
E
fdx。
④因为|f(x)|＝f
+
＋f
?
，所以｜f(x)｜可积。又因为
-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|， 故
－
∫
E
|f|dx≤
∫
E
fdx≤
∫
E
|f|dx ，即|
∫
E
fdx|≤
∫
E
|f|dx 。证毕。
注意：绝对可积性对Rieman广义积分是不成立的。正因为如此，才有条件
可积与绝对可积之分。
定理５.１.５ （积分唯一性）若在E上非负可测，且
∫
E
fdx＝0，则f
＝0 a.e于E
证明：因为0＝
∫
E
fdx≥
∫
?
?
?
?
?
?
>
n
fE
1
fdx≥
n
1
mE[f≥
n
1
]≥0，故mE[f≥
n
1
]＝0，
而E[f＞0]＝
U
∞
=1n
E[f≥
n
1
]，故mE[f＞0]＝0,于是f＝0 a.e于E ，证毕。
定理５.１.６ 若f(x)在E上可积， 则f在E 上几乎处处有限.
证明： 因为
∫
E
|f|dx≥
[]
∫
≥nfE
fdx≥n mE[|f|≥n]，所以
m[|f| n≥ ] 0→≤
∫
n
fdx
E
,()∞→n ，而E[f＝+∞]＝
I
∞
=1n
E[|f|≥n]，由内极限定
理知：mE[|f|＝+∞]＝
∞→n
limmE[|f|≥n]=0，证毕
定理５.１.７ (积分绝对连续性) 若f(x)在E上可积，则对
?
ε＞0,ョ
δ＞0，当 可测集A
?
E，且mA＜δ时，有｜
∫
A
fdx｜＜ε。
证明：1.若f(x)为简单函数，则令M＝max{|c
i
|｜i=1,2,...,n}，对
?
ε
＞0，ョδ＝
M
ε
，当 A
?
E，且mA＜δ时，｜
∫
A
fdx｜≤
∫
A
｜f｜dx｜＜M×
M
ε
＜ε.
2.若f(x)为E上的一般可积函数，则|f(x)|为E上的非负可积函数，存
在非负简单函数列{φ
n
(x)}满足 φ
n
(x)≤φ
1+n
(x)，φ
n
(x)→｜f(x)｜ (n→
＋∞)，对
?
ε＞0，ョ N
0
，
∫
E
｜f｜dx－
∫
E
φ
0
N
dx＜
2
ε
，对φ
0
N
，ョM＞0，
｜φ
0
N
｜≤M，令δ＝
M2
ε
＞0，当 A
?
E，且mA＜δ时，有｜
∫
A
fdx｜≤
∫
A
｜
f｜dx＝
∫
A
[f－φ
0
N
]dx＋
∫
A
φ
0
N
dx ≤
∫
E
[f－φ
0
N
]dx＋
∫
A
φ
0
N
dx＜
2
ε
＋
M×
M2
ε
＝ε.证毕
