第三章 测度理论 本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质，最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。 §３.１ 外测度 本节仍设 X 是一固定的非空集 , )(XP 是 X 的全体子集所成的集类 . 外测度 设 C 是一个非空集类 , .XA? 若 }{ n A 是 C 中的有限或无穷序列 , 使得 U k n n AA 1= ? (或 U ∞ = ? 1n n AA ), 则称 }{ n A 是 A的一个 C 覆盖 . 由于有限并总可以 写成可数并 (只要令 ),( knAA kn >= 则 UU ∞ == = 11 n n k n n AA ). 因此我们不妨只考虑由可 数个集构成的覆盖 . 设 μ 是环 R 上的测度 . 对每个 ,XA? 令 }.}{:)(inf{)( 1 覆盖的是 RAAAA n n n∑ ∞ = ? = μμ 若 A无 R 覆盖 , 则令 .)( +∞= ? Aμ 这样定义的 ? μ 是定义在 )(XP 上的非负值集 函数 . 称 ? μ 为由 μ 导出的外测度 . 定理 1 设 μ 是环 R 上的测度 . ? μ 为由 μ 导出的外测度 . 则 ? μ 满足 : ).i( .0)( =? ? μ ).ii( 单调性 : 若 ≤?? )(, ABA μ则 ).(B ? μ ).iii( 次可数可加性 : 对 X 中的任意一列集 }{ n A 成立 ).()( 11 n nn n AA ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ μμ U (1) 证明 由于 }{? 是空集 ? 的一个 R 覆盖 , 故 .0)()( =?≤? ? μμ 因此 .0)( =? ? μ 设 ,BA? 则 B 的每个 R 覆盖也是 A 的 R 覆盖 . 这蕴涵 ).()( BA ?? ≤ μμ 下面证明 ? μ 具有次可数可加性 . 设 }{ n A 是 X 的一列子集 . 不妨 设 1,)( ≥+∞< ? nA n μ (否则 (1)显然成立 ). 现在任意给定 0>ε . 由 ? μ 的定义 , 对 每个 ,1≥n 存在 n A 的一个 R 覆盖 ,}{ 1, ≥kkn C 使得 .)()( 1 , n n k kn AC 2 +≤ ∑ ∞ = ? ε μμ (2) 由于 }1,,{ , ≥knC kn 是 U ∞ =1n n A 的一个 R 覆盖 , 由 (2)得到 .)())(()()( 111 , 11 εμ ε μμμ += 2 +≤≤ ∑∑∑∑ ∞ = ? ∞ = ? ∞ = ∞ = ∞ = ? n n n n nn kn kn n AACA U 由于 0>ε 是任意的 , 因此得到 .)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ n n n n AA μμ U 即 ? μ 具有次可数可加性 . ■ 可测集 由 μ 导出的外测度 ? μ 定义在 X 的全体子集所成的集类上 . 但 ? μ 的 定义域太大 , 一般不满足可数可加性 . 因而一般不是测度 . 下面将证明 , 可以通 过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓 “可测集” ， 这些集构成一个 代数?σ . 将 ? μ 限制在这个 代数?σ 上 , ? μ 满足可数可加性 , 因而成为一个测度 . 而且这 个代数?σ 一般要比 μ 的定义域 R 要大 , 于是就扩大了原来测度的定义域 . 定义 2 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . 又设 .XE ? 若对 任意 XA? , 均有 ).()()( c EAEAA ∩+∩= ??? μμμ (3) 则称 E 是 ? μ -可测集 . ? μ -可测集的全体所成的集类记为 . ? R 等式 (3)称为 Caratheodory条件 (简称为卡氏条件 ). 由于外测度 ? μ 具有次可数 可加性 , 因此对任意 XA? 成立 ).()( ))()(()( c c EAEA EAEAA ∩+∩≤ ∩∪∩= ?? ?? μμ μμ 所以 (3)式等价于 ).()()( c EAEAA ∩+∩≥ ??? μμμ (4) 因此集 E 是 ? μ -可测的当且仅当对任意 ,XA? (4)式成立 . 又由于当 +∞= ? )(Aμ 时 (4)总是成立的 , 因此若对任意 ,XA? 当 +∞< ? )(Aμ 时 (4)式成立 , 则 E 是 ? μ -可测的 . 显然 , 空集 ?和全空间 X 是 ? μ -可测集 . 又由 ? μ 的单调性和 (4)可以看出若 ,0)( = ? Eμ 则 E 是 ? μ -可测集 . 引理 3 设 n EE ,, 1 L 是互不相交的 ? μ -可测集 . 则对任意 XA? , 成立 ).())(( 11 i n i n i i EAEA ∩=∩ ∑ = ? = ? μμ U (5) 证明 用数学归纳法 . 当 1=n 时 (5)显然成立 . 假定 (5)对 kn = 时成立 . 因为 n EE ,, 1 L 是互不相交的 . 所以 ).()( ,)( 1 1 1 1 11 1 1 UU U k i i c k k i i kk k i i EAEEA EAEEA = + + = ++ + = ∩=∩∩ ∩=∩∩ 于是由 1+k E 的 ? μ -可测性和归纳法假设 , 我们有 ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∩ + + = ? + + = ? + = ? c k k i i k k i i k i i EEA EEAEA 1 1 1 1 1 1 1 1 U UU μ μμ .)( .)( 1 1 1 1 ∑ + = ? = ? + ? ∩= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+∩= k i i k i ik EA EAEA μ μμ U 因此当 1+= kn 时 (5)式成立 . 因此 (5)对任意 n成立 . ■ 定理 4 设 μ 是环 R 上的测度 , ? μ 是由 μ 导出的外测度 . ? R 是 ? μ -可测集 的全体所成的集类 . 则有 ).i( ? R 是 σ -代数 . ).ii( ? μ 限制在是 ? R 上是一个测度 . 证明 ).i( 先证明 ? R 是一个代数 . 由于空集 ?和全空间 X 是 ? μ -可测集 . 故 ? R 非空 . 由 ? μ -可测集的定义立即可以看出若 E 是可测? ? μ 的 , 则 c E 也是 ? μ - 可测的 , 因此 ? R 对余运算封闭 . 往证 ? R 对有限并的封闭性 . 设 ∈ 21 ,EE ? R . 令 21 EEE ∪= .注意到 )( 211 EEEE c ∩∪= , 利用 21 EE 和 的可测性 , 对任意 ,XA? 我们有 )])(( ))(([)( )( )]()([)()( 21 211 21 211 cc c cc cc EEA EEAEA EEA EEAEAEAEA ∩∩+ +∩∩+∩= ∩∩+ +∩∩+∩≤∩+∩ ? ?? ? ???? μ μμ μ μμμμ ).()()( 11 AEAEA c ??? =∩+∩= μμμ 即 E 满足卡氏条件 (4)式 . 这表明 ∈∪= 21 EEE ? R . 因此 ? R 是一个代数 . 为证 ? R 是一个 σ -代数 , 只需再证明 ? R 对不相交可数并运算封闭即可 (参见第一章习 题第 20 题 ). 设 ?}{ n E ? R , 并且 ).( jiEE ji ≠?=∩ 令 . 1 U ∞ = = n n EE 由于 ? R 是代 数 , 故 ∈ = U n i i E 1 ? R , .1≥n 利用引理 2.2.3, 对任意 ,XA? 我们有 ).()( )( )()( 1 1 11 c n i i c n i i c n i i n i i EAEA EAEA EAEAA ∩+∩= ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩+ ? ? ? ? ? ? ? ? ∩= ? = ? ? = ? = ? = ?? ∑ μμ μμ μμμ U UU (6) (6)式对任意 n 都成立 . 在 (6)中令 ,∞→n 并利用外测度的次可数可加性 , 得到 ).()( )()()( 1 c c i i EAEA EAEAA ∩+∩≥ ∩+∩≥ ?? ? ∞ = ?? ∑ μμ μμμ 上式表明 E 满足卡氏条件 (4)式 , 因此 ∈= ∞ = U 1n n EE ? R . 这就证明了 ? R 是一个 σ - 代数 . ).ii( 为证 ? μ 是 ? R 上的测度 , 只需证明 ? μ 在 ? R 上是可数可加 的 . 设 ?}{ n E ? R , 并且 ).( jiEE ji ≠?=∩ 由外测度的次可数可加性 , 我们有 .)()( 11 ∑ ∞ = ? ∞ = ? ≤ i i i i EE μμ U 另一方面 , 在 (5)中令 A=X 得到 ).()()( 111 UU ∞ = ? = ? = ? ≤= ∑ i i n i i n i i EEE μμμ 上式中令 ,∞→n 得到 ).()( 11 U ∞ = ? ∞ = ? ≤ ∑ i i i i EE μμ 因此 ∑ ∞ = ? ∞ = ? = 11 )()( i i i i EE μμ U , 即 ? μ 在 ? R 上是可数可加的 . 所以 ? μ 是 ? R 上的测度 . ■ 注 1 从定理 .4 的证明可以看出 , 定理 4 的结论 )i( 和 )ii( 并不依赖于环 R 上 的测度 μ , 只用到了定理 1 中 ? μ 所满足的性质 . 因此 , 我们可以定义任何满足 定理 1 中的 )i(, )ii( 和 )iii( 的集函数 ? μ 为外测度 . 然后和定义 2 一样定义 ? μ 可测 集 . 则定理 4 的结论对这样定义的一般的外测度 ? μ 仍成立 . 我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区 间及其子区间的长度，如 () ( ) k n k k b a fdxxf ?= ∑ ∫ = → 1 0 lim ξ λ 其中 Δ k ＝[x 1?k ,x k ]，λ＝max|Δ k |需涉及[a,b]与[x 1?k ,x k ]的长度。 因更多的函数往往只定义在一个 R n 中的一般集合上， 研究 f 在 E 上的积分， 必然涉及一般集合 E 及其子集的“长度”或“体积”。再说， 即使是定义在区 间上的函数，如果作分划是将函数值接近的分在一起，就必然遇到求不太规则集 合的“长度”或“体积”问题。然而，到目前为止，我们只有开集的“长度”或 “体积”概念。因此，需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为一 般的集合上去，这就产生了 Lebesgue 测度理论。 定义３.１.１ 对任意集合 E，称 m * E＝inf｛|G|｜G 开，且 G ? E｝为 E 的 Lebesgue 外测度。 此定义的基本思想是：对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为 外测度(此事实将在定理３.１.１的 4)和推论３.２.３中得到严格论证)，对于 不规则的集合 E，试图用盖住 E 的开集 G 的“体积”取而代之。然而盖住 E 的开 集 G 多种多样，其体积也大小不一，但不应比 E 的“体积”小。取哪一个最好 呢？ 当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言，最小值不一定可达，于是 取下确界最安全。 定理３.１.１ 任意集合的外测度均满足： 1)非负性 m * E≥0 2)单调性 若 A ? B，则 m * A≥m * B 3)次可加性 m * U ∞ =1i E i ≤ ∑ ∞ =1i m * E i 4)若 d(A,B)＞0，则 m * (A∪B)＝m * A＋m * B 5)区间 I 的外测度满足 m * I＝|I| 证明:1)非负性、2)单调性显然。 3)证次可加性， 对任意 ε＞0 及 i 存在开集 G i ? E i ， |G i |≤m * E i ＋ i 2 ε ， 而显然 U ∞ =1i G i ? U ∞ =1i E i ， m * U ∞ =1i E i ≤ ∑ ∞ =1i |G i |≤ ∑ ∞ =1i m * E i ＋ε，由 ε 的任意性。 知结论成立。 4)只须证当 d(A,B)＞0 时， m * A＋m * B≤m * (A∪B)。 事实上， ョ开集 G ? (A∪B) 满足|G|≤m * (A∪B)＋ε，由推论２.３.３知：ョ开集 U 1 ，U 2 满足 U 1 ∩U 2 ＝ф， 且A ? U 1 ，B ? U 2 ，令 G 1 ＝G∩U 1 ，G 2 ＝G∩U 2 ，则 G 1 ∩G 2 ＝ф。又因为 m * A＋ m * B≤|G 1 |＋|G 2 |≤|G|≤m * (A∪B)＋ε，由 ε 的任意性知： m * A＋m * B≤m * (A∪B) 5)证 m * I＝|I| 无论 I 是开区间、 闭区间， 任意开集 G ? I， 定有|I|≤|G|， 故|I|≤m * I。 另 一方面， 对任意 ε＞0 存在开区间 G＝I ε ? I， 满足|I ε |≤|I|＋ε， 故m * I≤|I|， 从而 m * I＝|I|。