§３.２ 可测集合 由定理３.１.１的4)可知：外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是：外测度对一些集合而言无法满足可加性，即人们可构造这样一族互不相 交的集合S i (i=1,2,...,N)满足m * [ U N n 1= S n ]＜ ∑ = N n 1 m * S n ，于是我们只有退而求 其次，探索可以限制在什么范围内满足可加性。 定义３.２.１ 若对任 意T有m * T＝m * (T∩E)＋m * (T∩CE)，则称E为 Lebesgue 可测集。简称E可测。并称m * E为E的测度，简记为mE。 直观地讲：可测集E是具有良好分割性能的集合，它将任意一个集合分成两 部分，一部分在E内即T∩E，另一部分在E外即T∩E c ，两部分外测度之和恒等 于总体T的外测度。显然，这是为了满足测度可加性而作出的重要限制。 定理３.２.１ E可测<＝>对任意A ? E，B ? E c 有m * (A∪B)＝m * A＋m * B 证明 “＝>”因为E可测，所以对任意A ? E，B ? E c 令T＝A∪B，则 T∩E＝A，T∩CE＝B，故m * T＝m * (T∩E)＋m * (T∩CE)，即 m * (A∪B)＝m * A＋m * B “<＝”因为对任意A ? E，B ? E c 有m * (A∪B)＝m * A＋m * B，所以对任意T， 令A＝T∩E ? E，B＝T∩CE ? E c ，则由已知得 m * (A∪B)＝m * A＋m * B 即m * T＝m * (T∩E)＋m * (T∩CE)。 定理３.２.２ E可测<＝>CE可测。 证明 因为C(CE)＝E，于是 E可测<＝>m * T＝m * [T∩E]＋m * [T∩(CE)] <＝>m * T＝m * [T∩C(CE)]＋m * [T∩(CE)] <＝>m * T＝m * [T∩(CE)]＋m * [T∩C(CE)] <＝>CE可测。 证毕 定理３.２.３ 设S 1 、S 2 均可测，则S 1 ∪S 2 也可测。如果S 1 ∩S 2 ＝φ，则 m * [T∩(S 1 ∪S 2 )]＝m * (T∩S 1 )＋m * (T∩S 2 )，特别地m(S 1 ∪S 2 )＝mS 1 ＋mS 2 。 证明 如图３.２.１所示，对任意的集合T， 令A＝T∩[S 1 -S 2 ]，B＝T∩[S 2 ∩S 1 ]， (图３.２.１) C＝T∩[S 2 -S 1 ]，D＝T－S 1 -S 2 ，则 m * T＝m * [A∪B∪C∪D]＝m * [A∪B]＋m * [C∪D] (因为S 1 可测) ＝m * [A∪B]＋m * C＋m * D (因为S 2 可测) ＝m * [A∪B∪C] ＋m * D (因为S 1 可测) ＝m * {T∩[S 1 ∪S 2 ]}+ m * {T∩C[S 1 ∪S 2 ]} 故S 1 ∪S 2 可测。如果S 1 ∩S 2 ＝φ，则T∩S 1 ? S 1 ，T∩S 2 ? CS 1 ，由S 1 可测 知： m * [T∩(S 1 ∪S 2 )]＝m * (T∩S 1 )＋m * (T∩S 2 ) 令T＝R n ，则m(S 1 ∪S 2 )＝mS 1 ＋mS 2 推论３.２.１ 设S i (i=1,2,...,n)均可测，则 U n i 1= S i 也可测。如果 S i ∩S j ＝φ(i，j＝1,2,...,n；i≠j)，则 m * [T∩( U n i 1= S i )]＝ ∑ = n i 1 m * (T∩S i )。 正是此定理及其推论说明了：可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理３.２.４ 若S 1 ，S 2 均为可测集，则交集S 1 ∩S 2 也是可测集。 证明 只须证[S 1 ∩S 2 ] c 是可测集， 而[S 1 ∩S 2 ] c ＝ S 1 c ∪S 2 c ， 由定理３. ２.２知：S 1 c 和S 2 c 均为可测集，由定理３.１.３知：S 1 c ∪S 2 c 可测。证毕 推论３.２.２ 若S i (i=1,2,..,n)均为可测集，则交集 I n j 1= S j 也是可测集。 推论３.２.３ 若S 1 ，S 2 均为可测集，则差集S 1 -S 2 也是可测集；如果 S 1 ? S 2 ，且mS 2 ＜＋∞，则m*[T∩(S 1 -S 2 )]＝m*(T∩S 1 )-m*(T∩S 2 )。 证明 因为S 1 -S 2 ＝S 1 ∩CS 2 ，由定理３.２.２和定理３.２.４得S 1 -S 2 可 测， 且m * [T∩S 1 ]＝m * [T∩(S 1 -S 2 )]＋m * [T∩S 2 ]，移项即得 m * [T∩(S 1 -S 2 )]＝m * (T∩S 1 )-m * (T∩S 2 )，证毕。 注３.２.１ 其条件 mS 2 ＜＋∞在于保证m * [T∩S 2 ]＜＋∞，从而确保移项 可实施。 定理３.２.５ (可列可加性)若S 1 ，S 2 ，...，S n ，...是一列可测集，则 S＝ U ∞ =1n S n 也是可测集，若S 1 ，S 2 ，...，S n ，...是一列互不相交的可测集， 则 对任意的T有 m * [T∩ U ∞ =1n S n ]＝ ∑ ∞ =1n m * (T∩S n ) 特别地 m[ U ∞ =1n S n ]＝ ∑ ∞ =1n mS n 证明 1)假定S 1 ， S 2 ，...，S n ，...互不相交，要证S可测，只须证对 任意的T有 m * T≥m * [T∩ U ∞ =1i S i ]＋m * {T∩[ U ∞ =1i S i ] c } 因为对任意有限 数n有m * T＝m * [T∩ U n i 1= S i ]＋m * {T∩[ U n i 1= S i ] c } ≥ ∑ = n i 1 m * [T∩S i ]＋m * {T∩[ U ∞ =1i S i ] c } 令n→∞得m * T≥ ∑ ∞ =1i m * [T∩S i ]＋m * {T∩[ U ∞ =1i S i ] c } 由次可加性得m * T≥m * [T∩ U ∞ =1i S i ]＋m * {T∩[ U ∞ =1i S i ] c }，即s＝ U ∞ =1i S i 可测， m*[T∩ U ∞ =1n S n ]≥m * [T∩ U m n 1= S n ]＝ ∑ = m n 1 m * (T∩S n )， 令m→∞，得m*[T∩ U ∞ =1n S n ]≥ ∑ ∞ =1n m * (T∩S n )， 结合次可加性得 m * [T∩ U ∞ =1n S n ]＝ ∑ ∞ =1n m * (T∩S n )， 特别地令T＝S时得m[ U ∞ =1n S n ]＝ ∑ ∞ =1n mS n 2)若S 1 ，S 2 ，...，S n ，...可能相交时，考虑 S＝ U ∞ =1n S n ＝ U ∞ =1n [S n -S 1?n -...-S 1 ]，而[S n -S 1?n -...-S 1 ]互不相交， 由1)知S可测。证毕 注３.２.２ 由本定理可以看出， 区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立，否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为0”的荒谬结果。 事实上，如果对任意多个集合而言都具有可加性，则对任意集合E有: E＝ U Ex∈ {x｝可测，且mE＝ ∑ ∈Ex m｛x｝＝0。 定理３.２.６ 若E 1 ，E 2 ，...，E n ，...是一列可测集，则交集 E＝ I ∞ =1n E n 是可测集. 证明 与定理３.２.４证明理由相同。 定理３.２.７ (外极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且E 1 ? E 2 ? ...， ? E n ? ，...令E＝ U ∞ =1n E n ＝ ∞→n limE n ， 则对任意T有 m * (T∩E)＝ ∞→n limm * (T∩E n ) 证明 令S n ＝E n -E 1?n (这里E 0 ＝ф)，则S n 可测且互不相交，由定理３.１. ５得 m * [T∩ U ∞ =1n (S n )]＝ ∑ ∞ =1n m*(T∩S n ) ＝ ∑ = ∞→ n i n 1 lim m * [T∩(E i －E 1?i )] ＝ ∞→n limm * U n i 1= [T∩(E i －E 1?i )] ＝ ∞→n limm * (T∩E n )， 显然 U ∞ =1n S n ＝ U ∞ =1n E n ＝E，即m * (T∩E)＝ ∞→n limm * (T∩E n )， 证毕 定理３.２.８ (内极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且E 1 ? E 2 ? ...， ? E n ? ，... 令 E＝ I ∞ =1n E n ＝ ∞→n limE n ， 则对任意m * T＜＋∞有 m * (T∩E)＝ ∞→n limm * (T∩E n ) 证明 因E 1 ? E 2 ? ， ...， ? E n ? ， ...所以E 1 －E 1 ? E 1 －E 2 ? ， ...， ? E 1 －E n ，... 则由外极限定理得m * [T∩(E 1 －E)]＝ ∞→n limm * [T∩(E 1 －E n )]，即 m * (T∩E 1 )－m * (T∩E)＝m * (T∩E 1 )－ ∞→n limm * (T∩E n )，故m * (T∩E)＝ ∞→n limm * (T∩E n )， 证毕 注３.２. ３ 条件m * T＜＋∞在于保证m * (T∩E n )＜＋∞(其实只须将条件 削弱为 ? m * (T∩E 0 n )＜＋∞就足以保证结论成立)，从而可用推论３.１. ３， 故此条件不能随意去掉，见反例如下： 例３.２.１ E n ＝[n,+∞]，T＝(-∞,+∞)，m * (T∩E n )＝＋∞，但 E＝ф，故m * (T∩E)＝0≠ ∞→n limm * (T∩E n )＝＋∞。 定理３.２.９ 若m * E＝0，则E可测。 证明 对任意T ，m * T≤m * (T∩E)＋m * (T∩CE)＝0＋m * (T∩CE)≤m * T 故m * T＝m * (T∩E)＋m * (T∩CE)，即E可测。 证毕 推论３.２.４ 一切可数集皆可测，且测度为0。 证明 E＝{x 1 ,x 2 ,。..,x n ,...}，由外测度定义知：对任意n m * {x n }＝0，所以单元素集{x n }可测，由可列可加性知：E可测，且测度为0。 证毕 定理３.２.１０ 区间I为可测集，且mI＝|I|。 证明 对任意ε＝ n 1 ＞0存在I n ? I，满足|I n |＞|I|- n 1 ，且 I 1 ? I 2 ? ...， ? I n ? ．．．,d(I n ,CI)＞0， 任意T， m * T≥m * [(T∩I n )∪(T∩CI)]＝m * (T∩I n )＋m * (T∩CI) 又因为m * (T∩I)≤m * (T∩I n )＋m * [T∩（I-I n ）]， m * (T∩I)－m * (T∩I n ) ≤m * [T∩（I-I n ）] ≤|（I-I n ）｜→０ 所以m * (T∩I n )→m * (T∩I) （n→＋∞） 故 m * T≥m * (T∩I)＋m * (T∩CI) 即I为可测集。证毕 推论３.２.５ 一切开集、闭集均为可测集；且当G为开集时，mG＝|G|。 例３.２.１ 求Cantor G 0 ，P 0 集的测度。 解 mG 0 ＝|G 0 |＝1，mP 0 ＝m[0,1]－mG 0 ＝1－1＝0。 此例说明：除了可数集一定测度为0以外，C势集也有可能测度为0。